空間中點、 線、 面的公設(空間中點線面之間存在直觀上的基本關係):
1. 相異兩點可以決定一直線; 一直線至少含有相異的兩點。
2. 不共線的三點可以決定一平面。
3. 若直線 L 有相異兩點落於平面 E 上, 則直線 L 在平面 E 上。
4. 若相異兩平面相交, 則此兩平面相交於一直線。
空間中決定平面的條件:
1. 不共線的三點 2. 一線及線外一點 3. 相交於一點的兩直線 4. 兩平行線
空間中相異兩直線的關係:
1. 相交一點 (此時兩直線共平面)
2. 平行不相交 (兩線在同一平面上)
3. 歪斜不相交 (兩線不共平面, 不相交又不平行), 此時兩直線為歪斜線。
線與平面的關係:
1. 直線與平面平行 (沒有交點) 2. 直線與平面相交一點
3. 直線在平面上 (直線上的點均在平面上)
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 空間概念 · 平面的垂線: 若直線 L 和平面 E 相交於 P 點, 平面 E 上通過 P 點的任一直線都與
L 垂直, 則稱直線 L 和平面 E 垂直。 記為 L⊥E
P L
E 空間垂直線
直線、 平面間垂直與平行的關係:
1. 與直線 L 垂直的直線有無限多個 (不同方向的直線) 2. 與直線 L 垂直的平面有無限多個 (平面均為平行面) 3. 與直線 L 平行的直線有無限多個 (方向相同)
4. 與直線 L 平行的平面有無限多個 (平面法向量方向不同) 1. 與平面 E 垂直的直線有無限多個 (均為平行線)
2. 與平面 E 垂直的平面有無限多個 (法向量方向不同) 3. 與平面 E 平行的直線有無限多個 (不同方向的直線) 4. 與平面 E 平行的平面有無限多個 (相同法向量的平面)
三垂線定理: 設直線AB 垂直於平面 E 於 B, 若 B,C,D 都在平面 E 上, 且 BC⊥CD 於 C , 則 AC⊥CD
利用∠ABC = ∠ABD = ∠BCD = 90◦, 直角三角形畢氏定理: AD2 = AB2+ BD2 = (AC2 − BC2) + (BC2 + CD2) = AC2 + CD2 ⇒∠ACD = 90◦ 向量觀點: 已知
−⇀
AB·−⇀
BC = −⇀
−⇀ 0 BC ·−⇀
CD = −⇀
0 ⇒−⇀
AC ·−⇀
CD = (−⇀
AB +−⇀
BC)·−⇀
CD = −⇀ 0
意義: 若 L1 在 E 上, L2 不在 E 上, 它們相交於一點, 則要判別 L1, L2 是否互 相垂直時, 可將 L2 在 E 上的正射影 L3 , 則只要判別 L1, L3 是否垂直即可。
三垂線定理的逆定理: 設直線AB 垂直於平面 E 於 B, 若 B,C,D 都在平面 E 上, 且 AC⊥CD 於 C , 則 BC⊥CD
平行關係的判定與性質:
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 空間概念 · 1. 平面 E 外的一直線 L 和平面上的一直線平行, 則直線 L//E 。
2. 直線 L 和一平面 E 平行, 經過 L 的平面 E’交平面 E 於一線 L′ , 則 L//L′ 3. 平面 E 上的兩相交直線都平行於一平面 E′, 則兩平面 E//E′ 。
4. 兩平行平面與第三個平面相交, 則其兩交線互為平行。
垂直關係的判定與性質:
1. 一直線 L 與一個平面上的兩相交直線都垂直, 則直線 L 垂直於此平面。
2. 若兩直線同垂直於一平面, 則此兩直線互相平行。
3. 若平面 E 包含另一平面 E′ 的垂線, 則兩平面 E⊥E′ 。
4. 若兩平面 E, E′ 互相垂直, 且交線為 L, 若 L′ 在平面 E 上, 且 L⊥L′ 則 L′⊥E′ 。
5. 平面 E 上的一直線 L 與另一斜直線 L′ ( L′ * E ) 垂直的充要條件是 L 與 L′在平面 E 上的正射影垂直。 三垂線逆定理。
兩面角:若 AB, BC 分別在兩平面 E1, E2 上, 且均與兩平面相交的稜邊垂直, 則 ∠ABC
為其兩面夾角。 E2
E1
B A
θ
θ C
L1
L2
五個正多面體:
正四面體 正六面體 正八面體 正十二面體 正二十面體
頂點個數V 4 8 6 20 12
面個數F 4 6 8 12 20
稜長個數 E 6 12 12 30 30
尤拉公式 V + F − E = 2 2 2 2 2 2
每面正 N 邊形 3 4 3 5 3
正四面體: 每一面均為稜長 a 的正三角形。 A B
D
C
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 空間概念 ·
1. 高 h =
√6a 3 2. 表面積 = √
3a2 3. 體積 = 1
3 ×
√3a2
4 × h =
√2a3 12 4. 外接球半徑 R = 3h
4 =
√6a 4 5. 內切球半徑 r = 1h
4 =
√6a 12 6. 兩面夾角餘弦 cos θ = 1
3
7. 外接球球心 O 到任兩頂點夾角 α,⇒ cos α = −1 3 正八面體: 連接正四面體各稜長的中點, 為正八面體。
正八面體體積: 為同稜長正四面體體積的4倍。
正立方體的八個頂點中, 任四頂點形成的正四面體有兩類: 稜長為 √
2a 及 a 兩 種。
正六面體(正立方體): 每面均為稜長 a 的正方形 1. 斜對角線長 √
3a 2. 外接球半徑 R =
√3a 2 3. 內切球半徑 r = 1a
2
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 空間概念 ·
F E
B
G C D
A
H A
D C B
O
四角錐體: 底面為四邊形, 側面為三角形, 稜邊共同相交一點。
例題演練
例題1 邊長為1的正四面體, 求此四面體任兩面的夾角為 θ , 則 cos θ =?
[Ans:cos θ = 1 3 ]
例題2 求稜邊邊長為 a 的正四面體的體積? [Ans:
√2a3 12 ]
例題3 每個稜邊邊長均為 a 的正四角錐, 底面為正方形, 側面為正三角形, 設底面與側面 的所夾的兩面角為 θ , 求 cos θ =? 及錐頂點到底面的高 h = ? [Ans:cos θ =
√1
3; h = a
√2] B
O
D A
C
習題1-1 空間概念
1. 如圖: 邊長為2的正四面體 ABCD, 從頂點 D 對底面 ABC 作垂線 DH 交底面 於 H 點, 求高 DH 的長度為何?
2. 一長方體的稜邊共有幾組歪斜線? 四面體的稜邊有幾組歪斜線?
3. 下列有關空間敘述, 那些是正確?
(A) 過已知直線外一點, 恰有一平面與此直線垂直。 (B) 過已知直線外一點, 恰有 一平面與此直線平行。 (C) 過已知平面外一點, 恰有一直線與此平面平行。 (D) 過 已知平面外一點, 恰有一平面與此平面垂直。 (E) 過已知平面外一點, 恰有一平面 與此平面平行。
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