1. 已知： O 是△ABC 內一點。
求證： (1) ∠BOC> ∠A； (2) 1
( )
2 BC+CA+AB <OA OB OC+ +
2. 已知： △ABC 的 B∠ 與 C∠ 的平分線 BE、CF 交於點 I。
求證： (1) 1
180 ( )
BIC 2 ABC ACB
∠ = ° − ∠ + ∠ ；
(2) 1
90 2
BIC A
∠ = ° + ∠
3. 有星形如圖，求證：∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ =A B C D E 180°。
4. 一個零件的形狀如圖，按規定 A∠ 應等於 90°， B∠ 、 C∠ 應分 別是 21°與 32°。檢驗工人量得∠BDC=148°，就斷定這個零 件不合格，這是為什麼呢？
5. 求證：如果延長△ABC 的中線 AD 至 A′，使 DA′ = AD，那麼 A C′ = AB。
6. 求證：全等三角形對應邊上的中線相等。
7. 求證：三角形一條邊的兩端到這邊上的中線或中線延長線的 距離相等。
8. 求證：如果兩個三角形有兩個角與第三個角的角平分線對應 相等，那麼這兩個三角形全等。
(第 3 題) A
B
C D
E
(第 4 題) C
D A B
9. (1) 在 AOB∠ 的 OA 邊上取兩點 P 與 S，再在 OB 邊上取兩 點 Q 與 T，使 OQ OP= 、OT =OS，PT 與 QS 相交於點 X。求證：OX 平分 AOB∠ ；
(2) 根據(1)，設計一種作已知角的平分線之方法。
10. 已知： 如圖，點 C 為線段 AB 上一點，△ACM、△CBN 是 等邊三角形。
求證： AN =BM。
11. 在等邊三角形 ABC 的三邊上，分別取 D、E、F，使 AD= BE=CF。
求證： △DEF 是等邊三角形。
12. 已知： △ABC 中，I 是角平分線 BE 與 CF 的交點，MN 經 過 I，平行於 BC，交 AB 於點 M、交 AC 於點 N。
求證： MN =BM +CN。
13. 已知 P、Q 是△ABC 的邊 BC 上兩點，並且 BP=PQ= QC=AP=AQ，求 BAC∠ 的大小。
14. 求證：如果把等腰三角形的底邊向兩方向分別延長相等線 段，那麼沿長線段的兩個外端與等腰三角形之頂點距離相等。
15. 已知： AB 是等腰直角三角形 ABC 的斜邊，AD 是∠A的平
分線。
求證： AC+CD= AB。
16. 已知： △ABC 中， AB=AC，E 是 AB 上一點、F 是 AC 延長線上一點， BE=CF，EF 交 BC 於 D。
求證： DE=DF。
(第 10 題) C M
A B
N
(第 11 題) C D
B A
E F
(第 13 題)
C Q
B
A
P
17. 已知： DC//AB ，O 是 AC 與 BD 的交點， OA<OB。 求證： OC<OD。
18. 已知： AD 是△ABC 的中線， BAD∠ > ∠DAC。 求證： AC> AB。
(提示：延長 AD 到 A′，使 DA′ = AD，連結 BA′，先證明 ADC≅ A DB′
△ △ )
19. 已知： △ABC 中，∠ABC = °45 ，H 是高 AD 與 BE 的交點。
求證： BH =AC。
20. 求證：等腰三角形腰上的高與底邊的夾角等於頂角之一半。
21. 已知： △ABC 中，BE、CF 是高，M 是 BC 的中點，N 是 EF 的中點。
求證： (1) ME=MF； (2) MN ⊥EF。
22. 已知： △ABC 中，AD 是 BC 上的高，AB= AC=2AD， DE⊥ AB， DF ⊥AC，垂足分別是 E、F。
求證： 1
DE+DF =2BC。
23. 求證：兩個銳角三角形有兩邊與其中一邊上的高對應相等，
那麼這兩個三角形全等。
24. 求作等腰直角三角形，使它的斜邊等於已知線段。
25. 寫出下列定理的逆命題，並且說明它們是不是真命題：
(1) 如果a=2，那麼a2 =4；
(2) 如果一個整數的個位數碼是 5，那麼這個數能被 5 整除；
(3) 如果兩個三角形全等，那麼它們的對應角相等。
(第 17 題) D C
A B
O
(第 18 題) C D
B A
(第 19 題) D C B
A
H E
26. 已知： △ABC 中， AB=AC，AD 是 BC 邊上的中線，AB 的垂直平分線交 AD 於點 O， B∠ 的平分線交 AD 於 點 I。
求證： (1) OA=OB=OC；
(2) I 到 BC、CA、AB 的距離相等。
27. 下列圖形，如果有對稱軸，作出它們的對稱軸：
一個學生剛學始學習幾何，就問歐幾里得學了幾何之後可以 得到什麼。歐幾里得喚來他的僕人說：
給他三枚錢幣，因為他想在學習中獲取實利！
... someone who had begun to learn geometry with Euclid, when he had learnt the first theorem, asked Euclid "What shall I get by learning these things?" Euclid called his slave and said "Give him three pence since he must make gain out of what he learns".
(第 27 題)
甲 乙