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指數與對數的應用

在文檔中 99math1 (頁 38-43)

例題7 方程式 log2x = x− 1 有幾個實數解? 試作圖說明之 [Ans:2個]

例題8 若 log3(log0.3(log9x)) 有意義, 求 x 的範圍? [Ans: 1 < x < 9 ] 例題9 解不等式 log2x + log2(x + 1) > 1 [Ans: x > 1 ]

習題3-4 對數函數及其圖形

1. 若對數方程式 (log102x)(log103x) = 1 之兩根為 a, b 則 ab =?

2. 解對數方程式 log(x− 4) + log(x + 3) = log 30 3. 解對數方程式 log1

4 x + 2 log16x2 − 32 = 0 4. 解方程式: logx−1(3x− 5) = 2

5. 解方程式 log3(2x + 2) = log9(2x + 8) 6. 解方程式 log53x + log5(x− 3) = log512 7. 解方程式 log10x + log10(x− 1) = 1 + log102 8. 求滿足對數不等式 log3(x− 1) < 1 之 x 值的範圍?

9. 解不等式 log1

2(x− 1) + log12(x− 3) ≥ −3 10. 解不等式 log3x + log3(x− 2) < 1

11. 比較 1516 與 1615 兩數的大小?

12. 試利用log102 = 0.3010, log103 = 0.4771 比較 32 與 23 兩數的大小?

13. 正數 x, y, z 滿足 4x = 3y = 5z , 試比較 4x, 3y, 5z 的大小?

14. 比較 log35, log916, log3 1

4, 1 四數的大小關係?

15. 設 x 與 y 是滿足 x + y = 90 的兩正數, 試求 log x + log y 的最大值?

16. 若 1 ≤ x ≤ 27 , 求函數 f(x) = (log3x)2 − 4 log3x + 5 的最大值與最小值?

3.5

指數與對數的應用

對數查表: log x 對數值查表, 僅為其小數點部分近似值。

log10x 若底數為10稱為常用對數, 常記為 log x 以 e = P

k=0

k!1 = 2.71828· · · 為底數稱為自然對數, 記為 logex = ln x。

順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 3.5 指數與對數的應用 ·3-5: 常用的對數查表(部分)

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表尾差

1 2 3 4 5 6 7 8 9

31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 10 11 12 32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 1 3 4 5 7 8 9 11 12 33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 1 3 4 5 6 8 9 10 12

47 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803 1 2 3 4 5 5 6 7 8

57 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627 1 2 2 3 4 5 5 6 7

73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 1 1 2 2 3 4 4 5 5

對數值的首數及尾數與科學記號的對應關係: x = a× 10n , 1 ≤ a < 10

log x = n + log a , 1 ≤ a < 10, n ∈ Z , n 稱為首數, 0 ≤ log a < 1 稱為尾數。

x = a× 10n 為 (n + 1)位數

對數運算的用處: 將複雜運算簡易化, 化乘除為加減運算、 化冪次方 (開根) 為乘 法 (除法) 運算

首數性質:

1. 對數=首數+ 尾數。 (首數為整數, 0 ≤ 尾數 < 1 )

2. 真數 x ≥ 1, log x 的首數為 n ⇔ x 的整數部分為 n + 1 位數。

3. 真數 0 < x < 1, log x 的首數為 −n 。 (−n ≤ log x < −n + 1) ⇔

x 在小數點後第 n 位始出現不為0的數字。(x 的小數點後有連續 n− 1 位數 字為0)。

尾數性質:

若 log x, log y 尾數相同 ⇔ x = y · 10n , n ∈ Z 內插法求對數值:

若對數 log x 的真數 x 變化量很微小時, 適用線性內插法 (變化量成比例 ∆x∆x =

∆y

∆y ) 來估算 。

例: log 3.14 < log x = log 3.146 < log 3.15 則 3.146 − 3.143.15− 3.14 = log x− log 3.14 log 3.15− log 3.14 利用 ∆x∆x = ∆y∆y 即 6

10 = ∆y

14 , ∆y = 8.4 可估算得 log 3.146 ≈ (4969 +∆y)× 10−4 = 0.4969 + 0.00084 = 0.49774

等差、 等比:

1. 等差數列

( 一般項 an = a1 + (n− 1) × d

前n項和 S = a1 + an × n = 2a1 + (n− 1)d × n

https://sites.google.com/site/hysh4math 3.5 指數與對數的應用 ·3-5: 常用對數內插法

x log x

3.140 0.4969

∆x ∆y

∆x 3.146 log 3.146 ∆y

3.150 0.4983

2. 等比數列

( 一般項 an = a1 × rn−1

前n項和 sn = a + ar + ar2 +· · · + arn−1 = a(1− rn)

1− r , r 6= 1 (若 r = 1, Sn = na1 )

單利與複利 : 若本金為 p, 每期利率為 r%

1. 單利: t 期後, 單利本利和為 S = p + (pr)t = p(1 + rt) 2. 複利: t 期後, 複利本利和為 S = p(1 + r)t

精選範例

例題1 求最小正整數 n , 使得 (54)n > 1020 [Ans: n = 207 ]

例題2 把 310 表成十進位數是多少位數? 又首位數字與末位數字是多少?

[Ans: 5位數, 首位數字5, 末位數字9 ]

例題3 某一種細菌每隔一天數量會增加為原來的3倍, 如果該細菌以這樣速度增殖, 原有 100株細菌經過幾天之後會增殖超過 1010 株? [Ans:17天]

例題4 將 (56)100 表示成小數, 問從小數點後第幾位開始出現不為0的數字? [Ans:8]

例題5 已知 10≤ x < 100 , 且 log x2 與 log 1x 之尾數相同, 求 x 值?

[Ans: x = 10, 1034, 1053 ]

例題6 比較 a = log0.20.3, b = log23, c = log2030 三數的大小關係? [Ans: b > c > a ]

例題7 假設光線通過一塊透明板, 它的強度就會減弱一成, 現在將相同透明板 n 塊疊合一 起, 使通過的光線強度是原光線強度的 35 以下, 試求 n 的最小值? [Ans:(0.9)n <

0.6, n ≥ 5

習題3-5 指數與對數的應用

1. 已知 log a = 9.3310 , 則 a 的最高位數字為何? a 的整數部分是幾位數?

2. 已知長度為 10−9 公尺稱為1奈米, 若頭髮的直徑為 x 公尺, 且 log x = −4.097 , 則頭髮的直徑大約是多少奈米?

3. 利用查表估算 57.6× 73.55 ×√4

47 =?

順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 3.5 指數與對數的應用 · 4. 6100 是幾位數? 試利用 log 17 = 1.23045 求正整數 1750 是幾位數?

5. 若 log x = 4.123 , 試求出 x 的整數部分有幾位及其最高位數字?

6. 若 log 1715 = n + α; n ∈ Z, 0 ≤ α < 1 則若 log x = 5 + α 時,x=? 又若 log y = 2 + 3α 時, y =? ; log z = 1− α 時,z=?

7. 利用對數表查出 log 3.142, log 314.2 對數值?

8. 利用對數表求出真數? log x = 2.5211, log y = 4.7597 9. 求使 (45)n < 10−9 的最小正整數n?

10. 已知 log 6.43 = 0.8082, log 6.44 = 0.8089 , 用內插法求 log 6.4375 =?

11. 為了預籌年僅4歲兒子將來讀大學的教育經費, 將現有100萬元存入銀行, 年利率 5%, 每年複利計息一次, 問至少需經過多少年, 其本利和始達200萬元?(log 1.05 ≈ 0.0212, log 2 ≈ 0.3010)

12. 等比級數 1+2+22+23+· · ·+263的和是幾位數? 最高位數的數字為何?(log 2 ≈ 0.3010)

13. 審計工作者使用班佛法則來查帳.班佛法則就是“銀行存款的最高位數字是 a 的比 例約為 log(1 + 1a) ”。 根據此經驗法則, 銀行存款最高位數字是 4、5、6或7者的比 例約有? %

14. 某種細菌成長量正比於現有量, 已知早上9點時, 培養皿有600株細菌, 到早上11 點已增長為1800株細菌, 求出細菌數量對時間 t 的關係式? 估計到下午1、2、3點 時的細菌數?

15. 研究行星軌道的週期 T 與半軸長 a 之間的關係時, 若將 log T 當作 x 坐標, log a 當作 y 坐標, 可得函數圖形如圖中的直線: 求該直線的方程式? 求 T 與 a 的關

係式?

log T log a

(3, 2)

O

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