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三角函數的應用

在文檔中 5A2C trigonometry 2 A (頁 22-28)

正餘弦函數的疊合 : f (x) = a sin x + b cos x + c : 圖形以 為週期,振幅為 a2+ b2 的波狀圖形。

f (x) = a sin x + b cos x + c

= √

a2+ b2( a

a2+b2sin x + b

a2+b2 cos x) + c

= √

a2+ b2(cos θ sin x + sin θ cos x) + c;其中cos θ = a

a2+b2, sin θ = b a2+b2

= √

a2+ b2sin(θ + x) + c 故a2+ b2+ c ≤ f (x) ≤√

a2+ b2+ c

π 4

π 2

4 π

4

2

4 4

−1−√ 2 1

√2 y sin(x)

cos(x) sin(x) + cos(x)

正弦函數sin x與餘弦函數cos x的疊合的意義:

1. 將正弦、餘弦函數(週期皆為2π,振幅皆為1)經由和角公式,化為單一個正弦函數a2+ b2sin(θ+

x) + c, 其週期仍為2π ,振幅為 a2+ b2

2. 將正弦、餘弦函數圖形疊合,圖形位移,振幅放大為a2+ b2

3. 描述兩個週期相同的波重疊之效應, 形成相同週期的波, 強度增大, 此即為物理上的共振現象 (聲 波、 水波、 電波等)

三角函數的柯西不等式:

(a2+ b2)(sin2x + cos2x) ≥ (a sin x + b cos x)2a2+ b2≥ (a sin x + b cos x)2 ⇒ −√

a2+ b2 ≤ a sin x + b cos x ≤√ a2+ b2 三角函數解題要訣:

1. 角度要一致(利用倍角,半角,和角公式簡化成一致角)

2. 三角函數要愈少(餘角關係,平方關係,倒數關係化簡成sin x或 cos x ) 3. 三角函數的次數要愈低 (倍角公式,高次以低次倍角三角函數代換) 三角函數的極值:

1. 可化為一元二次型: f (θ) = a cos2θ + b sin θ + c sin2θ ⇒二次函數的極值 2. 可化為二元一次型: f (θ) = a sin θ + b cos θ + c ⇒正餘弦函數的疊合 3. 參數式型: f (θ) = k(sin θ + cos θ) + l sin θ cos θ + m

可令 sin θ + cos θ = t, sin θ cos θ = −(1 − t2 2) 其中 2 ≤ t ≤2

⇒ f (θ) = g(t) = (t2− 1

2 )l + kt + m, −√

2 ≤ t ≤√

2,轉化為二次函數的極值問題

圓與橢圓的參數式:C : x2+ y2= r2 ,圓周上點的參數式為

( x = r cos θ

y = r sin θ , 0 ≤ θ < 2π

1. 圓 C : (x − h)2 + (y − k)2 = r2 , 圓周上點的參數式為 x = h + r cos θ

y = k + r sin θ , 0 ≤ θ < 2π y

O θ x r

P (r cos θ, r sin θ)

2. 橢圓的標準式: (x − h)2

a2 +(y − k)2

b2 = 1 ,(a > b > 0, a2 = b2+ c2) 橢圓的參數式:

( x = h + a cos θ

y = k + b sin θ , 0 ≤ θ < 2π ;此時變動角θ 非橢圓上點P與中心點O的 水平夾角。

y

Oθ x

P2(b cos θ, b sin θ)

P1(a cos θ, a sin θ) P (a cos θ, b sin θ)

3. 橢圓: (x − h)2

a2 +(y − k)2

b2 = 1 是圓C : (x − h)2+ (y − k)2= a2x 軸方向(左右) 不變,y軸 方向 (上下) 伸縮成b 的伸縮變化。

若橢圓上一點P (a cos θ, b sin θ)則 OP 與水平軸夾角α ⇒ tan α = b atan θ 橢圓內接正方形面積為 4a2b2

a2+ b2 ; 內接矩形最大面積為 2ab ,其周長為4√ a2+ b2 簡諧運動: 當某物體進行簡諧運動時,物體所受的力跟位移成正比,且所受的力總是指向平衡位置。

例如: 質點等速率圓周運動對於某定直徑的投影運動軌跡。 fx(t) = A cos(ωt + θ) , 其中每秒的速率為 ω 為角速率”,ωt + θ為此函數(運動)的相位”,運動的起點t = 0的方向角θ為此函數(運動)的相 位角” ,此函數 (運動)的週期 T =

ω

例題

範例 1: 關於函數 y = f (x) = 12(sin x + cos x)的圖形, 問此函數的週期T=? 振幅 A=? 對稱軸有幾條?

(解:)T = 2π, A = 22 ,對稱軸x = nπ + π4, n ∈ Z

演練 1a : 求函數 y = 3 sin x + 4 cos x 在0 ≤ x ≤ 2π 條件下的最大值與最小值,並求作其函數圖形?

(解:)

π 4

π 2

4

π

4

2

4

4

−5

−3

−1 1 3 5 y

;M=5,m=-5

演練 1b : 若 f (x) = 3 sin x + 4 cos x 可化為 f (x) = A sin(x + θ), 其中 A > 0, 0 ≤ θ < 2π , 求 A 值及

cos θ 值? A = 5;

3 5

演練 1c : 若 f (x) = 3 cos x − 2 sin x可化為 f (x) =13 cos(x + θ),求 tan θ?

2 3

演練 1d : 若 f (x) = 8 cos x + 15 sin x可化為 f (x) = r cos(x + α) = r(sin x + β),其中 r > 0,tan α及 cos(α − β) 值?並求 α, β 的關係?

−158 ;0;β ≡ α +π2

演練 1e : 若已知函數f (θ) = R sin(2θ + b) 在θ =

3 時有最大值為3,求常數 R, b? R = 3,b = −π6 三角函數正餘弦的疊合, 化為二元一次型: f (θ) = a cos θ + b sin θ + c 極值問題

範例 2: 求函數 f (x) =3 cos x − sin x + 1 的最大值與最小值,以及極值發生時的x? (解:)x = −π

6 , max = 3;x = 6 , min = −1 已知函數 f (x) =3 cos(x + π

3) + sin x ,求

1. 在0 ≤ x ≤ π,函數 f (x)的最大值與最小值,以及極值發生時的x 值? (解:)x = 0, max = 23;x = 6 , min = −1

2. 在π ≤ x ≤ 2π,函數f (x) 的最大值與最小值,以及極值發生時的x? (解:)x = 11π

6 , max = 1;x = π, min = −23 演練 2a : 求函數 y = sin x −√

3 cos x + 3 在下列條件下的最大值與最小值,並求其對應的x值? 1. 0 ≤ x < 2π

(解:)x =

6 , M = 5; x = 11π6 , m = 1 2. 0 ≤ x ≤ π

(解:)x =

6 , M = 5; x = 0, m = 3 −√ 3 演練 2b : 分別求下列函數的振幅及最大、 最小值為何?

1. f (x) = 3 sin πx − 4 cos πx A = 5,M = 5,m = −5

2. f (x) = −5 sin 2x + 12 cos 2x A = 13,M = 13,m = −13

A = 2√

2,M = 2√

2,m = −2√

演練 2c : 下列方程式在0 ≤ θ < 2π 範圍內有幾組解?

1. 2 sin θ − 3 cos θ = −2 2

2. 2 sin θ − 3 cos θ = √

13 1

3. 2 sin θ − 3 cos θ = 4 無解

4. 2 sin θ − 3 cos θ = 0.001 2

範例 3: 解三角方程式sin x − cos x = 1,其中 0 ≤ x ≤ 2π

π 2, π

演練 3a : 若y = cos 2x−sin(2x−π

6) = r sin(2x+b) ,其中r > 0, 0 ≤ b ≤ 2π ,求r, b? r =

√3;b = 3

演練 3b : 解三角方程式sin x +√

3 cos x =√

3,其中0 ≤ x ≤ π

π 2

演練 3c : 解三角方程式sin x + cos x = 1, 0 ≤ x < 2π

π 2, 0 演練 3d : 解三角方程式cos x + cos(x − π

3) =√

3,其中 0 ≤ x < 2π

π 6

三角函數倍角公式化為二元一次型: f (θ) = a cos 2θ + b sin 2θ + c極值問題

範例 4: 求函數 f (θ) = 5 cos2θ + 3 sin θ cos θ + sin2θ 之最大值與最小值? M = 112,m = 12 演練 4a : 求函數 f (x) = 2 sin x(sin x + cos x)之最大值與最小正週期? M = 1 +√

2;T = π

演練 4b : 求函數 f (x) = 3 cos2x + 2 sin x cos x + sin2x之最小值?此時 x為何? 2x ≡

8 ;m = 2 −√ 2

演練 4c : 求函數 f (θ) = cos2θ +√

3 sin θ cos θ + 1之最大值與最小值?

3 2 ± 1

演練 4d : 求函數 f (x) = sin(x −π

6) + sin(x +π

3)之最大值與最小值? ±√ 2

三角函數化為二次型: f (θ) = a cos2θ+ b cos θ + c 或 f(θ) = a sin2θ+ b sin θ + c極值問題

範例 5: 求f (θ) = 4 cos2θ − 6 sin θ + sin2θ − 2 之最小值為? -7

演練 5a : 求函數 f (x) = 3 + 6 sin x − 5 cos 2x之最大值與最小值? sin x = 1, M = 14;sin x = −103 , m = −2910

演練 5b : 求函數 f (x) = 3 + 6 cos x − 5 cos 2x之最大值與最小值? cos x = 103, M = 8910;cos x = −1, m = −8

演練 5c : 求函數 f (x) = cos2x +√

3 sin x + 1 之最大值與最小值? M = 94;m = 5−243 演練 5d : 求函數 f (x) = sin x + cos x + sin x cos x之最大值?

1 2 +√

2

演練 5e : 求函數 f (x) = 1

sin2x + 4

cos2x 之最小值? 柯西不等式;9

範例 6: 求橢圓 x

2

9 + y2

4 = 1 上一點 P 與直線 L : x + 2y + 15 = 0 的最短距離? 此時 P 點坐標為何? 2√

5;P (−95, −85)

演練 6a : 若 x, y為實數,且已知 x2+ y2= 4

1. 求x−y的最大值及最小值為多少?(柯西不等式、 參數式、 幾何意義d(O, L)±r) M = 2

√2,m = −2√ 2

2. 求 xy 的最大值及最小值為多少?(算幾不等式、 參數式) M = 2, m = −2

3. 求 2x2+ xy + y2 的最大值及最小值為多少? (參數式) 6 ± 2

√2

4. 求 3x − 4y的最大值及最小值為多少? M = 10, m = −10

5. 求 x − y + xy 的最大值及最小值為多少?(參數式) M =

5

2, m = −2 − 2√ 2 演練 6b : 求圓 x2 + y2 = 4 上一點 P 與直線 L : x + 2y + 15 = 0 的最短距離? 此時 P 點坐標為何?

3√

5 − 2;P (−25, −45)

演練 6c : 求圓 C : x2+ y2 = 1 上一點 P 與直線 L : x − y + 2√

2 = 0 有最短距離多少? 並求此時 p 點坐

? d = 1;P (−

2 2 ,22) 演練 6d : 已知橢圓 x

2

9 +y2

4 = 2 與直線 L : 2x + 3y = 12 相切,求切點坐標? (3, 2) 演練 6e : 求橢圓 x

2

9 +y2

4 = 1 之內接矩形的最大面積? 12

演練 6f : 橢圓 x

2

9 +y2

4 = 1上點 P 與點A(2, 0) 的距離為最小,P 點坐標與最短距離? P (95,85);l = 4 5

演練 6g : 一架飛機飛航路徑為雙曲線,若飛航路線用方程式2y2− x2 = 8表示,城市坐標為(3, 0) ,求此飛機

與城市的最近距離為多少哩?

√7;x = 2

y Miles

x 3 mi

(x, y)

習題I:2-2 三角函數的應用 1. f (θ) = sin θ +√

3 cos θ , 為最大值時, θ =?

2. 下圖是函數y = a sin x + b cos x 圖形的一部份,求此函數的週期及 a, b? 3. 求 f (x) = 3 sin(x +π

3) − 2 cos(x + π

6) 在 0 ≤ x ≤ 2π 的最大值與最小值? 4. 求 f (x) = sin(x +π6) + cos(x −π3) 在0 ≤ x ≤ 2π 的最大值與最小值? 5. 設 α, β 均為銳角,且滿足 α + β = π3 ,試求 cos α + cos β 的最大值?

2 Π

12. 3/4, 0 13. x = 0,π

2 14. x = π

2,7π 6

15. 213 16. 4π

3 17. √

2 − 1

18. max=6√

2;min=√ 2 19. 12

20. A = 3 + 3√

2; P (3√ 2 2 ,√

2)

在文檔中 5A2C trigonometry 2 A (頁 22-28)

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