线性相关的判定
命题 初等行
· 变换不改变列
· 向量之间的线性相关关系．
解释 如果 α1, · · · , αn 都是列向量，将它们写在一起
组成一个矩阵 (α1,· · · ,αn)，对该矩阵作初等行变换 后得到 (α1′,· · · ,αn′)，则有
k1α1+ · · · + knαn = 0 ⇔ k1α′
1+ · · · + knα′
n = 0
定理 1 列向量组 α1,α2,· · · ,αn 线性相关当且仅当 r(α1,α2,· · · ,αn) < n.
其中不等式左边表示矩阵 (α1,α2,· · · ,αn) 的秩．
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线性相关的判定
命题 初等行
· 变换不改变列
· 向量之间的线性相关关系．
解释 如果 α1, · · · , αn 都是列向量，将它们写在一起
组成一个矩阵 (α1,· · · ,αn)，对该矩阵作初等行变换 后得到 (α1′,· · · ,αn′)，
则有
k1α1+ · · · + knαn = 0 ⇔ k1α′
1+ · · · + knα′
n = 0
定理 1 列向量组 α1,α2,· · · ,αn 线性相关当且仅当 r(α1,α2,· · · ,αn) < n.
其中不等式左边表示矩阵 (α1,α2,· · · ,αn) 的秩．
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线性相关的判定
命题 初等行
· 变换不改变列
· 向量之间的线性相关关系．
解释 如果 α1, · · · , αn 都是列向量，将它们写在一起
组成一个矩阵 (α1,· · · ,αn)，对该矩阵作初等行变换 后得到 (α1′,· · · ,αn′)，则有
k1α1+ · · · + knαn = 0 ⇔ k1α′
1+ · · · + knα′
n = 0
定理 1 列向量组 α1,α2,· · · ,αn 线性相关当且仅当 r(α1,α2,· · · ,αn) < n.
其中不等式左边表示矩阵 (α1,α2,· · · ,αn) 的秩．
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线性相关的判定
命题 初等行
· 变换不改变列
· 向量之间的线性相关关系．
解释 如果 α1, · · · , αn 都是列向量，将它们写在一起
组成一个矩阵 (α1,· · · ,αn)，对该矩阵作初等行变换 后得到 (α1′,· · · ,αn′)，则有
k1α1+ · · · + knαn = 0 ⇔ k1α′
1+ · · · + knα′
n = 0
定理 1 列向量组 α1,α2,· · · ,αn 线性相关当且仅当 r(α1,α2,· · · ,αn) < n.
其中不等式左边表示矩阵 (α1,α2,· · · ,αn) 的秩．
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线性相关的判定
设 n 个向量 α1,α2,· · · ,αn 都是 m 维的，则有
1 如果 m < n，则它们一定线性相关．
2 如果 m = n，则它们线性相关当且仅当它们组成 的矩阵的行列式为零．
对于 m > n 的情形，或要求给出 k1,k2,· · · ,kn 的情 形，我们可以用初等行变换来判定．
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线性相关的判定
设 n 个向量 α1,α2,· · · ,αn 都是 m 维的，则有
1 如果 m < n，则它们一定线性相关．
2 如果 m = n，则它们线性相关当且仅当它们组成 的矩阵的行列式为零．
对于 m > n 的情形，或要求给出 k1,k2,· · · ,kn 的情 形，我们可以用初等行变换来判定．
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线性相关的判定
设 n 个向量 α1,α2,· · · ,αn 都是 m 维的，则有
1 如果 m < n，则它们一定线性相关．
2 如果 m = n，则它们线性相关当且仅当它们组成 的矩阵的行列式为零．
对于 m > n 的情形，或要求给出 k1,k2,· · · ,kn 的情 形，我们可以用初等行变换来判定．
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线性相关的判定
设 n 个向量 α1,α2,· · · ,αn 都是 m 维的，则有
1 如果 m < n，则它们一定线性相关．
2 如果 m = n，则它们线性相关当且仅当它们组成 的矩阵的行列式为零．
对于 m > n 的情形，或要求给出 k1,k2,· · · ,kn 的情 形，我们可以用初等行变换来判定．
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例 4 判定下面向量组是否线性相关：
1 α1 = (1,2,0,1)，α2 = (1,3,0,−1)，
α3 = (−1,−1,1,0)
2 α1 = (1,2,−1,5)，α2 = (2,−1,1,1)，
α3 = (4,3,−1,11)
解答 第一组线性无关，第二组线性相关． 练习 1 判定下面的向量组是否线性相关．
α1 = (1,0,1,2), α2 = (2,0,1,6), α3 = (3,2,0,1), α4 = (1,4,−4,−10).
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例 4 判定下面向量组是否线性相关：
1 α1 = (1,2,0,1)，α2 = (1,3,0,−1)，
α3 = (−1,−1,1,0)
2 α1 = (1,2,−1,5)，α2 = (2,−1,1,1)，
α3 = (4,3,−1,11)
解答 第一组线性无关，第二组线性相关．
练习 1 判定下面的向量组是否线性相关． α1 = (1,0,1,2), α2 = (2,0,1,6), α3 = (3,2,0,1), α4 = (1,4,−4,−10).
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例 4 判定下面向量组是否线性相关：
1 α1 = (1,2,0,1)，α2 = (1,3,0,−1)，
α3 = (−1,−1,1,0)
2 α1 = (1,2,−1,5)，α2 = (2,−1,1,1)，
α3 = (4,3,−1,11)
解答 第一组线性无关，第二组线性相关．
练习 1 判定下面的向量组是否线性相关．
α1 = (1,0,1,2), α2 = (2,0,1,6), α3 = (3,2,0,1), α4 = (1,4,−4,−10).
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例 5 设列向量组 α，β，γ 线性无关，则列向量组 α+ β，β + γ，γ + α 也线性无关．
解答 令 ξ1 = α + β，ξ2 = β + γ，ξ3= γ + α, B= (ξ1,ξ2,ξ3) = (α,β,γ)
1 0 1 1 1 0 0 1 1
= AP
因为矩阵 P 可逆，由上一章结果有 r(B) = r(A)． 因此 α，β，γ 线性无关 ⇐⇒ r(A) = 3
⇐⇒ r(B) = 3 ⇐⇒ ξ1，ξ2，ξ3 线性无关．
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例 5 设列向量组 α，β，γ 线性无关，则列向量组 α+ β，β + γ，γ + α 也线性无关．
解答 令 ξ1 = α + β，ξ2 = β + γ，ξ3= γ + α,
B= (ξ1,ξ2,ξ3) = (α,β,γ)
1 0 1 1 1 0 0 1 1
= AP
因为矩阵 P 可逆，由上一章结果有 r(B) = r(A)． 因此 α，β，γ 线性无关 ⇐⇒ r(A) = 3
⇐⇒ r(B) = 3 ⇐⇒ ξ1，ξ2，ξ3 线性无关．
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例 5 设列向量组 α，β，γ 线性无关，则列向量组 α+ β，β + γ，γ + α 也线性无关．
解答 令 ξ1 = α + β，ξ2 = β + γ，ξ3= γ + α, B= (ξ1,ξ2,ξ3) = (α,β,γ)
1 0 1 1 1 0 0 1 1
= AP
因为矩阵 P 可逆，由上一章结果有 r(B) = r(A)． 因此 α，β，γ 线性无关 ⇐⇒ r(A) = 3
⇐⇒ r(B) = 3 ⇐⇒ ξ1，ξ2，ξ3 线性无关．
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例 5 设列向量组 α，β，γ 线性无关，则列向量组 α+ β，β + γ，γ + α 也线性无关．
解答 令 ξ1 = α + β，ξ2 = β + γ，ξ3= γ + α, B= (ξ1,ξ2,ξ3) = (α,β,γ)
1 0 1 1 1 0 0 1 1
= AP 因为矩阵 P 可逆，由上一章结果有 r(B) = r(A)．
因此 α，β，γ 线性无关 ⇐⇒ r(A) = 3
⇐⇒ r(B) = 3 ⇐⇒ ξ1，ξ2，ξ3 线性无关．
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例 5 设列向量组 α，β，γ 线性无关，则列向量组 α+ β，β + γ，γ + α 也线性无关．
解答 令 ξ1 = α + β，ξ2 = β + γ，ξ3= γ + α, B= (ξ1,ξ2,ξ3) = (α,β,γ)
1 0 1 1 1 0 0 1 1
= AP
因为矩阵 P 可逆，由上一章结果有 r(B) = r(A)．
因此 α，β，γ 线性无关 ⇐⇒ r(A) = 3
⇐⇒ r(B) = 3 ⇐⇒ ξ1，ξ2，ξ3 线性无关．
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第三节 向量组的线性相关性 .. . 3.1 线性相关与线性无关 .. . 3.2 线性表示与线性相关 .. .
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