多項式方程式

複數 _{C :} 實數與虛數合稱為複數。

• 虛數單位_{i : i =}^√₋₁是方程式_x²_{+ 1 = 0}的一個根_,因此_i² ₌₋₁。_{b > 0,}^√_{−b =}^√_bi ,i 稱為虛數單位。

• 複數_: 當 _{a, b} 為實數_{, i =} ^√_{−1 ,} 則形如_{Z = a + bi} 的數_, 稱為複數。 其中 _{Re(Z) = a} 稱為 _Z 的實部_{,Im(Z) = b} 稱為 _Z 的虛部。

• 純虛數_: 當 _{a, b} 為實數_{, i =} ^√−1 ,z = a + bi 若 Re(Z) = 0, b 6= 0 稱為純虛數。 若 Im(Z) = 0 為實數。

複數C

“實根 _{α ”α} 也就是函數 _{f (x)} 圖形與_x 軸的相交點橫坐標。

Thinking!

1. 多項式方程式有沒有根_?(涉及代數基本定理₎ 2. 有多少個根_?(代數基本定理、 因式定理₎

3. 如何求其根_?(整係數有理根檢驗法、 實係數勘根定理、 因式定理₎ 二次方程式的根_:

求 一元二次方程式 _ax²+ bx + c = 0的常見方法

• 十字交叉乘法_{: ax}²+ bx + c = (a1x + c1)(a2x + c2) = 0

• 配方法_{: ax}² + bx + c = a(x +_2a^b )²−^b2−4ac_4a = 0

• 公式解_{: x = −b ±}

√b² − 4ac 2a

• 根與係數關係_: 兩根 _α、_β 則







α + β = −ba αβ = ca

• 根的判別式_{: ∆ = b}²_{− 4ac}

1. 若_{∆ = b}²− 4ac > 0 則有兩相異實根。

2. 若_{∆ = b}²_{− 4ac = 0} 則為兩相等實根。

3. 若_{∆ = b}²− 4ac < 0 則無實數解。₍兩共軛複數根₎ 判別正負根_{: ∆ = b}²− 4ac < 0 無法判別

1. 兩正根_{: ∆} ≥ 0, α + β = −ba > 0, αβ = c a > 0 2. 兩負根_{: ∆} ≥ 0, α + β = −ba < 0, αβ = c

a > 0 3. 一正根一負根: ∆ > 0, αβ = ca < 0

• 有理係數的一元二次方程式: f (x) = ax²+ bx + c = 0 ; a, b, c ∈ Q 有理根判別_: 利用一次因式檢查法₍牛頓定理_{),f (x)} 有一次因式_{px + q} 若有一根形如 _{d + e}^√_f 則必有另一根 _{d− e}^√_f

1. 有兩相異有理根 _⇔判別式 _{∆ = b}²− 4ac > 0 且 _∆為完全平方數。

2. 有兩相等有理根 _⇔判別式 _{∆ = b}²_{− 4ac = 0}

3. 有兩相異無理根 _⇔判別式 _{∆ = b}²− 4ac > 0 且 _∆非完全平方數。

整係數多項式的一次因式檢驗法₍牛頓定理_):

(整係數多項式方程式有理根檢驗法₎

整係數多項式的一次因式檢驗法_:

設 _{f (x) = anx}ⁿ_{+ an−1x}ⁿ⁻¹_{+· · · + a2x}²_{+ a1x + a0} 是整係數 _n 次多項式。

若 _{px− q} 是_{f (x)} 的因式_, 且_p和_q為互質的整數_, 則 _p|an 且_q|a0 (即 _p必為 _an 的因數_{, q} 必為_a0 的因數₎。

勘根定理_:

設 _{f (x) = 0}為一實係數方程式_,若 f (a)f (b) < 0, 則 ∃c ∈ (a, b)使得 _{f (c) = 0} 即在_{a, b} 之間 _,至少有一實根 _c使得 _{f (c) = 0}

1. 若f (a)f (b) < 0 , 則在 _{a, b} 之間一定有奇數個根。

2. 若f (a)f (b) > 0 , 則在 _{a, b} 之間無根或有偶數個根。

代數基本定理_:

每一複係數 _n 次多項方程式 _{f (x) = anx}ⁿ_{+ an−1x}ⁿ⁻¹_{+· · · + a1x + a0 = 0} 恰有_n個複數根。₍ f (x) 可分解成 _n個複係數一次因式乘積₎

韋達定理₍方程式根與係數關係_{): 1.} 一元二次方程式_{: ax}²+ bx + c = 0 的根為 _{α, β} 則







α + β = −ba α· β = ca

2. 一元三次方程式_{: ax}³_{+ bx}²+ cx + d = 0 的根為 _{α, β, δ} 則











α + β + γ = −ba

α· β + α · γ + β · γ = ca α· β · γ = −da

共軛虛根成雙定理_:

實係數方程式 f (x) = 0 , 若有複數根 z = a + bi , 則其共軛複數 _{z = a− bi} 亦為其根。 即 f (z) = 0則_{f (z) = 0}

二次有理係數方程式f (x) = 0 ,若有無理根_{a + b}^√_{c ,} 則_a−b^√_c亦為其根₍其中_{a, b, c∈ Q)}。

Note: 實係數多項式必可分解成實係數一次因式或二次因式的乘積。

勘根定理_:

設 _{f (x) = 0}為一實係數方程式_,若 f (a)f (b) < 0, 則 ∃ c ∈ (a, b) 使得 _{f (c) = 0} 即在_{a, b} 之間至少有一實根 _c使得 _{f (c) = 0}

1. 若f (a)f (b) < 0 , 則在 _{a, b} 之間一定有奇數個根。

2. 若f (a)f (b) > 0 , 則在 _{a, b} 之間無根或有偶數個根。

正 _n 次方根 ^√n_a 的意義_:

表 _1: 多項式函數與多項式方程式的一些性質

演練 _3b: 若二次方程式 _2x²+ 3x + c = 0 有虛數根_, 求實數_c 的範圍_? ^{c >}

9 8

演練 _3c: 若某二次方程式的兩根為 ^{1 +}

√6

3 ,1−√ 6

3 , 則此方程式為何_? ^9x

2− 6x − 5 = 0

演練 _3d: 判別二次方程式的根解_:

1. 有理係數方程式整數解的個數_{: 2x}²− x − 3 = 0 整係數因式分解法_;1個

2. 有理係數方程式有理數解的個數_{: 2x}²− x − 3 = 0 判別式 _∆ 為有理數完全平方數_;2個

3. 實係數方程式實數解的個數_{: x}²− 5x + 5 = 0 判別式 ∆ > 0 ;2個

4. 複係數方程式實數解的個數_{: 2x}²_{+ 2(1}− i)x + (1 − i) = 0 設_α 為實數解_, 代入_, 比較實虛部。 無解 _⇒ 兩複數根 5. 複係數方程式實數解的個數_{: x}²_{+ (1}− i)x − i = 0

設_α 為實數解_, 代入_, 比較實虛部。_{α =−1 ⇒} 有一實根_−1, 一複數根_{i (}根與係數關係₎ 方程式根與係數的關係

範例 _4: 設二次方程式 _x²− x − 11 = 0 的兩根為 _{α, β ,} 求 ^α β + β

α 的值_?

−23 11

演練 _4a: 設二次方程式 _3x²− 11x + 7 = 0 的兩根為 _{α, β ,} 求 1. 1

α + 1 β 值_?

11 7

2. α²β + αβ² 值_?

77 9

3. (α− 1)(β − 1)值_?

32 9

演練 _4b: 二次方程式_x²− kx + 4 = 0有一根為_{1 + i,}求_k 值及方程式另一根為何_? ^{k =} −3 + i ;2 − 2i 演練 _4c: 已知方程式_x² + 6x + k = 0 的兩根差為_2, 求常數_k 值_? ^{k = 8}

演練 _4d: 在解一元二次方程時_, 甲只看錯方程式的常數項_, 解出方程式的兩根為 _{1, 4 ;} 而乙恰只看錯 一次項係數_,解出兩根為 _{−1, 6 ,} 則正確方程式應為何_? ^x

2− 5x − 6 = 0

範例 _5: 設方程式 _x³ _{− 3x}² − 13x + k = 0 的三個根成等差數列_, 試求 _k 值_, 並求此方程式的根_? k = 15; 三根 _{−3, 1, 5}

演練 _5a: 若已知多項式 _{f (x) = x}²_{− 4x + 3k} 除以 _{x + 5} 的餘式為 ₃₃ 。 求方程式 _{f (x) = 0} 的兩根

乘積_? ⁻¹²

演練 _5b: 若已知方程式 _x²− 3x + c = 0 的一根為 _5, 求常數_c 值_? 另一根為何_? ^{c =}−10, r = −2

演練 _5c: 二次方程式的兩根和為_4, 乘積為_5, 則此方程式的兩根為何_? ^{2± i} 演練 _5d: 若f (x) = (2x + 1)(x²+ x− 3)(x²− x + 3) ,求

1. 方程式 _{f (x) = 0}所有有理根的和_?

−1 2

2. 方程式_{f (x) = 0}無理根的和_? ⁻¹

3. 方程式 _{f (x) = 0}所有實數根的和_?

−3 2

4. 方程式_{f (x) = 0}所有根的和_?

−1 2

整係數多項式一次因式檢驗法

範例 _6: 試分解出 _{f (x) = 6x}⁴_{− 5x}³_{+ 9x}²_{+ 4x− 4} 的整係數一次因式_? f (x) = (2x− 1)(3x + 2)(x²− x + 2)

試求 _{f (x) = 2x}³_{− 11x}²_{+−7x − 6} 的因式分解_? f (x) = (2x + 1)(x− 1)(x + 6)

演練 _6a: 求多項式 _2x³ _{− x}²_{+ 2x− 3} 的整係數一次因式_? ^{x− 1}

演練 _6b: 求多項式 _2x³ _{+ 11x}²_{− 7x − 6} 的整係數一次因式_? ^x− 1, 2x + 1, x + 6 演練 _6c: 找出多項式f (x) = 16x³ − x² + 116 x − 1 的一次因式_?

f (x) = 16(x − 1)(x − 2)(x − 3) 整係數方程式有理根判別法

範例 _7: 求方程式 _x⁴_{− 5x}²− 10x − 6 = 0的有理根_? ^{−1, 3}

求方程式 _4x⁴_{− 37x}²_{+ 9 = 0} 的有理根_? ^{±3, ±}

1 2

演練 _7a: 求多項式方程式 _{f (x) = x}³_{− 4x}²_{+ 6x− 4 = 0} 的有理根_{? x = 2;} 複數根_{1± i} 演練 _7b: 求多項式方程式 _{f (x) = 2x}³_{+ 10x}²+ x + 5 = 0 的有理根_{? x =−5}

演練 _7c: 求多項式方程式 _{f (x) = x}³_{+ x}²− 4x − 4 = 0 的有理根_{? x =−1, ±2}

演練 _7d: 證明_: 方程式 _{f (x) = x}³− 4x − 2 = 0 沒有有理根 有理根判別法

範例 _8: 利用一次因式檢驗法 ₍有理根定理_), 證明 ^√3₁₀ 是無理數?(hint:f (x) = x³− 10 = 0 沒有 有理根₎

演練 _8a: 利用有理根判別法_, 方程式_x⁴ _{− 12 = 0}沒有有理根。 證明_: ^√4 ₁₂是無理數。

範例 _9: 將_x⁵ _{− 4x}³_{+ x}²_{− 4} 因式分解至

1. 實係數一次或二次因式乘積為_{? (x}² − x + 1)(x + 1)(x + 2)(x − 2)

2. 一次因式乘積為_{? (x−} ¹⁺₂^√3i_)(x−¹⁻₂^√3i)(x + 1)(x + 2)(x− 2) 演練 _9a: 試將 _{f (x) = x}³ _{+ 3x}²_{− x − 6} 化成

1. 有理係數因式乘積 ^{(x + 2)(x}

2+ x− 3)

2. 實係數因式乘積_? (解_:)^_{x + 2}^{ }_{x +} ¹

2 +^√₂¹³ 

x + ¹₂ − ^√₂¹³ 演練 _9b: 試將 f (x) = 12x⁴+ 7x² − 10化成實係數因式乘積_?

1. 有理係數因式乘積 ^(3x

2− 2)(4x²+ 5) 2. 實係數因式乘積_?

(解_:)(^√_3x−^√₂₎₍^√_{3x +}^√_2)(4x²_{+ 5)} 3. 一次因式乘積_?

(解_:)(^√_3x−^√₂₎₍^√_{3x +}^√_{2)(x +} ^√5i

2 )(x− ^√₂⁵ⁱ)

演練 _9c: 若_{(x− 4)} 是多項式 _{f (x) = 6x}³_{+ ax}²_{+ bx + 8} 的因式_, 且_{f (x)} 除以 _{(x + 1)}餘式為₋₁₅

,試將 _{f (x)} 因式分解實係數一次因式乘積_? ^(x− 4)(2x − 1)(3x + 2)

演練 _9d: 試將 _{f (x) = 3x}⁴_{+ 5x}³_{+ 25x}²_{+ 45x− 18} 表成實係數因式乘積_? (解_:)^_3x²_{+ 27}^{ }_x− ¹

3

 

x + 2 實係數方程式的共軛複根

範例 _10: 已知方程式 _x⁴ _{− 6x}³ _{+ 16x}² − 20x + 12 = 0 有一根是 _{2 +} ^√_{2i ,} 試解這方程式_? x = 1± i, 2 ±√

2i

演練 _10a: 多項式 _{f (x) = 2x}⁵_{− x}⁴_{− 4x}³_{+ 2x}²_{− 30x + 15}

1. 將多項式因式分解成有理係數一次因式或二次因式乘積_? (解:)f (x) = (2x− 1)(x²− 5)(x²+ 3)

2. 將多項式因式分解成實係數一次因式或二次因式乘積_? (解:)f (x) = (2x− 1)(x +√

5)(x−√

5)(x²+ 3) 3. 將多項式因式分解成一次因式乘積_?

(解:)f (x) = (2x− 1)(x +√

5)(x−√

5)(x +√

3i)(x−√ 3i) 4. 解方程式 _{f (x) = 0}所有根

1 2,±√

5,±√ 3i

演練 _10b: 已知 _{1, 1,−4 + i} 為實係數四次多項式方程式 _{f (x) = 0}的根_, 求此多項式 _{f (x)?}

a(x⁴+ 6x³+ 2x²− 26x + 17)

演練 _10c: 已知 _{2 + i,−3i}為實係數四次多項式 _{f (x)} 的零解₍函數值為_0),求此多項式_? a(x⁴− 4x³+ 14x²− 36x + 45)

演練 _10d: 若已知 _{f (x)} 為領導係數₁的有理係數多項式_, 且方程式 _{f (x) = 0} 有一根為 ₋^√_3, 一根為

1 + i , 求具有最低次數的 _{f (x)} 多項式_? ^x

4− 2x³− x²+ 6x− 6

演練 _10e: 解方程式 _{f (x) = x}³_{− 2x}²_{+ 9x− 18 = 0} ^{x = 2,±3i}

演練 _10f: 解方程式 _{f (x) = 2x}⁴ _{− 9x}³_{− 16x}²− 9x − 18 = 0 x =−³₂, 6,±i 勘根定理應用

範例 _11: 已知方程式_x³_{−2x−7 = 0}恰有一正根_,則此正根介於哪兩連續整數之間_? ^{(2, 3)} 討論方程式_{f (x) = x}⁵_{− x}³_{− 1 = 0} 根介於哪兩連續整數之間_? ^{(1, 2)}

(解:)f (x) = x³(x²− 1) − 1,x < 0, x³(x²− 1) < 0, f(x)恆負; 0 < x < 1, x³(x²− 1) < 0, f(x) 恆負;f (1)f (2) < 0; x > 2, x³(x²− 1) > 1, f(x) 恆正

演練 _11a: 利用勘根定理判別方程式 _x³_{+ x}² _{− 6x = 0}在下列區間內是否有實根_?

i. 在區間 _{(−4, −2)} 是否有實根_? ^yes

ii. 在區間 _{(−1, 3)} 是否有實根_?

(解_{:)f (}−1)f(3) > 0, 無法據此判斷是否有實根。₍事實上在區間 _{(−1, 3)} 內有兩實根₎ 演練 _11b: 已知方程式_x³ _{− 3x}²_{+ 5 = 0} 恰有一實根_,則此根介於哪兩連續整數之間_? ^{(−2, −1)}

演練 _11c: 已知方程式 _x³ _{− 6x}²+ 5x + 1 = 0 有三實根_, 則此三實根分別介於哪些連續整數的區間_? (−1, 0), (1, 2), (4, 5)

演練 _11d: 已知方程式_{f (x) = x}³_{− 5x}²+ 3x + 2 = 0 有三實根_, 則此三實根分別介於哪些連續整數的

區間_? ⁽−1, 0), (1, 2), (4, 5)

笛卡兒符號法則₍方程式 _{f (x) = 0}正負根的個數_): 實係數多項式 _{f (x)} 按降冪方式排列_: 1. 方程式 _{f (x) = 0}的正根的個數最多等於 _{f (x)} 相鄰的非零係數 ₊、₋ 符號的變化次數_,

或者比它少偶數個個數。

2. 方程式 _{f (x) = 0} 的負根的個數最多等於 _{f (−x)} 相鄰的非零係數 ₊、₋符號的變化次 數_,或者比它少偶數個個數。

範例 _12: 補充_: 利用笛卡兒符號法則_, 說明方程式_x³_{+ x}²− x − 1 = 0 正負根的個數_?

(解:)sign f (x) = x³+ x²− x − 1 = Sign (+ + −−) = 1 , 表方程式 _{f (x) = 0}最多₁個正根 sign f (−x) = −x³+ x²+ x− 1 = Sign (− + +−) = 2 ,表方程式 _{f (x) = 0}有₂個或₀個負根 fact: 方程式 f (x) = (x + 1)²(x− 1) = 0 的根為 _{x =−1, −1, 1}

演練 _12a: 判斷方程式 _{f (x) = x}³_{− x}²− 14x + 24 = 0 正負根的個數_? 正根_: 最多₂或₀個_, 負根_: 最多₁個

演練 _12b: 方程式_{f (x) = x}³ _{+ 7x}²_{+ 4 = 0} 所有實根介於哪兩連續整數之間_?(笛卡兒符號法則_, 勘根 定理₎

(解_:)笛卡兒符號法則_:(正根_:0個_, 負根_: 最多₁個₎。 實係數方程式虛根成雙定理_, 確定₁個負 根_, 兩共軛複根。

勘根定理_{: f (}−7)(−8) < 0 , 方程式 _{f (x) = x}³ _{+ 7x}²_{+ 4 = 0} 只有一實根介於 _{[−7, −8]}

兩整數之間。

習題_2-3 多項式方程式 1. 計算 _{( 1 + i√}

2 )⁵⁰+ ( 1 − i√ 2 )⁵⁰=?

2. 設 _{f (x) = x}¹⁰⁰_{+ x}⁵⁰_{+ 1 ,} 求_{f (−}^{1 + i}_√

2 ) 之值_?

3. 設 _{α =−1 + 2}^√_{2i ,}利用餘式定理求 _α³_{+ 2α}²_{+ 8α + 15} 的值_? 4. 化簡₍^{1 + i}

1− i)²⁰⁰² =?

5. 若_{ω = −1 +}

√3i

2 , ω³ = 1 求_{(−1 +}^√_3i)¹⁰_{+ (1 +}^√_3i)¹⁰= a + bi; a, b ∈ R 則_{a =?, b =?}

6. 解二次方程式

(a) 解_x²+ x + 1 = 0

(b) 求二次方程式 _x²_{+ 12 = 6x} 的複數根_? (c) x²+ 5x + 8 = 0

7. 若已知方程式 _−3x²+ 9x + c = 0 的一根為 ^√_2, 求常數 _c值_? 另一根為何_? 兩根是否為共軛 複根₍為什麼_)?

8. 設 _{α, β} 是二次方程式 _x²− 2x − 5 = 0 的兩根_, 求_α²_{+ β}² 與 _α³_{+ β}³ 值_?

9. 設_{α, β} 為方程式 _x²+ 3x + 4 = 0 的兩根_,試求以 α(β + 1), β(α + 1) 為兩根的二次方程式 為_?

10. 已知 _{α, β} 為方程式 _5x²− 7x + 4 = 0 的兩根_, 求_α²_{+ β}² 及 _{α +}^{1 1} β 之值_? 11. 解下列方程式_:

(a) 利用綜合除法解 _{f (x) = x}³ _{− 4x}²_{+ 6x− 4 = 0} (b) 利用有理根判別法解 _2x³_{− 3x}² _{+ 8x− 12 = 0}

(c) 若已知_{x = 3, 2− i} 為實係數多項式方程式_{f (x) = 0}的解_, 則_{f (x)}領導係數為₁的最低 次多項式為何_?

12. 討論_: 方程式 _x³_{+ x− 1 = 0} 是否有實根_? 13. 用牛頓定理解方程式 _x³_{+ x}²− 10x − 6 = 0

14. 試將 _{f (x) = 3x}⁴_{− 11x}³_{+ 10x− 4}化成實係數因式乘積_? 15. 解 _{f (x) = x}³ _{+ 7x}²_{− 36 = 0}

16. 解方程式 _{f (x) = x}⁵_{− 5x}⁴_{+ 12x}³_{− 24x}²_{+ 32x− 16 = 0} 的實根_?

17. 若 _x³_{+ 3x}²_{− 9x + c} 恰可分解兩個相異整係數一次因式_, 試因式分解 _{f (x) ,} 並求出_c 值_? 18. 設 _{f (x) =−4x}³_{+ 5x}²_{+ ax + 4} 有_{x + 2} 的一次因式_, 求 _{a =?}

19. 試證_{: 8}²⁰_{− 5}²⁰ 是₃的倍數也是₁₃的倍數。

20. 設_{a, b∈ N ,} 且整係數多項式_{f (x) = x}⁵_{− 2ax}⁴_{+ x}³_{− bx}²_{+ x− 2}有一次因式。 則_{a =?, b =?}

21. 試因式分解 _x³_{− 3x}²_{− x + 3}

22. 整係數多項式 _{f (x) = 9x}⁴_{+ ax}³_{+ bx}²_{+ cx + 1} 有四個相異一次因式_, 求_{a− b + c =?}

23. 設多項式_{f (x) = 2x}⁴_−9x³_+3x²_+24x+10,先求_{f (x) = 0}的有理根_,進而解方程式 _{f (x) = 0} 24. 找出多項式所有有理係數一次因式_?

(a) f (x) = x³+ 3x²− 4x − 12

(b) f (x) = 2x⁵ − 33x⁴− 84x³+ 2203x²− 3348x − 10080 25. 解方程式 _x³_{+ x}²− x − 1 = 0

26. 若_{a, b∈ R ,}且方程式_x⁴_{− x}³_{+ x}²+ ax + b = 0有一根為_{1− 2i ,} 求_{a, b}值_? 並解此方程式_? 27. 設 _{f (x) = x}³_{− 2x}²+ ax + b = 0為一實係數方程式_,且 _{f (2}− i) = −1 − i , 求_{a, b}值_? 並求

f (2 + i) =?

28. 實係數方程式 _ax³_{+ 9x}²_{+ ax− 30 = 0} 有一根_{−3 + i ,} 求 _a 值_? 及其它根_? 29. 若 _{a, b∈ R ,} 且 _{−2 + bi}是方程式 _x² + ax + (a + 3) = 0 的一根_, 求數對 _{(a, b) =?}

30. 設 _{α, β, γ} 為方程式 _x³_{− 3x}² _{+ x− 4 = 0} 之三根_,求 _α²_{+ β}²_{+ γ}² _=?

31. 解方程式 _3x³_{− 14x}²+ 5x + 2 = 0 32. 解方程式 _x³_{− 3x}²− x + 6 = 0

33. 若多項式 _{f (x) = 2x}³_{− 5x}²_{− 4x + 3 ,}求 (a) 解方程式 _{f (x) = 0}

(b) 解方程式 _{f (x− 1) = 0} (c) 解方程式 f (x + 2) = 0 (d) 解方程式 _{f (2x) = 0}

34. 實係數多項式 _{f (x) ,}若 _{f (3}− 2i) = −5 + 4i , 則f (3 + 2i) =?

35. 求滿足下列條件的最低次數多項式_? (a) −1 +√

3,−i ,為實係數多項式的零解_? (b) −1 +√

3,−i ,為有理係數多項式的零解_? (c) −1 +√

3i,i− 1 , 為有理係數多項式的零解_? (d) 1

2,2−√

3,2 + i ,為有理係數多項式方程式 _{f (x) = 0}的根_?

36. 利用勘根定理求方程式 _x³_{+ x}² _{+ x− 2 = 0} 的一個實根之近似值_, 並使其誤差小於 ¹ 10 ? 37. 若方程式 _2x⁴_{− x}³_{+ 2x}²− 6x − 5 = 0 ,有一根 ^{1 +}

√5

2 ; 求此方程式的其他三根為_? 38. 設方程式 _x⁴_{+ ax}³_{+ bx}² − 4x − 12 = 0 其中兩解為₂與 _{−3 ,} 試求 _a 與_b 的值及其他解_? 39. 設_{f (x) = x}⁴_{− x}³_{− 9x}²+ 2x + 10 = 0,則方程式 _{f (x) = 0}的實數根在那些連續的整數之間_? 40. 指出方程式 _x³_{− 3x}²+ 2x + 7 = 0 的實根在那兩連續整數之間_?

41. 判別方程式根_:

(a) 判別方程式 _x³_{− 3x}²− 2x − 2 = 0 是否有有理根_? (b) 判別方程式 _x³− x + 6 = 0是否有有理根_?

(c) 方程式 _x³ _{+ 2x}²₋^√_{2x− 2}^√_{2 = 0} 是否有有理根_?

(d) 方程式 _12x³_{− 8x}²− 21x + 14 = 0 有幾個實數根_?

在文檔中 1B2C polynomial (頁 25-39)