x1 x2 x3
+
− +
−
圖 2: 高次多項式不等式 f (x) 正負的取值區間 簡易分式不等式: (Note: 驗解必須滿足分母不為0)
1. 先移項通分化簡, 切記不可交叉相乘 (因無法知公倍式值正負)。 g(x)
f (x) > h(x)
k(x) ⇒移項通分 ⇒ A(x)
B(x) > 0, B(x)6= 0 2. A(x)
B(x) ≤0 ⇒ A(x)B(x) ≤ 0, B(x) 6= 0
例題
範例 1: 解一次不等式 1 < −3x + 1
4 ≤ 7 −9 ≤ x < −1
演練 1a: 解聯立不等式
2x + 3 > 5x− 3 5− x ≤ 7 + x
−1 ≤ x < 2
演練 1b: 解不等式 −x− 3
2 > 2x + 1 3
x < 1
演練 1c: 解 1
x + 4 > 0 x >−4
二次不等式
範例 2: 解x2 + 2x− 3 > 0 x > 1, x <−3
(解:)
−4 −3 −2 −1 1 2
−6
−4
−2 2
x1 x2
f > 0 f = 0 f < 0
演練 2a: 一火箭從高度224呎的平台以每秒80呎的速度發射升空,火箭高度與時間的關係式為S(t) =
−16t2+ 80t + 224
1. 求幾秒後火箭會落地面? 7 秒
2. 發射後火箭高度保持在320呎以上的時間點為何? (2, 3)
演練 2b: 解x2+ x > 6 x > 2, x <−3
演練 2c: 求x在哪些範圍時,會使得y = x2+ 3x− 5的圖形在直線 y = x + 3下方? −4 < x < 2
範例 4: 若不等式 ax2+ 5x + b > 0 的解為 −12 < x < 3 , 求實數a, b 值? a =−2, b = 3 演練 4a: 設 a, b 為實數, 且二次不等式 −x2 + ax + b > 0 的解是 −2 < x < 3 , 求a, b 的值?
a = 1, b = 6
演練 4b: 若二次不等式 f (x) = −x2 + ax + b > 0 的解是 −2 < x < 3, 則 f (2x) > 0 解為何?
−1 < x < 32
演練 4c: 若二次不等式 f (x) =−x2+ ax + b > 0 的解是 −2 < x < 3, 則 f (x− 1) < 0 解為何? x <−1, x > 4
二次式的恆正,恆負
範例 5: 解二次不等式 2x2− 4x + 5 ≥ 0 x∈ R
(解:)−1 1 2 3
2 4 6
8 y = f (x)
演練 5a: 解(x− 1)2 > 0 x6= 1
演練 5b: 求f (x) = x
2
2 − 4x + 8 的最小值? x = 4,min = 0
演練 5c: 解−x2−√2x > 2 不存在
演練 5d: 若函數 f (x) = x2 + 3x + k 的圖形恆在 g(x) = x + 3 的上方, 求實數 k 的範圍? k > 4
高次多項式不等式
範例 6: 已知多項式函數圖形如下;
x y
y = f (x)
(−2, 0)
(−1, 0) (1, 0) (0, 2)
1. 問 f (x) > 0的解為何? x <−2, −1 < x < 1, x > 1
2. 方程式 f (x) = 0的根為何? x =−2, −1, 1
3. 不等式 f (x)≤ 0 的解為何? −2 ≤ x ≤ −1 <, x = 1 演練 6a: 已知多項式函數圖形如圖示: 此函數應為下列哪一選項? 4
−3
−2
−1 1 2
y = f (x) (−1, 0) (1, 0)
(2, 0) (0, 1)
(1). −12(x2− 1)(x − 2)(x + 1) (2). −12(x2+ 1)(x− 2)(x + 1) (3). −12(x + 1)2(x− 1)(x− 2) (4). (x− 1)2(x + 1)(1− x2) (5). −(x − 1)2(x− 2)(x + 1)
範例 7: 已知 f (x) = x2(x− 2)
1. 求 f (x) 函數圖形與x, y 軸的交點坐標?
2. 利用函數與 x 軸上相交點所分割的區間, 判別 f (x) 在哪些區間的圖形在x 軸的上方、 下 方?
3. 求不等式 f (x) = x2(x− 2) ≤ 0 的解?
(解:)
f(x) = x2(x− 2)
(−1, −3) (1,−1)
(3, 9)
−2 −1 1 2 3
−4−3
−2−1 12 34 56 78 9
f (x) = x2(x− 2)函數值的正負所在區間 f > 0
f = 0 f < 0
區間 (−∞, 0) (0, 2) (2,∞)
x代表數 −1 1 3
函數值f (x) f (−1) = −3 −1 9
函數正負
− − +
演練 7a: 解不等式 f (x) = x3+ x2− 12x
1. 求f (x) 函數圖形與 x, y 軸的交點? x =−4, 0, 3;f(0) = 0
2. 當 |x| 頗大時, 觀察函數 f (x) 是否近似 g(x) = x3 ? yes
3. 求方程式 f (x) = 0的解? x =−4, 0, 3
4. 求不等式 f (x) < 0的解? x <−4, 0 < x < 3
(解:)
−40
−20 20 40
x1 x2 x3
(−4, 0)
(0, 0) (3, 0)
(−5, −40) (−2, 20)
(1,−10)
(4, 32) 區間 (−∞, −4) (−4, 0) (0, 3) (3, ∞)
x 代表數 −5 −2 1 4
函數值f (x) −40 20 −10 32
函數正負
− + − +
範例 8: 解不等式 (1− x)(x + 4)(x − 2) ≤ 0
(解:)[−4, 1] ∪ [2, ∞)
解不等式 x3− 5x2 + 2x + 8 < 0 x <−1, 2 < x < 4
演練 8a: 解不等式 x2(x− 4)(x + 1) < 0 −1 < x < 4, x 6= 0
演練 8b: 解不等式 1
2(x2− 1)(2 − x) > 0 x <−1, 1 < x < 2 演練 8c: 解不等式 3x4 + 10x≤ 11x3+ 4
(解:)−1 ≤ x ≤ 2 −√
2,23 ≤ x ≤ 2 +√ 2
演練 8d: 解不等式 x4 ≤ 4x2 −2 ≤ x ≤ 2
演練 8e: 解不等式 x3− x > 0 −1 < x < 0, 1 < x
演練 8f: 解不等式 x4 > x x < 0, x > 1
範例 9: 解不等式: x8− 1 < 0 −1 < x < 1
演練 9a: (x− 1)2(x + 2)(x− 3) < 0 −2 < x < 3, x 6= 1
演練 9b: (x− 1)3(x + 2)(x− 3) < 0 x <−2, 1 < x < 3 演練 9c: (x− 1)(x2+ 4x + 3)(x− 2) > 0
x > 2,−1 < x < 1, x < −3 分式不等式
範例 10: 解分式不等式:
1. 解不等式 2
x− 3 ≤ 2 x < 3, x≥ 4
2. 解不等式 (x + 3)(2− x)
(x− 1)2 > 0 −3 < x < 2, x 6= 1
3. 比較不等式 x + 1
x− 3 ≤ 2 與(x + 1)≤ 2(x − 3) 的解差異? x≥ 7, x < 3;x ≥ 7
4. 解不等式 x− 1
x + 5 > x + 3 x− 2
(−∞, −5) ∪ (−1311, 2)
演練 10a: 解不等式 3x
x + 6 < 0 −6 < x < 0
演練 10b: 解分式不等式 x− 1
x + 3 <−2 −3 < x < −53
演練 10c: 解分式不等式 4x + 5
x + 2 ≥ 3 x <−2, x ≥ 1
演練 10d: 解分式不等式 2(x + 2)
2(x− 5)
(x + 5)(x− 2)2 ≤ 0 −5 < x ≤ 5, x 6= 2
演練 10e: 解 x− 3
x + 4 ≥ x + 2 x− 5 (解:)(−∞, −4), [1
2, 5) 演練 10f: 解 2
x2− 4x + 3 ≤ 5 x2− 9
(解:)(−∞, −3) ∪ (1, 3) ∪ [113,∞)
習題2-4 多項式不等式
1. 若 i =√−1 則下列敘述何者為真? (1) 3 + i > 2 + i (2) i28 > i26 (3) (3 + 2i)(3− 2i) > 0 (4) √
−2√
−3 = √
6 (5) √√−2−3 =q
2
3 (6) √
−n =√ ni
2. 若對任意實數 x,二次式 kx2 + 2x + k 的值恆為正數,求實數 k 的範圍?
3. 一火箭從高度192呎的平台以每秒64呎的速度發射升空, 火箭高度與時間的關係式為 S(t) =
−16t2+ 64t + 192
(a) 求幾秒後火箭會落地面?
(b) 發射後火箭高度保持在240呎以上的時間點為何? 4. 解不等式 −2x2+ 4x− 5 > 0
5. 設二次不等式 f (x) = ax2 + bx + c < 0 之解為−6 < x < 4,求f (2x) > 0之解? 6. 不等式 ax2− 3x + b > 0 的解為 −3 < x < 12,求實數 a, b的值?
7. 多項式 f (x) = x4− 5x3+ 3x2+ 19x− 30,有一複數根 2 + i , 若實數a 滿足 f (a) < 0,求a 的範圍?
8. 解不等式:
(a) (x2+ 3x− 4)(x2− 5x + 6) < 0