ś ྋ !! 去分母,得

在文檔中 第八章 分式 (頁 28-32)

− , 就是

x = + 。 a b

【ּ 2】 解方程 x b 2 x a

a b

− = − − (a b+ ≠ )。 0

ś

ྋ !! 去分母,得

2 2

2 2

2

( ) 2 ( ) 2

2 ( ) ( )

0

b x b ab a x a bx b ab ax a ax bx a ab b a b x a b

a b

x a b

− = − −

− = − + + = + + + = +

+ ≠

= +

我們再看下面的問題:

汽車的行駛速度是 v (km/小時),行駛的時間是 t (小時),那 麼汽車行駛的路程 s (km)可以用公式

s = vt 來計算。

有時已知行駛的路程 s 與行駛的速度 v (v ≠ ),要求行駛的0 時間 t。因為v ≠ ,在 s vt0 = 的兩邊都除以 v,就得到

t s

= v

這就是已知行駛的路程與速度,求行駛的時間之公式。

類似地,如果已知 s、t (t ≠ ),求 v。可以得到 0 v s

= t

這就是已知行駛的路程與時間,求行駛的速度之公式。

以上三個公式都表示路程 s、時間 t、速度 v 之間的關係。當 v、t 都不等於零時,可以把公式s = 變換成公式vt s

t = 與v s v = 。 t 像上面這樣,把一個公式從一種形式變換成另一種形式,叫 做公式變形。公式變形往往就是解含有字母已知數的方程。

【ּ 3】 在v = v0 +at 中,已知 v、v 、a,且0 a ≠ ,求 t。 0

ś

ྋ !! 移項,得

v v− =0 at

因為a ≠ ,方程的兩邊都除以 a,得 0 v v0

t a

= − 。

【ּ 4】 在梯形面積公式 1

( )

S = 2 a b h+ 中,已知 S、b、h,且h≠ ,0 求 a。

ś

ྋ !! 去分母,得

2S = (a b h+ ) 。

2

ah = Sbh

因為h ≠ ,方程的兩邊都除以 h,得 0 2S bh

a h

= − 。

ቚ ௫!

1. 解下列方程 (x 為未知數):

(1) 3a+4x =7x−5b; (2) ax by− = (0 a ≠ ); 0 (3) x x

b a

a − = − ( a bb ≠ );

(4) m x n2( − ) = n x2( −m) (m2n2)。

2. (口答) 在公式 F = ma 中,所有字母都不等於零。

(1) 已知 F、a,求 m; (2) 已知 F、m,求 a。

3. 在公式v = + 中,所有字母都不等於零。 v0 at

(1) 已知 v、a、t,求v ;0 (2) 已知 v、v 、t,求 a。 0 4. 在梯形面積公式 1

( )

S = 2 a b h+ 中,所有字母都是正數。

(1) 已知 S、a、b,求 h; (2) 已知 S、a、h,求 b。

8.11 Ξ̼ࠎ˘̮˘Ѩ͞඀۞̶ё͞඀

我們先看下面的問題:把1

5的分子與分母都加上同一個什麼 數,能使分數的值變為1

2 ?

設所求的數是 x,那麼根據題意可以列出方程 1 1

5 2 x

x + =

+ 。

像這樣,分母裡含有未知數的方程叫做分式方程。以前學過 的,分母裡不含有未知數的方程叫做整式方程。一元一次方程是 最簡單的整式方程。

怎樣解分式方程呢?如果能把分式方程的分母去掉,使分式 方程化成整式方程,就可以利用整式方程的解法求解了。

例如,在分式方程

1 1 5 2

x x + =

+

的兩邊都乘以最簡公分母 2(5+ ,得 x) 1 1

2(5 ) 2(5 ) 5 2

x x x

x

+ + = +

i + i 。

約去分母,就得到整式方程

2(1+ x)= + 。 5 x 解這個整式方程,得

3 x = 。 3

x = 是不是原來分式方程的解呢?把 x = 代入原方程驗3 算:

左邊 1 3 4 1 5 3 8 2

= + = =

+ 、右邊 1

= , 2 左右兩邊相等,說明x = 是原分式方程的根。 3 再看另一個分式方程

2

2 3 6

1 1 1

x + x = x

+ − − ,

在方程的兩邊都乘以最簡公分母 (x+1)(x− ,得整式方程 1) 2(x− +1) 3(x+ = , 1) 6

解這個整式方程,得x = 。 1

x = 代入原分式方程驗算,結果1 x = 使分式1 3 1

x− 與 26 1 x − 的分母之值為零,這兩個分式沒有意義。因此 1 不是原分式方程 的根。

實際上,原分式方程無解。

從上面兩個例子可以看出,為了解分式方程,就要在方程兩 邊都乘以同一個含有未知數的整式(各分式的最簡公分母),把分 式方程化為整式方程。這樣得到的整式方程有時與原分式方程是

第二個例子,變形後得到的整式方程產生了一個不適合原分式方 程的根。

上面的現象是怎樣產生的呢?方程同解原理 2 指出:方程的 兩邊都乘以不等於零的同一個數,所得方程與原方程同解。在前 面解第一個分式方程時,方程的兩邊都乘以 2(5+ ,接著求出x)

3

x = ,而 2(5+ x) = ,所以相當於方程兩邊都乘以 16,16 016 ≠ , 因此所得的整式方程與原分式方程同解。在解第二個分式方程 時,方程的兩邊都乘以 (x+1)(x− ,接著求出1) x = ,相當於方程1 兩邊都乘以 0,結果使原分式方程中有的分式就沒有意義了,這 樣得到的整式方程就與原分式方程不同解了。

在方程變形時,有時可能產生不適合原方程的根,這種根叫 做原方程的增根。前面第二個例子中求出的整式方程之根x = 就1 是原分式方程的增根。因為解分式方程時可能產生增根,所以解 分式方程必須驗算。為了簡便,通常把求得的根代入變形時所乘 的整式(最簡公分母),看它的值是否為零,使這整個整式為零的 根是原方程之增根,必須捨去。

綜上所述,解分式方程的一般步驟是:

1. 在方程的兩邊都乘以最簡公分母,約去分母,化成整 式方程;

2. 解這個整式方程;

3. 把整式方程的根代入最簡公分母,看結果是不是零,

使最簡公分母為零的根是原方程之增根,必須捨去。

【ּ 1】 解方程 5 7 2 x = x

− 。

在文檔中 第八章 分式 (頁 28-32)