的精髓。克萊恩在《數學：確定性的失落》一書中直陳“數學的發展歷程其實很不邏輯”，其中 包含錯誤的證明、推理的疏漏、概念的認知錯誤等等，這番論述顛覆一般人對數學的印象。事 實上，克萊恩的論斷有其歷史依據，許多數學概念的產生不是根據理性的邏輯推理，甚至有些 時候數學家具有「反智」傾向，只為固守信念而不願接受邏輯上並不矛盾的新概念。例如畢達 哥拉斯堅持宇宙間只存在正整數和由正整數所形成的比例數（q/p），也就是有理數，類似 2這 種無理數是不存在的。往後一千多年的數學主流思想一直堅持畢氏的想法，直到十六世紀文藝 復興時期才接受根號運算，但仍拒絕 1的存在（雖然運算中會使用到它），再等到十七世紀的 笛卡爾才承認 1是一個數字，不過他還是不太願意大方承認它是個真實的數（real number），
而是個想像的數（imaginary number），中文翻譯以縹緲的「虛數」稱之。
我們可以發現無論是克萊恩或是拉卡托斯，都是從數學家的思維歷程出發，而不是以最後 的知識結構做為探究數學本質的依歸，也就是如赫許（Ruben Hersh）所說，數學哲學的工作應 該聚焦於“職業數學家的工作哲學”（working philosophy of professional mathematicians）（Hersh, 1997, p. 31）。在此基礎之上，數學哲學出現兩派相關的主張，分別是拉卡托斯的經驗主義觀
（empiricist view）（Lakatos, 1978）和厄尼斯特的可謬主義觀（fallibilist view）（Ernest, 1991），
這兩種觀點強調數學的經驗性，不強調（但不是否定）數學的絕對性，反而著重數學知識的動 態過程，主張數學知識不是先驗的（a priori），也不必然擁有絕對的真理性（absolute validity）。
反而，它是可以調整的，永遠對於修正持開放態度，表明出一種數學知識建構的文化。
從以上三種關於數學文化的論述我們可以發現，不同視角對於數學文化的闡述都有其基本 立場。人類學視角以類似生物演化的觀點探究決定數學知識演變的各種張力；歷史與社會視角 著重數學如何與其他學科的互動進而引發自身的發展；哲學視角則從職業數學家的工作哲學理 解數學知識如何建構。三種視角有不同程度的交集，也彼此互補。若以觀察尺度區分，人類學 視角偏向宏觀，比較不探究個別事件等細節，而是注重演變趨勢。哲學視角偏向微觀，關心數 學概念的發生、建構與辯證過程，甚少觸及外部環境變化對數學知識的影響；而歷史與社會視 角約莫居中，依據歷史走向和社會需求觀察數學知識發展的大方向，但必要時也談論個別事件 與細節。這三種知識觀（或稱認識觀，epistemological view）對數學教育也產生重大影響，1990 年代科學教育與數學教育之所以引入根基建構主義（radical constructivism）和社會建構主義
（social constructivism），也與此三大數學文化思潮密切相關。
定義。當中的困難可能是因為，數學本身就是人類發展過程中所伴隨產生的一種文化，而「數 學文化」一詞是否重複定義？「數學文化」的內涵究竟所指為何？由於「數學文化」很容易與
「數學史」畫上等號，因此一般人直覺上認為「數學文化」就是指「數學史」，但事實上兩者是 不同的概念，就如同「文化」和「歷史」是兩個相關但不同的概念一般。有鑒於此，劉柏宏（2016）
參酌Kroeber 與 Kluckhohn（1952）關於文化的定義後，將數學文化定義如下：
數學文化就是人類探索數學知識時其行為的外顯和內隱模式，並藉由人類群體，特別 是數學家社群，所創造獨特成就的符碼（符號、圖形或文字）來傳遞。（p. 61）
他並從數學文化的人類學、歷史與社會、和哲學視角，建立一個縱橫雙向構面，其中「數學文 化」（mathematical culture）係由「文化中的數學」（mathematics in culture）和「數學中的文化」
（culture of mathematics）兩個構面組成。前者是以宏觀角度看待數學知識演變的歷程，觀察人 類發展過程中，數學在其所屬社會文化所扮演的角色；後者從微觀角度探究數學概念從無到有 歷程，觀察數學知識從醞釀到成熟的過程中，個體與群體所顯現的思維模式。我們可以約略地 說，「文化中的數學」在概念上大部分較接近懷爾德和克萊恩的主張，而「數學中的文化」則與 赫許的“職業數學家的工作哲學”有關，但兩個構面並非獨然而立，而是兩者呈現一種交錯的 有機互動發展。
二、數學文化的價值
目前已有不少學者和機構直接討論數學文化在教育上的價值，或是在教學上如何呈現數學 與文化的關係（Barta, 2014; Burton, 2009; D’Ambrosio, 1990; Nasir, Hand, & Taylor, 2008; Liu, 2018）。 其中最廣為人知的就是「民族數學」（ethnomathematics）。「民族數學」一詞是由D’Ambrosio（1985）
所提出，用於描述一個可識別的文化群體之數學實踐的過程與內容，探究在多元文化中所能找 到的數學思想。D’Ambrosio 進一步提出「民族數學」一詞字義的解釋：
字首 Ethno 如今已經廣義地指稱社會的文化脈絡，因此包含語言、術語、行為準則、
神話和符號。而演繹mathema 這詞比較困難，但通常意指解釋、認識、理解、加密、
測量，分類，推斷和建模等活動。字尾 tics 源自 techné，和技術有相同的字根。
（D’Ambrosio, 1990，引自 Rosa & Orey, 2011, p. 35）
換句話說，‘ethno’是指一個文化環境中以文化傳統、代碼、符號、神話以及用於推理的特定方式 來識別某個群體的成員。‘Mathema’的意思是解釋和理解世界，以便超越、管理和應對現實，以 便這文化團體的成員能夠生存和發展。而‘tics’是指諸如計數、排序、測量、加密、分類、推斷和 建模之類的技術。簡言之，「民族數學」（ethnomathematics）意指在種族背景下為解決人們每天
遭遇的日常問題和人類為創造更有意義的世界所發展的數學技術（Rosa & Orey, 2011）。
D’Ambrosio（2005）指出，由於全球化和西方古希臘式數學思維成為當代數學知識典範，當今 數學教學已經「去知識脈絡化」，少數民族和非主流文化的數學文化多樣性在數學教學中已被犧 牲，他們被強迫學習主流文化（例如歐美白人）的數學思維，這種教學取向嚴重忽略數學曾在 各地區民族中扮演文化推進力量的事實，不利學生學習數學的自我認同。如此一來將衝擊學生 數學學習的真實性和個別性。
Nasir、Hand 與 Taylor（2008）強調數學知識必須融入文化脈絡，才能激發學生的有感學習 以增進學習成效。以計算數值的比例和平均值問題為例，他們觀察一群加州的非裔美國學生，
若要求他們直接計算（1）7/11=?%和（2）（15, 20, 10）三數之平均值，許多學生的解題策略就 是直接用算術規則，卻頻頻出錯，表現並不理想。但是若將第（1）題改寫為：「假設你站在罰球 線上投了 11 顆球，命中 7 顆。你的投球命中率是多少？」；第（2）改寫為；「假設你第一場球 賽得15 分，第二場得 20 分，第三場得 10，這三場的平均得分是多少？」，學生則呈現截然不同 的解題表現。許多學生雖受限於算術計算能力無法直接算出答案，但是他們會嘗試發展出估算 的解題策略。以第（1）題為例，學生假設投了 10 顆球，每進一顆就是占 10%，估計投進 7 顆 球的命中率是70%。由於總共投了 11 顆球，總命中率不可能是 110%，所以學生估算真正的命 中率稍低於70%。至於第（2）題，不會除法的學生學生會先觀察猜測出一個大概的數字，然後 去檢驗這數字和10, 20, 15 的差是否都相等。或許這些解題策略不見容於傳統的教學現場，但這 結果顯示出將文化脈絡融入數學教學的重要性。因為傳統的數學教學只關心數學知識本身，卻 忽略數學知識所源起的文化脈絡。一旦一個數學問題脫離賦予其意義的文化脈絡，將很難引起 學生的有感學習。基於類似的考量，Liu（2018）檢視臺灣、中國大陸和美國的高中數學科書中 數學文化元素的分布情形和其內涵。研究發現，臺灣、中國大陸和美國的教科書版本在「文化 中的數學」方面最強調「社會」面向的生活應用題目，但對於數學概念在不同民族產生的原因、
數學方法在不同民族的呈現方式和數學概念和當時哲學思想等方面幾乎完全略而不談。在「數 學中的文化」方面，最常出現的是以直覺說明問題的觀念和藉由觀察分析解題，幾乎不談數學 知識社群辯證的過程，只有美國教科書偶爾提到某一數學概念或性質不同年代的演變。與中國 大陸和美國教科書相較，臺灣的高中數學教科書在選擇數學文化題材時，比較忽略數學在政治 與經濟方面的應用，而且所選擇的應用問題，在內涵上與前述兩個地區有所差距，許多所謂的 應用題與真實生活不符，其情境過於牽強，整個編排方式也大都採平舖直述的演繹方式，雖然 方便教師教學，但缺乏引發學生進行猜測、歸納、推理和論證的數學文化素材。若以Nasir、Hand 與Taylor 的研究結果來看，臺灣的高中數學教科書在激發學生有感學習方面相當不足。
由於教科書必須考量市場接受度，前述各地區教科書中對於數學文化元素不同的詮釋方式 會受當地社會文化價值取向的影響。又由於教科書編輯的召集人幾乎都是數學家，因此數學文 化的質量成分和呈現方式也與該社會中數學家的數學知識觀有關。Burton（2009）就曾探究英國 職業數學家的數學知識觀，以觀察“內嵌”於職業數學家心中的「數學文化」是否與一般數學 學習者的學習傾向有著密切的鏈結。必須提醒的是，雖然Burton 對於數學文化的詮釋方式與劉 柏宏（2016）大致類似，但在英文的用詞上有些差異。Burton 並未給「數學文化」一個特定的 詞彙，她的數學文化概念包含「culture of mathematics」和「mathematical culture」，其中「culture of mathematics」的內涵與劉柏宏相同，係指稱數學知識形成過程所含括的思維、策略與方法等 元素。而Burton 的「mathematical culture」接近劉柏宏的「mathematics in culture」，泛指引領數 學家和學生在各種環境中如何體驗數學的社會政治態度、價值與行為（the socio-political attitudes, values and behaviours that constitute how mathematicians, and their students, experience mathematics in the settings of conferences, classrooms, tutorials, etc., p. 157）。在訪談了 35 位男性數學家和 35 位女性數學家之後，Burton 發現 83%的受訪者提到直覺（intuition）在思考數學中的重要性，61%
提到美學（aesthetics）的重要性。至於數學知識的特點，56%認為是其知識結構（structure），41%
提到嚴謹性（rigour），37%提到數學美（beauty），31%提到規律（pattern），這些都是「數學中的 文化」的特徵。Burton 的研究某種程度上支持劉柏宏（2019）的結果。劉柏宏分析英國高中教 科書中數學文化元素的質與量後發現，與臺灣、中國大陸和美國的高中數學教科書相較，英國 教科書最強調數學規律的探究。書中問題與「歸納猜想」相關的指標在所有「數學中的文化」各 項指標中占了 54.2%，而「直覺說明」指標也占了 33.7%，這與 Burton 所觀察發現英國數學家 強調數學思考中的直覺和數學知識中的規律不謀而合。不過Burton 也指出，這些數學家心中內 嵌的一些數學文化元素並沒有轉移到一般學生心中，例如結構、嚴謹性和數學美。