(b) 0 ≤ x ≤ π 2
7. 試求 y = 4 cos2x − 2 sin2x + 8 sin x cos x 的最大值與最小值?
8. 求 y = sin2x − 4 sin x cos x + 3 cos2x 的最大值與最小值?
9. 試求 y = 2√
3 sin x − 2 cos(π3 − x), 0 ≤ x < 2π 的最大值與最小值? 及其所對 應的 x 值?
10. 若 x + y = 2π3 , 0 ≤ x < π
2 試求 sin x sin y 的最大值和最小值?
11. 在 0 ≤ x ≤ π 的範圍內, 求方程式 sin x + cos x = 1 的解?
12. 在 0 ≤ x < 2π 的範圍內, 求不等式 sin x −√
3 cos x = 1 的解?
13. 點P 為圓 C : x2 + y2 = 1 上的點,O為原點, 點Q(3, −2), 試求△P OQ 面積的最 大值?
14. 求參數式中 n x = h + 2 cos θ
y = k + 2 sin θ , 0 ≤ θ ≤ 2π
3 所表示的弧長?
15. 平面上, 圓 C : x2 + y2 = 1 上的點到直線 L : x − y = 2 的最短距離為多少?
16. 求橢圓 x2 42 + y2
32 = 1 上一點 P 與直線 L : x + y + 7 = 0 的最大距離與最小距 離?
17. 求橢圓 x2 9 + y2
4 = 1 內接矩形面積的最大值?
18. 已知點 A, B 分別為橢圓 x2 9 + y2
4 = 1 長軸及短軸上的一頂點, 點P 為橢圓上一 點, 求 △ABC 的最大面積及此時的 P 點坐標?
2.5
複數的幾何意涵
複數平面: 將複數z = a + bi 對應到坐標平面上的點 (a, b), 用來表示所有複數的坐標 平面, 稱為複數平面或高斯平面。
y
O x
(a, b)
虛軸
O 實軸
z = a + bi
複數加減法與係數積的幾何意義: z1 = a + bi, z2 = c + di, a, b, c, d皆為實數,r > 0
順伯的窩
1. 複數加法:z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i (如同兩向量−⇀z1, −⇀z2加法) 2. 複數減法:z1 − z2 = (a − c) + (b − d)i (如同兩向量−⇀z1, −⇀z2減法) 3. 複數係數積:rz1 = ra + rbi (如同向量−⇀z1 係數積)
4. 共軛複數: z = a + bi, z = a− bi (兩數對稱於實數軸) 虛軸
O 實軸
z1 = a + bi z1+ z2= (a + c) + (b + d)i
z2 = c + di
虛軸
O 實軸
z = a + birz = r(a + b)i
虛軸
O 實軸
z = a + bi
z = a − bi
複數的絕對值與複數極式: |z| = |a + bi| = r = √
a2 + b2 為複數z的絕對值。 將 z = a + bi 化為 z = r(cos θ + i sin θ)形式, 其中 r = |z| 稱為複數 z 的極式, 稱 r為 z的模,θ 為z 的輻角 arg z, 若 0 ≤ θ < 2π 稱主輻角 Arg z 。
O 虛軸
輻角θ 實軸 模r = |z|
z = a + bi = r(cos θ + i sin θ)
複數 z 絕對值及的一些性質: Z · Z = |Z|2 = a2 + b2
1. |Z1 + Z2| ≤ |Z1| + |Z2| 2. |Z1 · Z2| = |Z1| · |Z2| 3. |Z1
Z2| = |Z1|
|Z2| 4. |Zn| = |Z|n
複數 z 輻角的一些性質:
1. arg(Z1 + Z2) 6= arg(Z1) + arg(Z2) 2. arg(Z1Z2) = arg(Z1) + arg(Z2) 3. arg(ZZ12) = arg(Z1) − arg(Z2) 4. arg(Zn) = n · arg(Z)
極坐標與複數平面坐標: 極坐標 [r, θ], 平面坐標 x = r cos θ, y = r sin θ 複數的乘除法: (複數的乘除開方根運算, 將一般式化為極式後再運算較簡易)
z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1), z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)則 z1 · z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.5 複數的幾何意涵 · z1
z2 = rr12[cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)]
O Im
θ Re
z1 = [r1, θ]
φ z2 = [r2, φ]
θ + φ z = z1z2 = [r1+ r2, θ + φ]
O Im
θ Re
z = [r, θ]
w = iz = [r, θ + 90◦]
−θ
u = z
i = z = [r,−θ]
棣美弗定理: 若複數極式 z = r(cos θ+i sin θ), 則 zn = rn(cos nθ+i sin nθ), n ∈ N 仿照實數, 規定 z0 = 1, z−n = 1
zn, 則 z−n = 1
zn = 1
rn(cos nθ + i sin nθ) = r−n(cos(−nθ) + i sin(−nθ)) 即棣美弗定理 zn = rn(cos nθ + i sin nθ) 對任意 整數 n 均成立。
複數的 n次方根: 若 a + bi = zn = r(cos φ + i sin φ) , 則 a + bi 的n個根可寫成 zk = pn |r|(cosφ + 2kπ
n + i sinφ + 2kπ
n ), k = 0, 1, 2, · · · , (n − 1)
這 n 個根 Zk 在複數平面上, 位於半徑為 pn |r| 的圓內接正 N 邊形的頂點, 相鄰 兩頂點所夾的圓心角為 2πn 。(第一個根 Z0主輻角為 φn)
1的 n 次方根: 若 Zn = 1, 則 1 的n次方根為 zk = (cos 2kπn + i sin2kπ
n ), k = 0, 1, 2, · · · , (n − 1)
f (x) = xn− 1
= (x − 1)(xn−1+ xn−2+ · · · + x + 1)
= (x − 1)(x − ω1)(x − ω2) · · · (x − ωn−1)
= (x − 1)(x − ω)(x − ω2)(x − ω3) · · · (x − ωn−1)
當 f (x) = xn − 1 = 0, 時 zk = ωk 為 xn = 1 的根, 即 z0 = 1, z1 = ω, z2 = z12 = ω2, z3 = z13 = ω3, · · ·
故 ω 為1的一個n次方根, 具有下列代數式關係:
1. ωn = 1
2. 1 + ω + ω2 + ω3 + · · · + ωn−1 = 0
3. z0 = 1, ω = z1, ω2 = ω2, ω3 = ω3, · · · , ωn−1 = ωn−1
4. g(x) = xn−1+ xn−2+ · · · +x+1 = (x−ω)(x−ω2)(x −ω3) · · · (x−ωn−1) 複數平面上的幾何性質: 1, ω, ω2, · · · , ωn−1 恰為內接單位圓的正 n 邊形的 n 個 頂點, 其中一個頂點為z0 = 1。
順伯的窩
1的三次方根:1, ω, ω2
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.5 複數的幾何意涵 · 3. 將複數化為極式 (輻角取主輻角): z1 = 1 − i, z2 = −2√
3 + 2i 4. 將下列複數寫成極式 (輻角取主輻角):
(a) z = −3 − 3√ 3i (b) z = −2i
(c) z = 2(sin 70◦ + i cos 70◦) (d) z = sin 200◦− i cos 160◦ 5. 試求 (1 + i)5 =?
6. 求 (1 −√
3i)10 的值?
7. 求 (√
3 + i)−9 的值?
8. 試求 (sin 9◦ − i cos 9◦)(cos 13.5◦ + i sin 13.5◦) =?
9. 設 ω = −1 +
√3i
2 , 求 ω2 =?, ω8 =?
10. 將極坐標 (2, −π4) 化為複數平面坐標?
11. 求 2(cos 12◦+ i sin 12◦)6(cos 25◦ + i sin 25◦)6
(cos 4◦ + i sin 4◦)3 之值?
12. 若 z = (4 − 3i)2
(2 − i)(1 − 2i) , 求 |z| 的值?
13. 如圖: 坐標平面上已知直角 △OAB 中,∠OAB = 90◦,A(2, 0), B(2, 6), 將此三角
形繞原點旋轉 θ = 30◦ 角後, 形成 △OA′B′, 求 A′、B′ 的點坐標?
y
O A(2, 0)x
B(2, 6)
A′ B′
θ
14. 試求 1 的五次方根? 並將其根所代表的點描在複數平面上, 觀察此五點為頂點的 五邊形是否為正五邊形?
15. 試求 −8 + 8√
3i 的四次方根? 將其根所代表的點描在複數平面上。
16. 試求 2i 的四次方根?
17. 設 z + 1z = −1, 試求 z2002+ 1
z2002 之值?
18. 設 z = cos 2π5 + i sin 2π
5 , , 試求 z65+ z66 + z67+ · · · + z365 =?
順伯的窩
19. 求二次方程式 z2 + 2i = 0 的根
20. 求方程式 z7 + z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 的7個根在複數平面上所圍 成的七邊形面積?
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math ·
16. E(x2) = var(x) + µ2 = npq +
1a. 04,22,01,42,32,11,05 58,58,73,51,61,66,74 63
1b. 04,14,24,34,44,54 58,75,64,52,73,68
https://sites.google.com/site/hysh4math 3.2 第二章 ·
36 = [167.713, 172.287]
21. 77 ± 1.9612√√82 = 77 ± 11.76 =