确界原理

.

.

确界原理

实数集

R

满足确界原理：当全集为

R

^时，

{ | 

²

< 2} 由所有平方小于 2 的实数组成，

它有最小上界 p 2．

有理数集

Q

不满足确界原理：当全集为

Q

^时，

{ | 

²

< 2} 由所有平方小于 2 的有理数组成，

它有上界 2，但没有最小上界（因为 p

2 /∈

Q

^）．

. 12 3 4 5 6

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ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ

.

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确界原理

实数集

R

满足确界原理：当全集为

R

^时，

{ | 

²

< 2} 由所有平方小于 2 的实数组成，

它有最小上界 p 2．

有理数集

Q

不满足确界原理：当全集为

Q

^时，

{ | 

²

< 2} 由所有平方小于 2 的有理数组成，

它有上界 2，但没有最小上界（因为 p

2 /∈

Q

^）．

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确界原理

例子 求数集 A = { | 

³

+  < 1} 的最小上界．

1 为上界，0 不为上界 0.7 为上界，0.6 不为上界 0.69 为上界，0.68 不为上界 0.683 为上界，0.682 不为上界 0.6824 为上界，0.6823 不为上界 0.68233 为上界，0.68232 不为上界 0.682328 为上界，0.682327 不为上界

最小上界为 0.682327803828019327369483

· · ·

. 12 3 4 5 6

.

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ

.

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确界原理

例子 求数集 A = { | 

³

+  < 1} 的最小上界．

1 为上界，0 不为上界

0.7 为上界，0.6 不为上界 0.69 为上界，0.68 不为上界 0.683 为上界，0.682 不为上界 0.6824 为上界，0.6823 不为上界 0.68233 为上界，0.68232 不为上界 0.682328 为上界，0.682327 不为上界

最小上界为 0.682327803828019327369483

· · ·

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确界原理

例子 求数集 A = { | 

³

+  < 1} 的最小上界．

1 为上界，0 不为上界 0.7 为上界，0.6 不为上界

0.69 为上界，0.68 不为上界 0.683 为上界，0.682 不为上界 0.6824 为上界，0.6823 不为上界 0.68233 为上界，0.68232 不为上界 0.682328 为上界，0.682327 不为上界

最小上界为 0.682327803828019327369483

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. 12 3 4 5 6

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ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ

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确界原理

例子 求数集 A = { | 

³

+  < 1} 的最小上界．

1 为上界，0 不为上界 0.7 为上界，0.6 不为上界 0.69 为上界，0.68 不为上界

0.683 为上界，0.682 不为上界 0.6824 为上界，0.6823 不为上界 0.68233 为上界，0.68232 不为上界 0.682328 为上界，0.682327 不为上界

最小上界为 0.682327803828019327369483

· · ·

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确界原理

例子 求数集 A = { | 

³

+  < 1} 的最小上界．

1 为上界，0 不为上界 0.7 为上界，0.6 不为上界 0.69 为上界，0.68 不为上界 0.683 为上界，0.682 不为上界

0.6824 为上界，0.6823 不为上界 0.68233 为上界，0.68232 不为上界 0.682328 为上界，0.682327 不为上界

最小上界为 0.682327803828019327369483

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ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ

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确界原理

例子 求数集 A = { | 

³

+  < 1} 的最小上界．

1 为上界，0 不为上界 0.7 为上界，0.6 不为上界 0.69 为上界，0.68 不为上界 0.683 为上界，0.682 不为上界 0.6824 为上界，0.6823 不为上界

0.68233 为上界，0.68232 不为上界 0.682328 为上界，0.682327 不为上界

最小上界为 0.682327803828019327369483

· · ·

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确界原理

例子 求数集 A = { | 

³

+  < 1} 的最小上界．

1 为上界，0 不为上界 0.7 为上界，0.6 不为上界 0.69 为上界，0.68 不为上界 0.683 为上界，0.682 不为上界 0.6824 为上界，0.6823 不为上界 0.68233 为上界，0.68232 不为上界

0.682328 为上界，0.682327 不为上界

最小上界为 0.682327803828019327369483

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确界原理

例子 求数集 A = { | 

³

+  < 1} 的最小上界．

1 为上界，0 不为上界 0.7 为上界，0.6 不为上界 0.69 为上界，0.68 不为上界 0.683 为上界，0.682 不为上界 0.6824 为上界，0.6823 不为上界 0.68233 为上界，0.68232 不为上界

不为上界

最小上界为 0.682327803828019327369483

· · ·

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确界原理

例子 求数集 A = { | 

³

+  < 1} 的最小上界．

1 为上界，0 不为上界 0.7 为上界，0.6 不为上界 0.69 为上界，0.68 不为上界 0.683 为上界，0.682 不为上界 0.6824 为上界，0.6823 不为上界 0.68233 为上界，0.68232 不为上界 0.682328 为上界，0.682327 不为上界

最小上界为 0.682327803828019327369483

· · ·

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ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ

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极限存在准则 II

定理 (极限存在准则 II) 单调且有界的数列必定收敛．

1

单调增加且有上界的数列必定收敛．

2

单调减少且有下界的数列必定收敛．

证明 设数列 {

n

} 单调增加而且有上界．由确界原 理，集合 {

n

} 有最小上界 ．我们断言该数列收敛 于 ．实际上，对于任何 ε > 0, 由于  为最小上 界，− ε 不是集合 {

n

} 的上界．所以总存在 N，使 得 

N

>  − ε．再由数列是单调增加的，我们知道当 n > N 时也有 

n

> − ε，从而 |

ⁿ

− | < ε．这样 就证明了我们的断言．

注记 单调增加有上界数列满足 sp{

n

} = lim

_{n →∞}



n

．

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极限存在准则 II

定理 (极限存在准则 II) 单调且有界的数列必定收敛．

1

单调增加且有上界的数列必定收敛．

2

单调减少且有下界的数列必定收敛．

证明 设数列 {

n

} 单调增加而且有上界．由确界原 理，集合 {

n

} 有最小上界 ．我们断言该数列收敛 于 ．实际上，对于任何 ε > 0, 由于  为最小上 界，− ε 不是集合 {

n

} 的上界．所以总存在 N，使 得 

N

> − ε．再由数列是单调增加的，我们知道当 n > N 时也有 

n

> − ε，从而 |

ⁿ

− | < ε．这样

注记 单调增加有上界数列满足 sp{

n

} = lim

_{n →∞}



n

．

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在文檔中 连续性理论 (頁 21-36)