第四章 階層式四分格模型與其擁塞可能性評估模型
4.1 階層式四分格模型(H IERARCHICAL Q UAD -G RID M ODEL )
一般而言，採用一些必要 Steiner 點透過跑整體繞線演算法連接任何繞線 網中的所有接腳，並且用這些接腳和它給定的相關的 Steiner 點作為一棵繞線 樹，處理一個繞線網的相互聯接。如果一開始假設在繞線平面裡面所有 Steiner 點被固定在一棵繞線樹中，在繞線平面裡面任何繞線樹能夠被闡述成一組兩個端 點的線。
G1,1
G2,1
G1,2
G2,2
G3,1
G4,1
G3,2
G4,2
G5,1
G6,1
G5,2
G6,2
G1,3
G2,3
G1,4
G2,4
G3,3
G4,3
G3,4
G4,4
G5,3
G6,3
G5,4
G6,4
G1,5
G2,5
G1,6
G2,6
G3,5
G4,5
G3,6
G4,6
G5,5
G6,5
G5,6
G6,6
G1,7
G2,7
G1,8
G2,8
G3,7
G4,7
G3,8
G4,8
G5,7
G6,7
G5,8
G6,8
Gi,j
Hi,j
Vi,j
圖4.1 在靜態二維格子模型中的6X8格子晶元和晶元Gi,j
為了解繞線平面裡面所有繞線網的可繞性，一個二維靜態格子模型總是被 用於分割繞線平面成mxn單一型式的格子晶元，而且進一步的估計一個格子晶元 裡面任何格子晶元的可繞性擁擠度，M是水平格子晶元的數目而N是垂直格子晶元 的數目。如果在繞線平面任何格子晶元裡面獲得100% 的可繞性，在繞線平面所 有繞線網可能被徹底完成繞線。由於一個靜態二維格子模型，把繞線平面分割成 一套mxn單一型式的格子晶元，{G1,1, G1,2, …G1,n,…Gm,1,…Gm,n }。對於任何格子 晶元Gi,j，在底部邊界上，有水平格子邊Hi,j，和在右邊界上有垂直格子邊Vi,j。因 此，在繞線平面裡面任何一對兩個鄰近垂直晶元之間存在一組(m-1)xn水平格子
邊，{H1,1, H1,2, …H1,n,…H(m-1),1,…H(m-1),n}，和任何一對兩個鄰近水平晶元之間存
在一組mx(n-1)垂直格子邊，{V1,1, V1,2, …V1,(n-1),…Vm,1,…Vm,(n-1) }。在圖4.1中, 繞 線平面中的一組 6x8 格子晶元在二維靜態格子模型中表示成格子晶元， Gi,j，1
≤ i < m, 1 ≤ j < n其水平格子邊Hi,j，和垂直的格子邊Vi,j。
雖然在許多擁擠導向的整體繞線方法中已經用二維格子基礎的模型來評估 一個格子晶元的擁擠度，但迄今為止，沒有提出任何對分割繞線平面合適的動態 格子晶元模型和定義繞線平面裡合適的格子晶元的大小。在二維靜態格子模型中 對於一個繞線網而言，如果格子尺寸太大可能在格子晶元裡面包含一些兩個接腳 的線。因此，忽視這些內在電線的結果將致使低估一些格子晶元的擁擠度評估和 減少精確度。
(a)
(b)
圖 4.2 在繞線平面的二維靜態格子模型
另一方面，如果格子尺寸太小可能在繞線平面產生許多空格子晶元。 因此，
對於一個繞線網可能將高估繞線路徑的數目，所有格子晶元的擁擠度評估將變得 更不精確且消耗更多的計算時間。有一組八個繞線網，在二維靜態格子模型中如 果把繞線平面分成 4x4 格子晶元如圖 4.2(a)所示，很明顯，在格子晶元裡面含 有三根電線且這些沒有在格子晶元的擁擠度評估中被考慮。相對地，在二維靜態 格子模型中如果把繞線平面分成 8x8 格子晶元如圖 4.2(b)所示，很明顯，在繞 線平面許多格子晶元，沒有線經過。
在繞線平面上，一組繞線網，{T1, T2,…, TN}，每一個繞線網 Ti ，都被一 組接腳Pi = {p1i,…, pδi(i)}，一組史丹尼點Si = {S1i,…, Sθi(i)}，和一組線Wi = {w1i,…, wεi(i)}所描述。在那裡分別由δ(i)表示繞線接腳的數目，θ(i)表示史丹 尼點的數目，ε(i)表示在Ti內線接腳的數目。一個動態階層式的四分格模型，去 準確地估計一個繞線平面，所有的繞線網，{T1, T2,…, TN}的擁擠度如下：一開 始，把最初的繞線平面被看成一個單一的格子晶元 G，由於在一個格子晶元裡面 完全包含一個繞線網中的任何線，把這個相應的格子晶元依幾何學原理分成四個 相同大小的更小的格子晶元，並且以幾何平面的四個象限作為被分割的格子晶元 的索引。例如：格子晶元 G 被分割成格子晶元 G1, G2, G3 和 G4，而格子晶元 G1 更進一步被分割成格子晶元 G11, G12, G13 和 G14等等，如此透過遞迴方式不斷的 分割，直到在繞線網中格子晶元裡面完全沒有包含任一條線，因此，在一個動態 的階層式四分格模型中格子晶元的最後結果，能夠用一棵四分樹來表示在繞線平 面格子晶元的階層式分割和對應在四分樹中葉子節點，在圖 4.3 中，四個被分割 的格子晶元索引，如在圖 4.3(a)所示。參照圖 4.2 中的八個繞線網，在在繞線 平面格子晶元的階層式分割，說明如圖 4.3(b)，而它對應的四分樹如圖 4.3(c) 中所示，明顯地，在所提的階層式四分格模型中，格子晶元最後結果，是所有格 子晶元對應到在四分樹中所有的葉子節點。
G141
G1 G2 G3 G4
(b)
(c)
G
G31 G32 G33 G34
G21 G22 G23 G24
G11 G12 G13 G14
G141 G142 G143 G144G231 G232G233G234 G241 G242G243G244
(a)
2 1
3 4
圖 4.3 階層式四分格模型和繞線平面中的四分樹
在一個動態的階層式四分格模型中，兩個相鄰的格子晶元，被定義如下：
定義1：給兩個格子晶元Gα(1)α(2)...α(m) 和 Gβ(1)β(2)...β(n), 1≤ α(i) ≤ 4, 1 ≤ i ≤ m, 且 1≤ β(i) ≤ 4, 1 ≤ i ≤ n, 如果滿足下面的條件之一，則Gα(1)α(2)...α(m)從左
到右與Gβ(1)β(2)...β(n)水平相鄰：
(1) α(i) =β(i), 1≤ i ≤ m-1，且 (α(i), β(i)) = (2, 1) 或 (3, 4)，
如果 m = n，或
(2) Gα(1)α(2)...α(m−1)從左到右與Gβ(1)β(2)...β(m−1)水平相鄰 且 (α(i), β(i))
= (1, 2) 或 (4, 3)，如果 m = n，or
(3) Gα(1)α(2)...α(n)從左到右與Gβ(1)β(2)...β(n)水平相鄰 且α(i) =1 or 4, n+1≤ i ≤ m，如果 m > n，或
(4) Gα(1)α(2)...α(m)從 左 到 右 與Gβ(1)β(2)...β(m)水 平 相 鄰 且 β (i)=2 or 3, m+1≤ i ≤ n，如果 m < n
如Gα(1)α(2)...α(m)從左到右與Gβ(1)β(2)...β(n)水平相鄰，則在Gα(1)α(2)...α(m)與Gβ(1)β(2)...β(n) 之間，將存在一個共同的垂直邊Vα(1)α(2)...α(m),β(1)β(2)...β(n)，根據設計規則中繞線強度 的寬，在邊Vα(1)α(2)...α(m),β(1)β(2)...β(n)上，水平邊的繞線容量Capα(1)α(2)...α(m),β(1)β(2)...β(n), 在邊Vα(1)α(2)...α(m),β(1)β(2)...β(n)上的強度數目，能夠進一步經由評估而獲得。
定義 2：給兩個格子晶元Gα(1)α(2)...α(m) 和 Gβ(1)β(2)...β(n)， 1≤ α(i) ≤ 4, 1 ≤ i ≤ m 且 1≤ β(i) ≤ 4, 1 ≤ i ≤ n，如果滿足下面的條件之一，則Gα(1)α(2)...α(m)從左到
右與Gβ(1)β(2)...β(n)垂直向上相鄰：
(1) α(i) =β(i), 1≤ i ≤ m-1，且 (α(i), β(i)) = (3, 2) 或 (4, 1)，
如果 m = n，或
(2) Gα(1)α(2)...α(m−1)與Gβ(1)β(2)...β(m−1)垂直向上相鄰 且 (α(i), β(i)) = (1, 4) 或 (2, 3)，如果 m = n，或
(3) Gα(1)α(2)...α(n) 與 Gβ(1)β(2)...β(n) 垂 直 向 上 相 鄰 且 α (i) =1 or 2, n+1≤ i ≤ m，如果 m > n，或
(4) Gα(1)α(2)...α(m)與Gβ(1)β(2)...β(m)垂直向上相鄰且β(i)=3 or 4, m+1≤ i ≤ n，
如果 m < n
同樣地，如Gα(1)α(2)...α(m)與Gβ(1)β(2)...β(n)垂直向上相鄰，則在Gα(1)α(2)...α(m)與
) ( )...
2 ( ) 1
Gβ( β β 之間，將存在一個共同的水平邊Hα(1)α(2)...α( ),β(1)β(2)...β( )，根據設計規
則中繞線強度的寬，在邊Hα(1)α(2)...α(m),β(1)β(2)...β(n)上，垂直邊的繞線容量
) ( )...
2 ( ) 1 ( ), ( )...
2 ( ) 1
( m n
Capα α α β β β ，在邊Hα(1)α(2)...α(m),β(1)β(2)...β(n)上的強度數目，能夠進一步 經由評估而獲得。
基本上，通過格子邊的繞線數目被格子邊的容量限制，如果通過格子邊的 繞線數目大於容量限制，格子邊將發生擁塞的狀況。