範例8-4 (續)

解題算式

在 x=6.5 m 處，粒子的動能為

因此處位能是 U = 0，力學能為

在圖 8-9a 中，E

_mec

值被畫成一條水平線。我們從圖中 發現在 x=4.5 m 處，位能是 U

₁

=7.0 J ，而動能 K

₁

為

E _mec

與 U

₁

間的差：

範例8-4 (續)

又因 K

₁ = ½ mv ₁ ²

，我們求得

(b) 粒子的轉向點位於何處？

解題關鍵

轉向點就是位於系統作用力瞬間停止，而粒子正要轉向 移動的地方；也就是說，此處的粒子將瞬間有 v=0 的 情況，以致 K=0。

範例8-4 (續)

解題算式

因為 K 是 E

_mec

與 U 值的差，圖 8-9a 中，U 值的圖線揚 升與 E

_mec

水平線相交，此交點即為轉向點，如圖 8-9b 所示。因U 值的圖線在圖 8-9b 中呈一直線，我們描繪 出兩相似直角三角形，然後寫出相似三角形的邊長比

上式求得 d=2.08 m 。因此，轉向點是位在

圖8-9

範例8-4 (續)

(c) 當粒子在 1.9 m＜x＜4.0 m 的區域時，試算出其所受 的力。

解題關鍵

此力可根據 F(x)=

－ dU(x)/dx 算出，本式陳述作用力等

於 U(x) 圖線之斜率的負值。

解題算式

我們由圖 8-9b 得知，在 1.0 m＜x＜4.0 m 的區域之作用 力為

範例8-4 (續)

因此，力的大小是 4.3 N，而方向朝 x 軸正向。這個結 果正吻合了以下的事實，即起初一向左運動的粒子，因 受此力作用而停止，然後此力將它導向右方運動。

8-7 外力對系統所作的功

„

圖 10a 表示作正功（能量轉移至系統），而圖 8-10b 表示作負功（能量從系統轉出來）。當不只一力 作用於系統時，它們的淨功（net work）就是系統能 量的轉入或轉出。

圖8-10

8-7 外力對系統所作的功

^(續)

不包含摩擦力

„

在拋擲保齡球的比賽過程中，首先你要彎腰並用手托 住地板上的球，然後迅速地站直身體並同時舉起手，

在接近臉部高度時，將球向上拋出。在你向上拋球期 間，很明顯地你已對球施力而作功。這正是一外力作 功且轉移了能量的例子，但移到什麼系統去了？

8-7 外力對系統所作的功

^(續)

„

必須考慮球－地球系統才能包含這兩種能量變化。你 施的力是一個外力，對此系統作了功，此功為

此處的ΔE

_mec

是系統力學能的變化。

圖8-11

正功 W 作用在保齡球和地球所組成的系統上，造成此系統 的力學能改變為ΔE_mec，其中ΔK 是球的動能改變，ΔU 是 系統重力位能的改變。

8-7 外力對系統所作的功

^(續)

包含摩擦力

„

我們接下來考慮圖 8-12a 的例子。有一水平恆力 F 沿 著 x 軸拉動一木塊且經過大小為 d 的位移，使木塊的 速率從 v

₀

增加到 v 。

„

我們可以寫出沿 x 軸分量的定律（F

_net,x =ma _x

）為

因為是固定的力，所以加速度 a 也是不變的。因此，我

8-7 外力對系統所作的功

^(續)

„

將此式的 a 解出，結果代入 8-27 式，並重新整理得

或者對木塊而言，因為 ½mv

² －

½mv

₀ ² =ΔK，則

將 8-29 式寫成一般式，即

由實驗得知，木塊滑過地板的區域會變成溫熱的。

圖8-12

(a)作用力 F 推動木塊通過地板，同時有一動摩擦力 f_k 反抗木塊的移動。當開始移動時，木塊有初速 v₀，在 位移 d 時，木塊速度為 v。

8-7 外力對系統所作的功

^(續)

„

木塊和地板熱能增加的原因是：(1)它們之間有摩擦 力；(2)有滑動。所謂摩擦力是導因於兩者表面間的 冷接點。當木塊滑過地板，此滑動造成木塊和地板間 重複地撕扯並重組其表面接點，以致木塊和地板溫度 增加，因此，滑動會增加它們的熱能 E

_th

。

„

熱能ΔE

_th

等於 f

_k

和 d 乘積的大小：

可重寫 8-30 式為

8-7 外力對系統所作的功

^(續)

„ Fd 是外力 F 所作的功 W（藉作用力完成能量轉移）

，但對哪一個系統作功呢（能量轉移何處）？我們由 檢視各能量的改變來回答。

„

木塊的力學能改變，木塊和地板的熱能也改變了，因 此，作用力 F 是對木塊—地板的系統作功。此功為

在文檔中 8 能量守恆 (頁 48-64)