為多少?
7. 設 f (x) = x4 − 2x3 − x2 + 5x + 3 , 試求 f′(x) 及 f′(1) ? 8. 求 f (x) = (x3− x + 1)(2x2− x + 1) 的導函數
9. 若函數 f (x) = (x − 1)10(2x − 5)30, 求 f′(2) =?
10. 求 f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)
(x − 4) , 在 x = 1 的導數值 f′(1) =?
11. 若函數 f (x) 在 x = a 的導數 f′(a) = 4 , 求 lim
h→0
f (a + 3h) − f(a − 2h)
h 的
值?
12. 已知 P (1, 3) 為函數 f (x) = −x3+ 4x 圖形上一點, 且直線L為函數 f (x) 以P 點 為切點的切線, 求直線 L 與 f (x) 圖形的所有交點坐標?
13. 一質點 P 在直線上運動, 其位移 S 公尺與時間 t 秒的關係式為 S(t) = t3−t2+ 1 , 求
(a) 質點 P 在 t = 2 至 t = 4 之間的平均速度?
(b) 質點 P 在 t = 2 之間的瞬時速度? 及加速度?
(c) 質點 P 在出發後幾秒的瞬時速度為最小?
14. 求曲線 xy + x − y = 0 在點 P (2, −2) 的切線方程式?
15. 設 P (x) 為一三次多項式, 且滿足 P (−1) = 2, P′(−1) = 4, P′′(−1) = 6, P′′′(−1) =
−12 , 求 P (1) 的值?
16. 設 y = √3
1 + x2 , 求 y′
17. 設 f (x) 為可微分函數, 且已知 f (2) = 3, f′(2) = 5 及 f′(3) = 7 , 回答下列問 題:
(a) 求 [f (x)]2 在 x = 2 的導數值?
(b) 求 f (f (x)) 在 x = 2 的導數值?
(c) 求 x
f (x) 在 x = 2 的導數值?
(d) 求 g(x) = x7 − 8x2 + 35x − 40 在 x = 0 的切線方程式?
2.2
函數性質的判斷
函數的單調性: 遞增函數與遞減函數
若函數 f (x)在區間 [a, b] 內, 若 x1 < x2 時, 恆有 f (x1) ≤ f(x2) 則稱函數 f (x) 為遞增函數。 (若恆有 f (x1) < f (x2) 則稱嚴格遞增函數)
若函數 f (x)在區間 [a, b] 內, 若 x1 < x2 時, 恆有 f (x1) ≥ f(x2) 則稱函數 f (x) 為遞減函數。 (若恆有 f (x1) > f (x2) 則稱嚴格遞減函數)
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 · 遞增函數(遞減函數) 的導函數判別: 設函數 f (x) 在 [a, b] 連續, 在 (a, b) 可微分
1. 若 f′(x) > 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則f(x)在[a, b] 是嚴格遞增函數。
2. 若 f′(x) < 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則f(x)在[a, b] 是嚴格遞減函數。
註:f′(x)為恆正或恆負是可微分函數f (x)單調的充分條件 (非必要條件)。
注意: 函數的單調性是一個區間上的性質, 要用導數在這一個區間上的正負符號來 判定, 而不是單一點處的導數符號來判別一個區間上的單調性。
A. 函數f (x)在其單調區間內, 除了f′(x) > 0外, 可能包含孤立點 (必連續) 或有 限個 f′(x) = 0 的點。
B. 導數為零的點和不可導點, 可能是單調區間的分界點。
C. 劃分函數的單調區間: 先考慮方程式 f′(x) = 0 的根及f′(x) 不存在的點來劃 分函數定義區間 (單調區間分界點), 然後再判斷區間內導數的正負符號。 若 分界點 f′(x) = 0 的點及f′(x) 不存在的點是函數定義區間內, 為連續點則 屬於單調區間。
多項式函數單調性的判別: 若多項式函數f (x)在區間[a, b]為連續, 在(a, b)內均可微, 滿 足 f′(x) ≥ 0, 則 f(x) 在 [a, b] 是嚴格遞增函數。
多項式函數一般在定義域的區間 [a, b] 內, 滿足 f′(x) = 0 的點必為定義域內的 連續點, 故屬於單調區間。 多項式函數在 [a, b] 區間內無孤立點。
例: f (x) = x3 為單調遞增函數, f′(x) = 2x2 > 0 的區間為(−∞, 0), (0, ∞), 但在 x = 0 時,f′(0) = 0 為連續點, 故f (x) 在區間(−∞, ∞)為單調。
例: f (x) = x −sin x 為單調遞增函數, 但在 x = 2nπ, n ∈ Z 時,f′(0) = 0 使得 f′(x) = 1 − cos x > 0 不恆成立, 但均為連續點。 故f(x) 在區間(−∞, ∞)為 單調。
例: f (x) = −1x 的單調遞增區間為 (−∞, 0), (0, ∞)。 因 f(x) 在 x = 0 為不連 續點。
均值定理: 若函數f (x)在區間 [a, b] 為連續, 且在區間 (a, b) 可微分, 則存在 c ∈ (a, b) 使得 f′(c) = f (b) − f(a)
b − a
幾何意義: 連結 A(a, f (a)), B(b, f (b)) 的函數圖形上, 至少有一點 C(c, f (c)) 的切線平行於 ←→
AB 例: f (x) = 1
x 在閉區間 [−1, 2] 上不連續, 不存在 f′(c) = −1
c2 = f (2)−f(−1) 2−(−1) = 1
2 。 例: f (x) =
1 − x, 當0 ≤ x ≤ 1
x − 1, 當1 < x ≤ 3 , 在區間[1, 3] 上連續, 但在x = 1 為不可 導, 不存在 f′(c) = f (3)−f(0)3−0
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a
B
b A
C
-2 -1 0 1 2
-6 -4 -2 0 2 4 6
圖2-2: 均值定理的意義: 在連續區間[a, b],可微分區間(a, b)內,至少存在一點c的切線斜率等於AB的 斜率
例: f (x) =
x2, 當 − 2 ≤ x < 1
3 − x, 當1 ≤ x ≤ 2 , 在區間[−2, 2]內 , 在x = 1 處為不連 續不可導, 但存在 c = −38 , f′(c) = −34 = f (2)−f(−2)
2−(−2)
函數圖形的凹向的判別:
圖形凹口向下 (自行車手把偏右側前進): 切線的斜率逐漸變小 (曲線上愈往右邊 的點導數值愈小, 即 f′(x)為嚴格遞減函數)。
圖形凹口向上 (自行車手把偏左側前進): 切線的斜率逐漸變大 (曲線上愈往右邊 的點導數值愈大, 即 f′(x)為嚴格遞增函數)。
設函數 f (x) 在區間 I = (a, b) 可微分,f′′(x) 是 f′(x) 的導函數, 則
1. 若 f′′(x) > 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則 f′(x) 在區間 (a, b) 是遞增函 數。 表示 f (x) 的圖形凹口方向向上。 (此時切線在圖形下方)
2. 若 f′′(x) < 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則 f′(x) 在區間 (a, b) 是遞減函 數。 表示 f (x) 的圖形凹口方向向下。 (此時切線在圖形上方)
凹口向上,切線在圖形下方
凹口向下,切線在圖形上方
遞增、 凹口向下
f′(x) > 0, f′′(x) < 0
遞增、 凹口向上
f′(x) > 0, f′′(x) > 0
遞減、 凹口向下
f′(x) < 0, f′′(x) < 0
遞減、 凹口向上
f′(x) < 0, f′′(x) > 0
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 · 多項式函數圖形的凹向的判別: 若 f (x) 為二次以上的多項式函數
1. 若 f′′(x) ≥ 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則 f′(x) 在區間 (a, b) 是遞增函 數。 表示 f (x) 的圖形凹口方向向上。
2. 若 f′′(x) ≤ 0 對所有 x ∈ (a, b) 均成立, 則 f′(x) 在區間 (a, b) 是遞減函 數。 表示 f (x) 的圖形凹口方向向下。
反曲點: 若點 (a, f (a)) 為函數 f (x) 的一個反曲點, 則 f′′(a) = 0 或不存在。 (其逆不 真)
若函數 f (x) 在 x = a 點附近的圖形中, x < a 時與 x > a時的圖形, 凹向的方 向相反, 則點 (a, f (a)) 稱為函數 f (x) 圖形的一個反曲點。
例: f (x) = x4, f′′(0) = 0, 但點 (0, 0) 並不是 f (x) 圖形的反曲點。
例: f (x) = (x − 2)53, 則 f′(x) = 53(x − 2)23, f′′(x) = 109 (x − 2)−13,f′(2) = 0, f′′(2) 不存在, 在 (−∞, 2), f′′(x) < 0, 在 (2, ∞), f′′(x) > 0, 點 (2, 0) 是函數 f (x) 的反曲點。
例: f (x) =
x2, 當0 < x ≤ 1
x3, 當1 < x < +∞ ,f′′(1) 不存在, 由於在 x = 1 的左右兩側 恆有 f′′(x) > 0, 函數的凹凸性不變, 點 (1, 1) 不是反曲點。
−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5
−1 1 2
f′′(x) = 0 是否就是反曲點?
f (x) = x3 g(x) = x2 h(x) = x4
1 2 3 4
−4
−2 2
f′′(x) 不存在, 可能是反曲點
f (x) = (x − 2)53 −2 −1 1
0.5 1 1.5 2 2.5
f′′(x) 不存在, 但不是反曲點
f (x) = x2 f (x) = x3
函數的相對極大值與相對極小值:
對函數 f : D → R , 若存在區間 (a, b) ⊂ D , 使 c ∈ (a, b) 對所有 x ∈ (a, b) 1. 若滿足 f (x) ≤ f(c) , 則稱 f(c) 是函數 f 的相對極大值 (local maximum)。
2. 若滿足 f (x) ≥ f(c) , 則稱 f(c) 是函數 f 的相對極小值 (local minimum)。
最大最小值: 函數f(x) 為定義在 [a, b] 的函數, 滿足所有 x ∈ D, f(x) ≤ f(d) 則 x = d 有最大值 f (d)。
函數 f(x) 不一定有最大 (小) 值, 若有則最多只有一個最大 (小) 值。
最大值、 最小值一定發生在極值位置。 但極值未必就是最大或最小值。
臨界點: 函數 f (x) 在定義域中, 使 f′(x) = 0 的點或不可微分的點稱為臨界點。
多項式函數的臨界點就是 f′(x) = 0 的點。
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 · 三次函數圖形的凹向: 三次函數 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , 其中 a, b, c, d 均為實
數,a 6= 0
1. 當 a > 0 ;
( 若x > − b3a , 則f′′(x) > 0, 即函數圖形凹向上 若x < − b3a , 則f′′(x) < 0, 即函數圖形凹向下 2. 當 a < 0 ;
( 若x > − b3a , 則f′′(x) < 0, 即函數圖形凹向下 若x < − b3a , 則f′′(x) > 0, 即函數圖形凹向上 三次函數 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 圖形判斷係數正負:
1.
( 當a > 0, lim
x→∞f (x) = ∞ 當a < 0, lim
x→∞f (x) = −∞
2. 由反曲點 x = −b3a 位置決定 b 正負。
3. f′(0) = c : 由 x = 0 點的切線斜率決定 c 正負。
4. f (0) = d : 圖形交 y 軸於 (0, d) 決定 d 正負。
三次函數 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 的大略圖形:
f′(x) = 3ax2+ 2bx + c, f′′(x) = 6ax + 2b
1. f′(x) = 0 沒有實根: D = (2b)2− 4 · 3a · c = 4(b2 − 3ac) < 0
當a > 0且b2 − 3ac < 0時 , f′(x) > 0恆成立, 函數f (x)是遞增函數 當a < 0且b2 − 3ac < 0時 , f′(x) < 0恆成立, 函數f (x)是遞減函數
f (x) 零點 臨界點 反曲點
g(x) 零點 臨界點 反曲點
圖1-A:a > 0, f′(x) > 0 圖1-B:a < 0, f′(x) < 0
圖 2-2: f′(x) = 0 沒有實根且以反曲點 (α, f (α))為切點的切線斜率恆正或恆負
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2. f′(x) = 0 只有一實根 (重根 α): 此時 f′(α) = f′′(α) = 0, f′′′(α) = 6a 6= 0 D = b2 − 3ac = 0, α = − b3a 也是反曲點的 x 坐標; f′(x) 是恆正或恆負。
當a > 0且x 6= α時 , f′(x) = a(x − α)2 > 0
函數f (x)在區間(−∞, α], [α, ∞)是遞增函數 當a < 0且x 6= α時 , f′(x) = a(x − α)2 < 0
函數f (x)在區間(−∞, α], [α, ∞)是遞減函數
f (x) 零點 臨界點 反曲點
g(x) 零點 臨界點 反曲點
圖2-A:a > 0, 且x 6= α 時, f′ > 0 圖2-B:a < 0 , 且x 6= α 時, f′ < 0 圖2-2: f′(x) = 0 只有一實根且以反曲點 (α, f (α)為切點的切線為水平線 (斜率為0)
3. f′(x) = 0 有兩相異實根 α, β : f′(x) = 3ax2+2bx+c = 3a(x−α)(x−β) 設 α < β, 以 α + β
2 , f (α + β
2 ) = (−b3a, f (−b3a)) 為反曲點 。 且 f′′(α) = 3a(α − β); f′′(β) = 3a(β − α)
當a > 0, f′′(α) < 0且f′′(β) > 0時 , f′′(α)是極大值, f′′(β)是極小值 當a < 0, f′′(α) > 0且f′′(β) < 0時 , f′′(α)是極小值, f′′(β)是極大值
x = α
x = β
x1 x2
f (x) 零點 臨界點 反曲點
x1x = α x2 x3
x = β f (x) 零點 臨界點 反曲點
圖3-A:a > 0, f′′(α) < 0, f′′(β) > 0 圖3-B:a < 0, f′′(α) > 0, f′′(β) < 0 圖 2-2: f′(x) = 0有兩異實根且在x = α, β時,f (x)有極值, 並以α + β
2 , f (α + β 2 )
為反曲點
多項方程式的重根: 若 α 是 f (x) = 0 的 m 重根 ⇔
f (α) = f′(α) = f′′(α) = · · · = f(m−1)(α) = 0, f(m)(α) 6= 0
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 · 表 2-2: 三次函數 f (x) = ax3+ bx2 + cx + d圖形分類: D = b2− 3ac
f′(x) = 0 無實根D < 0 二重根D = 0 兩相異臨界點D > 0
a > 0
a < 0
三次多項式方程式的實根個數: 根據三次函數 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a > 0 的 大略圖形, 與 x 軸的交點個數判斷 f (x) = 0 的實根個數。
設 f′(x) = 3ax2 + 2bx + c, D = b2 − 3ac
1. 若 D > 0, f 有兩相異臨界值 (極值)α, β 且設 α < β (a) f (α)f (β) < 0 ⇔ f(x) = 0 有三個相異實根。
(b) f (α)f (β) = 0 ⇔ f(x) = 0 有一個二重根及另一個實根。
(c) f (α)f (β) > 0 ⇔ f(x) = 0 有一個實根及兩個虛根。
x1 x2 x3
x = α
x = β
f (x) 零點 臨界點 反曲點
x1 x = α x2
x = β
f (x) 零點 臨界點 反曲點
x1
x = α x = β f (x)
零點 臨界點 反曲點
圖A:D > 0, f (α)f (β) < 0 圖B:D > 0, f (α)f (β) = 0 圖C:D > 0, f (α)f (β) > 0 圖 2-2: D > 0, f (x) 有兩相異臨界值
2. 若 D < 0, f (x) = 0 有一個實根及兩個虛根。
x1
x = −b 3a
f (x) 零點 臨界點 反曲點
3. 若 D = 0, f (x) 有一臨界值x = α = β (a) f (α) = 0 ⇔ f(x) = 0 有三重根 α 。
(b) f (α) 6= 0 ⇔ f(x) = 0 有一個實根及兩個虛根。
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x1
x = −b f (x) 3a
零點 臨界點 反曲點
x1
x = α x = −b f (x) 3a
零點 臨界點 反曲點
圖A:D = 0, f (α) = f′(α) = f′′(α) = 0 圖B:D = 0, f′(α) = f′′(α) = 0, f (α) 6= 0 圖 2-2: D = 0, f (x)有一臨界值
費馬定理: 函數f (x)為定義在[a, b]的函數,c ∈ (a, b), 在 c 處有極大值或極小值, 若f(x)在 x = c 可微分, 則 f′(c) = 0 。
f (x) 在 x = c 有極值 ⇒ f′(c) = 0 或 f′(c) 不存在。
函數 f (x) 極大值、 極小值判定法:
函數f (x)為定義在[a, b]的函數,c ∈ (a, b), x = c 點可微分
若 f′(c) = 0 且 f′(x) 在 x = c 點兩端異號 ⇒ f(c) 為極大值或極小值。
1. x = c 有極大值 f (c) : 即 f(x) 在 x = c 左端為遞增、 右端為遞減。 一階導數判別法: f′(c) = 0 且 f′(c−) > 0, f′(c+) < 0
二階導數判別法: f′(c) = 0 且 f′′(c) < 0
2. x = c 有極小值 f (c) : 即 f(x) 在 c 左端為遞減、 右端為遞增。 一階導數判別法: f′(c) = 0 且 f′(c−) < 0, f′(c+) > 0;
二階導數判別法: f′(c) = 0 且 f′′(c) > 0
3. 若 f′(c) = f′′(c) = 0 則須進一步判定: 若 f′(c) = f(2)(c) = · · · = f(n−1)(c) = 0, f(n)(c) 6= 0 則當 n 為偶數時,f(c) 為 f(x) 的極值且當 f(n)(c) < 0 為極大值,f(n)(c) > 0 為極小值。 n 為奇數時,f (c) 不為 f (x) 的極值。
函數 f (x) 反曲點 (c, f (c)) 判定法: (與極值判定法具有相似性) 函數f (x)為定義在[a, b]的函數,c ∈ (a, b), x = c 點可微分
若 f′′(c) = 0 且 f′′(x) 在 x = c 點兩端凹口方向相反 (二階導數值異號) ⇒ x = c 為 f(x) 的反曲點。
1. 二階導數判定法: f′′(c) = 0 且 f′′(c−)f′′(c+) < 0 2. 三階導數判定法: f′′(c) = 0 且 f′′′(c) 6= 0
3. 若 f′′(c) = f′′′(c) = 0 則須進一步判定: 若 f′′(c) = f(3)(c) = · · · = f(n−1)(c) = 0, f(n)(c) 6= 0 則當 n 為奇數時, (c, f(c)) 為 f(x) 的反曲點。n 為偶數時, (c, f (c)) 不為 f (x) 的反曲點。
Note: f (x) 在 x = c 有反曲點 ⇒ f′′(c) = 0 或 f′′(c) 不存在。
Ex: f (x) = x5, (0, 0) 為其反曲點但 f′′(0) 不存在。
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−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5 6
x y
圖 2-2: 函數中不可微分或導數值為0的臨界點可能有極值
極值的臨界點求法: 函數f (x)為定義在 [a, b] 的實函數, 則極值可能發生在 f′(x) = 0 的點、 不可微分的點或定義域的端點。
1. f′(x) = 0 的實根位置 (可微函數 f (x) 的臨界值):(但 f (x) 的臨界值未必會 有極值)
若 c ∈ (a, b) ,f(x) 在 x = c 可微分, 當 f′(c) = 0 (f (x) 的臨界值) 且當 f′(x) 在 x = c 點兩端異號則在 x = c 處才有極大值或極小值。
2. 函數 f (x) 中的不可微分的點 (尖點): 例: f (x) = |x − 2| − 2|x + 1| 在 x = −1 有極大值 f(−1) = 3
3. 函數定義域閉區間的端點:
閉區間的左端點a, f (x)在a右邊附近為遞減 (遞增), 則在a有極大值 (極小值)。
閉區間的右端點b,f (x)在b左邊附近為遞增 (遞減), 則在b有極大值 (極小值)。
註: 臨界點: 函數 f (x) 中 f′(x) = 0 或不可微分的點稱為臨界點, 臨界點的函數 值稱為其臨界值。
若 f′(c) = f′′(c) = f(3)(c) = · · · = f(n−1)(c) = 0, f(n)(c) 6= 0 時:
1. 若 f (c) = 0 則 x = c 為方程式 f (x) = 0 的n重根。
2. 若 n 為偶數, 則 f (x) 在 x = c 時有極值。 Ex:f (x) = x4, x = 0 有極小值。
3. 若 n 為奇數, 則 f (x) 在 x = c 時為反曲點。 Ex: f (x) = x3, (0, 0) 為反曲 點。
最佳化問題: 了解題意 → 定出變數, 整理出限制條件 (定出函數 f(x)) → 極值的一 階、 二階判定法 → 求出函數 f(x) 的最大值或最小值 。
例題演練
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 · 例題1 討論函數 f (x) = x4 + 4x3 + 5 在哪些區間為遞增函數?
x區間 −3 0
f′(x) − 0 + 0 +
遞增遞減 遞減 連續點 遞增 連續點 遞增
(0, f (0)
(−3, f (−3) Ans:[−3, ∞)
例題2 設函數 f (x) = x3 + ax2 + ax + 2 在實數 R 上為遞增函數, 求 a 值的範圍?
[Ans:0 ≤ a ≤ 3]
例題3 討論函數 f (x) = x3 − 6x2 + 8 的圖形增減情形及凹口方向? [Ans:
x 區間 0 2 4
f′(x) + 0 − − − 0 +
遞增遞減 遞增 遞減 遞減 遞減 遞增
f′′(x) − − − 0 + + +
凹向 向下 向下 向下 向上 向上 向上
f (x) 8 −8 −24
−2 2 4 6 8
−20
−10 10
例題4 四次函數 f (x) = ax4+bx3+cx2+dx+e 圖形的反曲點是 P (0, 0) 與 Q(2, −16) 且 f′(0) = 0 , 求 f (x)
[Ans:x4 − 4x3]
例題5 函數 f (x) = x4+ ax3+ bx2+ cx + d 的圖形有兩個反曲點 P (0, 4), Q(1, −3) , 求 a, b, c, d 的值? [Ans:f (x) = x4 − 2x3− 6x + 4
例題6 有一三次函數 f (x) , 其函數圖形的反曲點在 (1, 4) , 且 x = 1 也是一個臨界值, 又 f (2) = −3, 求函數 f(x) ? [Ans:f(x) = −7x3 + 21x2 − 21x + 11]
例題7 描繪三次函數 f (x) = x3 − 3x + 4 的圖形? [Ans:
x 區間 −1 0 1
f′(x) + 0 − − − 0 +
遞增遞減 遞增 遞減 遞減 遞減 遞增
f′′(x) − − − 0 + + +
凹向 向下 向下 向下 向上 向上 向上
f (x) 6 4 2
−3 −2 −1 1 2 3
−10
−5 5 10
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 · 例題8 求方程式 x3 + 6x2 + 9x + 3 = 0 的實數解個數? [Ans:f (−1)f(−3) < 0 方程
是有三相異實數根]
−6 −4 −2 2
−5 5 10
x1 x2 x3
例題9 已知函數 f (x) 及其導函數 g(x) = f′(x) 的部分圖形:
−1 1 2
f (x) f′(x)
(a) 在哪些區間 f′(x) < 0 x < 0, x > 2 (b) 在哪些區間 f′′(x) > 0 x < 1
例題10 就實數 a 的範圍, 討論方程式 x3 + 3x2 + a = 0 的實數解個數? Ans:
(a) a > 0 , 只有一實根。
(b) a = 0 , 有一個二重根及另一個實根。
(c) −4 < 0 , 有三個相異實根。
(d) a = −4 , 有一個二重根及另一個實根。
(e) a < −40 , 只有一實根。
例題11 求函數 f (x) = x3+3x2+3x−1 的極值? [Ans:f(x) 沒有極值]
例題12 求多項式函數 f (x) = x4 − 4x3 − 8x2 + 30 的極值?
[Ans: f (0) = 30 極大值, f (−1) = 27, f(4) = −98 為極小值 ] 例題13 求函數 f (x) = −x3 + 12x 在區間 [−4, 3] 的最大值與最小值?
[Ans: x = 2, −4有 max = 16 ;x = −2 有 min = −16]
例題14 一正圓柱內接於底半徑為10公分, 高為20公分的直圓錐面, 求這個正圓柱的最大 體積? [Ans: V (r) = πr2(20 − 2r) ,max V = 8000π27 立方公分
例題15 坐標平面上, 求拋物線 y = 12x2 上一點 P , 使點 P 到點 Q(4, 1) 的距離為最短?
P (2, 2), P Q = √ 5
例題16 用一塊寬3公尺, 長8公尺的白鐵版, 先在四個角截去大小相同的正方形, 然後摺起 四邊焊接起來, 形成一個無蓋的長方體蓄水箱, 試問在各角截去的正方形邊長應為 多少, 才能使水箱的容積為最大 (不計鐵片厚度), 又其最大容積為多少?
[ Ans: V (x) = x(8−2x)(3−2x), 0 ≤ x ≤ 3 , 當 x = 2 時,max V (x) = 200cm3
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 · 例題17 求拋物線 y = x2上與點 P (3, 0) 距離最近點坐標及最近距離? [ Ans: P (1, 1),√
5 ]
習題2-2 函數性質的判斷
1. 討論函數 f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 的遞增與遞減的所在區間?
2. 討論函數 f (x) = x4 − 4x3 − 2x2+ 12x + 1 的遞增與遞減的區間?
3. 討論函數 f (x) = x + 1x 遞增與遞減的所在區間?
4. 利用導數方法描繪函數 f (x) = 2x3 − 6x − 1 的圖形
5. 利用函數 f (x) = x5 的圖形, 比較兩數 a = 19995 + 20075
2 與 b = 20035 的大 小關係?
6. 求函數 f (x) = x3 + 3x2 + x − 7 圖形的反曲點?
7. 若函數 f (x) = ax3 + bx2 + 1 圖形的反曲點為 (−1, 2) , 求此函數? item 函數 f (x) 是可微分函數, 且函數圖形為凹口向上, 若已知 f (3.99) = 251.1, f (4) = 251 求
(a) f (x) 在區間 [3.99, 4] 的平均變化率為何?
(b) f (x) 在區間 [3.99, 4] 的平均變化率與 f′(4) 值哪一個比較大? 為什麼?
(c) 若 f (5) = 245, f′(5) = −2 試利用x = 5的切線 (線性) 估計 f(5.001) 值, 並說明此估計值比實際值大或小?
8. 已知多項式函數 f (x) 均可微且其導函數 g(x) = f′(x) 的部分圖形如下:
−1 1 2f′(x)
(a) 函數 f (x) 在哪些區間為遞減函數?
(b) 函數 f (x) 在哪區間的圖形為凹口向上?
(c) 函數 f (x) 的臨界點 (極值點) 發生在哪一點?
(d) 函數 f (x) 的最大值發生在哪一點?
(e) 函數 f (x) 圖形的反曲點 x =?
9. 已知多項式函數 f (x) 在定義域 {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 4} 的圖形如下: 選出 正確的選項?(1) f (0) = 10
3 (2)f (x) 的值域為 {y ∈ R|83 ≤ y ≤ 263 } (3) 在定義域範圍下, 方程式 f (x) = 0 恰有一實根 (4) 在定義域範圍下, 方程式 f (x) = 4 有兩相異實根 (5) 函數 f (x) 為 3 次多項式函數 (6) f′(−1) = 0 (7) f′(2) = 0 (8) 在定義域範圍下, 函數 f (x) 有兩臨界點 (9) 點 (0,103 )
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 函數性質的判斷 · 為反曲點 (10) 在定義域範圍下, 函數 f (x) 的最小值為 0 (11) f′′(0) < 0
x f (x)
(−1,92)
(0,103 ) (2, 0)
(4,263 )
(−2,83)
−2 4
10. 設 (x − 1)2 是多項式 x15+ ax2 + b 的因式, 求 a, b 的值?
11. 已知正數 α 為三次方程式 x3− x2− 8x + k = 0 的二重根, 試求 a, k 及另一根?
12. 設 k 為實數且方程式 x3 − 3kx2 + 4 = 0 有三個相異實根, 求 k 的範圍?
13. 設 f (x) = x3 − 3x2− 9x + k , 試求滿足下列條件之 k 值? (1). f(x) = 0 有三 相異實根? (2). f (x) = 0 有一實根兩虛根? (3). f (x) = 0 有兩正根與一負根 ? 14. 設函數 f (x) = ax3+ bx2+ cx + d 的大略圖形如下, 是判別 a, b, c, d 之正負值?
15. 就實數 a 範圍, 討論直線 y = 3x + a 與函數 f (x) = x3 圖形交點的個數?
16. 求多項式方程式 x3 + 4x + 5 = 0 的實根個數?
17. 求多項式函數 f (x) = x4 + 4x3 的極值?
18. 求函數 f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 的極大值與極小值?
19. 求函數 f (x) = x + 1x 的極大值與極小值?
20. 求函數 f (x) = x3 + 3x2 − 9x − 10 在區間 [−4, 3] 的最大值與最小值?
21. 函數 f (x) 的導函數 f′(x) = x2(x − 3) , 求函數 f(x) 的極值所在? x 為何值 時,f (x) 圖形會有反曲點?
22. 多項式函數 f (x) = x3 + kx2 − 3kx + 3 沒有極值, 求實數 k 的範圍?
23. 試證: 對任意實數 x ≥ 0 , 恆有 2x3 ≥ 3x2 − 1
24. 一農夫想順著筆直的水溝旁圍成一面積為 5000 平方公尺的長方形菜園, 因此他
24. 一農夫想順著筆直的水溝旁圍成一面積為 5000 平方公尺的長方形菜園, 因此他