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平面上的直線

在文檔中 3B3C vector R2 (頁 21-28)

直線的方向向量: 若直線 L 上任意兩點A, B 此時稱 −⇀AB−⇀BA 為直線L的一個方向向量。

直線 L, 任兩點的向量 L = k−⇀AB。 與直線 L 垂直的向量稱為直線 L 的法向量 nL ,

−⇀

L · −n⇀L= 0

直線向量參數式: 直線 L 過點 A(x0, y0) 且直線方向 L //(b, −a) , 若 P (x, y) 為直線 L 上的任意 一點,−⇀AP = (x − x0, y − y0)//(b, −a) 化簡可得x, y 的關係式為ax + by − (ax0+ by0) = 0

O

v = (b, −a)

A(x0, y0)

P(x, y)

L: ax + by + c = 0

t= 0

t >0

t <0

因此若點 (x0, y0) 在直線 L : ax + by + c = 0 上, 則直線上任一點可以表示成 −⇀OP =−⇀OA + t−⇀v =(x0, y0) + t(b, −a) 即L :

x = x0 + bt

y = y0− at , t ∈ R , 稱為直線 L 的參數式。

其中直線方向 L //(b, −a), 直線法向量 nL//(a, b)

直線方程式的方向向量與法向量: 若直線方程式 L : ax + by + c = 0

則直線方向L //(b, −a), 法向量方向 n 為垂直 L 的向量,n //(a, b)

兩直線之交角 θπ − θ : 兩直線夾角cos θ = ± a1a2 + b1b2

(2). 已知直線 L : 3x − 2y = 5 求直線L 的參數式?

(解:)

x = 1 + 2t

y = −1 + 3t , t ∈ R

演練 1a : 求通過 A(−2, 3), B(3, 6)兩點的直線 L參數式?

x = −2 + 5t

y = 3 + 3t , t ∈ R

演練 1b : 求通過 A(−2, 3), B(3, 6)兩點的線段 AB 參數式?

x = −2 + 5t

y = 3 + 3t , 0 ≤ t ≤ 1

演練 1c : 已知一直線參數式為

x = 3 + 2t

y = 4 + t , t ∈ R , 求此直線方程式的一般式? x − 2y + 5 = 0 演練 1d : 已知一直線過點 (11, −4) , 且直線方向平行 (3, 7) , 求此直線參數式? 及斜率 m =?

x = 11 + 3t

y = −4 + 7t , t ∈ R;m = 73

演練 1e : 求過點 (3, 4) 且法向量為 (3, 4) 的直線方程式? 4x − 3y = 0 演練 1f : 切線問題:

1. 求斜率為 3 與圓 C : x2+ y2 = 10 相切的直線方程式? y = 3x ± 10 2. 求過圓 C : x2 + y2 = 25 外一點 P (5, 10) 的切線方程式?(代數 D = 0 , 解析法)

x = 5, y − 10 = 34(x − 5)

3. 求過圓C : (x − 3)2+ (y − 2)2 = 8 外一點 P (−1, 2)的切線方程式? y − 2 = ±(x + 1) 4. 求過圓C : x2+ y2 = 10 上一點 P (3, 1)的切線方程式?(解析法) 3x + y = 10 範例 2: 設直線 L1, L2, L3, L4 的參數式分別為

L1 :

x = 1 + 2t

y = 4 − 3t , t ∈ R。 L2 :

x = 3 + 2t

y = 1 − 3t , t ∈ R。 L3 :

x = 2 + 4t

y = 8 − 6t , t ∈ R。 L4 :

x = 1 + 4t

y = 4 − 6t , t ∈ R。

試比較這四條直線有何相關? L1 = L2 = L4//L3 演練 2a : 比較下列兩參數式是否為同一關係式?

x1 = t − 1

y1 = 3t + 1 , t ∈ R ;

x2 = 23t − 43

y2 = 2t , t ∈ R 相同

演練 2b : 下列哪些選項為等義關係式 (同一關係式)? (A) 直線過點 (1, 2) , 直線方向為 (3, 2) (B) x − 1

3 = y − 2

2 (C) x − 1

6 = y − 2 4 (D)

x = 3t + 1

y = 2t + 2 , t ∈ R (E)

x = 4 − 3t

y = 4 − 2t , t ∈

R .(F) 直線過點 (1, 2) , 直線法向量為 (2, 3) ABCDE

演練 2c : 若點坐標 P (x, y) 的參數式為

x = at + b

y = ct + d , t ∈ R , 其中 a, b, c, d 為常數且 a, c 不同 時為0,

1. 若 a = 2, b = 3, c = −1, d = 2 時,P 所形成的軌跡圖形為何? 若為直線求此直線

的斜率m, 及與兩坐標軸的交點坐標分別為何? 直線;m = −12 ;(7, 0), (0,72) 2. 求a, b, c, d 在何種條件下,P 所形成的軌跡圖形為一鉛直線? a = 0

3. 求a, b, c, d 在何種條件下,P 所形成的軌跡圖形為一水平線? c = 0

範例 3: 在直線L : x+2y = 4上找一點P,使點P到兩點A(4, 5), B(0, 4)等距離? P (3, 12)

演練 3a : 在直線 L : 3x − 4y = 2上找一點 P , 使點 P 到點A(2, 1) 的距離為5 P (6, 4)P (−2, −2) 演練 3b : 兩直線參數式分別為 L1 :

x = t + 2

y = 3t − 2 , t ∈ R ,L2 :

x = −2 + t

y = 1 − 2t , t ∈ R , 求兩直

線的交點坐標? (1, −5)

演練 3c : 已知原點到直線L 的距離為 p = 10,且此直線的法線與x 軸正向夾角 φ = 30 ,求此直線

方程式? x cos φ + sin φ − p = 0

演練 3d : 直線 L :3x − y + 43 = 0 , 求原點到直線 L的距離? 並求此直線的法線與 x軸正向夾

φ =? 2

√3;φ = 6

範例 4: 求兩直線 L1 : 3x + y − 3 = 0, L2 : 2x − y + 1 = 0的交角? 45

, 135 演練 4a : 直線 L : 3x − 4y = 12 , 點A(4, 0) 為直線上一點 ,−⇀AP 垂直直線 L,|−⇀AP | = 1 ,

向量−⇀AP = ? ±(

3 5,−45 ) 演練 4b : 兩直線參數式分別為 L1 :

x = t + 2

y = 3t − 2 , t ∈ R ,L2 :

x = −2 + t

y = 1 − 2t , t ∈ R , 求兩直 線的交角?

π 4,34π 演練 4c : 求兩相交直線 3x + 4y = 10, 5x − 12y = 26 交角的角平分線方程式?

x + 8y = 0, 16x − 2y − 65 = 0

範例 5: 直線 L : 2x + 5y = 10 及線外一點 P (12, 3)

1. 求直線Lx 軸交點 A 坐標,y 軸交點 B 坐標? A(5, 0), B(0, 2) 2. 若向量−⇀AP 在直線L 上的正射影為 −⇀AH ,−⇀AH 及點H 坐標? (5, −2);H(10, −2)

3. 求向量−−⇀HP|−−⇀HP | ? (2, 5);

√29

4. 求點 P 到直線的最短距離 d 及直線L 上與 P 點的最近點坐標? d =

√29;H(10, −2)

演練 5a : 求直線L : 12x − 5y + 5 = 0 與圓 C : x2+ y2− 4x + 4y − 8 = 0 相交所截出的弦線段長? 2√

7

演練 5b : 就直線 L : x − y + k = 0與圓 C : x2+ y2 = 1 相交情形, 求實數 k 的範圍?

1. 直線 L 與圓 C 相切 k = ±

√2

2. 直線 L 為圓 C 割線

√2 < k <√ 2

3. 直線 L 與圓 C 不相交 k < −

√2, k >√ 2 演練 5c : 就實數 k 的範圍, 討論直線 L : y = mx + 2 與圓 C : x2 + y2 = 1 相交情形?

m >√

3, m < −√

3 交兩點;m = ±3 相切;−3 < m < √

3 不相交 演練 5d : 已知三角形 ABC 三頂點坐標 A(−2, 5), B(5, 4), C(9, 7), 求

1. △ABC 底邊 BC 的高所在直線方程式? 4x + 3y − 7 = 0

2. △ABC 底邊 BC 的高 h 線段長多少? h = 5

3. 點A 在底邊 ←→BC 直線上的投影點 H (垂足點) 坐標? H(1, 1) 演練 5e : 求點 P (−2, −6) 到直線 L : 4x + 3y + 1 = 0 的最短距離, 此時直線上的點坐標為何?

H(2, −3), d = 5

演練 5f : 坐標平面上,若點 P (3, 4) ,P 在直線 x − 2y = 0上的投影點H 坐標? H(4, 2) 演練 5g : 直線 y = 6 − 3x 上一點 A 到點 P (7, 5) 有最短距離 d, 求點 A 坐標及距離為多少?

A(1, 3);d = 2√ 10

演練 5h : 求兩平行直線 L1 : 6x − 2y = 12, L2 : y = 3x + 4 的距離?

√10

範例 6: (1)在直線L : x+2y = 4上找一點P,使點P到兩點A(4, 5), B(0, 4)距離和l = P A+P B

最短? P (0, 2), lmin= 7

(2) 設 x, y 為實數且 x2+ y2 = 5 ,x, y 分別為何值時會使得 2x + y 有最大值及最小值分別 為多少?(幾何: 圓與直線關係。 代數: 柯西不等式)

(x, y) = (2, 1), M = 5;(x, y) = (−2, −1), m = −5

(3) 若點 P (a, b) 在直線 x − y = −1,

1. 求a2+ (b − 1)2 的最小值?(柯西不等式) 2 2. 求a2+ 4b2 的最小值?(柯西不等式)

4 5

3. 求a2− 2b2 的最大值?(直線參數式) 2 4. 求a2+ b 的最小值?(直線參數式)

3 4

5. 求ab 的最小值?(直線參數式)

−1 4

演練 6a : 求點 P (1, −3) 關於直線 L : x + 2y = 0的對稱點坐標? P

(3, 1)

演練 6b : 求與圓 C : x2+ y2 = 25 相切於點 P (3, 4) 的切線方程式? 3x + 4y = 25 演練 6c : 求過點 P (3, −1)的直線且與圓 C : x2+ y2 = 5 相切,求切點坐標? 並求其切線段長 l ?

(2, 1), (1, −2); l =√ 5

演練 6d :x, y 為實數且 (x − 2)2+ (y + 3)2 = 9 ,3x + 4y 的最大值與最小值分別為多少?(幾 何:圓與直線關係。 代數: 柯西不等式)

M = 9;m = −21

習題10-3 平面上的直線 1. 已知平面上點 A(2, −3), B(−5, 2), O為原點

(a) 若 −⇀OP = s−⇀OA +−⇀OB, −1 ≤ s ≤ 1 , 求點 P 的軌跡? (b) 若 −⇀OP =−⇀OA + t−⇀OB, −1 ≤ t ≤ 1 , 求點 P 的軌跡?

(c) 若 −⇀OP = s−⇀OA + t−⇀OB, 且 s + t = 1 , 求點 P 的軌跡? (d) 若 −⇀OP = s−⇀OA + t−⇀OB, −1 ≤ s, t ≤ 1 , 求點 P的軌跡? 2. 已知直線 L : 3x − 2y = 5 ,求 L的參數式?

3. 設兩直線L1, L2 的參數式分別為L1 :

x = 5 + 2t

y = 1 − t , t ∈ R; L2 :

x = 1 + t

y = 3 − t , t ∈ R , 則兩直線是否相交? 若相交, 求其交點坐標?

4. 兩直線 L1, L2 的參數式分別為 L1 :

x = 1 + 2t

y = 4 − 3t , t ∈ R; L2 :

x = 3 + 4t

y = 1 − 6t , t ∈ R , 是否為同一直線?

5. 試求點(2, 1) 到直線 4x − 3y + 5 = 0 的距離?

6. 已知一點 A(−7, 5)及一直線 L : 3x − 2y + 5 = 0,試求(1)A 到直線L 的距離? (2)AL 上 的正射影? (3)A對於 L 的對稱點?

7. 直線過A(2, 1), B(3, 3)兩點,求直線上到點 P (6, 4)的最近點及其最短距離?

8. 已知點 P (6, 4), A(2, 1), B(3, 3)求點 P 在直線 AB 上的投影點坐標? 及向量 −⇀AP−⇀AB 的 正射影?

9. 求兩平行線L1 : 3x − 4y − 10 = 0, L2 : 6x − 8y + 15 = 0,的距離?

10. 已知兩直線方程式 L1 : x + 2y − 4 = 0, L2 : 2x − y + 3 = 0, 試求 L1, L2 的交角及角平分線 方程式?

11. 求兩直線 L1 :√

3x + y − 6 = 0, L2 : x +√

3y − 2 = 0的交角?

12. 在直線L : x + 2y = 4 上找一點 P ,使點P 到兩點A(4, 5), B(0, 4)距離平方和 P A2+ P B2 最小值,P 點坐標並求其最小值?

13. 已知圓C : x2+ y2 = 25 與直線L : 3x + 4y = k 有相交, 求實數 k 的範圍?

14. 就圓心到直線距離與半徑關係討論直線 L : x − y + k = 0 與圓 C : x2+ y2 = 1 相交情形, 求 實數 k 的範圍?

(a) 直線 L 與圓 C 相切 (b) 直線 L 與圓 C 相割

(c) 直線 L 與圓 C 不相交

15. 已知直線 L : kx − y − k − 1 = 0 ,圓 C : x2+ y2− 4x − 2y + 1 = 0 , 問k為何值時, 使直線 與圓交兩點, 相切, 不相交?

習題 10-3

1a. (−3, −1), (−7, 5) 的線段 1b. (−3, −1), (7, −5) 的線段 1c. 直線 AB

1d. (−3, −1),(−7, 5),(3, 1),(7, −5) 的為頂點的平行四邊形

2. L :

x = 1 + 2t

y = −1 + 3t , t ∈ R

3. yes; (1, 3)

4. yes 5. 2 6. 2√

13, (−1, 1), (5, −3) 7. H(4, 5); d =√

5 8. H(4, 5); (2, 4) 9. 72

10. π/2; 3x + y − 1 = 0, x − 3y + 7 = 0

11. 30, 150

12. P (35,1710), min = 28110

13. −25 ≤ k ≤ 25

14a. k = ±√ 2

14b. −√

2 < k <√ 2

14c. k < −√

2, k >√ 2

15. k > 0, k < −4/3 交兩點, k = 0, −4/3 時相切, −4/3 <

k < 0 不相交。

在文檔中 3B3C vector R2 (頁 21-28)

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