Λ24 =iµ22n2/ρiω2 (4.2h)
參考Jenkins和 Traub [19]，可求出複數係數四次多項式(quartic equation)的 根。在塊材介質中傳遞的四個波慢中，三個為徹體波(bulk acoustic waves ,
(attenuation)。本節將分別探討矽與鍺受殘留應力負載後，對於波慢及相速
度產生的影響。
圖4.1~4.10 為鍺在固定頻率100kHz 時的波慢，其中實線代表無殘留應
力負載之波慢，虛線則代表受到壓應力之波慢。受到壓應力的影響，兩個
準橫波(quasi-transverse waves)波慢會有交錯的情形，而隨著受到應力的增 加，準縱波(quasi-longitudinal wave)波慢會減少，熱波波慢會增加，且近似 於線性變化。圖 4.5 之徹體波波慢極圖顯示，當單軸壓應力施於鍺的[010]
方向，沿[010]方向的縱波及第一個橫波波慢值變小，第二個橫波波慢值變
大，受到柏松比效應(Poisson’s ratio effect)的影響，沿[100]方向的縱波波慢 值變大，兩個橫波的波慢值則不變。由於本文考慮等向性熱膨脹及熱傳導，
熱波不具方向性，圖 4.6 的熱波波慢極圖顯示，受到體積變化影響，熱波 波慢值變大。
圖4.7~4.8之徹體波與熱波波慢極圖顯示，當雙軸壓應力施於鍺的[100]
及[010]方向，沿[100]及[010]方向的波慢變化相同，縱波及第一個橫波波慢
值變小，第二個橫波及熱波波慢值則變大。圖4.9~4.10 所示為鍺[010]方向 的波慢與殘留壓應力之關係，隨著殘留壓應力的增加，縱波及第一個橫波 的波慢值會減小，第二個橫波及熱波的波慢值則會增加。相同情況下，圖
4.11~4.20 為鍺在固定頻率 100kHz 時徹體波及熱波的相速度，由於相速度
為波慢之倒數，變化趨勢與圖4.1~4.10 相反。
圖4.21~4.40 所示分別為矽受到拉應力，在固定頻率100kHz 時的波慢 及相速度。隨著應力的增加，準縱波相速度會增加，熱波相速度會減少，
與鍺受壓應力時的情況相反，但在任何狀況下，熱波的相速度幾乎都與傳 遞方向無關，此與第三章中，(3.10)與(3.15)式假設熱膨脹係數與熱傳導係 數為等向性參數有關。
圖4.41及 4.42所示分別為鍺和矽受單軸及雙軸應力的熱波衰減強度，
結果顯示，熱波的衰減是由於材料吸收造成，依據(3.14)，熱容會受殘留應 力造成的體積變化率所影響，受到拉應力時，熱容減小，因此衰減較緩，
反之，受壓應力時，衰減較快。此外，由於與體積變化有關，受雙軸應力 時有較明顯的變化。
4.2 立方晶體平板頻散方程式之數值模擬
由 4.1 節的數值分析結果，在計算頻散方程式時，必須考慮波數為複
數型態，在計算頻散方程式的過程中，波數實部及虛部對應(3.29)式等號左 端QS或 QA的行列式值，可以勾勒出一曲面，若垂直高度為 QS或QA的行 列式值的絕對值，則符合頻散方程式的根就在曲面高度極低的位置，可以 採用簡單體法(simplex method)來搜尋根的位置。
圖 4.43 表示試片厚度為 1mm，在不同頻率下，鍺平板的 QS行列式值
對波數之關係，結果顯示在較低頻(400kHz)的情況下，由於各矩陣元素值 差異過大，造成數值計算上出現不穩定的情形，而在高頻時的數值情況較 穩定。以材料常數而言，彈性與熱的常數原先就有數百萬倍的差距，且由 前一節的結果得知熱波波數的實部及虛部數值相較於彈性波都十分可觀，
由(3.21)式求出X3方向的波數後，代入(3.22)或(3.29)式時，可能使各矩陣元 素值的差距更大，造成複數尋根上的困難。
圖4.44~4.47所示為頻率 1.6MHz下，鍺平板的QS及QA行列式值對波 數實部語虛部之關係，結果皆在衰減參數軸上有一個根，未受應力前，對 稱模態根的位置約在衰減參數0.7~1.0之間，施加5GPa壓應力後，位置約
在0.9~1.1之間。反對稱模態也有類似情形，未受應力前，根的位置約在衰
減參數0.7~0.8之間，施加壓應力後，位置約在 1.0~1.1之間。
圖4.48~4.51所示為頻率 1.6MHz下，矽平板的QS及QA行列式值對波 數之關係，也有類似的結果，未受應力前，對稱或反對稱模態根的位置約 在衰減參數 0.5~0.6 之間，施加 5GPa 拉應力後，位置約為 0.4。先前曾提 到應力與衰減參數之間的關連，而此結果大致上是一致的。