並解此方程式?
29. 設 α, β, γ 為方程式 x3 − 3x2 + x− 4 = 0 之三根, 求 α2 + β2 + γ2 =?
30. 實係數多項式 f (x) , 若 f (3− 2i) = −5 + 4i , 則 f(3 + 2i) =?
31. 設 f (x) = x4 − x3 − 9x2 + 2x + 10 = 0, 則方程式 f (x) = 0 的實數根在那些 連續的整數之間?
32. 若方程式 2x4 − x3 + 2x2 − 6x − 5 = 0 , 有一根 1 +
√5
2 ; 求此方程式的其他 三根為?
33. 設方程式 x4+ ax3+ bx2− 4x − 12 = 0 其中兩解為2與 −3 , 試求 a 與 b 的值 及其他解?
34. 指出方程式 x3 − 3x2 + 2x + 7 = 0 的實根在那兩連續整數之間?
35. 判別方程式根:
(a) 判別方程式 x3 − 3x2 − 2x − 2 = 0 是否有有理根?
(b) 判別方程式 x3 − x + 6 = 0 是否有有理根?
(c) 方程式 x3 + 2x2 −√
2x − 2√
2 = 0 是否有有理根?
(d) 方程式 12x3− 8x2 − 21x + 14 = 0 有幾個實數根?
(e) 方程式 x3 + x2 − 2x + 1 = 0 有幾個正實數根?
(f) 方程式 x2 − (1 + i)x + i = 0 是否有實數根? 若有則實根為何?
2.4
多項式不等式
不等式的基本性質: 不等式左右兩式, 未具等量乘律。 不可任意乘除一數 · · · 實數次序性質:
1. 三一律: a > b, a = b, a < b 三式中恰有一式會成立。
2. 遞移律: 若 a > b 且 b > c 則 a > c
3. 加法律: 若 a > b , 則 a + c > b + c (c ∈ R) 4. 乘法律 : 若 n a > b, c > 0 則 ac > bc
a > b, c < 0 則 ac < bc 二次不等式的恆正與恆負:
幾何觀點: 函數圖形恆在 x 軸上方表 f (x) 值恆為正數。 函數圖形恆在 x 軸下方 表 f (x) 值恆為負數。
代數觀點:
1. 若 f (x) = ax2 + bx + c > 0 恆成立, 表方程式 f (x) = 0 無實數解。 故 b2 − 4ac < 0 且 a > 0
2. 若 f (x) = ax2 + bx + c < 0 恆成立, 表方程式 f (x) = 0 無實數解。 故 b2 − 4ac < 0 且 a < 0
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.4 多項式不等式 · 高次不等式的解法:
代數觀點:
先將其因式分解, 可直接去除恆正 (負) 的二次因式。
f (x) = a(x− xn)· · · (x − x3)(x− x2)(x− x1) ≶ 0, a > 0
將 f (x) = 0 的實數解畫記在 x 軸上, 由右往左依序採一正 , 一負的區間分別為 不等式f (x) > 0 及 f (x) < 0 的解。
+ +
- -+
x x
x
x 4 3 2 1
圖 2-4: 高次多項式不等式 f (x) 正負的取值區間
幾何觀點: 先作出函數圖形, 再由函數值正負判別出高次多項不等式的區間。
分式不等式: (Note: 分母不為0)
1. 先移項通分化簡, 切記不可交叉相乘 (因無法知公倍式值正負)。
g(x)
f (x) > h(x)
k(x) ⇒ 移項通分 ⇒ A(x)
B(x) > 0, B(x) 6= 0 2. A(x)
B(x) ≤ 0 ⇒ A(x)B(x) ≤ 0, B(x) 6= 0 精選範例
例題1 解一次不等式 1 < −3x + 14 ≤ 7 [Ans:−9 ≤ x < −1]
例題2 解不等式 x3 − 5x2 + 2x + 8 < 0 [Ans:x < −1, 2 < x < 4]
例題3 若不等式 ax2 + 5x + b > 0 的解為 −12 < x < 3 , 求實數 a, b 值?
[Ans:a = −2, b = 3]
例題4 設 a, b 為實數, 且二次不等式 −x2+ ax + b > 0 的解是 −2 < x < 3 , 求a, b 的 值? [Ans:a = 1, b = 6]
例題5 解不等式 x8 − 1 < 0 [Ans:−1 < x < 1]
例題6 已知多項式函數圖形如右; 問 f (x) > 0 的解為何? 方程式 f (x) = 0 的根為何?
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.4 多項式不等式 ·
[Ans:x <−2, −1 < x < 1, x > 1; x = −2, −1, 1]
x y
y = f (x)
−2 −1 1
例題7 解不等式:
(a) (x− 1)2(x + 2)(x− 3) < 0 [Ans:−2 < x < 3, x 6= 1]
(b) (x− 1)3(x + 2)(x− 3) < 0 [Ans:x < −2, 1 < x < 3]
(c) (x− 1)(x2 + 4x + 3)(x− 2) > 0 [Ans:x > 2,−1 < x < 1, x < −3 ] 習題2-4 多項式不等式
1. 若 i = √
−1 則下列敘述何者為真? (1) 3 + i > 2 + i (2) i28 > i26 (3) (3 + 2i)(3− 2i) > 0 (4) √
−2√
−3 =√
6 (5) √√−2−3 = q23
2. 若對任意實數 x, 二次式 kx2 + 2x + k 的值恆為正數, 求實數 k 的範圍?
3. 解不等式 −2x2 + 4x− 5 > 0
4. 設二次不等式 f (x) = ax2+ bx + c < 0 之解為−6 < x < 4, 求f(2x) > 0之解?
5. 不等式 ax2 − 3x + b > 0 的解為 −3 < x < 12, 求實數 a, b 的值?
6. 已知 k ∈ R, ∀x ∈ R, f(x) = x2 + kx + (k + 1) 恆為正數, 求實數 k 之範圍?
7. 設 a ∈ R, ∀x ∈ R, f(x) = ax2+ 2a(1− a)x + 4a 恆為負數, 求實數 a 之範圍?
8. 多項式 f (x) = x4 − 5x3 + 3x2+ 19x− 30, 有一複數根 2 + i , 若實數 a 滿足 f (a) < 0, 求 a 的範圍?
9. 解不等式:
(a) (x2+ 3x− 4)(x2− 5x + 6) < 0 (b) 不等式: (x− 1)2(x− 2) > 0
(c) 不等式: 6x3 + 7x2 − 9x + 2 > 0 (d) 不等式 −x2 + 2x > 7
10. 二次函數 y = f (x) = (5−m)x2−6x+(m+2), m ∈ R 圖形恆在直線y = −3的 上方, 則 m 的範圍為?
11. 已知 k 為實數且方程式 x2+ (2− k)x + k = 0 的兩根為相異實數, 則 k 之範圍
為何?
順伯的窩
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12. 解分式不等式:
(a) x + 3
x2 − x − 2 < 0 (b) x2 − 4
x + 1 > 0 (c) 1
x + 2 < 3 (d) 3
x + 2 < x 13. 解下列不等式:
(a) f (x) = (1− x)(x + 1)(x − 2)(x − 3) < 0 (b) g(x) = (x + 1)(x− 2)2(x− 3) ≥ 0
(c) h(x) = (x + 1)(x− 2)3(x− 3)(x2 − x + 3) ≥ 0 (d) 4x + 6
x2 + x− 12 ≤ −1
(e) (2− x)(x2 − 3x + 1) < 0 (f) 3x3 − 14x2+ 5x + 2 > 0
第 3 章 指數對數函數
3.1
指數與指數定律
指數定義: an = a| · a · · · · a{z }
n個
, 當 a > 0, a 6= 1 時稱 a 為底數,n為其指數 整數指數:
1. 指數律: a, b ∈ R; m, n ∈ Z aman = am+n
(am)n = amn ambm = (ab)m
2. 零指數的定義: 底數 a 為異於 0 的實數, 則 a0 = 1。 說明: 1 = aamm = am−m = a0
3. 負指數: a−n = 1an。 說明: am−m = am· a−m = a0 = 1 有理數指數:
1. 定義: 若 a, b > 0, m, n ∈ N, n ≥ 2則 ar = an1 = (√n
a) = √n a 2. 指數律: r, s ∈ Q
aras = ar+s (ar)s = ars arbr = (ab)r
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