虛軸
實軸 z1
z2
z0
1的四次方根:1, ω, ω2, ω3 O
虛軸
實軸 z1
z2
z3
z0
1的六次方根:1, ω, ω2, ω3, ω4, ω5 O
虛軸
實軸 zk= (cos 2kπ
6 + i sin2kπ
6 ), k = 0, 1, · · · , 5 z1
z2
z3
z4 z5
z0
2π n
要訣 :
1. θ ± 2kπ 的整數倍nθ ≡ n(θ ± 2kπ)即θ 的整數倍與θ 同界角的整數倍是同界角。 但θ的 1 n 倍 角 nθ 未必與 n (θ ± 2kπ)1 都是同界角。
2. 複數相加減 ⇒ 化成實部虛部的兩複數相加減。
複數相乘除、n次方根 ⇒ 化成極式 z = r(cos θ + i sin θ)再依棣美弗定理運算。
3. 若z = r(cos θ − i sin θ) 則zn= rn(cos nθ − i sin nθ)成立。
但z = r(sin θ + i cos θ) 則zn= rn(sin nθ + i cos nθ)並不成立。
4. 若f (x) 為實係數函數, 設f (z) = a + bi, 其中 a, b ∈ R 則f (z) = a − bi
例題
範例 1: 若主幅角 0 ≤ θ < 2π, 將下列複數以三角函數極式 (主幅角) 表示之?
1. z = 1 − i =
√2(cos7π4 + i sin7π4 )
2. z = −2i = 2(cos3π2 + i sin3π2 )
3. z = −2 = 2(cos π + i sin π)
4. z = −1 − i =
√2(cos5π4 + i sin5π4 )
演練 1a : 若主幅角 0 ≤ θ < 2π, 將下列複數以三角函數極式(主幅角) 表示之?
1. z = 1 cos 0 + i sin 0
2. z = 2i = 2(cosπ2 + i sinπ2)
3. z = −1 = (cos π + i sin π)
4. z = −i = (cos3π2 + i sin3π2 ) 演練 1b : 將下列複數用複數平面極坐標表示之?
1. −2 + 2√
3i 4,2π3
2. −√
3 − i 2,7π6
3. −√ 2 +√
2i 2,3π4
4. 1 −√
3i 2,5π3
演練 1c : 將下列複數極式表為複數平面實虛部表示之?
1. 2(cos4π3 + i sin4π3 ) −1 −√
3i
2. cos −π6 + i sin−π6 )
√3 2 −12i
3. 6(cos3π4 + i sin3π4 ) −3√
2 + 3√ 2i
4. 4(cos7π3 − i sin7π3 ) 2 − 2√
3i
範例 2: 設z1 = 5(cosπ4 + i sinπ4, z2= 2(cos π6 + i sinπ6))試求 z1z2 與 z1
z2 以極式表之? (解:)z1z2= 10(cos5π
12+ i sin5π12),zz1
2 = 52(cos12π + i sin12π )
演練 2a : 化簡求 3(cos7π6 + i sin7π6 ) · 2(cos2π3 + i sin2π3 ) = 3√ 3 − 3i
演練 2b : 化簡求 12(cosπ4 + i sinπ4) ÷ 4(cos 3π2 + i sin3π2 ) = −3√22+ 3√22i 演練 2c : 求 3(cos 14◦+ i sin 14◦) · 2(cos 121◦+ i sin 121◦) =? −3√
2 + 3√ 2i 演練 2d : 若 Z1 = 6(cos 60◦− i sin 60◦),Z2 = 2(sin 30◦+ i cos 30◦) , 求 z1z2 與 z1
z2 以極式表之? z1z2 = 12;zz12 = 3(cos(−120◦) + i sin(−120◦))
演練 2e : Z = 3(cos 20◦+ i sin 20◦),w = 5(cos 100◦+ i sin 100◦) , 以極式表示之,求
1. zw 15(cos 120◦+ i sin 120◦)
2. z w
3
5(cos 280◦+ i sin 280◦)
3. w z
5
3(cos 80◦+ i sin 80◦)
範例 3: 求 4(cos 80◦+ i sin 80◦) · 3(cos 50◦+ i sin 50◦)
6(cos 35◦+ i sin 35◦) · (cos 5◦+ i sin 5◦) 之值? 2i 演練 3a : Z = 3(cos 240◦− i sin 240◦),w = 4(cos 120◦− i sin 120◦) ,以極式表示之,求
1. zw 12(cos 360◦− i sin 360◦)
z 34(cos 120◦− i sin 120◦)
3. w z
4
3(cos 240◦− i sin 240◦)
演練 3b : 化簡求 2(cos 15◦+ i sin 15◦)4=? 1 +√
3i
演練 3c : 化簡求 2(cos 15◦− i sin 15◦)4=? 1 −√
3i
演練 3d : 化簡求 2(cos 30◦+ i sin 30◦)−4=? −1 −√
3i
演練 3e : 化簡求 [2(cos 20◦+ i sin 20◦)]3=? 4 + 4√
3i
演練 3f : 化簡求 [12(cos 72◦+ i sin 72◦)]5=?
1 32
演練 3g : 化簡求 [√
3(cos 10◦+ i sin 10◦)]6 =?
27
2 +272√3i
演練 3h : 化簡求 (
√3 2 −1
2i)−5 =? −√23 +12i
範例 4: 計算下列各式的值: A = (√
3 − i)10, B = ( 1 − i 1 +√
3i)24 A = 512(1 +√
3i), B = 40961
演練 4a : 化簡求 (1 + i)10=? 32i
演練 4b : 化簡求 (2 − 2i)8 =? −256i
演練 4c : 化簡求 (√
3 + i)6 =? −64
演練 4d : 化簡求 (√
3 − i)6 =? −64
演練 4e : 化簡求 (2 + 2√
3i)6 =? 4096
範例 5: 在複數平面上滿足方程式 |z − 1 − i| = 2的複數z ,所形成的圖形為何? 圓 演練 5a : 已知二次方程式 Z2+ bZ + c = 0的兩根為 6(cosπ
3 + i sinπ3), 2(cos5π6 + i sin5π6 ), 求方程式的係
數 b, c 為何? b =
√3 − 3 − (3√
3 + 1)i;c = 演練 5b : 坐標平面上,正三角形 OAB 的頂點 A 坐標 (2, 2) , 另一頂點 B 落在第四象限內, 求 B 點坐標?
B(√
3 + 1, 1 −√ 3)
演練 5c : 在複數平面上滿足方程式|z − i| = |z − 2| 的複數 z ,所形成的圖形為何? 直線 演練 5d : 在複數平面上滿足方程式|z+3−i|+|z−3−i| = 10的複數z ,所形成的圖形為何?
橢圓
範例 6: 設ω = cos2π
10 + i sin2π
10,試求下列問題:
1. 求ω5 與ω10 值? −1;1
2. 說明方程式x10= 1 的十個根為1, ω, ω2, ω3, · · · , ω8, ω9
3. 求1 + ω + ω2+ ω3+ · · · + ω99+ ω100 值 1 4. 求(1 − ω)(1 − ω2)(1 − ω3) · · · (1 − ω8)(1 − ω9) 值? 10 演練 6a : 設 z = cos2π
7 + i sin2π
7 ,試求下列問題:
1. 求 z7 值? 1
2. 說明方程式x7 = 1 的七個根為1, z, z2, z3, z4, z5, z6
3. 求 z1+ z2+ z3+ z4+ z5+ z6 值 0
4. 求 (2 − z)(2 − z2)(2 − z3)(2 − z4)(2 − z5)(2 − z6) 值? 2
7− 1
5. 求 z · z2· z3· · · z6 值? -1
演練 6b : 設 z = cosπ
7 + i sinπ 7,
1. 求 z14 值? 1
2. 試求 z1+ z2+ z3+ · · · + z12+ z13=? −1
3. 利用上題結果分別求A = cosπ
7 + cos2π
7 + cos3π
7 + · · · + cos13π
7 與B = sinπ
7+ sin2π 7 + sin3π
7 + · · · + sin13π
7 的值? A = −1;B = 0
演練 6c : 方程式 x3 = −2 1. 求方程式的解?
(解:)√32[cos(π
3 +2kπ3 ) + i sin(π3 +2kπ3 )], k = 0, 1, 2 即 √32(1 +
√3i 2 );√3
2(1 −√ 3i 2 );−1
2. 若方程式的三根為z0, z1, z2 ,化簡求(1 − z0)(1 − z1)(1 − z2) 值? 1 + 2 範例 7: 求i 的三次方根?
(解:)cos(π
6 +2kπ3 ) + i sin(π6 +2kπ3 ), k = 0, 1, 2
即
√3 + i 2 ;−√
3 + i
2 ;−i i的三次方根:z0, z1, z2
O 虛軸
實軸 z0 z1
z2
演練 7a : 求方程式 x4+ i = 0 的根? 並將其根所代表的點描在複數平面上
(解:)zk = (cos
3π 2 + 2kπ
4 + i sin
3π 2 + 2kπ
4 ), k = 0, 1, 2, 3 ,為正四邊形。 且 z0 的幅角為 3π8
−i 的四次方根:z0, z1, z2, z3 O
虛軸
實軸 z0
z1
z2
z3
演練 7b : 求 2 + 2i的三次方根? (解:)√2[cos(π
2 +2kπ3 ) + i sin(π2 +2kπ3 )], k = 0, 1, 2 演練 7c : 求方程式 x2= −2 + 2√
3i的解? (解:)√4 cos(π
3 + 2kπ2 ) + i sin(π3 + 2kπ2 ), k = 0, 1 即 1 +√3i;−1 −√3i
演練 7d : 求方程式 x3= −1 +√
3i的解? (解:)√32 cos(120◦
3 +3603◦k) + i sin(1203◦ + 3603◦k), k = 0, 1, 2 習題I:2-3 複數的幾何意涵
1. 滿足方程式|z + 1| = |z − i| 的複數z ,在複數平面上所形成的圖形軌跡方程式為何(用x, y表示)?
2. 已知點 P 的極坐標為[4, 4π
3 ] , 求其直角坐標?
3. 將複數化為極式 (輻角取主輻角): z1 = 1 − i, z2 = −2√ 3 + 2i 4. 將下列複數寫成極式 (輻角取主輻角):
(a) z = −3 − 3√ 3i (b) z = −2i
(c) z = 2(sin 70◦+ i cos 70◦) (d) z = sin 200◦− i cos 160◦
(e) z =√ 3 − i
5. 化簡求 4(cosπ3 + i sinπ3) · 7(cos2π3 + i sin2π3 ) = 6. 化簡求 6(cos3π4 + i sin3π4 ) ÷ 3(cosπ4 + i sinπ4) = 7. 化簡求
(a) (1 + i)5 =?
(b) 求(1 −√3i)10 的值? (c) 求(√3 + i)−9 的值? (d) 求(√3 + i)−9 的值?
(f) 求(−√3 − i)5 的值?
8. 試求 (sin 9◦− i cos 9◦)(cos 13.5◦+ i sin 13.5◦) =?
9. 設 ω = −1 +
√3i
2 ,求 ω2 =?, ω8 =?
10. 將極坐標 (2, −π4) 化為複數平面坐標?
11. 求 2(cos 12◦+ i sin 12◦)6(cos 25◦+ i sin 25◦)6 (cos 4◦+ i sin 4◦)3 之值? 12. 若 z = (4 − 3i)2
(2 − i)(1 − 2i) ,求 |z| 的值?
13. 如圖:坐標平面上已知直角△OAB 中,∠OAB = 90◦,A(2, 0), B(2, 6),將此三角形繞原點旋轉θ = 30◦
角後,形成△OA′B′,求A′、B′ 的點坐標? y
O A(2, 0)x B(2, 6)
A′ B′
θ
14. 求 −2 − 2i的三次方根?
15. 試求 1 的五次方根? 並將其根所代表的點描在複數平面上, 觀察此五點為頂點的五邊形是否為正五邊 形?
16. 試求 −8 + 8√3i的四次方根? 將其根所代表的點描在複數平面上。
17. 試求 2i的四次方根?
18. 設 z + 1z = −1, 試求z2002+ 1
z2002 之值? 19. 設 z = cos 2π5 + i sin2π
5 , ,試求 z65+ z66+ z67+ · · · + z365=?
20. 求二次方程式 z2+ 2i = 0 的根 21. 求方程式 x2= 2 + 2√3i的解?
22. 求方程式 z7+ z6+ z5+ z4+ z3+ z2+ z + 1 = 0的7個根在複數平面上所圍成的七邊形面積?
習題 I:2-3
1. x + y = 0 2. (−2, −2√
3)
3. z1 = √
2(cos7π4 + i sin7π4 ), z2 = 4(cos5π6 + i sin5π6 )
4b. 2(cos3π2 + i sin3π2 ) 4c. 2(cos 20◦+ i sin 20◦) 4d. (cos 110◦+ i sin 110◦) 4e. 2(cos11π6 + i sin11π6 )
6. 2i
7a. −4(1 + i) 7b. −512 + 512√
3i 7c. 512i
7d. 512 + 512√ 3i 7e. −324
√
8. cos 67.5◦− i sin 67.5◦