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隨機的意義

在文檔中 99math5a (頁 3-7)

隨機變數: 將試驗的每種結果(樣本點) 分別對應一個”數值”, 此種函數對應關係即為隨 機變數。

1. 離散型隨機變數: 隨機變數X對應的數值有限多個, 或像整數那樣多, 稱隨機 變數X為離散型隨機變數。 如投擲硬幣正反面次數、 骰子點數、 顏色、 血型等。

2. 連續型隨機變數: 隨機變數X對應的數值可以是某一實數區間內的任何一個 值, 稱隨機變數X為連續型隨機變數。 如量測長度、 重量、 高度、 體積等。

等機率樣本空間S: 此試驗可能發生的所有樣本點所成的集合稱為樣本空間 S 。(若樣本 空間內的所有樣本點發生機率均等, 此時稱為等機率樣本空間)。

例: 投擲兩公正相同骰子, 則其點數有 H26 種不同的情形 (事件)。 其等機率樣本空 間有 62 個樣本點 (事件)。

骰子點數一個6一個3點的事件有 (3, 6), (6, 3) , 而骰子點數兩個6點的事件只有 (6, 6) , 前者有2個樣本點, 後者只有1個樣本點; 且 (1, 1), (1, 2), · · · ,(3, 6), · · · , (6, 3),

· · · , (6, 6) 這些樣本點發生的機會均相等。 等機率樣本空間的個數 n(S) 就是數出

所有可能會發生且機會均相等的樣本點個數; 故投擲兩公正骰子點數的等機率樣本空間的 個數 n(S) = 62

機率質量函數: 將離散型隨機變數X的每一個數值x對應其所發生的機率, 此種對應關 係所形成的函數 f (x) 稱為 X 的機率質量函數, 即 f (x) = P (X = x) 簡稱機率 函數 (p.m.f)。

若 X 為離散型隨機變數,X = {x1, x2, · · · , xn} 而 f(x) 為其機率質量函數則 0 ≤ f(xi) ≤ 1, i = 1, 2, 3, · · · , n 且Pn

i=1

f (xi) = 1 機率分布表

X x1 x2 · · · xk · · · xn px p1 p2 · · · pk · · · pn

x1 x2 x3 x4 x5

0.1 0.35

0.2 0.15

隨機變數

f(x)

機率質量函數圖形

數學期望值與變異數: 設離散型隨機變數 X 的所有可能值為 x1, x2, x3, · · · , xn , 而這 些值的機率分別為 p1, p2, p3, · · · , pn 且 p1 + p2 + · · · + pn = 1。(f (x) 為其機率 質量函數)

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1. X 的數學期望值: E(X) = Pn

i=1

xif (xi) = x1p1 + x2p2 + · · · + xnpn 。 根據 機率與報酬值作為決策的依據

2. X 的變異數: V ar(X) = E[(X−µ)2] = E(X2)−µ2 = Pn

i=1

(xi−µ)2f (xi) = p1(x1−µ)2+p2(x2−µ)2+· · ·+pn(xn−µ)2 = Pn

i=1

pi(xi−µ)2 = Pn

i=1

pix2i−µ2 其中標準差 σX = pV ar(X)

期望值: 隨機變數的中心位置。

標準差: 隨機變數所有可能值與中心位置分散狀況的度量單位。

隨機變數 X 的機率分布可以用期望值及標準差 (變異數) 做摘要。 隨機變數若具 有相同的期望值及標準差 (變異數) 未必具有相同的機率分布。

求隨機變數的期望值與標準差 (變異數) 通常可由機率分布函數依定義計算可得。

或由簡單基本的隨機變數期望值與變異數再找出此隨機變數與之關係(線性或簡單

的加法、 乘法關係) 利用期望值與變異數的數學性質(i.i.d. 獨立性、 同質性的機率分布), 可求得此隨機變數的數學期望值與變異數。

期望值、 變異數與標準差的性質: 期望值是隨機變數集中趨勢的代表值, 標準差是描述 隨機變數的分散性與變異性。 由數學性質知先求得變異數後再求出標準差。

1. E(aX + b) = aE(X) + b

2. V ar(X + b) = V ar(X) , σ(X + b) = σ(X) 3. V ar(aX) = a2V ar(X) , σ(aX) = |a|σ(X) 4. V (aX + b) = a2V ar(X) , σ(aX + b) = |a|σ(X) 兩隨機變數的期望值與變異數: (i.i.d. 獨立性、 同質性的機率分布)

1. 若 X,Y 是同一樣本空間的兩隨機變數, 則 E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) 2. 若 X,Y 是同一樣本空間的兩個 獨立 隨機變數, 則 E(XY ) = E(X)E(Y ) 3. 若 X,Y 是同一樣本空間的兩個 獨立 隨機變數, 則 V ar(X±Y ) = V ar(X)+

V ar(Y )

例: 紅球20個, 白球10個, 從袋中取球:

1. 每次取一個, 取出不放回, 共取3次, 則取出紅球個數的期望值為?

2. 每次取一個, 取出後再放回去, 共取3次, 則取到紅球個數的期望值為?

3. 一次取出3個, 取到紅球個數的期望值為?

≡ 3× (取一粒球, 紅球個數的期望值為) = 3 × 2030 = 2 例題演練

例題1 求投擲一公正骰子點數X的機率分布、 期望值與標準差? [Ans: Xi 1 2 3 4 5 6 px 1

6 1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

, E(X骰子) = 7

2, σ骰子 = r35

12 ]

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例題2 投擲公正骰子, 令隨機變數 X 表投擲一骰子所出現點數的2倍 。 隨機變數 Y 表

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期望值為多少?[Ans: E(X) = 20×3+60×6+100×1

10 = 52;10×3+50×23+2 × 2 = 52 ] 例題7 一賭博遊戲為投擲3公正硬幣, 若出現一正面賭客可得100元, 出現兩正面賭客可

獲得300元, 出現3正面賭客可得500元, 但出現3反面則賭客賠1500元。 問此遊戲 賭客的贏得獎金期望值為多少元? [Ans: E(X) = −1500+300+900+500

8 = 25 ]

9. 隨機變數 X 表連續投擲一公正硬幣直到正面出現所需的次數或5次試驗均無正面 就停止, 求隨機變數X的期望值?

10. 隨機變數 X 表連續投擲一公正硬幣直到正面出現所需的次數或4次均為反面, 求 隨機變數X的期望值?

11. 一不均勻的硬幣, 已知出現正面的機率為 1

3, 出現反面的機率為 2

3, 投擲此硬幣直 到出現正面或4次反面為止, 求投擲此硬幣次數的期望值?

12. 學校福利社舉辦抽獎活動, 原本所有獎額的期望值為500 元, 標準差為100 元。 今 慶祝校慶, 將每個獎項金額提高 20%, 額外加贈100元抵用券, 求此次活動中抽獎 一次所得獎額的期望值與標準差?

13. 某保險公司針對一年期住宅房屋火險:“保費200元, 在一年內房屋發生火災可獲理 賠100萬元”。 依據資料顯示住宅房屋發生火災的機率為0.0015, 求每張保單中, 保 險公司獲利的期望值是多少?

14. 甲、 乙兩人要分獎金10000元, 約定競技, 先勝三局者可得全部獎金, 比賽開始第 一局甲勝, 第二局乙勝, 第三局甲勝; 後因故無法繼續比賽, 問應如何分配獎金才 合理?

15. 一製造商現需決定要即時擴充廠房或一年後才擴充。 現若即時擴充廠房而且碰到 經濟景氣, 則可賺進300萬元, 但若碰到經濟不景氣會損失80萬元; 若採行一年後 才擴充, 碰到經濟景氣, 則可賺進160 萬元, 但若碰到經濟不景氣仍可賺16 萬元。

假設進一步知道明年經濟景氣機率為 2

3 , 經濟不景氣機率為 1

3 , 則應採用那一策 略, 才能有較大的獲利期望值?

16. 投擲一公正硬幣 4 次, X 表出現正面次數, 求 X2 的期望值?hint: V ar(x) = E(x2) − E(x)2 由數學性質推算 (簡易); 或找出X2的機率分布依定義求得 (計算 較複雜)

17. 投擲一公正硬幣3次, 隨機變數 X 定義為若第一次硬幣為正面則X取值為0, 若出 現反面則取值為1 , 隨機變數 Y 表3次硬幣中出現正面的次數。 分別求隨機變數 X、Y 的機率分布與期望值? 求 XY 的數學期望值?

1.2

二項分佈

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