二次曲線
2-3 拋物線的圖形與標準式
在本書第一冊第一章所討論的二次函數,其圖形就是拋物線,又平常所見 吊橋鋼纜所呈現的弧形曲線、運動員擲出鉛球所行經的路徑也都是拋物線 。本 節將利用拋物線的幾何定義來導出拋物線的方程式,並探討其性質 。
2-3.1 拋物線的定義
設 是平面上的一直線, 為同一平面上但不在直線 上的一定點,則 平面上到點 與到直線 等距離的所有點 (即 )所形成 的圖形稱為拋物線,其中直線 與點 分別稱為拋物線的準線與焦點。
拋物線的定義
如右圖 所示, 為焦 點, 為準線。過焦點 且與 準 線 垂 直 的 直 線 稱 為對 稱軸(簡稱軸),又對稱軸
與拋物線的交點 稱為頂點,
頂點 與焦點 的距離 稱 為焦距。
拋物線上任取相異兩點的 連線段稱為弦,過焦點的弦稱 為焦弦,又垂直對稱軸的焦弦 稱為正焦弦,如圖A 所 示 。
在 圖 B 中,、 分
圖 2-10
準線,由點、 分別向準線 作垂線,垂足分別為 和 ,由拋物線的定義得 知: , , ,所以四邊形 與四邊形 均為正方 形,故得
。 由上面的討論,我們可得
拋物線的正焦弦長(焦點與準線的距離)(焦距)
公 式
例題 已知拋物線的焦點為,準線為 :,試求此拋物 線的正焦弦長 。
解 拋物線的焦點為,準線 :,
則焦點 與準線 的距離為
,
所以拋物線的正焦弦長為 。
隨 堂 練 習
已知拋物線的焦點為,準線為 :,試求此拋物線的正 焦弦長 。
2-3.2 拋物線的標準式
現在我們先利用平面坐標來導出拋物線的方程式,再根據方程式來探討拋
2
二次曲線
頂點為原點 ,焦點在 軸上的拋物線:
設拋物線的焦點坐標為,則準線為 :(其中 ≠ ),如圖
所示 。
圖 2-12
設 為拋物線上任意一點,由拋物線的定義得知 ,
亦即 。
兩邊平方得,展開得, 整理得,當 時,拋物線圖形開口向右;當 時,拋物線圖形開 口向左,如圖 所示 。
例題 試求焦點為,準線為 : 的拋物線方程式 。 解 焦點 在準線 : 的右方,
所以拋物線開口向右,
頂點為,,如右圖所示 。 由拋物線的標準式
得知,所求拋物線方程式為。
隨 堂 練 習
試求焦點為,準線為 : 的拋物線方程式 。
有關拋物線 的焦點、準線、圖形整理列表如下:
標準式 焦點 準線 對稱軸 圖形
() : ( 軸)
() : ( 軸)
頂點為原點 ,焦點在 軸上的拋物線:
設拋物線的焦點坐標為,則準線為 :(其中 ≠ ),如圖
所示 。仿照前面的討論方式,我們可得拋物線的方程式為,當
時,拋物線圖形開口向上;當 時,拋物線圖形開口向下 。
圖 2-13
2
二次曲線
試求焦點為,準線為 : 的拋物線方程式 。 解 焦點 在準線 : 的下方,
所以拋物線開口向下,
頂點為,,如右圖所示 。 由拋物線的標準式
得知,所求拋物線方程式為。
例題
隨 堂 練 習
試求焦點為,準線為 : 的拋物線方程式 。
有關拋物線 的焦點、準線、圖形整理列表如下:
標準式 焦點 準線 對稱軸 圖形
() : ( 軸)
() : ( 軸)
拋物線由於它在坐標平面上的位置不同,所對應的方程式也就不同,我們 將方程式 與 統稱為拋物線的標準式。
在前面的兩個表格中,各拋物線的頂點都是原點,焦點與頂點的距
拋物線 的焦點坐標為 。
例題 試求拋物線 的頂點、焦點、準線、對稱軸及正焦弦長 。 解 可以寫成 ,
由拋物線的標準式得知,
,圖形開口向左,
頂點坐標為原點,
焦點 坐標為 ,
準線:,即 :,
對稱軸為(即 軸),
正焦弦長 。
隨 堂 練 習
試求拋物線 的頂點、焦點、準線、對稱軸及正焦弦長 。
頂點為,對稱軸平行 軸的拋物線:
先在坐標平面上描繪出頂點為原 點, 焦 點 為 的 拋 物 線 C:,再將 C 上的每一個點
沿著向量 平移到點
,得到頂點為 ,
焦點為 的拋物線 C,如圖
所示 。
當 點 在 拋 物 線 C 上 時,
則點 在拋物線 C : 上,故得拋物線 C 的方程式為
圖 2-14
2
二次曲線
由上面的討論我們得知,頂點為,對稱軸平行 軸的拋物線方程式為
。
現在,我們將拋物線 的圖形及相關性質列表如下:
標準式 焦點 準線 對稱軸 圖形
() :
() :
例題 試求頂點為 ,準線為 : 的拋物線方程式 。 解 頂點 到準線 : 的距離為 ,
又頂點 在準線 的右方,
所以拋物線開口向右,
故得,焦點 為 ,
如右圖所示 。
因為拋物線開口向右,
所以方程式形如
,
故所求方程式為。
隨 堂 練 習
試求焦點為,準線為 : 的拋物線方程式 。
頂點為 ,對稱軸平行 軸的拋物線:
由類似上面的討論我們可得知,頂點為,對稱軸平行 軸的拋物線 方程式為
。
圖 2-15
同樣的,我們將拋物線 的圖形及相關性質列表如下:
標準式 焦點 準線 對稱軸 圖形
() :
() :
前面的兩個表格中,各拋物線的頂點都是,焦距為 ,正焦弦長 為 。
拋物線 的頂點為 ,焦點為 。
2
二次曲線
例題 試求焦點為,準線為 : 的拋物線方程式 。 解 焦點 在準線 : 的下方,
所以拋物線開口向下,如右圖所示 。 對稱軸過焦點 與準線 : 垂直相交於點 ,
又頂點 為 的中點,
坐標為,
因拋物線開口向下,且 ,
故得,
拋物線方程式形如
,
故所求方程式為。
隨 堂 練 習
試求頂點為 ,焦點為 的拋物線方程式 。
試求拋物線 的頂點、焦點與正焦弦長 。 解 將 移項配方得
,
故得,
亦即,
所以頂點為,
且,圖形開口向上,
焦點為,
例題
隨 堂 練 習
試求拋物線 的頂點、焦點與正焦弦長 。
例題 試求拋物線 的焦點、準線與對稱軸 。 解 將 移項配方得
,
故得,
亦即,
故得頂點為,
且,圖形開口向左,
焦點為,
準線為,即 ,
對稱軸為,即 。
隨 堂 練 習
試求拋物線 的焦點、準線與對稱軸 。
例題 已知有一拋物線形狀的拱橋,拱頂( 點)
離水面 公尺時,水面寬度( 長)為 公 尺,如右圖所示,若水再下降 公尺,則水面 寬度( 長)為幾公尺 ?
解 選 定 拋 物 線 頂 點 為 原 點, 對 稱 軸 為
軸,建立直角坐標系,由此可設拋物線
2
二次曲線
因為 在拋物線上,
故得,即 ,
所以拋物線方程式為。
代入 ,
得! ,
則、 兩點坐標分別為 、 ,
所以水再下降 公尺後,水面寬度為 (公尺)。
隨 堂 練 習
如右圖,一條隧道頂部是拋物線型的拱形,拱 高 公尺,寬度為 公尺,試求距離中心線 公尺處的拱高 是多少公尺 ?
2-3.3 拋物線的一般式
將對稱軸平行 軸的拋物線方程式
展開整理為
,
故得
。
令
,
,
,
類 此, 對 稱 軸 平 行 軸 的 拋 物 線 方 程 式
亦 可 表 示 成
(其中
≠ )的形式 。坽 對稱軸平行 軸的拋物線方程式,可表為
夌 對稱軸平行 軸的拋物線方程式,可表為
(其中、、 為實數且 ≠ )
拋物線的一般式
例題 試求通過、、 三點,且對稱軸平行 軸的 拋物線方程式 。
解 因拋物線對稱軸平行 軸,
故設方程式為
,
將、、 三點坐標代入,
得
……泝
……沴 ,
……沊 沊 分別代入泝 、沴 得
……沝 ,……沀 , 由沀 沝 得 ,即 ,
代入沝 得 ,
故所求拋物線方程式為。
隨 堂 練 習
試求通過、、 三點,且對稱軸平行 軸的拋物線
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二次曲線
試求滿足下列各條件的拋物線方程式:
坽 焦點為 ,準線為 :。
夌 焦點為 ,準線為 :。
試求下列各拋物線的焦點、準線及正焦弦長:
坽 夌
試求頂點為 ,準線為 : 的拋物線方程式 。
試求焦點為 ,準線為 : 的拋物線方程式 。
試求拋物線 的頂點、準線及正焦弦長 。
試求拋物線 的頂點、焦點及對稱軸 。
如下圖所示,拋物線造型的鋼拱全長 為 公尺,中央鋼柱的高為
公尺,試求距離鋼拱中央 公尺處的鋼柱 高度 。
試求對稱軸平行 軸,且過點 、、 的拋物線