直線的方向向量: 若直線 L 上任意兩點A, B 此時稱 −⇀AB 或 −⇀BA 為直線L的一個方向向量。
直線 L 上, 任兩點的向量 −⇀L = k−⇀AB。 與直線 L 垂直的向量稱為直線 L 的法向量 −n⇀L , 即
−⇀
L · −n⇀L= 0
直線向量參數式: 直線 L 過點 A(x0, y0) 且直線方向 −⇀L //(b, −a) , 若 P (x, y) 為直線 L 上的任意 一點,由−⇀AP = (x − x0, y − y0)//(b, −a) 化簡可得x, y 的關係式為ax + by − (ax0+ by0) = 0
O
−⇀v = (b, −a)
A(x0, y0)
P(x, y)
L: ax + by + c = 0
t= 0
t >0
t <0
因此若點 (x0, y0) 在直線 L : ax + by + c = 0 上, 則直線上任一點可以表示成 −⇀OP =−⇀OA + t−⇀v =(x0, y0) + t(b, −a) 即L :
x = x0 + bt
y = y0− at , t ∈ R , 稱為直線 L 的參數式。
其中直線方向 −⇀L //(b, −a), 直線法向量 −n⇀L//(a, b)
直線方程式的方向向量與法向量: 若直線方程式 L : ax + by + c = 0
則直線方向−⇀L //(b, −a), 法向量方向 −⇀n 為垂直 L 的向量,即 −⇀n //(a, b)
兩直線之交角 θ 或 π − θ : 兩直線夾角cos θ = ± a1a2 + b1b2
(2). 已知直線 L : 3x − 2y = 5 求直線L 的參數式?
(解:)
x = 1 + 2t
y = −1 + 3t , t ∈ R
演練 1a : 求通過 A(−2, 3), B(3, 6)兩點的直線 L參數式?
x = −2 + 5t
y = 3 + 3t , t ∈ R
演練 1b : 求通過 A(−2, 3), B(3, 6)兩點的線段 AB 參數式?
x = −2 + 5t
y = 3 + 3t , 0 ≤ t ≤ 1
演練 1c : 已知一直線參數式為
x = 3 + 2t
y = 4 + t , t ∈ R , 求此直線方程式的一般式? x − 2y + 5 = 0 演練 1d : 已知一直線過點 (11, −4) , 且直線方向平行 (3, 7) , 求此直線參數式? 及斜率 m =?
x = 11 + 3t
y = −4 + 7t , t ∈ R;m = 73
演練 1e : 求過點 (3, 4) 且法向量為 (3, 4) 的直線方程式? 4x − 3y = 0 演練 1f : 切線問題:
1. 求斜率為 3 與圓 C : x2+ y2 = 10 相切的直線方程式? y = 3x ± 10 2. 求過圓 C : x2 + y2 = 25 外一點 P (5, 10) 的切線方程式?(代數 D = 0 , 解析法)
x = 5, y − 10 = 34(x − 5)
3. 求過圓C : (x − 3)2+ (y − 2)2 = 8 外一點 P (−1, 2)的切線方程式? y − 2 = ±(x + 1) 4. 求過圓C : x2+ y2 = 10 上一點 P (3, 1)的切線方程式?(解析法) 3x + y = 10 範例 2: 設直線 L1, L2, L3, L4 的參數式分別為
L1 :
x = 1 + 2t
y = 4 − 3t , t ∈ R。 L2 :
x = 3 + 2t
y = 1 − 3t , t ∈ R。 L3 :
x = 2 + 4t
y = 8 − 6t , t ∈ R。 L4 :
x = 1 + 4t
y = 4 − 6t , t ∈ R。
試比較這四條直線有何相關? L1 = L2 = L4//L3 演練 2a : 比較下列兩參數式是否為同一關係式?
x1 = t − 1
y1 = 3t + 1 , t ∈ R ;
x2 = 23t − 43
y2 = 2t , t ∈ R 相同
演練 2b : 下列哪些選項為等義關係式 (同一關係式)? (A) 直線過點 (1, 2) , 直線方向為 (3, 2) (B) x − 1
3 = y − 2
2 (C) x − 1
6 = y − 2 4 (D)
x = 3t + 1
y = 2t + 2 , t ∈ R (E)
x = 4 − 3t
y = 4 − 2t , t ∈
R .(F) 直線過點 (1, 2) , 直線法向量為 (2, 3) ABCDE
演練 2c : 若點坐標 P (x, y) 的參數式為
x = at + b
y = ct + d , t ∈ R , 其中 a, b, c, d 為常數且 a, c 不同 時為0,
1. 若 a = 2, b = 3, c = −1, d = 2 時, 點 P 所形成的軌跡圖形為何? 若為直線求此直線
的斜率m, 及與兩坐標軸的交點坐標分別為何? 直線;m = −12 ;(7, 0), (0,72) 2. 求a, b, c, d 在何種條件下, 點 P 所形成的軌跡圖形為一鉛直線? a = 0
3. 求a, b, c, d 在何種條件下, 點 P 所形成的軌跡圖形為一水平線? c = 0
範例 3: 在直線L : x+2y = 4上找一點P,使點P到兩點A(4, 5), B(0, 4)等距離? P (3, 12)
演練 3a : 在直線 L : 3x − 4y = 2上找一點 P , 使點 P 到點A(2, 1) 的距離為5 P (6, 4) 或 P (−2, −2) 演練 3b : 兩直線參數式分別為 L1 :
x = t + 2
y = 3t − 2 , t ∈ R ,L2 :
x = −2 + t
y = 1 − 2t , t ∈ R , 求兩直
線的交點坐標? (1, −5)
演練 3c : 已知原點到直線L 的距離為 p = 10,且此直線的法線與x 軸正向夾角 φ = 30◦ ,求此直線
方程式? x cos φ + sin φ − p = 0
演練 3d : 直線 L :√3x − y + 4√3 = 0 , 求原點到直線 L的距離? 並求此直線的法線與 x軸正向夾
角φ =? 2
√3;φ = 5π6
範例 4: 求兩直線 L1 : 3x + y − 3 = 0, L2 : 2x − y + 1 = 0的交角? 45
◦, 135◦ 演練 4a : 直線 L : 3x − 4y = 12 , 點A(4, 0) 為直線上一點 ,若 −⇀AP 垂直直線 L, 且|−⇀AP | = 1 , 求
向量−⇀AP = ? ±(
3 5,−45 ) 演練 4b : 兩直線參數式分別為 L1 :
x = t + 2
y = 3t − 2 , t ∈ R ,L2 :
x = −2 + t
y = 1 − 2t , t ∈ R , 求兩直 線的交角?
π 4,34π 演練 4c : 求兩相交直線 3x + 4y = 10, 5x − 12y = 26 交角的角平分線方程式?
x + 8y = 0, 16x − 2y − 65 = 0
範例 5: 直線 L : 2x + 5y = 10 及線外一點 P (12, 3)
1. 求直線L 與x 軸交點 A 坐標, 及y 軸交點 B 坐標? A(5, 0), B(0, 2) 2. 若向量−⇀AP 在直線L 上的正射影為 −⇀AH ,求 −⇀AH 及點H 坐標? (5, −2);H(10, −2)
3. 求向量−−⇀HP 及|−−⇀HP | ? (2, 5);
√29
4. 求點 P 到直線的最短距離 d 及直線L 上與 P 點的最近點坐標? d =
√29;H(10, −2)
演練 5a : 求直線L : 12x − 5y + 5 = 0 與圓 C : x2+ y2− 4x + 4y − 8 = 0 相交所截出的弦線段長? 2√
7
演練 5b : 就直線 L : x − y + k = 0與圓 C : x2+ y2 = 1 相交情形, 求實數 k 的範圍?
1. 直線 L 與圓 C 相切 k = ±
√2
2. 直線 L 為圓 C 割線 −
√2 < k <√ 2
3. 直線 L 與圓 C 不相交 k < −
√2, k >√ 2 演練 5c : 就實數 k 的範圍, 討論直線 L : y = mx + 2 與圓 C : x2 + y2 = 1 相交情形?
m >√
3, m < −√
3 交兩點;m = ±√3 相切;−√3 < m < √
3 不相交 演練 5d : 已知三角形 ABC 三頂點坐標 A(−2, 5), B(5, 4), C(9, 7), 求
1. △ABC 底邊 BC 的高所在直線方程式? 4x + 3y − 7 = 0
2. △ABC 底邊 BC 的高 h 線段長多少? h = 5
3. 點A 在底邊 ←→BC 直線上的投影點 H (垂足點) 坐標? H(1, 1) 演練 5e : 求點 P (−2, −6) 到直線 L : 4x + 3y + 1 = 0 的最短距離, 此時直線上的點坐標為何?
H(2, −3), d = 5
演練 5f : 坐標平面上,若點 P (3, 4) , 求P 在直線 x − 2y = 0上的投影點H 坐標? H(4, 2) 演練 5g : 直線 y = 6 − 3x 上一點 A 到點 P (7, 5) 有最短距離 d, 求點 A 坐標及距離為多少?
A(1, 3);d = 2√ 10
演練 5h : 求兩平行直線 L1 : 6x − 2y = 12, L2 : y = 3x + 4 的距離?
√10
範例 6: (1)在直線L : x+2y = 4上找一點P,使點P到兩點A(4, 5), B(0, 4)距離和l = P A+P B
最短? P (0, 2), lmin= 7
(2) 設 x, y 為實數且 x2+ y2 = 5 , 當x, y 分別為何值時會使得 2x + y 有最大值及最小值分別 為多少?(幾何: 圓與直線關係。 代數: 柯西不等式)
(x, y) = (2, 1), M = 5;(x, y) = (−2, −1), m = −5
(3) 若點 P (a, b) 在直線 x − y = −1 上,
1. 求a2+ (b − 1)2 的最小值?(柯西不等式) 2 2. 求a2+ 4b2 的最小值?(柯西不等式)
4 5
3. 求a2− 2b2 的最大值?(直線參數式) 2 4. 求a2+ b 的最小值?(直線參數式)
3 4
5. 求ab 的最小值?(直線參數式)
−1 4
演練 6a : 求點 P (1, −3) 關於直線 L : x + 2y = 0的對稱點坐標? P
′(3, 1)
演練 6b : 求與圓 C : x2+ y2 = 25 相切於點 P (3, 4) 的切線方程式? 3x + 4y = 25 演練 6c : 求過點 P (3, −1)的直線且與圓 C : x2+ y2 = 5 相切,求切點坐標? 並求其切線段長 l ?
(2, 1), (1, −2); l =√ 5
演練 6d : 設x, y 為實數且 (x − 2)2+ (y + 3)2 = 9 , 求3x + 4y 的最大值與最小值分別為多少?(幾 何:圓與直線關係。 代數: 柯西不等式)
M = 9;m = −21
習題10-3 平面上的直線 1. 已知平面上點 A(2, −3), B(−5, 2), O為原點
(a) 若 −⇀OP = s−⇀OA +−⇀OB, −1 ≤ s ≤ 1 , 求點 P 的軌跡? (b) 若 −⇀OP =−⇀OA + t−⇀OB, −1 ≤ t ≤ 1 , 求點 P 的軌跡?
(c) 若 −⇀OP = s−⇀OA + t−⇀OB, 且 s + t = 1 , 求點 P 的軌跡? (d) 若 −⇀OP = s−⇀OA + t−⇀OB, −1 ≤ s, t ≤ 1 , 求點 P的軌跡? 2. 已知直線 L : 3x − 2y = 5 ,求 L的參數式?
3. 設兩直線L1, L2 的參數式分別為L1 :
x = 5 + 2t
y = 1 − t , t ∈ R; L2 :
x = 1 + t
y = 3 − t , t ∈ R , 則兩直線是否相交? 若相交, 求其交點坐標?
4. 兩直線 L1, L2 的參數式分別為 L1 :
x = 1 + 2t
y = 4 − 3t , t ∈ R; L2 :
x = 3 + 4t
y = 1 − 6t , t ∈ R , 是否為同一直線?
5. 試求點(2, 1) 到直線 4x − 3y + 5 = 0 的距離?
6. 已知一點 A(−7, 5)及一直線 L : 3x − 2y + 5 = 0,試求(1)A 到直線L 的距離? (2)A 在L 上 的正射影? (3)A對於 L 的對稱點?
7. 直線過A(2, 1), B(3, 3)兩點,求直線上到點 P (6, 4)的最近點及其最短距離?
8. 已知點 P (6, 4), A(2, 1), B(3, 3)求點 P 在直線 AB 上的投影點坐標? 及向量 −⇀AP 在−⇀AB 的 正射影?
9. 求兩平行線L1 : 3x − 4y − 10 = 0, L2 : 6x − 8y + 15 = 0,的距離?
10. 已知兩直線方程式 L1 : x + 2y − 4 = 0, L2 : 2x − y + 3 = 0, 試求 L1, L2 的交角及角平分線 方程式?
11. 求兩直線 L1 :√
3x + y − 6 = 0, L2 : x +√
3y − 2 = 0的交角?
12. 在直線L : x + 2y = 4 上找一點 P ,使點P 到兩點A(4, 5), B(0, 4)距離平方和 P A2+ P B2 最小值, 求P 點坐標並求其最小值?
13. 已知圓C : x2+ y2 = 25 與直線L : 3x + 4y = k 有相交, 求實數 k 的範圍?
14. 就圓心到直線距離與半徑關係討論直線 L : x − y + k = 0 與圓 C : x2+ y2 = 1 相交情形, 求 實數 k 的範圍?
(a) 直線 L 與圓 C 相切 (b) 直線 L 與圓 C 相割
(c) 直線 L 與圓 C 不相交
15. 已知直線 L : kx − y − k − 1 = 0 ,圓 C : x2+ y2− 4x − 2y + 1 = 0 , 問k為何值時, 使直線 與圓交兩點, 相切, 不相交?
習題 10-3
1a. (−3, −1), (−7, 5) 的線段 1b. (−3, −1), (7, −5) 的線段 1c. 直線 AB
1d. (−3, −1),(−7, 5),(3, 1),(7, −5) 的為頂點的平行四邊形
2. L :
x = 1 + 2t
y = −1 + 3t , t ∈ R
3. yes; (1, 3)
4. yes 5. 2 6. 2√
13, (−1, 1), (5, −3) 7. H(4, 5); d =√
5 8. H(4, 5); (2, 4) 9. 72
10. π/2; 3x + y − 1 = 0, x − 3y + 7 = 0
11. 30◦, 150◦
12. P (35,1710), min = 28110
13. −25 ≤ k ≤ 25
14a. k = ±√ 2
14b. −√
2 < k <√ 2
14c. k < −√
2, k >√ 2
15. k > 0, k < −4/3 交兩點, k = 0, −4/3 時相切, −4/3 <
k < 0 不相交。