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第 1.3 單元 指數對數函數

在文檔中 99mathall (頁 32-46)

1.3.1 指數與指數定律

指數定義: an = a| · a · · · · a{z }

n

, 當 a > 0, a 6= 1 時稱 a 為底數,n為其指數 整數指數:

1. 指數律: a, b ∈ R; m, n ∈ Z aman = am+n

(am)n = amn ambm = (ab)m

2. 零指數的定義: 底數 a 為異於 0 的實數, 則 a0 = 1。 說明: 1 = am am = am−m = a0

3. 負指數: a−n = 1an。 說明: am−m = am· a−m = a0 = 1 有理數指數:

1. 定義: 若 a, b > 0, m, n ∈ N, n ≥ 2則 ar = an1 = (√n

a) = √n a 2. 指數律: r, s ∈ Q

aras = ar+s (ar)s = ars arbr = (ab)r

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實數指數:

若 a > 0, r ∈ R, < rn >: r1, r2,· · · , rn,· · · 其極限為r, 則 ar 為數列 < arn >:

ar1, ar2,· · · , arn,· · · 的極限值。

指數為實數的指數律仍成立。

( 奇√

負實數 = − 奇√

正實數 偶√

負實數 = 虛數 6= 偶√

正實數

(−2)6 = [(−2)3]2 = [(−2)2]3 ;(−2)3 = (−2)2(−2)1 6= [(−2)2]32 有理指數時底 數 a > 0 才有指數律。

(−8)13 : 底數 a = −8 < 0 , 有理指數, 在實數範圍內未定義。

3

−8 = −√3

8 = −√3

23 = −233 = −2 。

指數式比較大小: (最好熟知 y = ax 圖形的遞增或遞減性來判斷 ) 1. 可化為同底數 :

 a > 1 , 時 m > n > 0, 則 am > an > 1 0 < a < 1 , 時 m > n > 0, 則 am < an < 1 2. 可化為同指數:

若 1 < b < a :

 x > 0 時 , 則 ax > bx > 1 x < 0 時 , 則 ax < bx < 1 若 0 < d < c < 1 :

 x > 0 時 , 則 dx < cx < 1 x < 0 時 , 則 dx > cx > 1

3. 無法化為同底數或同指數: 取對數後, 利用對數值再比較其大小。

指數型式的化簡: a > 0, x∈ R, ax = t > 0

1. a2x = (ax)2 = t2 ; a2x+1 = a(ax)2 = at2 ; a2x−1 = 1a(ax)2 = ta2 a−2x = (a1x)2 = 1

t2 ; ax+2 = ax× a2 = a2t ; a−x = 1ax = 1t ax−1 = aa =x t

a ; ax/2 = √

ax = √

t ; ax = (ax/3)3 2. ax+ a−x = t ≥ 2; a2x + a−2x = t2 − 2; a3x+ a−3x = t3 − 3t

精選範例 例題1 計算 212 × 481 × 8241 × 16321 的值? [Ans:2]

例題2 化簡 (a14 − b14)(a14 + b14)(a12 + b12)(a + b) =? [Ans:a2 − b2] 例題3 比較 a = √

2, b = √3

3, c = √6

10 三數的大小? [Ans:c > b > a]

例題4 已知 4x = 5 , 則 A = 2x, B = 8x, C = 24x 的值分別為多少?

[Ans:A = √

5, B = 5√

5, C = 25 例題5 若 a2x = √

2 − 1 , 則 a2x + a−2x =? 又 (a3x + a−3x) ÷ (ax + a−x) =?

[Ans:2√ 2; 2√

2− 1]

例題6 化簡 (2 + √

3)43(2−√

3)43 =? [Ans:1]

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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 指數對數函數 · 習題3-1 指數與指數定律

1. 化簡下列的值:

(a) 102 × 1001−

2

2 =

(b) (32)22 = (c) 36

3

612 =

2. 比較兩數大小: a = 2175, b = 575 3. 化簡 729−13 + 3225 + (27)−13 =

4. 若 x12 + x−12 = 5 , 求 x1 + x−1 =? , x23 + x−32 =?

5. 比較大小: a = 0.50.7, b = 0.250.36, c = (161 )0.25

6. 設 20.6 = 1.516, 20.03 = 1.021, 求 20.63 =? 2−0.37 =?

7. 若 102y = 25, 試求 10−y =?

8. 比較 a = √

3, b = √3

4, c = √4

5 三數的大小關係?

9. 放射性物質重量變為原來的一半所需經過的時間, 稱為該物質的半衰期, 某放射物 質在一年後剩下8公克, 而四年後剩下1公克, 問原來有多少公克? 其半衰期為多 少?

10. 設 a > 0 , 且 a + a−1 = 3, 求下列各式的值: a2 + a−2 =? 及 a12 + a−12 =?

11. 設 a 為正實數且 a2x = 5, 計算 a3x+ a−3x

ax+ a−x 的值?

1.3.2 指數函數及其圖形

一對一函數:

若 x1 6= x2 則 f (x1) 6= f(x2) 則稱 f (x) 為一對一函數。

亦即若 f (x1) = f (x2) 則 x1 = x2

指數函數圖形: y = f (x) = ax , a > 0, a 6= 1。 定義域 D : (−∞, ∞) , 值域 R : (0,∞)

x y

Γ1 : y = ax, a > 1

Γ2 : y = ax, 0 < a < 1 (0, 1)

指數函數圖形 x

y

y = 2x y = 3x y = 5x

(0, 1)

x y

y = (1 2)x y = (1

3)x y = (1

5)x

(0, 1)

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1. f (x) 恆正, 且通過點 (0, 1) 2. 底數 a > 1 時,

 x > 0 , f (x)圖形在 y = 1 上方 x < 0 , f (x)圖形在 y = 1 下方 底數 0 < a < 1 時,

 x > 0 , f (x)圖形在 y = 1 下方 x < 0 , f (x)圖形在 y = 1 上方

3. 圖形若底數 a > 1 時具有嚴格遞增性, 或 0 < a < 1 時具有嚴格遞減性。

4. 圖形無上界性:f (x) 函數值可無窮大。

5. 漸近性: 以 x 軸為漸近線。

指數函數重要性質: y = f (x) = ax , 恆滿足 1. f (x1 + x2) = f (x1)f (x2)

2. f (x1 − x2) = f (x1)÷ f(x2) 3. 單調性:

 a > 1 時, 嚴格遞增 , x1 < x2則 f (x1) < f (x2) 0 < a < 1 時, 嚴格遞減 , x1 < x2則 f (x1) > f (x2) 4. f (x) = ax > 0 , 為一對一函數。 若 ax1 = ax2 則 x1 = x2

5. 圖形凹凸性: y = f (x) = ax 圖形永遠凹口向上。 即 ax1 + ax2

2 > ax1+x22 函數圖形凹凸性: 知道圖形凹凸性, 可以描繪函數圖形並判斷ㄧ些函數值大小關係。

若 f (x) 函數具有 f (x1) + f (x2)

2 ≥ f(x1+ x2

2 ) 則函數圖形凹向上。

若 g(x) 函數具有 g(x1) + g(x2)

2 ≤ g(x1 + x2

2 ) 則函數圖形凹向下。

f (x) = 3x 凹向上:32.3 + 31.7 > 32.1 + 31.9 > 2× 32.3+1.72 , g(x) = √

x 凹向下:

√2.3 +√

1.7 < √

2.1 +√

1.9 < 2×q2.1+1.92 精選範例

例題1 解方程式 25x = 26· 5x−1 − 1 [Ans:x = 1,−1 ]

例題2 如圖為 y = ax, y = bx, y = cx, y = dx 四個函數圖形, 試比較 a, b, c, d 四數的大 小? [Ans:c > d > 1 > a > b]

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 2.5

5 7.5 10 12.5 15

y=ax

y=bx y=cx y=dx

-2 -1 1 2

2.5 5 7.5 10 12.5 15

y=3x y=3ÈxÈ

y=3x+1 y=3x+1

y=3-x

例題3 利用 y = 3x 的圖形, 透過“平移、 鏡射 ”描繪下列函數圖形?

(a) y = 3x+ 1

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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 指數對數函數 · (b) y = 3−x

(c) y = 3|x|

(d) y = 3x+1

例題4 解指數不等式 (3x − 9)(3x− 27) ≤ 0 [Ans:2 ≤ x ≤ 3]

例題5 解指數方程式 22x − 7 · 2x− 23 = 0 [Ans:x = 3 ]

例題6 解下列指數不等式 (a). 2x > 4 (b). (12)x+2 > 1 (c). (14)x+ (12)x− 2 < 0 [Ans:(a)x > 2 (b) x <−2 (c) x > 0]

例題7 比較 (0.3)1.3, (0.3)0.3, (0.3)−0.3,√

0.3 與 1 這五個數的大小關係?

[Ans:(0.3)−0.3 > 1 > (0.3)0.3 > √

0.3 > (0.3)1.3 習題3-2 指數函數及其圖形 1. 利用指數函數關係比較大小: a = √

2, b = √3

4, c = √4 8 2. 比較大小 :a = 22, b = 23, c = 25

3. 若 x1, x2 ∈ R , 試比較 2x1 + 2x2

2 與 2x1+x22 的大小?

4. 試比較: y = 2x, y = 2−x, y = 3x, y = 3−x 的圖形?

5. 試比較 y = f (x) = 2x, y = f (x) = 2−x, y = f (x) = −2x, y = f (x) = 2x−1 圖 形彼此間的關係?

6. 將函數 f (x) = 3x 的圖形向左移動1單位, 再向上移動2單位, 所得到新圖形的函 數為何?

7. 解方程式: 52x− 5x+1 − 500 = 0 8. 解不等式 4x− 2x+1− 8 > 0 9. 解指數不等式 (0.7)x2 > (0.49)x 10. 解不等式: 13 < 32x−1 < 27

11. 在 −1 ≤ x ≤ 3 的範圍內, 求函數 f(x) = 4x− 2x+3+ 18 的最大值與最小值?

12. 若 f (x) = 4x− 2x+1− 1,且 −1 ≤ x ≤ 1 求 f(x) 最大值及最小值?

13. 試求 y = 22x − 5 · 2x−1 + 1 之最小值?

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1.3.3 對數與對數定律 對數的定義:

a > 0, a 6= 1, x > 0; y = logax ⇔ x = ay , ( logax 稱為以a為底數,x的對 數;x為此對數的真數)。

對數運算性質: M, N > 0, a > 0, a6= 1 時 1. logaMN = logaM + logaN 2. loga M

N = logaM − logaN 3. logaMr = r logaM

4. logab = logcb

logca 換底公式 5. 其它恆等式:a, b > 0

(a) alogab = b

(b) logab logbc = logac (c) logba = 1

logab (d) logasbr = rs logab 6. 注意:

(a) k logaM + logaN = logaMk + logaN = logaMkN (b) logabr × logbsck = rks logab logbc = rks logac

(c) logaxlogax = logax× logax = (logax)2 (d) xlog a = alog x

精選範例 例題1 求下列對數值:

(a) 2 log102 + log1015− log106 = [Ans:1]

(b) log 59 − log 3

7 + log 27

35 = [Ans:0]

(c) (log23 + log49)(log34 + log92) = [Ans:5]

例題2 設 log102 = a, log103 = b , 試用 a, b 表示出下列各式: (a) log1020 (b) log101.2 (c) log52 [Ans:(a) a + 1 (b) 2a + b− 1 (c) 1−aa ]

例題3 設 a = log23, b = log37 , 試用 a, b 表示 log21168 =? [Ans: 3+a+aba+ab ] 例題4 已知 x 是正數且 log5x = 1 +√

2, 求 log55x + log0.2x2 的值? [Ans:−√ 2]

例題5 已知 log102 ≈ 0.3010, log103 ≈ 0.4771, log107 ≈ 0.8451 , 試求下列各數的近 似值: a = log102120, b = log102400, c = log100.375 [Ans:a = 36.12, b = 3.3801, c = −0.4259]

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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 指數對數函數 · 習題3-3 對數與對數定律

1. (log49 + log1627)(log916 + log272) =?

2. log10 7

36 + 5 log102− log10 14

25 + 2 log103 =?

3. 化簡 (log102)3 + (log105)3 + (log105)(log108) =?

4. 化簡 (1) log427

log23 =? (2) log104− log105 + 2 log10

125 =?

5. 若 log102≈ 0.3010, log103 ≈ 0.4771 , 試求 log1020 =?, log10 25 4 =?

6. log102 ≈ 0.3010, log103≈ 0.4771, log107 ≈ 0.8451 , 試求:

log 4, log 5, log 6, log 8, log 9, log 12, log 14 =?

7. 設 log102 = a, log103 = b , 試用 a, b 表示出下列各式: (a) log36 (b) log35 (c) log318

8. 已知 f (x) = log3x, 且 f (a)− f(b) = 6 , 求 ab 的值?

9. 測量聲音大小的分貝 s 與聲音強度 w 有下列關係式: s = 10· log w, 如果一般人 交談的音量為60分貝, 演唱會中的音量為120分貝, 問演唱會的音量強度是一般人 交談聲音強度的幾倍?

1.3.4 對數函數及其圖形

對數函數函數圖形 : y = f (x) = logax。 定義域 D : (0,∞) , 值域 R : (−∞, ∞)。

1. 單調性: 若 a > 1, f (x) 是遞增函數, 若 0 < a < 1, f (x) 是遞減函數 2. 圖形必通過點 (1, 0)

3. y 軸是圖形的漸近線

4. 凹凸性: a > 1時 y = logax 圖形永遠凹口向下。 即 log(a + b2 ) > log a + log b 2 0 < a < 1時 y = logax 圖形永遠凹口向上。 即 log(a + b2 ) < log a + log b

2

x y

Γ1 : y = logax

(1, 0)

底數 a > 1 的對數函數圖形

x y

Γ2: y = logax (1, 0)

底數 0 < a < 1 的對數函數圖形

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對數函數與指數函數圖形的關係: f (x) = logax , g(x) = ax y = logax 圖形與指數 y = ax 圖形對稱於直線 y = x

x y

g(x) = log0.5x f (x) = 0.5x

y = x

0 < a < 1 ,此圖 a = 1

2

x y

g(x) = log0.02x f (x) = 0.02x

y = x

a > 1 , 此圖 a = 0.02

x y

g(x) = log2x f (x) = 2x

y = x

a > 1 , 此圖 a = 2

x y

g(x) = log1.2x f (x) = 1.2x

y = x

a > 1 , 此圖 a = 1.2

1. 指數與對數是反函數關係: y = ax 與 y = logax 圖形對稱於直線 y = x 。 其相交情形點可能為“不相交、 相切一點、 相交兩點、 相交三點”。(一般圖解法 不一定能觀察出來)。

2. Γ1 : y = 3x 鏡射軸 L:y=x

−→ Γ2 : y = log3x 鏡射軸−→L:y=0 Γ3 : y = log1

3 x =

− log3x

3. 若函數在定義域內 g(f (x)) = x 且 f (g(y)) = y 則稱 f (x) 與 g(y) 互為反 函數, f (x) 反函數記為 F−1(x)。 且反函數的圖形是以 y = x 為鏡射軸。

反函數的求法可用 x 與 y 互換後, 再將 y 用 x 來表示即可。

4. 指數與對數的定義域及值域:

指數 f (x) = ax ; 當 a > 0 定義域: x ∈ R 。 值域: y = ax > 0 。

對數 f (x) = logax ; 當 a > 0, a6= 1 , 定義域: x > 0 。 值域: y = logax ∈ R 。

對數式比較大小: y = logax , 恆滿足

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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 指數對數函數 · 函數 y = ax, a > 1 y = ax, 0 < a < 1 y = logax, a > 1 y = logax, 0 < a < 1

圖形 -3-2-1 1 2 3

(x, ax)

(0, 1) y

-3-2-1 1 2 3 (x, ax)

(0, 1) y

1 2 3 4 5 (1, 0)

y

1 2 3 4 5 (1, 0) y

定義域 R R x > 0 x > 0

值域 y > 0 y > 0 R R

單調性 遞增 遞減 遞增 遞減

凹凸性 凹向上 凹向上 凹向下 凹向上

漸近線 xxyy

x軸交點 無 無 (1, 0) (1, 0)

y軸交點 (0, 1) (0, 1) 無 無

1. 可化為同底數 :

a > 1 , 時 m > n > 1 > x > 0, 則 logam > logan > 0 > logax 0 < a < 1 , 時 m > n > 1 > x > 0, 則 logam < logan < 0 < logax 2. 可化為同真數: 若





1 < b < a , m > 1 , 則 logbm > logam m < 1 , 則 logbm < logam 0 < b < a < 1 , m > 1 , 則 logbm < logam m < 1 , 則 logbm > logam 3. 無法化為同底數或同指數: 換底公式, 均以10為底數後, 再比較其大小。

精選範例

例題1 解方程式 1 + log2x = log4(x + 3) [Ans: x = 1 ] 例題2 求解 (log x)2 = (log x2) + 3 [Ans: x = 103,101 ] 例題3 設 x, y, z 6= 0 的實數, 且 8x = 9y = 6z = t , 求 2zx + 3z

y [Ans:6]

例題4 解 x1+log5x = 25x2 [Ans: x = 25,15]

例題5 如圖為 y = logax, y = log2x, y = logbx, y = logcx 四個函數圖形, 試比較 a, b, c, 2 四數的大小? [Ans:2 > a > c > b]

例題6 求函數 f (x) = log3(x2 − 2x + 10) 在 0 ≤ x ≤ 4 範圍內的最小值? [Ans:2]

例題7 方程式 log2x = x− 1 有幾個實數解? 試作圖說明之 [Ans:2個]

例題8 若 log3(log0.3(log9x)) 有意義, 求 x 的範圍? [Ans: 1 < x < 9 ] 例題9 解不等式 log2x + log2(x + 1) > 1 [Ans: x > 1 ]

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2 4 6 8 10

-6 -4 -2 2 4 6

y=logax y=log2x

y=logbx y=logcx

習題3-4 對數函數及其圖形

1. 若對數方程式 (log102x)(log103x) = 1 之兩根為 a, b 則 ab =?

2. 解對數方程式 log(x− 4) + log(x + 3) = log 30 3. 解對數方程式 log1

4 x + 2 log16x2 − 32 = 0 4. 解方程式: logx−1(3x− 5) = 2

5. 解方程式 log3(2x + 2) = log9(2x + 8) 6. 解方程式 log53x + log5(x− 3) = log512 7. 解方程式 log10x + log10(x− 1) = 1 + log102 8. 求滿足對數不等式 log3(x− 1) < 1 之 x 值的範圍?

9. 解不等式 log1

2(x− 1) + log12(x− 3) ≥ −3 10. 解不等式 log3x + log3(x− 2) < 1

11. 比較 1516 與 1615 兩數的大小?

12. 試利用log102 = 0.3010, log103 = 0.4771 比較 32 與 23 兩數的大小?

13. 正數 x, y, z 滿足 4x = 3y = 5z , 試比較 4x, 3y, 5z 的大小?

14. 比較 log35, log916, log3 1

4, 1 四數的大小關係?

15. 設 x 與 y 是滿足 x + y = 90 的兩正數, 試求 log x + log y 的最大值?

16. 若 1 ≤ x ≤ 27 , 求函數 f(x) = (log3x)2 − 4 log3x + 5 的最大值與最小值?

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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 指數對數函數 ·3-5: 常用的對數查表 (部分)

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表尾差

1 2 3 4 5 6 7 8 9

31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 10 11 12 32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 1 3 4 5 7 8 9 11 12 33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 1 3 4 5 6 8 9 10 12

47 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803 1 2 3 4 5 5 6 7 8

57 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627 1 2 2 3 4 5 5 6 7

73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 1 1 2 2 3 4 4 5 5

1.3.5 指數與對數的應用

對數查表: log x 對數值查表, 僅為其小數點部分近似值。

log10x 若底數為10稱為常用對數, 常記為 log x 以 e = P

k=0

k!1 = 2.71828· · · 為底數稱為自然對數, 記為 logex = ln x。

對數值的首數及尾數與科學記號的對應關係: x = a× 10n , 1 ≤ a < 10

log x = n + log a , 1 ≤ a < 10, n ∈ Z , n 稱為首數, 0 ≤ log a < 1 稱為尾數。

x = a× 10n 為 (n + 1)位數

對數運算的用處: 將複雜運算簡易化, 化乘除為加減運算、 化冪次方 (開根) 為乘 法 (除法) 運算

首數性質:

1. 對數=首數+ 尾數。 (首數為整數, 0 ≤ 尾數 < 1 )

2. 真數 x ≥ 1, log x 的首數為 n ⇔ x 的整數部分為 n + 1 位數。

3. 真數 0 < x < 1, log x 的首數為 −n 。 (−n ≤ log x < −n + 1) ⇔

x 在小數點後第 n 位始出現不為0的數字。(x 的小數點後有連續 n− 1 位數 字為0)。

尾數性質:

若 log x, log y 尾數相同 ⇔ x = y · 10n , n ∈ Z 內插法求對數值:

若對數 log x 的真數 x 變化量很微小時, 適用線性內插法 (變化量成比例 ∆x∆x =

∆y

∆y ) 來估算 。

例: log 3.14 < log x = log 3.146 < log 3.15 則 3.146 − 3.143.15− 3.14 = log x− log 3.14 log 3.15

順伯的窩

− log 3.14

利用 ∆x

∆x = ∆y∆y 即 6

10 = ∆y

14 , ∆y = 8.4 可估算得 log 3.146 ≈ (4969 +∆y)× 10−4 = 0.4969 + 0.00084 = 0.49774

3-5: 常用對數內插法

x log x

3.140 0.4969

∆x ∆y

∆x 3.146 log 3.146 ∆y

3.150 0.4983

等差、 等比:

1. 等差數列

( 一般項 an = a1 + (n− 1) × d 前n項和 Sn = a1 + an

2 × n = 2a1 + (n− 1)d

2 × n

2. 等比數列

( 一般項 an = a1 × rn−1

前n項和 sn = a + ar + ar2 +· · · + arn−1 = a(1− rn)

1− r , r 6= 1 (若 r = 1, Sn = na1 )

單利與複利 : 若本金為 p, 每期利率為 r%

1. 單利: t 期後, 單利本利和為 S = p + (pr)t = p(1 + rt) 2. 複利: t 期後, 複利本利和為 S = p(1 + r)t

精選範例

例題1 求最小正整數 n , 使得 (54)n > 1020 [Ans: n = 207 ]

例題2 把 310 表成十進位數是多少位數? 又首位數字與末位數字是多少?

[Ans: 5位數, 首位數字5, 末位數字9 ]

例題3 某一種細菌每隔一天數量會增加為原來的3倍, 如果該細菌以這樣速度增殖, 原有 100株細菌經過幾天之後會增殖超過 1010 株? [Ans:17天]

例題4 將 (56)100 表示成小數, 問從小數點後第幾位開始出現不為0的數字? [Ans:8]

例題5 已知 10 ≤ x < 100 , 且 log x2 與 log 1x 之尾數相同, 求 x 值?

[Ans: x = 10, 1043, 1053 ]

例題6 比較 a = log0.20.3, b = log23, c = log2030 三數的大小關係? [Ans: b > c > a ]

例題7 假設光線通過一塊透明板, 它的強度就會減弱一成, 現在將相同透明板 n 塊疊合一 起, 使通過的光線強度是原光線強度的 35 以下, 試求 n 的最小值? [Ans:(0.9)n <

0.6, n ≥ 5

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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 指數對數函數 · 習題3-5 指數與對數的應用

1. 已知 log a = 9.3310 , 則 a 的最高位數字為何? a 的整數部分是幾位數?

2. 已知長度為 10−9 公尺稱為1奈米, 若頭髮的直徑為 x 公尺, 且 log x = −4.097 , 則頭髮的直徑大約是多少奈米?

3. 利用查表估算 57.6× 73.55 ×√4

47 =?

4. 6100 是幾位數? 試利用 log 17 = 1.23045 求正整數 1750 是幾位數?

5. 若 log x = 4.123 , 試求出 x 的整數部分有幾位及其最高位數字?

6. 若 log 1715 = n + α; n ∈ Z, 0 ≤ α < 1 則若 log x = 5 + α 時,x=? 又若 log y = 2 + 3α 時, y =? ; log z = 1− α 時,z=?

7. 利用對數表查出 log 3.142, log 314.2 對數值?

8. 利用對數表求出真數? log x = 2.5211, log y = 4.7597 9. 求使 (45)n < 10−9 的最小正整數n?

10. 已知 log 6.43 = 0.8082, log 6.44 = 0.8089 , 用內插法求 log 6.4375 =?

11. 為了預籌年僅4歲兒子將來讀大學的教育經費, 將現有100萬元存入銀行, 年利率 5%, 每年複利計息一次, 問至少需經過多少年, 其本利和始達200萬元?(log 1.05 ≈ 0.0212, log 2 ≈ 0.3010)

12. 等比級數 1+2+22+23+· · ·+263的和是幾位數? 最高位數的數字為何?(log 2 ≈ 0.3010)

13. 審計工作者使用班佛法則來查帳.班佛法則就是“銀行存款的最高位數字是 a 的比 例約為 log(1 + 1a) ”。 根據此經驗法則, 銀行存款最高位數字是 4、5、6或7者的比 例約有? %

14. 某種細菌成長量正比於現有量, 已知早上9點時, 培養皿有600株細菌, 到早上11 點已增長為1800株細菌, 求出細菌數量對時間 t 的關係式? 估計到下午1、2、3點 時的細菌數?

15. 研究行星軌道的週期 T 與半軸長 a 之間的關係時, 若將 log T 當作 x 坐標, log a 當作 y 坐標, 可得函數圖形如圖中的直線: 求該直線的方程式? 求 T 與 a 的關

係式?

log T log a

(3, 2)

O

順伯的窩

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在文檔中 99mathall (頁 32-46)