數學第二冊
第
2.1單元 數列與級數
2.1.1 數列與數學歸納法
數列: 將一些數依序排成一列, 稱為數列。
例: a1, a2, a3,· · · , an· · · 以 < an > 表示數列的第 n 項。an 用 n 來表示稱為數 列 an 的一般項 (通項)。
由數列前幾項無法唯一決定此數列的一般項。 例:1, 2, 4 · · · 可為 < 2n−1 > 的前 三項, 也可能為 < n2 − n + 2
2 > 的前三項。
有限數列與無窮數列: 若一數列具有有限項稱為有限數列, 反之稱為無窮數列。
數列前 n 項和: Sn
若 Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an , 則一般項 an = Sn− Sn−1, n ≥ 2 遞迴數列與遞迴關係式: (高中主要討論一階遞迴關係式或簡單規律的遞推數列)
數列 < an > 中, 一般項可用前相鄰項 an−1, an−2,· · · 表示的一種表示關係。 具 有此種關係的數列稱為遞迴數列, 此關係式稱為遞迴關係式。
例: 公差為 d 的等差數列亦可表為 an = an−1+ d, n ≥ 2 。 公比為 r 的等比數列 亦可表為 an = ran−1, n ≥ 2 。
一階線性遞迴關係式: an = α· an−1 + f (n), n≥ 2
二階線性遞迴關係式: an = α· an−1 + β · an−2 + f (n), n ≥ 3
1. 若 an = an−1+ f (n), n ≥ 2 ⇒ 累加消去法: an = a1+ f (2) + f (3) +· · · + f (n) = a1 + Pn
k=2
f (k)
2. 若 an = αan−1 + k, n ≥ 2 ⇒ 變數代換消去 k: 令 bn = an + c, 代換並比 較常數,k = (α − 1)c 則 bn = αbn−1 為公比為 α 的等比數列。
an = bn − c = b1(α)n−1 − c = (a1 + c)(α)n−1 − k
α− 1, n ≥ 2 費布那西(Fibonacci) 數列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,· · ·
費氏數列的遞迴關係式: n F1 = F2 = 1
Fn+1 = Fn+ Fn−1, n ≥ 2 費氏數列的一般通項: Fn = 1√
5
h(1 +
√5
2 )n− (1 −
√5
2 )ni, n ∈ Z+
數學歸納法:
設 P1, P2,· · · , Pk,· · · 為一系列的命題, 數學歸納法的三步驟:
1. 驗證 n = 1 (初始項) 時 (不一定從 n = 1 開始) , P1 成立。
2. 對任意正整數 k, 假設 n = k , 時 Pn 亦成立。
3. 證明當 n = k + 1 時 , Pn 亦成立。 則 ∀n, Pn 均成立。
精選範例 例題1 數列 {an} 的遞迴定義式為 n a1 = 2,
an = an−1 + n− 1, n ∈ N, n ≥ 2 求一般項 an? [Ans:: an = n2 − n + 4
2
例題2 列出數列 {an} 的前三項, 其中 a1 = 3, an+1 = 3an + 2 。 [Ans:3, 11, 35]
例題3 試證: 對任意正整數 n , 則 n3 + 5n 必為6的倍數。
例題4 設 n 為正整數, 則 3n+2+ 42n+1 恆為某一固定質數 p 的倍數, 試找出此質數 p 並 證明之? [Ans:p = 13]
例題5 用數學歸納法證明: 對所有的正整數 n ,4n+ 2 恆為6的倍數。
習題1-1 數列與級數 1. 數列 {an} 的遞迴定義式為 n a1 = 2,
an = an−1 + 2n−1, n ∈ N, n ≥ 2 , 求一般項 an?
2. 數列 {an} 的遞迴定義式為 n a1 = 1,
an+1 = 2an+ 1, n ∈ N , 推測此數列一般項 an , 並用數學歸納法加以證明?
3. 求此數列, < n2 + 2n > 的第10項=?
4. 設 < an > 為一數列且前 n 項和 Sn = −3n2 + 4n 若 a1 = 1 求 a2 =?, an =?
此數列是否為等差數列?
5. 設 < an > 為一等比數列且 a4 = 24, a6 = 96 求此等比數列的首項及第九項?
6. 有一等比數列, 首項為7, 末項為448, 和為889, 求項數?
7. 用數學歸納法證明: Pn
k=1
k2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
8. ∀n ∈ N 求證: 4n + 2 為3的倍數
9. ∀n ∈ N 求證: 9n+1 − 8n − 9 為64的倍數
10. ∀n ∈ N 求證: 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n2
11. 設數列 < an > 滿足 : a1 = 2, an+1 = 23an+5 (n∈ N ) 令 a′n = an+1−an, n ≥ 2
試證: < a′n > 是以 23 為公比的等比數列。 並求出 an (以 n 表示)
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 數列與級數 · 12. 設數列 < an > 滿足: a1 = 5, an+1 = an + 4,∀n ∈ N, 求 an =?
13. 試證明: ∀n ∈ N, 52n+2+ 23n−1 為17的倍數
14. 設 ∀n ∈ N, f(n) = 102n − 3 · 12n + 2 求 (1)f (2) =? (2) 若 p ∈ N 且 p|f(n), ∀n ∈ N , 求 p 的最大值?
15. ⊚ 設實數 p ≥ −1 , 求證 (1 + p)n ≥ 1 + np 對每一正整數 n 均成立。(伯努利不 等式)
16. ⊚ 試證明: ∀n ∈ N, n ≥ 4 , 3n > n3
2.1.2 級數
級數: 把一個數列中的每一項依序加起來的式子。
例: a1 + a2 + a3 + · · · + an = Pn k=1
ak , 通常用符號 P 來表示數列的和。
有限級數: 有限項數列的和稱為有限級數。Sn = Pn
k=1
ak = a1 + a2 + a3 + · · · + an
等差與等比: 公差 d, 公比 r 1. 等差數列
一般項 an = a1 + (n− 1) × d 前n項和 Sn = a1 + an
2 × n 2. 等比數列
( 一般項 an = a1 × rn−1 前n項和 sn = a(1− rn)
1− r , r 6= 1 (r = 1, Sn = na1)
3. 若 a, b, c 三數成等差數列, 則等差中項 b = a + c2 。 三數可假設為 a − d, a, a + d
若 a, b, c 三數成等比數列, 則 b 為等比中項且 b2 = ac 。 三數可假設為 ar , a, ar
P 的運算性質: a1+a2+· · ·+an =
級數末項P n k=級數初始項1
ak, 其中 ak 為級數一般項,k 為變數。
1. Pn
k=1
(ak ± bk) = Pn
k=1
ak± Pn
k=1
bk
2. Pn
k=1
c = c + c + c +| {z · · · + c}
n項
= nc
3. Pn
k=1
cak = c Pn
k=1
ak
4. Pn
k=m+1
ak = Pn
k=1
ak − Pm
k=1
ak
順伯的窩
5. Pn
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 數列與級數 · 例題5 一級數的前 n 項和為 Sn = 13n(n + 1)(n + 2) , 求此級數的一般項 an = ?
[Ans:n(n + 1)]
習題1-2 級數
1. 設 < an > 是等差數列, < bn > 為等比數列, 已知 a2 = b2 = 3, a5 = b5 = 24 , 求 a7 + b7 的值?
2. 求有限級數的和: 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) +· · · + (1 + 2 + 3 + · · · + 10) =?
3. 計算出 1× 3 + 4 × 5 + 7 × 7 + 10 × 9 + · · · + 28 × 21 =?
4. 求 P20
k=1
k(k + 1)1 =?
5. 求 Pn
k=1
k2(n− k) =?
6. 求 Pn
k=1
(1 + 2 +· · · + k) =?
7. 觀察下列 3× 3, 4 × 4 方格的數字規律:
1 2 3 1 2 2 1 1 1
1 2 3 4 1 2 3 3 1 2 2 2 1 1 1 1
如果在 10 × 10 的方格上, 仿上面規律填入數字, 則所填入的100個數字和為?
8. 設級數 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) + · · · , 前 n 項的總和為 Sn, 求最小正整數 n, 使 Sn ≥ 1000
9. 求下列級數和:
(a) 1 × 100 + 2 × 99 + 3 × 98 + · · · + 100 × 1 = (b) 1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + · · · + (2n − 1) · 2n = 10. 已知級數 12 + 1
6 + 1
12 + · · · 1
n(n + 1) = 199200 求正整數 n 的值?
11. 級數 (1) + (2 + 3) + (4 + 5 + 6) + (7 + 8 + 9 + 10) +· · · , 以 an 表示第 n 個 括號內的級數和, 求 a15 及前15個括號內所有數字和?
12. 如圖: 第一個 (最大) 正方形邊長為4, 內接正方形的每個頂點距原正方形相鄰兩頂
點距離比為 1 : 3 , 依此規則, 求第5個正方形的周長為何?
順伯的窩
13. The Koch Snowflake 雪花曲線是由 K1 每個邊中三等分的第二等分向外推一正 三角形形成 K2 , 依此模式形成 K3, k4,· · · 如圖示:
(a) 試由 K1, k2, K3,· · · 找出規律, 問 K4 曲線的周長共有幾個折線段所形成?
(b) 若 K1 的邊長為1單位, 求 K4 的周長為何?
(c) 若 K1 的面積為1平方單位, 求 K4 的面積為何?
K1
K2 K3 K4 K5
圖 1-2: The Koch Snowflake 雪花曲線
14. 若將一線段四等分, 並且第二、 三等分由矩形正弦波取代如圖: 已知原線段長為1 單位, 依此規則求第四個圖中的所有線段和?
15. 若將一線段三等分, 並將第二等分挖空, 形成新圖如圖所示: 已知原線段長為1單 位, 依此規則求第五個圖中的所有線段和?