− ， 就是
x = + 。 a b
【ּ 2】 解方程 x b 2 x a
a b
− = − − (a b+ ≠ )。 0
ś
ྋ !! 去分母，得2 2
2 2
2
( ) 2 ( ) 2
2 ( ) ( )
0
b x b ab a x a bx b ab ax a ax bx a ab b a b x a b
a b
x a b
− = − −
− = − + + = + + + = +
+ ≠
= +
∵
∴
我們再看下面的問題：
汽車的行駛速度是 v (km/小時)，行駛的時間是 t (小時)，那 麼汽車行駛的路程 s (km)可以用公式
s = vt 來計算。
有時已知行駛的路程 s 與行駛的速度 v (v ≠ )，要求行駛的0 時間 t。因為v ≠ ，在 s vt0 = 的兩邊都除以 v，就得到
t s
= v
這就是已知行駛的路程與速度，求行駛的時間之公式。
類似地，如果已知 s、t (t ≠ )，求 v。可以得到 0 v s
= t
這就是已知行駛的路程與時間，求行駛的速度之公式。
以上三個公式都表示路程 s、時間 t、速度 v 之間的關係。當 v、t 都不等於零時，可以把公式s = 變換成公式vt s
t = 與v s v = 。 t 像上面這樣，把一個公式從一種形式變換成另一種形式，叫 做公式變形。公式變形往往就是解含有字母已知數的方程。
【ּ 3】 在v = v0 +at 中，已知 v、v 、a，且0 a ≠ ，求 t。 0
ś
ྋ !! 移項，得v v− =0 at 。
因為a ≠ ，方程的兩邊都除以 a，得 0 v v0
t a
= − 。
【ּ 4】 在梯形面積公式 1
( )
S = 2 a b h+ 中，已知 S、b、h，且h≠ ，0 求 a。
ś
ྋ !! 去分母，得2S = (a b h+ ) 。
2
ah = S −bh，
因為h ≠ ，方程的兩邊都除以 h，得 0 2S bh
a h
= − 。
ቚ ௫!
1. 解下列方程 (x 為未知數)：
(1) 3a+4x =7x−5b； (2) ax by− = (0 a ≠ )； 0 (3) x x
b a
a − = − ( a bb ≠ )；
(4) m x n2( − ) = n x2( −m) (m2 ≠ n2)。
2. (口答) 在公式 F = ma 中，所有字母都不等於零。
(1) 已知 F、a，求 m； (2) 已知 F、m，求 a。
3. 在公式v = + 中，所有字母都不等於零。 v0 at
(1) 已知 v、a、t，求v ；0 (2) 已知 v、v 、t，求 a。 0 4. 在梯形面積公式 1
( )
S = 2 a b h+ 中，所有字母都是正數。
(1) 已知 S、a、b，求 h； (2) 已知 S、a、h，求 b。
8.11 Ξ̼ࠎ˘̮˘Ѩ͞۞̶ё͞
我們先看下面的問題：把1
5的分子與分母都加上同一個什麼 數，能使分數的值變為1
2 ？
設所求的數是 x，那麼根據題意可以列出方程 1 1
5 2 x
x + =
+ 。
像這樣，分母裡含有未知數的方程叫做分式方程。以前學過 的，分母裡不含有未知數的方程叫做整式方程。一元一次方程是 最簡單的整式方程。
怎樣解分式方程呢？如果能把分式方程的分母去掉，使分式 方程化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。
例如，在分式方程
1 1 5 2
x x + =
+
的兩邊都乘以最簡公分母 2(5+ ，得 x) 1 1
2(5 ) 2(5 ) 5 2
x x x
x
+ + = +
i + i 。
約去分母，就得到整式方程
2(1+ x)= + 。 5 x 解這個整式方程，得
3 x = 。 3
x = 是不是原來分式方程的解呢？把 x = 代入原方程驗3 算：
左邊 1 3 4 1 5 3 8 2
= + = =
+ 、右邊 1
= ， 2 左右兩邊相等，說明x = 是原分式方程的根。 3 再看另一個分式方程
2
2 3 6
1 1 1
x + x = x
+ − − ，
在方程的兩邊都乘以最簡公分母 (x+1)(x− ，得整式方程 1) 2(x− +1) 3(x+ = ， 1) 6
解這個整式方程，得x = 。 1
把x = 代入原分式方程驗算，結果1 x = 使分式1 3 1
x− 與 26 1 x − 的分母之值為零，這兩個分式沒有意義。因此 1 不是原分式方程 的根。
實際上，原分式方程無解。
從上面兩個例子可以看出，為了解分式方程，就要在方程兩 邊都乘以同一個含有未知數的整式(各分式的最簡公分母)，把分 式方程化為整式方程。這樣得到的整式方程有時與原分式方程是
第二個例子，變形後得到的整式方程產生了一個不適合原分式方 程的根。
上面的現象是怎樣產生的呢？方程同解原理 2 指出：方程的 兩邊都乘以不等於零的同一個數，所得方程與原方程同解。在前 面解第一個分式方程時，方程的兩邊都乘以 2(5+ ，接著求出x)
3
x = ，而 2(5+ x) = ，所以相當於方程兩邊都乘以 16，16 016 ≠ ， 因此所得的整式方程與原分式方程同解。在解第二個分式方程 時，方程的兩邊都乘以 (x+1)(x− ，接著求出1) x = ，相當於方程1 兩邊都乘以 0，結果使原分式方程中有的分式就沒有意義了，這 樣得到的整式方程就與原分式方程不同解了。
在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫 做原方程的增根。前面第二個例子中求出的整式方程之根x = 就1 是原分式方程的增根。因為解分式方程時可能產生增根，所以解 分式方程必須驗算。為了簡便，通常把求得的根代入變形時所乘 的整式(最簡公分母)，看它的值是否為零，使這整個整式為零的 根是原方程之增根，必須捨去。
綜上所述，解分式方程的一般步驟是：
1. 在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整 式方程；
2. 解這個整式方程；
3. 把整式方程的根代入最簡公分母，看結果是不是零，
使最簡公分母為零的根是原方程之增根，必須捨去。
【ּ 1】 解方程 5 7 2 x = x
− 。