• 沒有找到結果。

多項式不等式

在文檔中 1B2C polynomial (頁 39-46)

x1 x2 x3

+

− +

2: 高次多項式不等式 f (x) 正負的取值區間 簡易分式不等式: (Note: 驗解必須滿足分母不為0)

1. 先移項通分化簡, 切記不可交叉相乘 (因無法知公倍式值正負)。 g(x)

f (x) > h(x)

k(x) ⇒移項通分 A(x)

B(x) > 0, B(x)6= 0 2. A(x)

B(x) ≤0 ⇒ A(x)B(x) ≤ 0, B(x) 6= 0

例題

範例 1: 解一次不等式 1 < −3x + 1

4 ≤ 7 −9 ≤ x < −1

演練 1a: 解聯立不等式

2x + 3 > 5x− 3 5− x ≤ 7 + x

−1 ≤ x < 2

演練 1b: 解不等式 x− 3

2 > 2x + 1 3

x < 1

演練 1c:1

x + 4 > 0 x >−4

二次不等式

範例 2:x2 + 2x− 3 > 0 x > 1, x <−3

(解:)

−4 −3 −2 −1 1 2

−6

−4

−2 2

x1 x2

f > 0 f = 0 f < 0

演練 2a: 一火箭從高度224呎的平台以每秒80呎的速度發射升空,火箭高度與時間的關係式為S(t) =

−16t2+ 80t + 224

1. 求幾秒後火箭會落地面? 7

2. 發射後火箭高度保持在320呎以上的時間點為何? (2, 3)

演練 2b:x2+ x > 6 x > 2, x <−3

演練 2c:x在哪些範圍時,會使得y = x2+ 3x− 5的圖形在直線 y = x + 3下方? −4 < x < 2

範例 4: 若不等式 ax2+ 5x + b > 0 的解為 −12 < x < 3 , 求實數a, b? a =−2, b = 3 演練 4a:a, b 為實數, 且二次不等式 −x2 + ax + b > 0 的解是 −2 < x < 3 , 求a, b 的值?

a = 1, b = 6

演練 4b: 若二次不等式 f (x) = −x2 + ax + b > 0 的解是 −2 < x < 3, 則 f (2x) > 0 解為何?

−1 < x < 32

演練 4c: 若二次不等式 f (x) =−x2+ ax + b > 0 的解是 −2 < x < 3, 則 f (x− 1) < 0 解為何? x <−1, x > 4

二次式的恆正,恆負

範例 5: 解二次不等式 2x2− 4x + 5 ≥ 0 x∈ R

(解:)−1 1 2 3

2 4 6

8 y = f (x)

演練 5a:(x− 1)2 > 0 x6= 1

演練 5b:f (x) = x

2

2 − 4x + 8 的最小值? x = 4,min = 0

演練 5c:−x22x > 2 不存在

演練 5d: 若函數 f (x) = x2 + 3x + k 的圖形恆在 g(x) = x + 3 的上方, 求實數 k 的範圍? k > 4

高次多項式不等式

範例 6: 已知多項式函數圖形如下;

x y

y = f (x)

(−2, 0)

(−1, 0) (1, 0) (0, 2)

1. 問 f (x) > 0的解為何? x <−2, −1 < x < 1, x > 1

2. 方程式 f (x) = 0的根為何? x =−2, −1, 1

3. 不等式 f (x)≤ 0 的解為何? −2 ≤ x ≤ −1 <, x = 1 演練 6a: 已知多項式函數圖形如圖示: 此函數應為下列哪一選項? 4

−3

−2

−1 1 2

y = f (x) (−1, 0) (1, 0)

(2, 0) (0, 1)

(1). −12(x2− 1)(x − 2)(x + 1) (2). −12(x2+ 1)(x− 2)(x + 1) (3). −12(x + 1)2(x− 1)(x− 2) (4). (x− 1)2(x + 1)(1− x2) (5). −(x − 1)2(x− 2)(x + 1)

範例 7: 已知 f (x) = x2(x− 2)

1. 求 f (x) 函數圖形與x, y 軸的交點坐標?

2. 利用函數與 x 軸上相交點所分割的區間, 判別 f (x) 在哪些區間的圖形在x 軸的上方、 下 方?

3. 求不等式 f (x) = x2(x− 2) ≤ 0 的解?

(解:)

f(x) = x2(x− 2)

(−1, −3) (1,−1)

(3, 9)

−2 −1 1 2 3

−4−3

−2−1 12 34 56 78 9

f (x) = x2(x− 2)函數值的正負所在區間 f > 0

f = 0 f < 0

區間 (−∞, 0) (0, 2) (2,∞)

x代表數 −1 1 3

函數值f (x) f (−1) = −3 −1 9

函數正負

− − +

演練 7a: 解不等式 f (x) = x3+ x2− 12x

1. 求f (x) 函數圖形與 x, y 軸的交點? x =−4, 0, 3;f(0) = 0

2. 當 |x| 頗大時, 觀察函數 f (x) 是否近似 g(x) = x3 ? yes

3. 求方程式 f (x) = 0的解? x =−4, 0, 3

4. 求不等式 f (x) < 0的解? x <−4, 0 < x < 3

(解:)

−40

−20 20 40

x1 x2 x3

(−4, 0)

(0, 0) (3, 0)

(−5, −40) (−2, 20)

(1,−10)

(4, 32) 區間 (−∞, −4) (−4, 0) (0, 3) (3, ∞)

x 代表數 −5 −2 1 4

函數值f (x) −40 20 −10 32

函數正負

− + − +

範例 8: 解不等式 (1− x)(x + 4)(x − 2) ≤ 0

(解:)[−4, 1] ∪ [2, ∞)

解不等式 x3− 5x2 + 2x + 8 < 0 x <−1, 2 < x < 4

演練 8a: 解不等式 x2(x− 4)(x + 1) < 0 −1 < x < 4, x 6= 0

演練 8b: 解不等式 1

2(x2− 1)(2 − x) > 0 x <−1, 1 < x < 2 演練 8c: 解不等式 3x4 + 10x≤ 11x3+ 4

(解:)−1 ≤ x ≤ 2 −√

2,23 ≤ x ≤ 2 +√ 2

演練 8d: 解不等式 x4 ≤ 4x2 −2 ≤ x ≤ 2

演練 8e: 解不等式 x3− x > 0 −1 < x < 0, 1 < x

演練 8f: 解不等式 x4 > x x < 0, x > 1

範例 9: 解不等式: x8− 1 < 0 −1 < x < 1

演練 9a: (x− 1)2(x + 2)(x− 3) < 0 −2 < x < 3, x 6= 1

演練 9b: (x− 1)3(x + 2)(x− 3) < 0 x <−2, 1 < x < 3 演練 9c: (x− 1)(x2+ 4x + 3)(x− 2) > 0

x > 2,−1 < x < 1, x < −3 分式不等式

範例 10: 解分式不等式:

1. 解不等式 2

x− 3 ≤ 2 x < 3, x≥ 4

2. 解不等式 (x + 3)(2− x)

(x− 1)2 > 0 −3 < x < 2, x 6= 1

3. 比較不等式 x + 1

x− 3 ≤ 2 與(x + 1)≤ 2(x − 3) 的解差異? x≥ 7, x < 3;x ≥ 7

4. 解不等式 x− 1

x + 5 > x + 3 x− 2

(−∞, −5) ∪ (−1311, 2)

演練 10a: 解不等式 3x

x + 6 < 0 −6 < x < 0

演練 10b: 解分式不等式 x− 1

x + 3 <−2 −3 < x < −53

演練 10c: 解分式不等式 4x + 5

x + 2 ≥ 3 x <−2, x ≥ 1

演練 10d: 解分式不等式 2(x + 2)

2(x− 5)

(x + 5)(x− 2)2 ≤ 0 −5 < x ≤ 5, x 6= 2

演練 10e:x− 3

x + 4 ≥ x + 2 x− 5 (解:)(−∞, −4), [1

2, 5) 演練 10f:2

x2− 4x + 3 ≤ 5 x2− 9

(解:)(−∞, −3) ∪ (1, 3) ∪ [113,∞)

習題2-4 多項式不等式

1. 若 i =−1 則下列敘述何者為真? (1) 3 + i > 2 + i (2) i28 > i26 (3) (3 + 2i)(3− 2i) > 0 (4) √

−2√

−3 = √

6 (5) −2−3 =q

2

3 (6) √

−n =√ ni

2. 若對任意實數 x,二次式 kx2 + 2x + k 的值恆為正數,求實數 k 的範圍?

3. 一火箭從高度192呎的平台以每秒64呎的速度發射升空, 火箭高度與時間的關係式為 S(t) =

−16t2+ 64t + 192

(a) 求幾秒後火箭會落地面?

(b) 發射後火箭高度保持在240呎以上的時間點為何? 4. 解不等式 −2x2+ 4x− 5 > 0

5. 設二次不等式 f (x) = ax2 + bx + c < 0 之解為−6 < x < 4,求f (2x) > 0之解? 6. 不等式 ax2− 3x + b > 0 的解為 −3 < x < 12,求實數 a, b的值?

7. 多項式 f (x) = x4− 5x3+ 3x2+ 19x− 30,有一複數根 2 + i , 若實數a 滿足 f (a) < 0,求a 的範圍?

8. 解不等式:

(a) (x2+ 3x− 4)(x2− 5x + 6) < 0

在文檔中 1B2C polynomial (頁 39-46)

相關文件