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线性表示与线性相关

在文檔中 线性方程组 (頁 98-111)

线性表示与线性相关

定理 2 α1,· · · ,αn 线性相关当且仅当其中一个向量

可由其他向量线性表示.

定理 3 设 α1,· · · ,αn 线性无关而 α1,· · · ,αn,β 线 性相关,则 β 一定可由 α1,· · · ,αn 线性表示,而且表 示法唯一.

定 理 4 β1,· · · ,βt 可 由 α1,· · · ,αs 线 性 表 示, 且 β1,· · · ,βt 线性无关,则 t s.

推论 1 设两个向量组 α1,· · · ,αs 和 β1,· · · ,βt 等价 且都是线性无关的,则 s = t.

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线性表示与线性相关

定理 2 α1,· · · ,αn 线性相关当且仅当其中一个向量

可由其他向量线性表示.

定理 3 设 α1,· · · ,αn 线性无关而 α1,· · · ,αn,β 线 性相关,则 β 一定可由 α1,· · · ,αn 线性表示,而且表 示法唯一.

定 理 4 β1,· · · ,βt 可 由 α1,· · · ,αs 线 性 表 示, 且 β1,· · · ,βt 线性无关,则 t s.

推论 1 设两个向量组 α1,· · · ,αs 和 β1,· · · ,βt 等价 且都是线性无关的,则 s = t.

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线性表示与线性相关

定理 2 α1,· · · ,αn 线性相关当且仅当其中一个向量

可由其他向量线性表示.

定理 3 设 α1,· · · ,αn 线性无关而 α1,· · · ,αn,β 线 性相关,则 β 一定可由 α1,· · · ,αn 线性表示,而且表 示法唯一.

定 理 4 β1,· · · ,βt 可 由 α1,· · · ,αs 线 性 表 示, 且 β1,· · · ,βt 线性无关,则 t s.

推论 1 设两个向量组 α1,· · · ,αs 和 β1,· · · ,βt 等价 且都是线性无关的,则 s = t.

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线性表示与线性相关

定理 2 α1,· · · ,αn 线性相关当且仅当其中一个向量

可由其他向量线性表示.

定理 3 设 α1,· · · ,αn 线性无关而 α1,· · · ,αn,β 线 性相关,则 β 一定可由 α1,· · · ,αn 线性表示,而且表 示法唯一.

定 理 4 β1,· · · ,βt 可 由 α1,· · · ,αs 线 性 表 示, 且 β1,· · · ,βt 线性无关,则 t s.

推论 1 设两个向量组 α1,· · · ,αs 和 β1,· · · ,βt 等价 且都是线性无关的,则 s = t.

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第一节 线性方程组的消元解法 .. . 第二节 向量组及其线性表示 .. . 第三节 向量组的线性相关性 .. . 第四节 向量组的秩 .. .

第五节 线性方程组解的结构 .. .

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第四节 向量组的秩 .. . 4.1 极大无关组 .. . 4.2 向量组的秩 .. . 4.3 秩的一些性质 .. .

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定义 1 从向量组 α1,· · · ,αn 中选取部分组 αj1, · · · , αjr,若满足下面条件:

1 αj1,· · · ,αjr 是线性无关的;

2 αj1,· · · ,αjr,αt 都是线性相关的,只要 αt 不在该 部分组中.

则称 αj1,· · · ,αjr 为 α1,· · · ,αn 的极大无关组. 注记 1 向量组的极大无关组不是唯一的. 注记 2 线性无关向量组本身就是极大无关组.

例 1 求 向 量 组 α1 = (0,1),α2 = (0,2),α3 = (1,1),α4 = (1,0) 的极大无关组.

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定义 1 从向量组 α1,· · · ,αn 中选取部分组 αj1, · · · , αjr,若满足下面条件:

1 αj1,· · · ,αjr 是线性无关的;

2 αj1,· · · ,αjr,αt 都是线性相关的,只要 αt 不在该 部分组中.

则称 αj1,· · · ,αjr 为 α1,· · · ,αn 的极大无关组. 注记 1 向量组的极大无关组不是唯一的. 注记 2 线性无关向量组本身就是极大无关组.

例 1 求 向 量 组 α1 = (0,1),α2 = (0,2),α3 = (1,1),α4 = (1,0) 的极大无关组.

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定义 1 从向量组 α1,· · · ,αn 中选取部分组 αj1, · · · , αjr,若满足下面条件:

1 αj1,· · · ,αjr 是线性无关的;

2 αj1,· · · ,αjr,αt 都是线性相关的,只要 αt 不在该 部分组中.

则称 αj1,· · · ,αjr 为 α1,· · · ,αn 的极大无关组. 注记 1 向量组的极大无关组不是唯一的. 注记 2 线性无关向量组本身就是极大无关组.

例 1 求 向 量 组 α1 = (0,1),α2 = (0,2),α3 = (1,1),α4 = (1,0) 的极大无关组.

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定义 1 从向量组 α1,· · · ,αn 中选取部分组 αj1, · · · , αjr,若满足下面条件:

1 αj1,· · · ,αjr 是线性无关的;

2 αj1,· · · ,αjr,αt 都是线性相关的,只要 αt 不在该 部分组中.

则称 αj1,· · · ,αjr 为 α1,· · · ,αn 的极大无关组.

注记 1 向量组的极大无关组不是唯一的. 注记 2 线性无关向量组本身就是极大无关组.

例 1 求 向 量 组 α1 = (0,1),α2 = (0,2),α3 = (1,1),α4 = (1,0) 的极大无关组.

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定义 1 从向量组 α1,· · · ,αn 中选取部分组 αj1, · · · , αjr,若满足下面条件:

1 αj1,· · · ,αjr 是线性无关的;

2 αj1,· · · ,αjr,αt 都是线性相关的,只要 αt 不在该 部分组中.

则称 αj1,· · · ,αjr 为 α1,· · · ,αn 的极大无关组.

注记 1 向量组的极大无关组不是唯一的.

注记 2 线性无关向量组本身就是极大无关组.

例 1 求 向 量 组 α1 = (0,1),α2 = (0,2),α3 = (1,1),α4 = (1,0) 的极大无关组.

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定义 1 从向量组 α1,· · · ,αn 中选取部分组 αj1, · · · , αjr,若满足下面条件:

1 αj1,· · · ,αjr 是线性无关的;

2 αj1,· · · ,αjr,αt 都是线性相关的,只要 αt 不在该 部分组中.

则称 αj1,· · · ,αjr 为 α1,· · · ,αn 的极大无关组.

注记 1 向量组的极大无关组不是唯一的.

注记 2 线性无关向量组本身就是极大无关组.

例 1 求 向 量 组 α1 = (0,1),α2 = (0,2),α3 = (1,1),α4 = (1,0) 的极大无关组.

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定义 1 从向量组 α1,· · · ,αn 中选取部分组 αj1, · · · , αjr,若满足下面条件:

1 αj1,· · · ,αjr 是线性无关的;

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则称 αj1,· · · ,αjr 为 α1,· · · ,αn 的极大无关组.

注记 1 向量组的极大无关组不是唯一的.

注记 2 线性无关向量组本身就是极大无关组.

例 1 求 向 量 组 α1 = (0,1),α2 = (0,2),α3 = (1,1),α4 = (1,0) 的极大无关组.

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在文檔中 线性方程组 (頁 98-111)

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