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第 3.2 單元 直線與圓

在文檔中 99mathall (頁 109-122)

3.2.1 直線方程式及其圖形

直線的斜率:

直線與 x 軸正向的夾角稱為斜角θ, 則直線斜率 m = ∆y

∆x = y2 − y1

x2 − x1 = tan θ

x y

y = ax + b

∆x

∆y

直線斜率大小的比較:

1. θ < 90 :  正斜率 (左下右上形的直線)。

2. θ > 90 :  負斜率 (左上右下形的直線) 3. θ = 0 : − 水平線斜率為0

4. θ = 90 : | 鉛直線斜率為不存在 (無斜率) 或正負無窮大 (±∞)。

5. 直線往順時針旋轉斜率變小, 往逆時針旋轉斜率變大。(未經過鉛直線時) 直線方程式:

1. 一般式:ax + by = c , 其斜率 m = −ab, (b 6= 0)

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https://sites.google.com/site/hysh4math 3.2 直線與圓 · 2. 點斜式:y − b = m(x − a) 表直線經過點(a, b),及直線斜率為m

3. 兩點式:y − y1

x− x1 = y2 − y1

x2 − x1 表直線經過兩點(x1, y1), (x2, y2) 。 4. 斜截式:y = mx + k 表直線斜率為m, 與 y 軸截距為 k 。 5. 截距式:xa + y

b = 1 表直線與 x 軸,y 軸的截距分別為 a,b 。 6. 向量參數式: n x = x0 + bt

y = y0 − at , t ∈ R 表直線方向 (b, −a), 過點 (x0, y0) 7. 共交點的直線簇 : L 過 L1, L2 的交點, 則直線 L 方程式為

L : L1 + kL2 = 0 , k ∈ R

直線的平行與垂直: 兩斜截式直線 L1 : y1 = m1x + k1, L2 : y2 = m2x + k2

互相平行: 則 m1 = m2, k1 6= k2

互相垂直: m1m2 = −1

或直線一般式, 互相平行:n ax + by + c1 = 0 ax + by + c2 = 0 互相垂直:n ax + by + c1 = 0

bx− ay + c2 = 0 平面上A,B,C 三點共線:

1. 任兩點的斜率相等:mAB = mAC 2. 任兩點的向量成比例: −⇀

AB = t−⇀

AC

3. △ABC 面積為0 :a∆ABC = 0 ,(代入面積公式, 其值為0) 二元一次方程組的幾何意義:

兩直線方程式 L1 : a1x + b1y + c1 = 0, L2 : a2x + b2y + c2 = 0 , 聯立方程組 n a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0 , b1b2 6= 0

1. a1b2 6= a2b1 時, 方程組恰一解, 此時 L1 與 L2 相交一點。(相容方程組) 2. a1b2 = a2b1, b1c2 6= b2c1時, 方程組無解, 此時L1與L2互相平行。(矛盾方程

組)

3. a1b2 = a2b1, b1c2 = b2c1時, 方程組無窮多解, 此時L1與L2重合。(相依方程 組)

點對稱: 若P,Q 兩點的中點為 M 點, 則稱 P,Q 兩點對稱於 M 點。

線對稱: 若A,B 兩點對稱於直線 L, 則稱 L 為 A、B 兩點的對稱軸。 此時 L 為 AB 的 中垂線。

L 上一點到 A、B 兩點 (L 同側) 的距離和, 當B, B 對稱於 L 時, 使得 AP + BP = AB 為 min

點 M P

Q P

Q

A B

L

L A

P

B

B

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精選範例

例題1 如圖: 若直線 AB,BC,CD,DE,EA 的斜率分別為 m1, m2, m3, m4, m5 , 比較其斜

率的大小? [Ans:m2 > m3 > m4 > m5 > m1]

x y

A(−3, 2)

B(0,−5) C(3, 2)

D(−3, −2) E(3,−2)

例題2 求過點 P (−3, 2) 分別與直線 L : x − 2y = 5 平行及垂直的直線方程式?

[Ans: x− 2y + 7 = 0; 2x + y + 4 = 0 ]

例題3 坐標平面上,A(4,−3), B(−1, 4), C(a, 11) 三點共線, 求 a 值? [Ans: a = −6]

例題4 設點 P (3, 1) , 直線 L : x + 2y = 0 , 求過 P 點且與直線 L 平行的直線方程式 M ? 及過 P 點且與直線 L 垂直的直線方程式 N ? [Ans: M : x + 2y − 5 = 0, N : 2x− y − 5 = 0

例題5 若 A(4, 2), B(−2, 6) 求 AB 的垂直平分線方程式? [Ans:3x − 2y = −5]

例題6 一直線過 P (5, 2) 及兩直線 L1 : x + 2y − 5 = 0, L2 : 3x + y− 5 = 0 的交點 Q, 求 P、Q 直線方程式? [Ans:y = 2]

例題7 求點 P (3, 1) 關於直線 L : x + 2y = 0 的對稱點坐標? [Ans:A(1,−3)]

習題2-1 直線方程式及其圖形

1. 如圖: 比較五邊形 ABCDE 的5個邊的斜率大小?

x y

D E

A B

C

2. 求下列直線方程式:

(a) 過兩點 P (−4, 3), Q(2, −3) 的直線 (b) 過點 P (2, 3) 且斜率為 3的直線?

(c) 直線與 X 軸的截距為-4, 與 Y 軸的截距為-2 (d) 斜率為2, 交 Y 軸於 (0, 3) 的直線

3. 回答下列條件問題:

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https://sites.google.com/site/hysh4math 3.2 直線與圓 · (a) 求斜率為3且 y 截距為1的直線方程式

(b) 求直線 x2 + y

3 = 1 的斜率?

(c) 求直線 3x− 2y − 4 = 0 的斜率與 y 軸截距?

(d) 斜率為2, 交 Y 軸於 (0, 6) 的直線與坐標軸圍成的三角形面積?

4. 設 A(−4, 2), B(7, 6) 為平面坐標上的兩點, 且點 P 為直線 ←→

AB 上一點, 若 AP : BP = 3 : 2, 求點 P 坐標?

5. 如圖中, 直線 L1, L2, L3, L4 的 斜率分別為 m1, m2, m3, m4 試將斜率按大小排 序?

L L

L

L 1

2

3

4

X Y

6. 已知三點 A(3,−2), B(−1, −5), C(a, −2a + 1) 共線, 則 a =?

7. 求過點 (4, 3) 且與直線 L : 3x− 2y + 6 = 0 平行, 的直線方程式?

8. 不論任何實數 m, 直線 L : mx− y + 4m − 2 = 0 恆過點 P, 則此點 P 坐標為?

又若 A(−2, 8), B(6, 5) ,L 與 AB 相交, 求 m 值範圍?

9. 設 △ABC 為坐標平面上的正三角形, 其中 A(0, 0), B(−1,√

3) , 試求C點坐標 為?

10. 在平面上有三直線 L1 : x + 3y− 1 = 0, L2 : 2x + ky + 1 = 0, L3 : x− y +3 = 0 共交點, 則實數 k =?

11. 已知直線 L 過點 (−1, 6) 且 L 在兩軸上之截距乘積為1, 求 L 之方程式?

12. 設直線通過點 (4, 1) 且與兩坐標軸圍成的三角形面積為1, 求 L 的直線方程式?

13. 兩直線 L1 : ax− 6y = 5a − 3, L2 : 2x + (a + 7)y = 29− 7a, (1) 若 L1⊥L2

時,a 值 =? (2) 又若 L1//L2 時,a 值=?

14. 設點 P (4,−2), 直線 L : x − 2y + 2 = 0, 求以 L 為對稱軸時, 點 P 的對稱坐 標?

15. 已知一點 P (2, 1), 及直線 L : x + y − 1 = 0 , 試求點 P 到直線 L 的垂足點坐 標?

16. 不論任何實數 m, 直線 L : mx− y − m + 6 = 0 恆過點 P, 則此點 P 坐標為?

又若 A(0, 2), B(4, 5) ,L 與 AB 相交, 求 m 值範圍?

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17. 平面坐標上, 直線 L : y = 3x + k 與 A(0, 2), B(4, 5) 為兩端點的線段 AB 相 交, 求 k 值的範圍?

18. 試判斷下列聯立方程式解的意義:

(a) n 2x + 3y = 5 3x− 2y = 5 (b) n 2x + 3y = 4 4x + 6y = 2 (c)

 2x + 3y = 5 x2 + y

3 = 5 (d)

 2x + 3y = 6 y = −2x3 + 2

3.2.2 線性規劃

二元一次不等式的解區域:

1. 若 y > ax + b 則不等式包含直線 L : y = ax + b 的上方區域。

2. 若 y < ax + b 則不等式包含直線 L : y = ax + b 的下方區域。

3. 若 x > ay + b 則不等式包含直線 L : x = ay + b 的右方區域。

4. 若 x < ay + b 則不等式包含直線 L : x = ay + b 的左方區域。

y≥ −x + 1

x y

L : x + y = 1

y <−x + 1

x y

L : x + y = 1

y < 2x + 4

x y

L : 2x− y = −4

y≥ 2x + 4

x y

L : 2x− y = −4

線性規劃問題:

1. 決策變數: 影響問題的變數稱為決策變數 xi

2. 目標函數: 求問題的方程關係式稱為目標函數 Z = Pk

i

cixi。 其值稱為目標函 數值。

3. 限制條件: 決策變數受限的不等式組稱為限制條件。

型如: 求 Max(Min) Z = c1x1 + c2x2 +· · · + cnxn 之最大值 (或最小值) s.t.(受制於)





a11x1 + a12x2+ · · · + a1nxn ≥ b1

a21x1 + a22x2+ · · · + a2nxn ≥ b2

am1x1 + am2x2 +· · · + amn... xn ≥ bm

線性規劃問題的解法:

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https://sites.google.com/site/hysh4math 3.2 直線與圓 · 1. 可行解: 若數對 (a, b, c,· · · ) 滿足所有限制條件, 則稱此問題的一個可行解。

2. 可行解區域 F : 所有可行解的集合稱為可行解區域 F 。

3. 最佳解 (optimal solution): 若 (x1, x2,· · · ) 滿足目標函數的最大值 (或最 小值), 則稱為線性規劃的最佳解, 其值 Z 稱為最佳解值。

red: x+2 y£6, green: 2 x+y£8 blue: y-x£1, purple: y£2 objective function: 3 x+2 y=2

1 2 3 4 5 x

1 2 3 4 5 y

2-2: 線性規劃的可行解區域F

二元線性規劃問題的圖解平行線法: 欲求 max(min) Z = c1x + c2y , 利用一組平行 線 Lk : c1x + c2y = k 在解區域內平行移動, 找出 (x, y) 使 k 直為最大或最小值 的方法。

1. 畫出可行解區域 F (不等式組的圖形), 並標示出所有的頂點。 若 F = ∅ , 則 此問題無解。

2. 若 (c1, c2) = (0, 0) , 則 F 中任一點都是最佳解, 且最佳解值 Z = 0 。 3. 若 (c1, c2) 6= (0, 0) , 則將目標函數 max(min) c1x + c2y = k 按其法向量

方向 (c1, c2) 或 (−c1,−c2) 平移。

4. 將上述平移過程中與可行解區域相交的點均為可行解; 取最後 (最先) 的相交 點, 即為最佳解。 代入目標函數即為最佳解值。(最佳解可能是無解、 單一解、

或無限多組解)。

s.t.



x + y ≤ 24 x + 2y ≤ 30 x ≥ 0 y ≥ 0

,Max Z = 3x + 4y

O x

y

F

L : x + 2y = 30 L : x + y = 24

Lobj: 3x + 4y = k

(18, 6)最佳解

O x

y

F

L : x + 2y = 30 L : x + y = 24

(24, 0) (0, 15)

(0, 0)

(18, 6)最佳解

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二元線性規劃問題的頂點法: max(min) Z = c1x + c2y

一次聯立不等式所決定的可行解區域為一凸多邊形區域。 而目標函數的極值必發 生在此凸多邊形區域的頂點上, 故可先把凸多邊形區域的頂點坐標值全部找出來, 再分別代入目標函數, 求出 max(min) Z = c1x + c2y 之值。

線性規劃基本原理:

一個線性規劃問題, 若其可行解區域 F 6= 且為有界, 則 F 的頂點中至少有一 個會是最佳解。

精選範例

例題1 某公司生產產品, 存放在甲、 乙兩倉庫, 分別有40單位與50單位, 現在 A 市場的 需求量為 30 單位,B 市場需求量為40 單位, 各倉庫運輸至各市場的單位運輸成本 (元) 如下表: 滿足是常需求下, 應如何分配為最節省運輸成本? [A: 甲運送30單 位至 A,10單位至 B; 乙運送30單位至 B。 成本為8900]

市場 A B100 140120 150

x y

F

x + y = 20

x + y = 40 y = 40

x = 30

(20, 0)

(30, 0) (30, 10) (0, 40)

(0, 20)

例題2 設 x, y 滿足聯立不等式



x + y ≥ 4 3x + y ≥ 6 x ≥ 0 y ≥ 0

, 求 2x + y 的最小值? Ans: (x, y) = (1, 3) 時, minz = 2x + y = 5

例題3 滿足現制條件:



x + 2y ≤ 30 3x + y ≤ 30 x ≥ 0 y ≥ 0

求 x, y, 使得 w = −x − 2y 有最小值? Ans:

(x, y) = (6t, 15− 3t), 0 ≤ t ≤ 1 有 minw = −30 例題4 設 x, y 滿足聯立不等式



2x− y ≥ −2 3x + 2y ≤ 18

x ≥ 0 y ≥ 0

, 求 2x + y 的最大值與最小值?

Ans: (x, y) = (2, 6) 時, maxz = 2x + y = 14; (x, y) = (0, 0) 時, minz = 2x + y = 0

例題5 某化學工廠生產 A,B 兩種肥料, 每噸的利潤分別為 1080 元與 900元, 生產過程 中每噸所需的材料費與工本費如下表: 在控制材料費不超過93000 元且工本費不

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https://sites.google.com/site/hysh4math 3.2 直線與圓 ·

red: x+y³4, green: 3 x+y³6

F

objective function: min z=2 x+y

-1 1 2 3 4 5 6 objective function: z=-x-2 y

5 10 15 20 25 30

9. 欲將室內面積共48 坪的空間, 分隔成兩大小型客房出租, 大客房每間12 坪, 可收 住宿費4000元; 小客房每間8坪, 可收住宿費2000元。 大客房裝修每間花費9000 元, 小客房裝修每間花費3000元, 在裝修總費用不超過27000元的情形下, 應隔出 大小客房各多少間, 方能獲得最多的租金?

10. 某一食品公司有兩家工廠, 第一廠有產品40 單位, 第二家有產品50 單位, 該公司 自甲、 乙兩商店接獲訂單, 甲店申購30單位, 乙店申購40單位, 已知自第一、 二廠 運至甲、 乙兩商店, 每單位運費如下, 是否有最佳方法 (運費最低) 分配兩廠產品 量運至甲、 乙兩商店? 最低運費為?

第一廠 第二廠 甲商店 1012元 乙商店 1415

11. 一農民有田2甲, 根據經驗: 若種水稻, 則每甲田每期產量為8000公斤; 若種花生, 則每甲田每期產量為2000公斤 但水稻成本每甲每期需24000元, 而花生只要8000 元; 且水稻每公斤可賣6元, 花生每公斤可賣10元; 現在他手頭只有40000元資金, 試問此農民只種水稻及花生應種各若干甲, 才能使他獲得最大利潤?

12. 某家運算公司有載重4噸的小貨車7輛, 載重5噸的大貨車4輛及9名司機, 現在受 委託每天至少要運送30噸的鐵, 試問這家公司有幾種調度車輛的辦法?

13. 某公司有兩家倉庫, 第一倉庫有產品160件, 第二倉庫有產品200件, 該公司自甲、

乙兩商店接獲訂單, 甲店申購120件, 乙店申購160件, 已知自第一、 二倉庫至甲、

乙兩商店, 每單位運費如下, 是否有最佳方法 (運費最低) 分配兩廠產品量運至甲、

乙兩商店? 最低運費為?

第一倉庫 第二倉庫 甲商店 250300元 乙商店 350375

14. 某廠以 A、B 兩種紙板來生產甲、 乙兩種產品。 A 規格每張可做甲產品3個和乙產 品5個,B 規格每張可做甲產品6個和乙產品3個, 現今要製作假產品45個, 乙產品 40個, 求兩種規格紙板各用多少張能達到需求且使用張數為最少?

15. 聯立不等式



2x + 6y ≤ 6 x + y ≥ 2 x ≥ 0 y ≥ 0

, 有多少格子點 (整數點)?

16. 製作 A、B 兩種手工香皂,A、B 的材料費分別為50、25 元, 工資分別為70、120 元;

每種香皂皆可獲利200元。 若在材料費不超過175元, 工資不超過420元的原則下, 應如何製作兩種香皂才會有最大利潤?

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https://sites.google.com/site/hysh4math 3.2 直線與圓 · 3.2.3 圓與直線關係

圓定義: 動點 P (x, y) 到一固定點 O(h, k) , 距離為定值 r 。

p(x− h)2 + (y − k)2 = r , 圓心 O(h,k), 半徑為 r

O

P (x, y)

圓的標準式:

C : (x− h)2 + (y− k)2 = r2 , 圓心 O(h,k), 半徑為 r

圓的一般式: (不共線三點恰可決定一圓) C : x2 + y2 + dx + ey + f = 0 ,(無 xy 項),r2 = 14(d2 + e2 − 4f)

1. d2 + e2 − 4f > 0 , 為一圓, 且圓心為 (−d2, −e

2) 的圓。

2. d2 + e2 − 4f = 0 , 為一點 (−d2, −e 2)。 3. d2 + e2 − 4f < 0 , 圖形為 (虛圓) 空集合。

圓的直徑式: 以 P (x1, y1), Q(x2, y2) 為直徑兩端點的圓 C : (x− x1)(x− x2) + (y− y1)(y− y2) = 0 圓的參數式:

圓 C : (x − h)2 + (y− k)2 = r2 參數式為 n x = h + r cos θ

y = k + r sin θ , 0 ≤ θ < 2π 圓簇: 若圓C1, C2, C3 有共交點, 則圓方程式 C3 : C1 + kC2 = 0, k ∈ R

圓 C 與點 P (x0, y0) 的關係:

1. P 點在圓外: OP > r, 即(x0− h)2+ (y0− k)2 > r2, 且當 ←→

OP 交圓於 A,B 兩點為與點 P 最近 |OP − r| 與最遠 OP + r 的距離。

2. P 點在圓上: OP = r, 即(x0 − h)2+ (y0 − k)2 = r2

3. P 點在圓內: OP < r, 即(x0− h)2+ (y0− k)2 < r2, 且當 ←→

OP 交圓於 A,B 兩點為與點 P 最近 |OP − r| 與最遠 OP + r 的距離。

B O

A P

B OP A

圓與直線 L 相交情形:

(交點個數: 由代入消去法有幾組解決定)(或由圓心到直線的距離與半徑大小決定)。

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1. 不相交 (相離): d(O, L) > r (代入消去法成一元二次方程式, ∆ < 0 ) 2. 相交一點 (切線): d(O, L) = r (代入消去法成一元二次方程式, ∆ = 0 ) 3. 相交兩點 (割線): d(O, L) < r (代入消去法成一元二次方程式, ∆ > 0 )

O

O O

D(O,L)> r D(O,L)= r D(O,L)< r

L L L

2-3: 圓與直線相交情形

圓上的點與直線 L 的最近最遠距離:

過圓心 O 與直線 L 垂直之直線交圓 C 於 A,B 兩點時, 分別為最近點與最遠點。

最近距離為d(O, L) − r, 利用內分點公式可求出其最近點坐標。

最遠距離為d(O, L) + r, 利用外分點公式可求出其最遠點坐標。

圓的切線方程式:

過切點 P 的切線恰一條 (可代入公式); 過圓外點 P 的切線有兩條 (設點斜式)。

1. 利用 d(O, L) = r

2. 解直線 L 與圓 C 的聯立方程組, 恰有一交點。(代入消去法, 可得一元二次方 程式恰一解; ∆ = 0 )

過圓周上點 P (x0, y0) 的切線公式:











x2 ⇒ x0x y2 ⇒ y0y x ⇒ x0+ x

2 y ⇒ y0 + y f ⇒ f 2

代換圓 C 方程式, 可得其切線方程式 L O

P (x0, y0)

過圓外一點 P (x 0, y0):









x2 ⇒ x0x y2 ⇒ y0y x ⇒ x0 + x

2 y ⇒ y0 + y f ⇒ f 2

代換圓 C 方程式, 可得其極線方程式 (過 P 點的兩切線之切點

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https://sites.google.com/site/hysh4math 3.2 直線與圓 ·

的連線)

P (x0, y0) O 極線

切線段長:

圓外一點 P (x0, y0), 切線段長 q

OP2 − r2 = px20+ y02 + dx0 + ey0 + f 圓羃定理:

若 P T 是切線段, 且過 P 點的割線交圓於 A,B 兩點, 則P T2 = P A· P B 過圓心的線 L, 若垂直弦AB必平分此弦 (−⇀

L ·−⇀

AB = 0) 精選範例

例題1 已知一圓弧的弦長為14公尺, 弦中點距圓弧垂直高為4公尺, 求此圓的半徑長? 公 尺 [Ans:338 ]

例題2 求以 O(2,−3) 為圓心, 且過點 P (5, 1) 的圓方程式。 並判別 Q(3, 4) 在圓內、 圓 外還是圓上。 [Ans:C : (x− 2)2 + (y + 3)2 = 25,Q 在圓外部]

例題3 求過三點 P (1, 1), Q(1,−1), R(−2, 1) 的圓方程式? [Ans:x2+y2+x−3 = 0]

例題4 點 P 為圓 C : x2 + y2 = 4 上的任一點, 求 P 到 A(6, 0) 的連線段 PA 中點 M 所形成圖形的方程式? [Ans:(x− 3)2 + y2 = 1]

例題5 若 P (a, b) 為圓 C : x2 + y2 − 4x − 2y + 4 = 0 上的點, 求 a2 + (b − 1)2 的最 大值? [Ans:9]

例題5 若 P (a, b) 為圓 C : x2 + y2 − 4x − 2y + 4 = 0 上的點, 求 a2 + (b − 1)2 的最 大值? [Ans:9]

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