A
B C D
4. 正四面體 ABCD 中, 設兩平面 BCD, 與 ACD 的夾角為 θ , 求 cos θ 之值?
5. 請指出或說明下列敘述錯誤的地方?
(A) 平行於同一平面的兩相異直線必平行。(B) 垂直於同一直線的兩線戶相平行。
(C) 任意兩相異直線必有一公垂線。(D) 兩相異直線若不相交, 必平行。(E) 過平面 外一點, 恰有一直線平行於此平面。 (F) 兩相異平面可能只交於一點。
6. 設直線 AB 垂直於平面 E 於 B, 若 B,C,D 都在平面 E 上, 且 BC⊥CD 於 C,
且 AC = 2, BC = CD = 1, 則 AD =?, AB =?
1.2 空間向量的坐標表示法 空間坐標系:
在平面上建立一直角坐標系, 過原點 O 作一直線, 使它同時與 x, y 軸互相垂直, 此直線稱為 z 軸。 依右手法則規定z軸正負方向, 就組成空間坐標系, 此三個軸稱 為空間坐標軸; 由x軸與 y 軸所決定的平面稱為xy 平面; 由 y 軸與 z 軸所決定的 平面稱為yz 平面; 由 x 軸與 z 軸所決定的平面稱為xz 平面; 此三平面稱為坐標 平面, 坐標平面將空間分割成八個部份, 稱為卦限, 三個坐標軸正向所圍成的卦限
稱為第一卦限。
空間點P (a, b, c)對坐標軸與坐標平面的關係:
空間兩點P1, P2距離:
P1(a1, b1, c1), P2(a2, b2, c2), P1P2 = q
(a1 − a2)2 + (b1 − b2)2 + (c1 − c2)2 空間兩點P1, P2 中點坐標:
P1(a1, b1, c1), P2(a2, b2, c2) 中點 M = (a1 + a2
2 ,b1 + b2
2 ,c1 + c2
2 )
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 空間向量的坐標表示法 ·
垂足點 對稱點 距離 x 軸 (a, 0, 0) (a,−b, −c) √
b2+ c2 y 軸 (0, b, 0) (−a, b, −c) √a2+ c2 z軸 (0, 0, c) (−a, −b, c) √a2+ b2 xy 平面 (a, b, 0) (a, b,−c) |c|
yz平面 (0, b, c) (−a, b, c) |a|
xz平面 (a, 0, c) (a,−b, c) |b|
x
y z
P(a, b, c)
(a, 0, 0) (0, b, 0) (0, 0, c)
(a, b, 0) (a, 0, c)
(0, b, c)
圖1-2: 空間坐標點P (a, b, c) 對坐標軸與坐標平面的關係
正四面體空間坐標: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1):
x y
z
空間向量的坐標表示法:
坐標空間中, 始點 A(x1, y1, z1), 終點 B(x2, y2, z2) 的位置向量 −⇀
AB 其坐標表示 為 −⇀
AB = (x2− x1, y2 − y1, z2 − z1) 我們可將 −⇀
AB 平移, 使得它的始點落於原點 O 上, 使其位置向量 −⇀
AB = −⇀
OP
設−⇀
OP = (a, b, c),a, b, c 分別為 −⇀
OP 的 x 分量、y 分量、z 分量。
O
x y
z
P
−⇀AB
空間中 P 點坐標 (a, b, c), 向量 −⇀
OP 亦表示為 (a, b, c) 。 依前後文敘述判別 (a, b, c) 為點坐標或向量。 零向量 −⇀
O = (0, 0, 0) 向量相等: 向量 −⇀a = (a1, a2, a3),−⇀
b = (b1, b2, b3) 若 −⇀a = −⇀
b ⇔ a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 空間向量的坐標表示法 · 空間向量的加減與係數乘法:
設空間中兩向量 −⇀a = (x1, y1, z1),−⇀
b = (x2, y2, z2),r 為實數
−⇀a +−⇀
b = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
−⇀a −−⇀
b = (x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2) r−⇀a = (rx1, ry1, rz1)
空間中內分點公式:
若點 P 是空間中 AB的內分點, 且AP : BP = m : n, 則−⇀
OP = n−⇀
OA + m−⇀
OB m + n =
(nx1 + mx2
m + n ,ny1 + my2
m + n ,nz1 + mz2 m + n )
O
A P B
向量的線性組合:
若 −⇀ OA,−⇀
OB 為空間中兩不平行的非零向量, 若空間向量 −⇀
OP 能表示成 −⇀
OP = x−⇀
OA + y−⇀
OB 其中 x, y 為實數, 稱為 −⇀
OA,−⇀
OB 的線性組合。
若平面 E 通過 O, A, B 三點, 則平面 E 上任一點 P , 則由向量和的平行四邊形 法可知 −⇀
OP 為 −⇀
OA,−⇀
OB 的線性組合。 即 −⇀
OP = x−⇀
OA + y−⇀
OB 其中 x, y 為實數。
若 O, A, B, P 四點不共平面, 因 x−⇀
OA + y−⇀
OB 的終邊必在平面 E 上, 故 −⇀
OP 不 可能表示成 x−⇀
OA + y−⇀
OB
1. 平面直角坐標點 P (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) 是由 (1, 0), (0, 1) 兩基底 (互相 垂直) 向量組成。 (平面上任一向量 −⇀
OP = a−⇀ex + b−⇀ey 可表示成兩不平行向 量的線性組合, 其係數和未必為1。 若係數和為1, 表示 P, A, B 共線)
2. 空間中直角坐標點 P (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) 是由 (1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1) 三基底 (互相垂直) 向量的線性組成。
O
−⇀u = 3−⇀a + 2−⇀ b
−⇀a
−⇀ b
−⇀v = s−⇀a + 1−⇀ b
−⇀w = 2−⇀a + t−⇀ b
例題演練
例題1 坐標空間中, 點 B(1, 2, 3) 對 z 軸的對稱點 B′ 的坐標為何? 又點 B 對 xy 平面
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的對稱點 R 坐標為何? [Ans:B′(−1, −2, 3), R(1, 2, −3)] E F
G H
x
y z
A B
D C
例題2 正四角錐體 (稜邊相等的金字塔形) 的底面四頂點的空間坐標分別為 (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) , 求此錐體的錐頂點坐標? [Ans:±(1
2,1 2,
√2 2 )]
例題3 坐標空間中, 平行四邊形 ABCD 三頂點坐標 ,A(1, 2, 5), B(4,−4, −3), C(−6, 5, 9) , 求點 D 的坐標? [Ans:D(−9, 11, 17)]
例題4 已知坐標空間中, 三點 A(3, 2, 6), B(5,−1, 0), C(−3, 4, 3) , 試證明 △ABC 為 等腰直角三角形?
例題5 已知點 P 在線段 AB 上的點, P A : P B = 2 : 3 , 若 A(1,−1, 8), B(11, −6, −2) 求 P 點坐標? [Ans:P (5, −3, 4)]
例題6 設 −⇀
OA = (2, 1),−⇀
OB = (1, 2), 若 −⇀
OP = x−⇀
OA + y−⇀
OB , 且 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤
1, x, y 均為實數, 在平面上標示所有 P 點所形成的區域?
C
x y
O A
B
例題7 坐標空間中, 已知 −⇀
OA = (1, 2, 3),−⇀
OB = (0, 1,−1) (a) 若 −⇀
OC = 1 2
−⇀OA + 2 3
−⇀OB 試描述 C 點的位置? [ans:−⇀
OC = (1 2,5
3,5 6)]
(b) 若 −⇀
OD = −⇀
OA + 2−⇀
OB 試描述 D 點的位置?[ans:−⇀
OD = (1, 4, 1)]
(c) 若 −⇀
OP = −⇀
OA + t−⇀
OB, 0 ≤ t ≤ 1 試描述 P 點位置所形成的圖形? [Ans: 線 段 AM ]
(d) 若 −⇀
OP = s−⇀
OA + t−⇀
OB, 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2 試描述 P 點位置所形成的圖 形? [Ans: 平行四邊形 OANE]
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M
O
−⇀p = 1−⇀a + 2−⇀ b
−⇀OB B
E N
−⇀OA A
−⇀OP =−⇀OA+ t−⇀OB
−⇀p = s−⇀a + 2−⇀ b
習題1-2 空間向量的坐標表示法 1. 已知 P (2, 3, 4) 為坐標空間中一點, 求下列各值?
(a) P 點到原點的距離?
(b) P 點到 yz 平面的距離?
(c) P 點到 x 軸的距離?
(d) P 點對 xy 平面的垂足點 P′ 坐標?
2. 在第一卦限內有一點 P 到 x 軸,y 軸,z 軸的距離分別為 15, 13,√
106, 求 P 點的 坐標?
3. 設 A(2, 1,−2), B(0, −2, −1), C(1, 1, 0) , 求一點 P 使 P A2 + P B2 + P C2 為 最小, 並求其最小值?
4. 坐標空間中, △ABC 的三頂點為 A(2, 3, −1), B(0, 5, 2), C(1, 5, −4) 求 B,C 邊 上的中線 AM 長?
5. 在坐標空間中, 在 x 軸上找一點 P, 使 P 點到 A(1,−1, 4), B(−2, 1, 3) 兩點等 距?
6. 已知 P (1, 2, 2), Q(2,−3, 5) 與 R(x, y, 11) 為坐標空間中三點, 且 P, Q, R 三點 共線, 求 x, y 之值?
7. 已知 A(9, 3, 1), B(6, 4, 3), C(0, 6, 7) 為空間中三點, 判斷 A,B,C 三點是否共線?
並說明理由?
8. 設 A(3,−1, 2), B(4, 1, 0), C(0, −1, −2) , 若 ∆ABC 中 ∠A 的內角平分線, 外 角平分線交底邊 ←→BC 於 D,E 兩點, 求 D,E 兩點坐標?
9. 空間三點 A(1, a, 1), B(3,−5, 5), C(−1, 1, b) 共線, 求 a,b 之值?
10. 設 A(3,−1, 2), B(0, 3, 2), C(3, 7, −4) , 求 △ABC 之重心坐標? ∠A 的內角平 分線交 BC 於 D, 求 D 點坐標?
11. 若平行四邊形 ABCD, 已知三頂點 A(1, 2, 3), B(4, 3, 1), C(2,−3, 5) 求 D 點坐 標?
12. 坐標空間中, 已知−⇀
OA = (1, 2, 2),−⇀
OB = (−1, 2, 3) 若 −⇀
OP = s−⇀
OA+t−⇀
OB, s, t ∈ R
(a) 若 s = 1, 0≤ t ≤ 2 試描述 P 點位置所形成的圖形?
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 空間向量的內積 ·