對數查表: log x 對數值查表,僅為其小數點部分近似值。
log10x若底數為10稱為常用對數, 常記為log x 以 e = P∞
k=0
k!1 = 2.71828 · · · 為底數稱為自然對數,記為 logex = ln x。
表 3: 常用的對數查表(部分)
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表尾差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
≀ ≀ ≀
31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 10 11 12 32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 1 3 4 5 7 8 9 11 12 33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 1 3 4 5 6 8 9 10 12
≀
47 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803 1 2 3 4 5 5 6 7 8
≀
57 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627 1 2 2 3 4 5 5 6 7
≀
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 1 1 2 2 3 4 4 5 5
≀
對數值的首數及尾數與科學記號的對應關係: 將x 記為 x = a × 10n , 1 ≤ a < 10, n ∈ Z 稱為科學記號。
log x = n + log a , 1 ≤ a < 10, n ∈ Z , n稱為首數, 0 ≤ log a < 1稱為尾數。
x = a × 10n 為 (n + 1)位數
對數運算的用處:將複雜運算簡易化,化乘除為加減運算、 化冪次方 (開根) 為乘法 (除法) 運算
首數性質:
26 高中數學講義 指數與對數的應用
1. 對數=首數+尾數。 (首數為整數, 0 ≤ 尾數 < 1 )
2. 真數 x ≥ 1, log x的首數為 n ⇔ x的整數部分為 n + 1位數。
3. 真數 0 < x < 1, log x的首數為 −n。 (−n ≤ log x < −n + 1) ⇔
x在小數點後第 n 位始出現不為0的數字。(x的小數點後有連續 n − 1位數字為0)。 尾數性質:
若 log x, log y 尾數相同⇔ x = y · 10n , n ∈ Z 內插法求對數值:
若對數 log x 的真數 x變化量很微小時,適用線性內插法(變化量成比例 ∆x∆x′ = ∆y∆y′ ) 來估算 。 例: log 3.14 < log x = log 3.146 < log 3.15 則 3.146 − 3.14
3.15 − 3.14 = log x − log 3.14 log 3.15 − log 3.14 利用 ∆x′
∆x = ∆y∆y′ 即 6
10 = ∆y′
14 , ∆y′ = 8.4 可估算得 log 3.146 ≈ (4969 + ∆y′) × 10−4 = 0.4969 + 0.00084 = 0.49774
表 4: 常用對數內插法 x y= log x
⌈ ⌈ 3.140 0.4969 ⌉ ⌉
∆x′ ... ... ∆y′
∆x ⌊ 3.146 log 3.146 ⌋ ∆y ... ...
⌊ 3.150 0.4983 ⌋
單利與複利 : 若本金為 p, 每期利率為r%
1. 單利: t 期後,單利本利和為S = p + (pr)t = p(1 + rt) 2. 複利: t 期後,複利本利和為S = p(1 + r)t
指數增(減) 模型: Nt = N0(1 + r%) t
T ,每間隔 T 時間, 會增 (減) r%數量,Nt 為 t 時間 後數量,N0 為原始數量
例題
範例 1: 求最小正整數n ,使得 ( 5
4 )n> 1020 n = 207
演練 1a: 求最小正整數n , 使得2n> 310 16(n ≥ 15.8) 演練 1b: 若已知 20 < e3 < 21 ,(log 2 ≈ 0.3010, log 3 ≈ 0.4771, log 7 ≈ 0.8451) , 求最小正整數 n , 使得
en> 105 12
範例 2: 把310 表成十進位數是多少位數? 又首位數字與末位數字是多少? 5位數, 首位數字5, 末位數字9
演練 2a: 2100 表成十進位數是多少位數? 又最高位數的數字與個位數字是多少? 31位數, 首位數字1, 末位數字6
演練 2b: 將 ( 5
6 )100 表示成小數,問從小數點後第幾位開始出現不為0的數字? 8 演練 2c: 求下列對數值?
1. log 645778 的首數 5
2. log 0.0000239 的首數 -5
範例 3: 已知10 ≤ x < 100 , 且log x2 與 log 1x 之尾數相同,求x 值? x = 10, 1043, 1053
演練 3a: 若已知 loge645778 ≈ 13.3782 , logex ≈ 9.3782 求 x 值為何? 645778 × e
−4
演練 3b: 若 loga100 的首數為2,則整數a可能有幾個解? a = 5, 6, 7, 8, 9 演練 3c: 若 log 5678 = 3.7542 ,log x = 1.7542, log y = 1.2514,log z = 4.5084 ,log w = −1.7542 則
x, y, z, w 分別為多少? (解:)x = 5.678 × 10 ,y = √3
5.678 × 10 ,z = (5.678)2× 103,w = 5.67810 × 10−2
範例 4: 比較a = log0.20.3, b = log23, c = log2030三數的大小關係? b > c > a 演練 4a: 比較 a =√
3
√2
, b =√ 2
√3
的大小關係? a > b
演練 4b: 比較 a = log2
3 , b = log 2
log 3 兩數的大小? a < b
範例 5: 若已知 log 10 = 1,log 30 ≈ 1.4771試估計 log 29 的值約為多少? (解:)29−10
30−10 = 1.4771−1x−1 ,x = 1.453245 或 29−10
30−10 = 1.4771−1∆x ,log 29 = log 10 + ∆x = 1 + ∆x = 1.453245 演練 5a: 若已知 100.1 ≈ 1.2589 , 100.3 ≈ 1.9952 試利用內插法估算 100.15, 100.2 值? 1.442975;1.6270 演練 5b: 試利用不同方法估算 log 32 值? (log 32 ≈ 1.505149978)
1. 若已知 log 2 ≈ 0.3010 , 估算log 32 值? 1.5050
2. 若已知 log 31 ≈ 1.49136,log 33 ≈ 1.51851, 用內插法估算log 32 值? 1.504935
3. 若已知 log 30 ≈ 1.4771,log 40 ≈ 1.602, 用內插法估算log 32 值? 1.4771 + 0.02498 = 1.50208 4. 若已知 log 10 = 1,log 100 = 2,用內插法估算log 32 值?
(解:)32−10
100−10 = 2−1∆x,log 32 ≈ 1 + ∆x = 1.2444 5. 比較上列方法優劣?
(解:)方法1:log 32 = 5 log 2 , 若 log 2值愈精準,則log 32 值愈精準。 若 0.3010 值與 log 2誤 差值為 ε,則所估算值與 log 32值誤差值為 5ε。
方法2、3、4:f (x) = log x 圖形凹向下,內插法的兩端點愈接近 x = 32 估計值愈精準, 且略小於 實際值。 故方法2優於方法3優於方法4 。 但方法4, 兩端點對數值最不需預先告知 (最容易使用 粗算)。
28 高中數學講義 指數與對數的應用
6. 已知 log 3.997 尾數為 60173,log 3.998 尾數為 60184, 且 log 63.873 ≈ 1.80532 求 √363.873
近似值至小數點後4位? 3.9974
範例 6: 將本金 S 存入銀行, 年利率 2%, 每年複利計息一次, 問至少需經過多少年,其本利和始達本金 S 的
2倍?(log 1.02 ≈ 0.0086, log 2 ≈ 0.3010) n > 34.657,n = 35
演練 6a: 將本金P存入銀行,年利率 r%,每年複利計息一次,問5年後,其本利和為本金P 的2倍,則年利率
r%應為多少?(√52 ≈ 1.148698) r = 14.87
演練 6b: 將本金S存入銀行,年利率5%, 每年複利計息一次,問至少需經過多少年,其本利和始達本金S的2
倍?(log 1.05 ≈ 0.021189, log 2 ≈ 0.3010) n > 14.2,n = 15
演練 6c: 將本金 P 存入銀行, 年利率 5%, 每年複利計息一次, 問至少需經過多少年, 其本利和始達本金的3
倍?(log 1.05 ≈ 0.021189, log 2 ≈ 0.3010) n > 22.5,n = 23
範例 7: 某種細菌每隔一天數量會增加為原來的3倍,如果該細菌以這樣速度增殖,原有100株細菌經過幾天 之後會增殖超過1010 株?
(解:)Nt= N0(1 + r%)Tt,解1010> 100(1 + 300%)1t, t > 16 取 t = 17天後
演練 7a: 某都市教育經費以每年2.4%成長 ,若今年教育經費為12億元,試估算100年後此都市的教育經費為 約為多少億元? (log 2 .
= 0.30103,log 10.23 .
= 1.01,log 10.5 .
= 1.02,log 10.7 .
= 1.03) (1) 96.8 (2)
122.8 (3) 128.6 (4) 144 12(1.024)100 .
= 128.58 演練 7b: 若光線每經過一面鏡子折射後其光線強度 (流明)會降為原強度的 3
5,現有一光線強度為25000流明, 問:
1. 經過4面鏡子折射後,光線強度剩下多少? 流明 3240 2. 至少要經過幾面鏡子折射後,光線強度低於25流明 14 範例 8: 資源回收業者表示: 每年鋁罐約有一半會回收再利用, 經統計現市場上流通 250000 個鋁罐, 則經過
t年後,這些鋁罐仍在回收使用中的數量N (t)關係為 N (t) = 250000(1 2)t,問
1. 經過多少年後? 約有60000個鋁罐在回收使用中。 2年 2. 經過多少年後? 約有1000個鋁罐在回收使用中。 8
年 演練 8a: 群眾接收到訊息的個數隨著指數關係增長。 若每一個人接收到此訊息後, 每一天會傳遞此資訊給2位
尚未接受到訊息的人, 已知一開始有20人得知原始訊息, 且開始散佈此訊息, 經由 t 天後, 得知此訊 息的總人數N (t)的關係式為N (t) = 20 × (3)t ,問
1. 至少要幾天後,才會有1000人得知此訊息? 4天 2. 6天後知道訊息的人數是3天後得知訊息人數的幾倍? 27倍 演練 8b: 某城市24小時營業的速食店在晚上9點到晚上10點之間, 以每分鐘平均0.2輛汽車利用”車上點餐便
利購”。 據統計可利用模型 F (t) = 1 − e−0.2t, 其中 e ≈ 2.718 , 表示從晚上9點開始 t分鐘內會有 車子使用”便利購”的機率。
1. 問在晚上9點5分前,會有車到達使用”便利購”的機率約多少? 0.632 2. 問在晚上9點30分前, 會有車到達使用”便利購”的機率是否超過 63
64? yes,0.9975
3. 問在晚上9點後,會有車子到達使用”便利購”的機率約多少? ≈ 1 範例 9: 假設光線通過一塊透明板,它的強度就會減弱一成,現在將相同透明板 n塊疊合一起,使通過的光線
強度是原光線強度的 3
5 以下,試求 n的最小值? (0.9)
n< 0.6, n ≥ 5
演練 9a: 測量聲音大小的分貝s與聲音強度w有下列關係式: s = 10 · log w,如果一般人交談的音量為60分 貝,演唱會中的音量為120分貝,問演唱會的音量強度是一般人交談聲音強度的幾倍? 106 倍 演練 9b: 聲音大小響度的關係式,以分貝為單位,為L = 10 log10 I
I0,其中 I 表聲音的強度,每一平方公尺的 瓦數 (W/m2), I0 = 10−12 W/m2 是人類耳朵所能聽到聲音最小強度。
1. 若某城市捷運地鐵平均最高聲音強度為3×10−3W/m2,約為多少(整數)分貝? 95 2. 若長久暴露在聲音90分貝會造成人體危害,問90分貝聲音的強度為何? 10−3W/m2 3. 若獅子的吼叫聲強度為 2.5 × 10−1W/m2,約為多少 (整數) 分貝? 114 演練 9c: 已知人體代謝咖啡因的效率為為每小時代謝體內 10%的含量。 問喝一杯含有130豪克咖啡因的咖啡
至少須經過幾小時後體內咖啡因含量才會減少一半以上? t > 1−log 9log 2 ≈ 6.572 ≥ 7 範例 10: 某一學科授課後,經過 t個月後的測驗平均成績S(t)關係為 S(t) = 68 − 20 log(t + 1), t ≥ 0 ,試
回答下列問題:
1. 問該課程剛講授完(t = 0)的測驗平均成績為何? 68 2. 授課完後的4個月及24個月, 測驗平均成績各為何(四捨五入取至整數)? 54分;40分 3. 授課完後多少個月,其測驗平均成績約為49分 (四捨五入取至整數)? 8個月 演練 10a: 天文望遠鏡所能看到最暗的星等稱為極限星等。 若天文望遠鏡的鏡頭大小所能觀察到的極限星等計算
公式為 M (d) = 1.77 + 5 log d , 其中M 為星等,d為望遠鏡鏡頭口徑 (mm)。
1. 求望遠鏡鏡頭口徑為200 mm,所能觀察到的星等極限為何?(log 2 ≈ 0.3010) 13.3 2. 求望遠鏡鏡頭口徑為 70 mm,所能觀察到的星等極限為何?(log 7 .
= 0.8451) 11
3. 人類眼睛的瞳孔約為 6 ∼ 8 mm(如同望遠鏡鏡頭口徑),則人類眼睛所能觀察到的極限星等(整
數) 為?星等 6
4. 若35 mm 望遠鏡鏡頭口徑極限星等為a 等,而35 cm望遠鏡的極限星等為b,則 b − a值為? 5
演練 10b: 小強的電腦打字輸入速度,經由t天的訓練後為每分鐘字數S(t) = 100[1 − (0.64)t] ,回答下列問題: 1. 訓練2天後小強打字速度每分鐘約可輸入幾個字? 59 2. 若小強心理目標的打字速度每分鐘輸入120個字, 問小強是否有機會達到目標? 若可以, 須接受
訓練幾天以上才可達到目標? No
30 高中數學講義 指數與對數的應用
3. 接受訓練後小強打字速度每分鐘最快約可輸入幾個字? 100 演練 10c: 一公司的公關主管發現其公司的行銷費用x與該公司營收S(x)的關係為S(x) = 400+250 log x, x ≥
1 (單位:千元)
也就是說該公司花行銷費用 x = 1 千元, 該公司的營收為 S(1) = 400 千元, 若公司行銷費用為10 千元,則公司營收為何? 650
千元
;又若該公司預計營收為900 千元,則行銷費用應花費多
少?(千元) x = 100
演練 10d: 在西元2000年時,世界人口最多的國家為中國,有1.26億,預估人口數年成長模型為C(t) = 1.26e0.009t。 第二大國家為印度,有1.01億,預估人口數年成長模型為I(t) = 1.01e0.015t。 根據模型預測在西元幾 元後印度人口數會超越中國,成為世界人口最多的國家? (loge1.01 ≈ 0.00995, loge1.26 ≈ 0.23111) t > 36.86, 約2037年
習題3-5 指數與對數的應用 1. 比較 1516 與 1615 兩數的大小?
2. 試利用log102 = 0.3010, log103 = 0.4771 比較 3√2 與 2√3 兩數的大小? 3. 比較 log35, log916, log3 1
4 , 1 四數的大小關係?
4. 已知 log a = 9.3310 ,則 a的最高位數字為何? a的整數部分是幾位數?
5. 已知長度為 10−9 公尺稱為1奈米, 若頭髮的直徑為 x 公尺, 且 log x = −4.097 , 則頭髮的直徑大約是 多少奈米?
6. 利用查表估算 57.6 × 73.55×√4 47 =?
7. 求使 ( 45)n < 10−9 的最小正整數n?
8. 6100 是幾位數? 試利用 log 17 = 1.23045 求正整數 1750 是幾位數? 9. 若 log x = 4.123 , 試求出 x的整數部分有幾位及其最高位數字?
10. 若 log 1715 = n + α; n ∈ Z, 0 ≤ α < 1 則若 log x = 5 + α 時,x=? 又若 log y = 2 + 3α 時, y =? ; log z = 1 − α 時,z=?
11. 利用對數表查出 log 3.142, log 314.2 對數值?
12. 利用對數表求出真數? log x = 2.5211, log y = 4.7597
13. 已知 log 6.43 = 0.8082, log 6.44 = 0.8089 ,用內插法求log 6.4375 =?
14. 為了預籌年僅4歲兒子將來讀大學的教育經費,將現有100萬元存入銀行,年利率 5%, 每年複利計息一 次,問至少需經過多少年,其本利和始達200萬元?(log 1.05 ≈ 0.0212, log 2 ≈ 0.3010)
15. 等比級數 1 + 2 + 22+ 23+ · · · + 263 的和是幾位數? 最高位數的數字為何?(log 2 ≈ 0.3010) hint: 等比級數和: sn= a + ar + ar2+ · · · + arn−1= a(1 − rn)
1 − r , r 6= 1 。 (若 r = 1, Sn= na1 ) 16. 審計工作者使用班佛法則來查帳.班佛法則就是“銀行存款的最高位數字是 a 的比例約為log(1 + 1a ) ”。
17. 細菌的個數 N (t) 隨著時間 t (小時) 的關係為指數模型 N (t) = N0at 。 某種培養物經過1.5小時將從 log 314.2 = 2.4972
12. x = 332, y = 5.75 × 10−4
32 高中數學講義 指數與對數的應用
. . . .教用版附答案. . . .