幂级数的收敛域

幂级数的收敛域

对于幂级数

∑∞ n=0

_nⁿ，

若  = 0 时级数收敛，称 ₀ 为幂级数的收敛点；

若  = 0 时级数发散，称 ₀ 为幂级数的发散点． 幂级数的全体收敛点构成的集合称为幂级数的收敛域．

.

.

幂级数的收敛域

对于幂级数

∑∞ n=0

_nⁿ，

若  = 0 时级数收敛，称 ₀ 为幂级数的收敛点；

若  = 0 时级数发散，称 ₀ 为幂级数的发散点．

幂级数的全体收敛点构成的集合称为幂级数的收敛域．

.

.

.

幂级数的收敛域

对于幂级数

∑∞ n=0

_nⁿ，

若  = 0 时级数收敛，称 ₀ 为幂级数的收敛点；

若  = 0 时级数发散，称 ₀ 为幂级数的发散点．

幂级数的全体收敛点构成的集合称为幂级数的收敛域．

.

.

定理 1 对幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，设 lim

n→∞

 

n+1

n



 = ρ，则

1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛；

2 当 || > 1/ρ 时，级数发散；

3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定．

定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R^,R) 为幂级数的收敛区间．

注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．

.

.

.

定理 1 对幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，设 lim

n→∞

 

n+1

n



 = ρ，则

1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛；

2 当 || > 1/ρ 时，级数发散；

3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定．

定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R^,R) 为幂级数的收敛区间．

注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．

.

.

定理 1 对幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，设 lim

n→∞

 

n+1

n



 = ρ，则

1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛；

2 当 || > 1/ρ 时，级数发散；

3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定．

定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R^,R) 为幂级数的收敛区间．

注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．

.

.

.

定理 1 对幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，设 lim

n→∞

 

n+1

n



 = ρ，则

1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛；

2 当 || > 1/ρ 时，级数发散；

3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定．

定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R^,R) 为幂级数的收敛区间．

注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．

.

.

定理 1 对幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，设 lim

n→∞

 

n+1

n



 = ρ，则

1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛；

2 当 || > 1/ρ 时，级数发散；

3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定．

定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R^,R) 为幂级数的收敛区间．

注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．

.

.

.

定理 1 对幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，设 lim

n→∞

 

n+1

n



 = ρ，则

1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛；

2 当 || > 1/ρ 时，级数发散；

3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定．

定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R^,R) 为幂级数的收敛区间．

注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时， 规定 R = 0．

.

.

定理 1 对幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，设 lim

n→∞

 

n+1

n



 = ρ，则

1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛；

2 当 || > 1/ρ 时，级数发散；

3 当 || = 1/ρ 时，级数的敛散性未定．

定义 称 R = 1/ρ 为幂级数的收敛半径，称 (−R^,R) 为幂级数的收敛区间．

注记 当 ρ = 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时，

规定 R = 0．

.

.

.

幂级数的收敛域

问题 给定幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，求出它的收敛域．

解答 首先求出收敛半径 R；

1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能

(−R^,R) [−R^,R)

(−R^,R] [−R^,R]

2 若 R = 0，则收敛域为 {0}；

3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞^,+∞)．

.

.

幂级数的收敛域

问题 给定幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，求出它的收敛域．

解答 首先求出收敛半径 R；

1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R^,R)

[−R^,R)

(−R^,R] [−R^,R]

2 若 R = 0，则收敛域为 {0}；

3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞^,+∞)．

.

.

.

幂级数的收敛域

问题 给定幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，求出它的收敛域．

解答 首先求出收敛半径 R；

1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R^,R)

[−R^,R)

(−R^,R] [−R^,R]

2 若 R = 0，则收敛域为 {0}；

3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞^,+∞)．

.

.

幂级数的收敛域

问题 给定幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，求出它的收敛域．

解答 首先求出收敛半径 R；

1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R^,R)

[−R^,R)

(−R^,R]

[−R^,R]

2 若 R = 0，则收敛域为 {0}；

3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞^,+∞)．

.

.

.

幂级数的收敛域

问题 给定幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，求出它的收敛域．

解答 首先求出收敛半径 R；

1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R^,R)

[−R^,R)

(−R^,R] [−R^,R]

2 若 R = 0，则收敛域为 {0}；

3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞^,+∞)．

.

.

幂级数的收敛域

问题 给定幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，求出它的收敛域．

解答 首先求出收敛半径 R；

1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R^,R)

[−R^,R)

(−R^,R] [−R^,R]

2 若 R= 0，则收敛域为 {0}；

3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞^,+∞)．

.

.

.

幂级数的收敛域

问题 给定幂级数

∑∞ n=0

nⁿ，求出它的收敛域．

解答 首先求出收敛半径 R；

1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R^,R)

[−R^,R)

(−R^,R] [−R^,R]

若 R= 0，则收敛域为 {0}；

.

.

幂级数的收敛域

例 1 求幂级数

∑∞ n=0

(−1)ⁿ⁻¹ⁿ

n 的收敛域．

例 2 求幂级数

∑∞

n=1(−1)ⁿ⁻¹ⁿ 的收敛域． 例 3 求幂级数

∑∞ n=0

ⁿ

n! 的收敛域．

.

.

.

幂级数的收敛域

例 1 求幂级数

∑∞ n=0

(−1)ⁿ⁻¹ⁿ

n 的收敛域．

例 2 求幂级数

∑∞

n=1(−1)ⁿ⁻¹ⁿ 的收敛域．

例 3 求幂级数

∑∞ n=0

ⁿ

n! 的收敛域．

.

.

幂级数的收敛域

例 1 求幂级数

∑∞ n=0

(−1)ⁿ⁻¹ⁿ

n 的收敛域．

例 2 求幂级数

∑∞

n=1(−1)ⁿ⁻¹ⁿ 的收敛域．

例 3 求幂级数

∑∞ n=0

ⁿ

n! 的收敛域．

.

.

.

幂级数的收敛域

例 4 求幂级数

∑∞ n=1

(2 + 1)ⁿ

n 的收敛域．

解答 令 t = 2 + 1．

例 5 求幂级数

∑∞

n=1(−1)ⁿ⁻¹3ⁿ²ⁿ

n 的收敛域． 解答 令 t = ² 或者令 t = 3²．

.

.

幂级数的收敛域

例 4 求幂级数

∑∞ n=1

(2 + 1)ⁿ

n 的收敛域．

解答 令 t = 2 + 1．

例 5 求幂级数

∑∞

n=1(−1)ⁿ⁻¹3ⁿ²ⁿ

n 的收敛域． 解答 令 t = ² 或者令 t = 3²．

.

.

.

幂级数的收敛域

例 4 求幂级数

∑∞ n=1

(2 + 1)ⁿ

n 的收敛域．

解答 令 t = 2 + 1．

例 5 求幂级数

∑∞

n=1(−1)ⁿ⁻¹3ⁿ²ⁿ

n 的收敛域．

解答 令 t = ² 或者令 t = 3²．

.

.

幂级数的收敛域

例 4 求幂级数

∑∞ n=1

(2 + 1)ⁿ

n 的收敛域．

解答 令 t = 2 + 1．

例 5 求幂级数

∑∞

n=1(−1)ⁿ⁻¹3ⁿ²ⁿ

n 的收敛域．

解答 令 t = ² 或者令 t = 3²．

.

.

.

幂级数的收敛域

练习 1 求幂级数

∑∞ n=1

ⁿ

(2n − 1)(2n) 的收敛域．

.

.

在文檔中 无穷级数 (頁 102-127)