習題 IIB:1-3
17.4 函數的極限
1 2 3 4
5a. Γ向左平移1單位 5b. Γ 水平方向伸縮 12 倍
5c. Γ 向右平移1單位再將水
平方向伸縮 1
2 倍
或水平方向伸縮 12 倍再向右平 移 1
2單位
5d. Γ 向上平移2單位 5e. Γ 鉛直方向伸縮3倍 5f. Γ 鉛直方向伸縮3倍, 再往
上平移4單位
5g. Γ 鉛直方向伸縮3倍, 再往 上平移1單位;向右平移1單位再 將水平方向伸縮 1
2 倍 6. f (x) = x2+ 2x − 1 7a. f (x) = x2− 2
7b. f (x) = x2 + 2hx + 2x + h2+ 2h − 1
7c. f (x) = 2x + h + 2 8. 3x+2x+3;−x+13x+4
9. 9x2+ 12x + 5; 3x2+ 5 10. 3x2− 1; (3x − 1)2 11. x; x
12. √
x2 + x + 1 13. x
14. 1 : 3 : 5 : 7 : · · · ; t = 10 15a. 0; 0
15b. −2; −1 15c. −2; 0
15d. a = 1; b = 0 16. g(x) = x + 32
17. 滿 足 f (g(x)) =
x, g(f (x)) = x , 自證之 18. g(x) = 3x−8x−3
17.4 函數的極限
函數圖形的切線: 若函數 f (x) 圖形為 Γ , 函數在 P 點的切線為一群割線 P Q, 當 Q 點延著曲線 Γ 逐漸趨近P 點, 割線P Q 會趨近於一直線L , 稱直線L 為函數過P 點的切線,此時切線斜率
為直線L 的斜率。
Γ
切線 L P
Q 割線P Q Q
函數極限的定義: 若實數函數 f (x) 在 x = a 附近有定義且當 x 趨近於 a 時,f (x) 趨近於定數 L 。 稱函數f (x) 在 x = a的極限是 L ,以 lim
x→af (x) = L 表示。 與 x = a點有無定義無關。
函數極限的意義:
若ε 為任意給定正數, 存在 δ > 0 只要 |x − a| < δ 必滿足 |f(x) − L| < ε
即|f(x) − L| 值會隨著 |x − a| 變小而逐漸愈來愈接近0
L
a y = f (x)
函數 f (x) 在無窮遠處的極限與極限值無窮大:
數列的極限: lim
n→∞an= L 表an− L 值隨著 n愈大而愈接近0。 而函數極限: lim
x→af (x) = L 表 f (x) − L值隨著 |x − a| 愈小而愈接近0
函數在無窮遠的極限: 若 lim
x→∞f (x) = L 表 f (x) − L 值隨著x變大而愈接近0, 稱無窮遠處的 極限值為 L;否則f (x)在無窮遠處無極限值。
函數在x = a 點極限為無窮大 :若 lim
x→af (x) = ∞表 f (x) 值隨著 |x − a| 愈小而變的非常大, 稱f (x) 在 x = a處為無窮大。
左極限與右極限:
x→alim−f (x) = L: 限制 x < a 所得到的極限值稱為左極限(x從a的左側趨近a的極限值)
x→alim+f (x) = M: 限制 x > a所得到的極限值稱為右極限 (x從a的右側趨近a的極限值)
極限與左極限、 右極限的關係:
當函數在a點的左極限與右極限均存在且相等時 L = M , 則稱函數在a點的極限值為L。 即
x→alimf (x) = L ⇔ lim
x→a−f (x) = L = lim
x→a+f (x)
NOTE: 極限值 L 未必 = f (a) 。 (∵ f (a) 可能無定義, 但仍有極限值 L , 與 x = a 點有
26 高中數學講義 函數的極限 無定義無關。)
f (x) =
x − 1 , x < 0
x + 1 , x ≥ 0 ⇒ lim
x→0−f (x) = −1, lim
x→0+f (x) = 1 x = 0 時f (x) 無極限值。
函數極限夾擠原理: 若三函數f (x), g(x), h(x)恆有f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ,且lim
x→af (x) = lim
x→ah(x) = L 則 lim
x→ag(x) = L
x→0lim sin x
x = 1, lim
x→∞
sin x x = 0
面積 △OAB <扇形 OAB < △OBC ⇒ sin θ2 < θ2 < tan θ
2 ⇒ cos θ < sin θθ < 1 y
O B x
A C θ
圖 3: 利用夾擠定理求極限值
函數極限的運算性質:
若兩實函數f (x), g(x) 在x = a 時有極限, 且 lim
x→af (x) = L, lim
x→ag(x) = M 則 1. lim
x→a[cf (x)] = c lim
x→af (x) = cL 2. lim
x→a[f (x) + g(x)] = lim
x→af (x) + lim
x→ag(x) = L + M 3. lim
x→a[f (x) − g(x)] = lim
x→af (x) − lim
x→ag(x) = L − M 4. lim
x→a(f (x) × g(x) = lim
x→af (x) × lim
x→ag(x) = L × M 5. lim
x→a
f (x)
g(x) = lim
x→af (x)
x→alimg(x) = LM ,其中 M 6= 0 6. lim
x→a
pf(x) =k q limk
x→af (x) = √k
L , (L > 0)
若f (x), g(x) 的某一點極限均不存在, 其和 f (x) + g(x)或積 f (x)g(x) 的極限未必不存在 f (x) = |x|
x , g(x) = −|x|
x 在x = 0時,均無極限值;但lim
x→0(f (x)+g(x)) = 0, lim
x→0[f (x)g(x)] = 1
*羅必達法則 (L’Hospital Rule) : 設函數 f (x) 與 g(x) 於區間 I 中, 除點 a 外均可微, 當 x 6= a
28 高中數學講義 函數的極限 2. 水平漸近線:
若 lim
x→∞f (x) = b 或 lim
x→−∞f (x) = b , 任一式成立, 則直線 y = b 為函數曲線 y = f (x) 的水平漸近線。
3. 一般的漸近直線: 若 lim
x→∞[f (x) − (mx + b)] = 0 或 lim
x→−∞[f (x) − (mx + b)] = 0 , 任一式成立, 則直線 y = mx + b 為函數曲線 y = f (x) 的漸近線。
多項式函數與有理函數的極限性質: 函數 f (x) 在x = a 的極限值就是函數值 f (a)。
若f (x) = anxn+ · · · + a2x2+ a1x + a0,g(x) = bmxm+ · · · + b1x + b0 為兩實係數多項式函數 1. lim
x→af (x) = f (a) 2. 若 g(a) 6= 0 , 則 lim
x→a
f (x)
g(x) = f (a) g(a) 3. 若 g(a) = 0, f (a) 6= 0 ,則 lim
x→a
f (x)
g(x) 不存在。
4. 若f (a) = g(a) = 0 , 求 lim
x→a
f (x)
g(x) 先將分子、 分母的共同因式(x − a)約去後,再依照函 數極限性質2、3求極限。
極限不定型的化簡方法: (∞ − ∞) 、ε × ∞,∞
∞,ε ε′ 類型
1. 分式極限: 分子、 分母同除以最高 (強)次項。(nk, an) 2. 擴分同乘以有理化因子
3. 運用夾擠定理
函數 f (x) 在 a 點連續的定義: 若函數 f (x) 在 x = a 點連續 ⇔ lim
x→af (x) = L = f (a), 即函數在 x = a極限值 L 存在且為函數值 f (a)
f (x) 為一實函數, 若 |f(x) − a| 值會隨著 |x − a| 變小而逐漸變小而愈接近0, 則稱 f (x) 在 x = a點連續。 即 lim
x→af (x) = L 存在且等於 f (a)。
連續函數的定義: 若函數 f (x) 在定義域中的每一個點都連續, 則稱函數 f 為連續函數。
函數 f (x) 在開區間 (a, b) 連續: 對任意c ∈ (a, b), f(x) 在x = c 都連續。
函數 f (x) 在閉區間 [a, b] 連續: 對任意 c ∈ (a, b), f(x) 在 x = c 都連續且對端點滿足
x→alim+f (x) = f (a), lim
x→b−f (x) = f (b) 。 連續函數的三要件: (1) x = a, f (a) 有定義 (2)lim
x→af (x) 存在 (3) lim
x→af (x) = f (a) 連續函數的圖形: y = f (x)在 x = a點連續, 是指其圖形在點 (a, f (a)) 不會斷掉。
連續函數的充要條件: f (x)在 x = a連續⇔ lim
x→af (x) = f (a)
若 f (x) 在 x = a 有極限值 L 但 6= f(a) 則函數 f (x) 在 x = a 點不連續。(圖形在a點移除; 型I)
−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5 6
x y
型I 型II 型III
f \x −3 −2 −1 1 3
在a點極限 有 有, 但 有,= 沒有,左右極限 沒有
= f (3) 6= f(−2) f(−1) 存在但不相等 (發散) 在a點連續 是 不是, 是 不是, 不是,
型I 型II 型III 圖形特徵 平滑 移除 尖點 跳離 ±∞
有漸近線
圖 4: 不連續函數的圖形:I移除、II 跳離、III 發散類型 (removable,jump,infinite)
例: f (x) = x sin 1x 在x = 0 的極限值為0,但f (0)不存在,故在x = 0處不連續。
例: 高斯函數 f (x) = [x] 在整數點 x = a, f (a) = a, 但 lim
x→a−f (x) = a − 1 6= lim
x→a+f (x) = a ,f (x)在整數點 x = a均不連續。(圖形在a點跳離分開; 型II)
例: f (x) = tan x 在x = kπ +π
2, k ∈ Z 極限值不存在 (發散),函數f (x) 在x = kπ +π 2, k ∈ Z處,均不連續。(圖形在a點發散; 型III)
連續函數的一些性質:
設函數f (x)與g(x)均在x = a連續, 則下列函數在x = a連續 1. f (x) + g(x)
2. f (x) − g(x) 3. f (x)g(x) 4. f (x)
g(x) , 若g(a) 6= 0
5. pf(x) ,k 其中 f(x) 在 a附近恆不為負,k 為一正整數。
多項式函數 f (x) : 在定義域內多項式函數為連續函數。 lim
x→af (x) = f (a) 連續函數的一些觀念:
1. 函數在有定義的點不一定連續: f (x) =
x + 1 , x ≥ 0
x − 1 , x < 0 在x = 0 時, 不連續。
2. 函數在有定義且有極限值的點不一定連續: f (x) =
|x − 1| , x 6= 1 1 , x = 1
在 x = 1 時, 有極限值但不連續。
30 高中數學講義 函數的極限
3. 若 |f(x)| 連續, f (x) 不一定連續: f (x) =
−1 , x ≤ 2
1 , x > 2 在 x = 2 時, |f(x)| 連續, 但 f (x) 不連續。
4. 分段定義函數不一定有不連續點: f (x) =
x2 , 0 ≤ x < 1
3x − 2 , 1 ≤ x ≤ 2 ,在x = 1時, f (x) 為連續
5. 連續函數與不連續函數的乘積不一定不連續: f (x) = x, g(x) =
1 , x ≥ 0
−1 , x < 0 , 其中 f 為連續, g 在x = 0 不連續, 但 f × g 為連續函數。
6. 兩不連續函數的乘積或和不一定不連續: f (x) =
x , x ≤ 0
1 , x > 0 ,g(x) =
−1 , x ≤ 0 x , x > 0 , 其中 f × g 在 x = 0 時,為連續。
合成函數的極限: 設 lim
x→af (x) = L , 若 g(x)在 L 連續, 則合成函數的極限 lim
x→ag(f (x)) = g(L)
若 lim
x→af [g(x)]存在, lim
x→af (x) 未必存在: f (x) =
1 , x ≥ 0
−1 , x < 0 , g(x) = x2, x ∈ R ;在 x = 0 時
合成函數連續: 若f (x)在 x = a連續,g(x)在x = f (a) 連續, 則g(f (x))在x = a為連續。
連續函數的中間值定理: 若 f (x)是定義在 [a, b] 的連續函數, 且滿足 f (a) 6= f(b), 則對於 f (a) 與 f (b)之間的任意實數 M ,在區間[a, b] 內至少存在一點 c , 使得 f (c) = M
f (x)
a f (b)
b f (a)
a M
c
連續函數的勘根定理:
設f (x) 是一定義在[a, b] 的連續函數,且滿足 f (a)f (b) < 0, 則至少存在有一根介於a與b之間 的實數c, 使得 f (c) = 0
y = f (x)
y = 0 f (c) = 0
f (b) < 0 f (a) > 0
a b
y = f (x)
y = 0 f (c) = 0
f (b) > 0
f (a) < 0
b a
例題
範例 1: 求下列函數在 x = a點的極限值?
1. f (x) = x + 1, 在x = 1 的極限值? 2
2. f (x) = x2− 1, 在x = 1 的極限值? 0
3. f (x) = x2− 1
x − 1 在x = 1 的極限值? 2
演練 1a : 若f (x) = x2− x + 2, 求 x = 2 的極限值? 4
演練 1b : 設f (x) = x
2− 4
x − 2, g(x) = x + 2 , 計算 lim
x→1f (x) 、 lim
x→2f (x) 與 lim
x→2g(x) (解:)lim
x→1f (x) = 3,lim
x→2f (x) = 4,lim
x→2g(x) = 4
範例 2: 函數 f (x) 圖形如圖:下列極限值若存在, 求出其值?
y
2 4 t 4
2
1. lim
t→0−f (t) −1
2. lim
t→0+f (t) -2
3. lim
t→0f (t) 不存在
4. lim
t→2−f (t) 2
5. lim
t→2+f (t) 0
6. lim
t→2f (t) 不存在
7. lim
t→4f (t) 3
8. 函數值f (0) = −1
9. 函數值f (2) = 1
10. 函數值f (4) = 3
32 高中數學講義 函數的極限
演練 2a : 函數 f (x) 圖形如圖: 下列極限值若存在,求出其值? y
0 2 4 x
4 2
1. lim
x→3−f (x) 4
2. lim
x→3+f (x) 2
3. lim
x→3f (x) 不存在
4. lim
x→0−f (x) 3
5. lim
xt→0+f (x) 3
6. lim
x→0f (x) 3
7. 函數值f (3) = 3
8. 函數值f (0) = 3
範例 3: 設函數 f (x) = x
|x| , 討論 f (x) 在x = 0 的極限值是否存在?
x→0lim−f (x) = −1 6= lim
x→1+f (x) = 1 演練 3a : 求 lim
x→0
3x2x ?
3 2
演練 3b : 求 lim
x→0sin(π
x) 不存在
演練 3c : 求 lim
x→0
1 x2
不存在
演練 3d : 求 lim
x→1
x − 1
|x − 1| = ? 不存在
利用函數極限的運算性質求極限: 範例 4: 求下列各極限:
1. lim
x→0
√1 + x − 1 x
1 2
2. lim
x→1
x3 − 1 x − 1
3
3. lim
x→2
x + 1 x − 2
不存在
4. lim
x→1(x2− 3x + 1) −1
5. lim
x→−21
(2x + 3)3 8
6. lim
x→0(1 + x
x − 1+ 3x − 1
x2+ 3x − 4) −34 利用夾擠定理求 lim
x→0
sin x x
1
已知函數 f (x), g(x) 的部分圖形如右: 試求下列極限值?
34 高中數學講義 函數的極限
4. 問函數f (x) 在區間(−∞, ∞) 內, 是否為連續函數? yes
36 高中數學講義 函數的極限
演練 9a : 設f (x) = 4x3− 6x2+ 3x − 2 ,問在1與2 之間是否有方程式f (x) = 0的根?(勘根定理) yes;f (1)f (1) < 0
演練 9b : 若f (x) = x3− x2+ x 問是否存在正數, 使得f (x) 函數值為 10 ?(中間值定理) (解:)let g(x) = f (x) − 10 ,then g(2)g(3) < 0 , ∃ 2 < c < 3 ,such that f(c) = 10 演練 9c : 若0 < x < 2 是否可滿足 x2+ cos(xπ) = 4 ?(中間值定理)
(解:)let f (x) = x2+ cos(xπ) − 4 is continuous,then f(0) < 0, f(2) > 0 , ∃ 0 < c < 2 ,such that f (c) = 0
演練 9d : 利用中間值定理, 說明在所指定區間內, 方程式必有實數根 1. f (x) = x3+ 3x − 1 = 0 ,I = (0, 1)
(解:)by f (0) = −1 < 0, f(1) = 3 > 0 , ∃ 0 < x < 1 ,such that f(x) = 0 2. x2 =√
x + 1 ,I = (1, 2) (解:)let g(x) = x2 −√
x + 1 ,then g(1) = 1 −√
2 < 0, g(2) = 4 −√
3 > 0 , ∃ 1 < x < 2 ,such that g(x) = 0
3. cos x = x ,I = (0, 1)
(解:)let g(x) = cos x − x ,then g(0) = 1 > 0, g(1) = cos 1 − 1 < 0 , ∃ 0 < x < 1 ,such that g(x) = 0
演練 9e : 若函數 f (x) 在其定義域內滿足 f (c) = c , 稱 x = c 為函數的一個”固定點”。 若函數 f (x) = 1 − x2 , 利用”中間值定理”, 證明: 函數在區間[0, 1] 內有固定點。
(解:)∵ f (x) continuous, x ∈ [0, 1], 0 ≤ f(x) ≤ 1 ; ∴ 滿足 ∃ 0 < x < 1 ,such that f (x) = x
習題II:1-3 函數的極限 1. 函數 g(x)圖形如圖: 下列極限值若存在,求出其值? y
0 x
y=©
1 2 3 4 5
1 3 4
(a) lim
x→2−g(x) (b) lim
x→2+g(x) (c) lim
x→2g(x) (d) lim g(x)
(e) lim
xt→5+g(x) (f) lim
x→5g(x) (g) 函數值 g(2) = (h) 函數值 g(5) =
38 高中數學講義 函數的極限
10. 設lim
40 高中數學講義 函數的極限
25. 求出 a 值, 使得 g(x) =
x2 − a2
x − a , x 6= a 8, x = a
是連續函數
26. 設函數f (x) =
cx + 1 , 當x 6= 3
cx2− 1 , 當x > 3 ,若函數 f (x) 為連續函數, 求c值 ?
27. 設函數f (x) =
√−x , 當x < 0 3 − x , 當0 ≤ x < 3 (x − 3)2 , 當x > 3
,
(a) 求 lim
x→0−f (x) =?
(b) 求 lim
x→0+f (x) =?
(c) 求 lim
x→0f (x) =?
(d) 求 lim
x→3−f (x) =?
(e) 求 lim
x→3+f (x) =?
(f) 求 lim
x→3f (x) =?
(g) 函數 f (x) 在哪些區間為連續函數 ? 28. 利用連續函數的極限, 求 lim
x→0
2 1 + 2−1x =
29. 下列敘述何者不恆為真?(1) 若 f(a) 沒有定義, 則 lim
x→af (x) 不存在 (2) 若 lim
x→af (x) 存在, 則 f (x) 在 a 點連續(3) 若 0 ≤ f(x) ≤ 3x2 + 4x4 , 則 lim
x→0f (x) = 0 (4) 若f(x) 在 a 點連續, 則 lim
x→af (x) 存在 (5) 若 lim
x→af (x) = L,為一實數, 則 lim
x→a|f(x)| = |L|
30. 函數 f (x) = (x − 299)3(x − 301) + x , 求證:至少有一實數 c , 使得 f (c) = 300 31. 求證:方程式 3x = 3 − x , 至少有一實數根
32. 已知方程式x3+ x − 64 = 0 恰有一實根,求此實根介於哪兩連續整數之間?
33. 已知 x4 − x3− 9x2+ 2x + 12 = 0 有四個相異實根, 求此四根位於哪些連續整數之間? 34. f (x) = (x + 4)2(x − 3)2+ x , 證明在 −4, 3之間有一實數c, 使得 f (c) = 1
35. 利用中間值定理,說明在區間 (−2, −1) 內, 方程式 2x3+ x2+ 2 = 0 必有實數根。
36. 若f (x) = x17− 3x4+ 14 問在區間[0, 1] 內是否存在正數, 使得f (x) 函數值為 13 ? (中間值 定理)
習題 II:1-3
1a. 3 1b. 1
1c. 不存在
1d. 2 1e. 2 1f. 2
1g. 未定義
1h. 1 2a. 0
2b. 2; f (0) = 2 2c. −1; f(2) = 0
2d. 不存在 3a. 2 + 0
3b. 不存在
3c. 0
3d. 不存在
3e. 16 3f. 2 4. 18 5. 8; 4
6. 1, −1, 2/√ 3, 0
7. 不存在
8. 1; 0; 1 9. 2,√
2/4 10. 8, 2 11. 1 12. 14 13. 23 14a. 1
14b. 不存在
14c. 16
14d. −19 14e. −4 14f. 0 15. 1 16. 1 17. 0 18. 0
19. a = 4, b = 8
20. a = 0, b = 1, c = −2, d = 1
21. lim
x→1−f (x)= lim
x→1+f (x)=lim
x→1f (x) = 4 = f (1)
22. x = k, k ∈ Z
23. 不連續
24. 3 25. a = 4 26. c = 13 27a. 0 27b. 3
27c. 不存在
27d. 0 27e. 0
27f. 0
27g. (−∞, 0), (0, ∞) 28. 1
29. 1, 2
30. 利 用 中間 值 定 理 或 令 g(x) = f (x) − 300勘根定理 31. 利 用 中間 值 定 理, 令
f (x) = 3x−3−x is continuous f (1) < 0, f (2) > 0 ,∃1 < c < 2 ,s.t. f (c) = 0
32. (3, 4)
33. −3, −2; −2, −1; 1, 2; 3, 4 34. 令g(x) = f (x) − 1 , 再利
用勘根定理
35. f (x) = 2x3+x2+2 is con-tinuous ,f (−2) < 0, f(−1) >
0 ,∃ − 2 < x < 1 ,s.t. f(x) = 0
36. g(x) = f (x) − 13 ,then g(0)g(1) < 0 , ∃ 0 < c < 1 ,such that g(c) = f (c)−13 = 0 . . . .教用版附答案. . . .