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一、樣式種類

樣式的種類在數學教育文獻中多半指出有三類,分別是重複樣式(repeating pattern)、增長 樣式(growing pattern)和結構樣式(structural pattern)(Copley, 1998/2003; Owen, 1995)。

(一)重複樣式

重複樣式指有一個可以辨認的重複單位,例如春-夏-秋-冬-春-夏-秋-冬-…及有一個循環的 結構,至少有兩個重複單位。重複樣式重點在於循環(cycle)或重複(Owen, 1995; Tsamir, Tirosh,

Barkai, Levenson, & Tabach, 2015),重複樣式意指一系列特定的物件或事件重複出現,像顏色、

形狀、方向、大小、聲音、數字或其他元素(Owen, 1995;吳昭容、嚴雅筑,2008)。另外,Threlfall

(1999)提出循環重複樣式不只在單一向度上變化,也可以多個向度變化以增加樣式的複雜度 成為複雜重複樣式,並在樣式延伸時,除了直線延伸外,也可以將元素排列的方向改變,排列 成非直線型(蛇形)的樣式。本研究將增加樣式複雜度,探討幼兒是否能在教學之後,掌握複雜 重複樣式的結構並提升樣式推理能力?

(二)增長樣式

增長樣式也稱為數列(sequence),是指由一個法則產生的一系列、非重複的項目,例如等 差數列 1-3-5-7-9…及費氏數列 1-1-2-3-5-8-13-21…。增長樣式是用可預測的方式來改變某個數值 的型式。其內涵指在 Owen(1995)的分類中稱為序列(sequences),也就指一系列非重複的數 值,隨著一種規則延伸所組成,在正式課程活動中,此類型以數字序列(簡稱數列)最為典型,

如等差數列、等比數列、巴斯卡三角形數,例如:「5、10、15、20…」,是開始於 5,每項為前 一項加 5 的數列。

(三)結構樣式

結構樣式強調結構的存在(Owen, 1995),結構指概念之間的連結,即從一組有關聯性的事 物中發現一些特質,例如:「5 可以用多少方式來組成?」會有 4+1=5、3+2=5、2+3=5、1

+4=5 的答案出現。如數學乘法中的交換律、結合律和乘法對加法的分配律,都是屬於結構樣 式的議題。

另一種結構樣式是指空間結構樣式(spatial structure patterns)。在幾何圖形變項的特徵中有 不變的特質。如三角形、正方式、積木。常見如三角形數或正方形數之類的樣式,若從其數量的 變化看來,與增長樣式有關,但因其具備空間結構的視覺特性,Papic 等人(2011)稱之為空間 結構樣式,國內研究者則常採用「數形」來指稱(洪明賢,2003;趙曉燕、鍾靜,2010)。

上述三種樣式中,Threlfall(1999)認為重複樣式相較於數列等其他的樣式,是一種線性的 型式較適合幼童學習,有助於數學思考能力的培養,加上多數的學者認為三種樣式中,幼童適 合學習重複樣式(Clements & Sarama, 2009)。本研究認為重複樣式是學習其他樣式的基礎,引 導幼兒進入複雜重複樣式學習,將有助於提升幼童多種數學概念及進深數學推理能力。

二、樣式推理相關研究

(一)掌握樣式單位推理

5-6 歲的幼童在自然遊戲中會堆積木完成簡單的 ABAB 重複樣式(Clements & Sarama, 2009;

Seo & Ginsburg, 2004);澳洲 Papic 等人研究(2011)發現有些幼童憑著記憶可以畫出 ABAB 樣

式,但讓幼童複製 ABBC 樣式就有困難。另外,Rittle-Johnson、Fyfe、McLean 與 McEldoon(2013)

發現幼兒進入正式學校教育前已有重複樣式的概念,但仍有些幼童無法複製 ABB,反而會把 ABB 變成 ABAB 的樣式排列,幼兒需運用策略發現關係才能作樣式推理。吳昭容與嚴雅筑(2008)

以四歲多和五歲多的幼兒為對象,採用單位內無重複(abcdabcdabcd…)、單位內有重複元素且 相鄰(aabcaabcaabc…)、單位內有重複元素且不相鄰(abacabacabac…),以三種複雜度的樣式測 試幼兒,發現單位內沒有重複元素的簡單樣式,幼兒有可能僅以一一對應的方式作推理,但未 能掌握樣式的規律,幼兒必須學會掌握較大的單位才能提升解題的正確率。再就幼兒是如何掌 握重複樣式?吳昭容與徐千惠(2010)指出五歲幼兒樣式推理受到重複樣式單位一定等長及前 面作業出現過的單位元素影響解題。而 Mulligan 等人(2012)探討幼兒以樣式學習數量形的關 係及發展推理能力時,發現幼兒會以不同方法發展出數量形結構的理解,注意到樣式單位重複 及空間結構,並在過程中能覺知、記憶並複製排列數量及幾何圖案。

(二)引導樣式推理

幼兒雖然尚未能進一步發展出辨識既有規律,找出樣式結構的能力,但成人能引導他們學 習樣式推理。Papic 等人(2011)以實驗介入探討樣式教學對於幼童樣式能力的影響,以及瞭解 樣式能力測驗題組能否反映幼兒推理表現的變化。教學實驗歷經一年,以 53 名三歲多到五歲不 等的幼兒為研究對象,分實驗組與對照組各半。在教學前、中、後各施測一次樣式能力評量。研 究內容包含複雜度不一的重複樣式與數形樣式,一開始兩組幼兒樣式能力的表現相近,但教學 中、後的評量發現實驗組得分顯著地較佳,而質性資料顯示實驗組比控制組能掌握重複樣式的 單位與結構。研究結果顯示成人有系統地引入樣式活動對幼童察覺樣式單位與結構發展出乘法 推理能力。

(三)有效介入樣式教學

樣式學習對幼童未來數學成就會有影響。德國以五歲、幼稚園到小學 1、2 年級共有 2250 名幼童為研究對象,從事四年的長期追蹤研究,調查幼童樣式推理能力是否影響小學的數學表 現?研究結果發現學前樣式推理能力影響到小學一、二年級的數學成就,包括加減的運算能力

(Lüken et al., 2014)。因此,教育學者認為早年有效介入可以建立幼童的數學思考與推理。再 者,Klein、Starkey 與 Wakeley(2000)以數學知識介入 163 位學前幼兒(3 歲 9 個月到 4 歲 9 個月)數學教學研究,實驗組幼兒接受介入教學,而對照組未介入教學,介入教學前後幼兒接 受兒童數學量表(Child Math Assessment)評量,檢驗介入教學成效。研究發現介入教學使得低 社經的幼兒比未接受介入教學的幼兒表現好(Starkey, Klein, & Wakeley, 2004)。另外,Papic 與 Mulligan(2005)以 53 名幼童為研究對象發展樣式策略的實驗研究,其中一所學前學校實施 6

個月以重複樣式及空間樣式介入教學;另一所學校實施一般教學。研究發現介入教學組的後測 樣式作業成績表現較優異,幼童能理解重複單位及空間關係。相對地,控制組的幼童卻看不到 重複單位,而且介入的幼童能判斷出樣式的變化,並能在不同媒介使用下作樣式轉換。再經一 年的調查,發現介入教學的幼童在增長樣式與算術評量分數優於控制組。次年,以兩所幼教機 構的 64 名幼兒及 9 位幼教師為研究對象,比較原住民(實驗組)與主流學校從事 10 週樣式介 入教學成效。研究結果發現幼教師能理解不同類型樣式,且提升學童代數思考的能力。從上述 的兩個研究瞭解介入教學有助於幼兒發展出複雜樣式理解和技巧,幼兒在進入小學前,因接受 介入教學已有抽象化、一般化及解釋樣式或分析樣式結構的能力(Papic, 2013)。可知,若從事 介入教學也能提升幼童複雜重複樣式推理能力。

(四)複雜重複樣式及其重要性

複雜重複樣式由簡單重複樣式擴展而來,其樣式結構中組成單位元素比簡單重複樣式的單 位元素變化多,幼童學習複雜樣式有助於未來數學進階的學習。以下分列說明複雜樣式結構與 其重要性。

1.複雜重複樣式結構

就樣式單位元素組合而言,單位內含有不相鄰與相鄰的元素,且相鄰元素增多時,樣式的

結構較複雜,如例一,○○□□△○○○○□□△○○○○□□△○○ ,其樣式單位是

○○□□△○○。

就樣式單位元素排列方向而言,樣式單位元素排列方向一致者稱為直線樣式,而非直線樣 式指單位元素排列的方向會改變。如例二

○○□□△○○○○□□△○○○○□

○○○○△□□○○○○△□□○○○○△□□○○○○△□□○○○○△□□○○○○△□

□□△○○○○□□△

因樣式蜿蜒排列又稱為「蛇形(或 S 型)」樣式,辨識此樣式時需注意到元素轉換方向的排列 次序與前面的單位排列不同。

就延伸單位完整性而言,可分完整樣式與不完整樣式。完整樣式指單位的延伸到最後一個 核心單位時仍完整重複出現,如例一。若延伸單位到結束時,最後的一個核心單仍不完整出現,

稱為不完整樣式結構如例二。

就核心單位的複雜度而言,除單位元素量增加且單位重複出現外,單位與單位之間是否銜 接,可分成切割單位與非切割單位兩種的複雜重複樣式。切割核心單位如 AABCABBCABCC-AABCABBCABCC,而非切割單位的重複樣式在延伸樣式時,樣式單位之間未加以分割如 5175117517751751175177,加上非直線排列難度最高。上述複雜重複樣式的不同結構,本研究在 設計評量與教學皆加以應用。

2.複雜重複樣式重要性

由於數學樣式與結構推理發展是代數與函數推理的前置經驗(National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000),能辨識複雜重複樣式的結構,瞭解數形量的關係有利於解題、

預測及一般化。根據 Threlfall(1999)探討 119 名 3-9 歲幼兒完成三色(紅綠黃)蛇形樣式延伸 作業的表現,發現有 60%的幼兒能完成作業,更有六名幼兒挑戰更複雜的樣式(顏色、大小及 形狀排列),而研究建議應發展幼兒複雜樣式推理,並探討他們如何看到這類的重複樣式及覺知 這類核心單位而完成作業?因此,在教學上他建議循環重複樣式不只在單一向度上變化,也可 以多個向度改變,他提出幼童掌握重複樣式的歷程,發展出兩種途徑;一個是樣式的複雜度,

另一個是兒童如何發展掌握樣式,他認為當幼童能掌握樣式的單位就能掌握樣式,同時能發展 出數學相關的多種概念,如等量、倍數、加減法的概念。例如,從樣式單位項目作累加而能發展 出總量的概念,以及在測量的脈絡中,可使用相同長度為重複單位測量面積。

Warren 與 Copper(2006)利用重複樣式導入函數推理,在他們教學設計樣式活動時,從簡 單 ABABAB 樣式開始,讓幼童認識樣式具有循環及延續性的特性以及辨識樣式單位的組成元 素,再讓幼童臆測下一組樣式元素的出現,以操作方式延伸樣式。在第二階段教學加入函數概 念,以不同材料與活動作樣式驗證,如呈現二組樣式單位再讓幼童延伸樣式,再遮蓋第三組,

讓幼童臆測第三組的組成元素,然後讓幼童推論出三組共有幾個物件,若繼續延伸,並使用表 格整理樣式元素增加情形,可供幼童看到物件倍數的增加,也從表格統理數字對照出樣式物件 數量成比例的成長如右圖(Warren & Copper, 2008, p.118)。 ▓□□▓□□

可知變化重複樣式的單位元素可提升幼兒函數與比例的思維能力,而重複樣式學習不只支 持學童具有一般化的能力外,變化重複樣式也能提升函數與比例關係的推理能力。

另外,Tsamir 等人(2015)認為幼童未入進入小學之前,先有重複樣式的基礎則有利於進 入小學學習小數,特別是有機會遇到解決小數循環的問題,小數循環屬複雜重複樣式,而本研 究設計未切割核心單位的複雜樣式較屬於大核心單位的重複樣式,幼童學習未切割核心單位的 複雜重複樣式可為學小數循環奠基。因此,學習複雜重複樣式對幼童未來數學學習有效益。

總之,大多數的幼童可以辨識及延伸簡單重複樣式,雖有少數的幼童仍無法完成,但經介 入樣式教學能提升幼童樣式推理能力,他們不只會簡單重複樣式,還會延伸增長樣式、轉換樣 式,及發展複雜樣式理解與解題技巧。更有研究者以複雜重複樣式挑戰幼童推理能力,因此,

本研究認為從簡單重複樣式開始學習,再進入複雜重複樣式學習,可透過引導提升幼童樣式推 理能力。

三、樣式教學模式

本研究為促進幼兒樣式推理能力成長,提出樣式教學模式,從尋找樣式、辨識樣式單位、

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