國立臺灣師範大學
很多學生害怕數學，認為數學只在乎繁複的計算，經常玩 符號的遊戲，或者是要寫一道又一道艱澀的證明題，久而 久之，這樣的學習經驗，逐漸導致學生對於所學習的數學 內容感到枯燥乏味，不但覺得數學十分抽象，而且產生數 學與日常生活幾乎毫無關係等刻板印象。學生對數學這樣 負面的態度，還常會一直持續到出社會之後，例如日本有 一位文學家曾經指出，他在學校所學的幾何知識在生活中 一點用處也沒有，唯一可以派上用場的，是當他走路時還 是會運用三角形兩邊長的和大於第三邊的性質。
那該如何改變如此不理想的情況？我們的建議是加入一些 非傳統的數學學習內容，這些內容最好能夠讓學生動手操 作，增加在數學課堂中體會到參與數學活動的樂趣，並且 在操作過程中能夠學習到數學推理，如果該素材能夠符合 STEM的理念，提供跨學科學習的可能性，即不單只可以從 數學的角度進行探究，而且還可以從工程學中設計與分析 的眼光來進行研究，或者是所習得的知識是可以應用於科 學的研究之上。若能找到這樣子的學習素材，將有機會可 以讓學生瞭解到學習數學不是只能夠坐著聽講，而是可以 實際參與在其中，不但可以發揮個人的創意，而且所學習 的數學知識是有具體功能的，既可以應用於生活上，而且 在現代科學中也有應用的價值。問題是有這樣子的素材 嗎？
學習結理論
若要配合上述考量的話，我們認為結理論就是一個適合的 素材，它原則上是符合STEM課程整合的理念，尤其是栽培 學生設計與分析的能力方面。從古至今，具體的結與人們 的生活密不可分(Ashley, 1953) ，結理論在近代的數學與科 學的研究中，是一個非常蓬勃的主題，而且在數學教育界 也有學者嘗試開發一些活動，向學生介紹基礎的結理論 (Turner, & Griend, 1996) ，因此，我們推薦不妨在中學階段 教導基本的結理論，因為在初中階段學生擁有的數學知識 比國小階段多，在初中階段學習結理論可以吸收到較廣泛 的知識。
可能有讀者會懷疑，中學階段學結理論是否會太難？我們 建議用下述的方式來做思考，即使中學生的生活經驗有限，
但結是一個他們生活中常見的素材，例如大部分學生都有 打鞋帶的經驗，如果我們能夠從打出生活結的活動出發，
逐漸引進數學結的基本概念，對學生來說應該是很容易接 受的，尤其是當他們發現每天打出來的結居然可以從數學 的眼光來看待，對於提升學習數學的動機或多或少會有幫 助。作為一個數學主題，結具有親切感與新鮮感，它著重 數學推理與空間能力，而且不牽涉到繁瑣的計算，學生比 較容易對其產生親切感。學習數學結的相關概念，藉由動 手操作的方式可以幫助學生增加學習課綱所涵蓋的數學概 念，這是因為透過學習結理論可以用另外一個方式來介紹 投影、方位、函數、轉換(transformation)、等價、不變量等 重要數學概念，從而增進學習遷移(transfer)的成效，並且增
我們認為學習結理論應該不致於會增加學習負擔，在中學 階段學習不但不算是過早學習，反而可以鞏固一般傳統課 程中所涵蓋的數學概念。是故，我們認為以結為素材，在 適當且合理的課程開發條件之下，對七、八年級學生而言 應是有啟發性的數學學習教材。
再者，在日本已經有學者將基本的結理論開發成為適合小 學、初中與高中學生學習的課程，例如可參考Kawauchi &
Yanagimoto (2012) 的著作，他們的研究顯示，只要配合正 式課綱的數學內容來編排結理論的學習內容，學生在對的 時機點以及具備相關的數學先備知識，即能夠掌握結理論 相關的內容。然而，在華人數學教育界中，這類型的研究 比較缺乏，十分可惜，因此我們進行了一個研究計畫，嘗 試開發一套適合初中學生學習的結理論課程，並透過打出 生活結來引入相關數學結的概念。而在開發相關教材與活 動的過程中，我們提出一個有趣的問題，我們心中存疑是 否存在一套打結的基本步驟或動作，可以方便學習者有系 統性地學習打出各種不同的結，本文的目的是要介紹這個 有趣的問題以及我們初步的心得。
生活結
古人結繩記事，現代社會雖然有文字、有電腦，已經不用 結繩那麼麻煩了，可是結在日常生活中仍是隨處可見。不 少人在小時候的生活經驗中，即常常有打結的機會，第一 個可能學會打的結就是單結，接著為了要綁鞋帶、綁禮物 而學會打蝴蝶結。一般人幾乎都是在習以為常的情況下學 會這種打結技巧，這些動作甚至可以不假思索、很純熟地
完成。在臺灣，初中還會安排童軍課，很多學生也因此學 會許多不同打繩結的方法，例如八字結、平結等等。這些 結各有不同的結構，可以用在許多地方，做很多不同的功 能與用途，而在學習打結的過程中，可能會透過不同的方 法，例如背口訣、看錄影帶、看圖打結等等。如果只是要 打一、兩個結，上述的手法即已足夠，但問題是，繩結有 超過一千多種(Ashley, 1993)，如果每個結的打法都需要一 一學習，不但煩瑣，而且除非經常使用，否則並不容易記 得。因此我們想自問，是否存在一套基本的打結步驟或動 作，讓初學者只需學習這些動作，即可以透過該等動作輕 鬆且靈活地打出大部份的結？
有鑑於前述的問題，本文以下將介紹我們的研究團隊所整 理出來的六個打結基本動作，學習者藉由學習這些基本動 作後，可以加以組合變成不同的繩結，這六個動作很有潛 力成為一套有系統而且容易學習的打結方法。
動作的說明
動作一：將繩的兩端交叉形成一個繩圈。
動作二：穿越繩圈，而此動作又分為從上往下穿以及
從下往上穿兩種。
動作三：將繩的兩端拉緊，該動作通常是打出結的形
狀後，再將繩子的兩端拉緊。
動作四：先將繩子的左右各打一個動作一，再將兩個
動作五：通常在動作四後，如果需要成為一個結的時 候，再做一個動作二，接著拉緊兩個繩圈。
動作六：當一個結打好之後，如果要將它變成一個封
閉的結，只需要將兩個端點相連。
表一、打結的基本動作 動
作 圖示 說明
1 線交叉形成一個繩
圈
2
前提：先完成動作1
動作：將壓在上面 的 端 點 從 下 往 上 穿，並穿越繩圈。
(或 將 壓 在 下 面 的 端點從上往下穿，
並穿越繩圈。)
動
作 圖示 說明
3
前提：先完成動作 1 與動作 2 後 動作：拉緊兩端點
4
前提：在繩的左邊 完成動作1，在繩的 右邊也完成動作1
動作：將兩繩圈的 交叉點重疊
5
前提：先完成動作4 再完成動作2 動作：拉緊兩繩圈
6 動作：兩個端點相
連
在初步整理出六個基本動作後，研究團隊嘗試使用這些基 本動作分析生活中常見的結，生活中常見的結很多都可以 簡化成為反覆使用這些基本動作來完成。反之，也可以運 用這六個基本動作打出不少常見的生活結，甚至創造出新 的結。我們將一些打結的步驟整理成一個表格，如以下表 二所示。
表二、運用六個基本動作分析生活中常見的結
生活結 圖例 動作
單結 1+2+3
平結 1+2+3+1+2+3
雙單結 (1+2+3)+( 1+2+3)
八字結 1+1+2+3
生活結 圖例 動作
蝴蝶結 1+1+4+2+5
三葉結 1+2+3+6
1+2+3 1+2+3
研究團隊認為，與其教很多特殊的結與打法作為學習零星 的例子，倒不如教導基本動作的打法更為精簡有效，一方 面在教與學的過程中方便溝通如何打出某個結，另一方面 則可以讓學生運用這些基本動作加以排列組合進而打出新 的結，換句話說，這六個動作可以視為結的產生因子，以 方便分析。
此研究為初步介紹拿繩子打結，但打結有些時候會牽涉到 左右與上下的關係，我們正在嘗試做更深入的處理，加入 其他的基本動作，並留待在合適的場合再做詳細介紹，不 在此進行相關報導。
討論
很多家長在教導小朋友為自己綁鞋帶時，需要做很多次的 示範，缺乏一套適合的語言去說明打結的動作。此外，有 些教導童軍課的老師在教導打結時也是以示範為主，通常 需要學生跟著老師的步驟來打，同樣也缺乏溝通的語言，
而學生一恍神可能就跟不上老師的步驟，建議可以考慮使 用我們的基本動作與語言來介紹與教導學生，在教導六個 基本動作後，當要教導學生打出某一個結的時候，可以跟 學生說待會打結需要哪幾個基本動作以及先後次序為何，
然後再帶著學生去打這些結，因為這些基本動作是有系統 性的，容易瞭解也容易記得，應該是一個很好的教導工具，
學習打結不用單靠模仿教師的打結步驟，而且可以利用這 些結去創造一個新的結。
由於要打出一個生活中常見的結需要進行分析，要創造出
一個屬於自己的結也需要進行設計，當這個課程將這些打 結的基本動作過渡到結圖的學習後，我們還可以引導學生 自己分析打出結的性質，因此學習打結基本上是符合 STEM課程的基本精神。
本文最後想按照研究團隊的經驗，提出關於教導學生打結 所用材料的建議，為了要開始此課程，我們嘗試使用不同 的繩子，發現並不是任何繩子都適合，我們整理出幾個比 較特別的材料，如緞帶、麻繩以及鬆緊帶等，研究團隊發 現在打結過程中如果使用了有寬度的材料(例如緞帶)，在 打結動作上會造成操作上的困難；麻繩因為不具有任何彈 性，再加上有脫線的問題，在視覺判斷結的形狀較不容易；
而鬆緊帶是使用了圓鬆緊帶，因為較不易脫線且富含彈性，
較容易判斷結的形狀，且只要繩段夠長，操作上非常容易。
參考文獻
Ashley, C. W. (1953). The Ashley book of knots. New York:
Doubleday.
Handa, Y., & Mattman, T. (2008). Knot theory with young children. Mathematics Teaching, 211, 32-35.
Kawauchi, A., & Yanagimoto, T. (2012). Teaching and