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2-3 拋物線的圖形與標準式

在文檔中 第2章(二次曲線) (頁 30-42)

二次曲線

2-3 拋物線的圖形與標準式

在本書第一冊第一章所討論的二次函數,其圖形就是拋物線,又平常所見 吊橋鋼纜所呈現的弧形曲線、運動員擲出鉛球所行經的路徑也都是拋物線 。本 節將利用拋物線的幾何定義來導出拋物線的方程式,並探討其性質 。

2-3.1 拋物線的定義

設 是平面上的一直線, 為同一平面上但不在直線  上的一定點,則 平面上到點 與到直線  等距離的所有點 (即  )所形成 的圖形稱為拋物線,其中直線 與點  分別稱為拋物線的準線與焦點。

拋物線的定義

如右圖 所示, 為焦 點, 為準線。過焦點 且與 準 線  垂 直 的 直 線  稱 為對 稱軸(簡稱軸),又對稱軸

與拋物線的交點 稱為頂點,

頂點 與焦點  的距離   稱 為焦距。

拋物線上任取相異兩點的 連線段稱為弦,過焦點的弦稱 為焦弦,又垂直對稱軸的焦弦 稱為正焦弦,如圖A 所 示 。

在 圖 B 中,、 分

圖 2-10

準線,由點、 分別向準線  作垂線,垂足分別為  和 ,由拋物線的定義得 知:   ,  , ,所以四邊形  與四邊形  均為正方 形,故得

       。 由上面的討論,我們可得

拋物線的正焦弦長(焦點與準線的距離)(焦距)

公 式

例題 已知拋物線的焦點為,準線為 :,試求此拋物 線的正焦弦長 。

解  拋物線的焦點為,準線 :,

  則焦點 與準線  的距離為    

  

 ,

  所以拋物線的正焦弦長為   。

隨 堂 練 習

 已知拋物線的焦點為,準線為 :,試求此拋物線的正 焦弦長 。

2-3.2 拋物線的標準式

現在我們先利用平面坐標來導出拋物線的方程式,再根據方程式來探討拋

2

二次曲線

 頂點為原點 ,焦點在  軸上的拋物線:

設拋物線的焦點坐標為,則準線為 :(其中  ≠ ),如圖

 所示 。

圖 2-12

設 為拋物線上任意一點,由拋物線的定義得知 ,

亦即  。

兩邊平方得,展開得, 整理得,當 時,拋物線圖形開口向右;當  時,拋物線圖形開 口向左,如圖 所示 。

例題 試求焦點為,準線為 : 的拋物線方程式 。 解  焦點 在準線 : 的右方,

  所以拋物線開口向右,

  頂點為,,如右圖所示 。   由拋物線的標準式



得知,

  所求拋物線方程式為。

隨 堂 練 習

試求焦點為,準線為 : 的拋物線方程式 。

有關拋物線 的焦點、準線、圖形整理列表如下:

標準式 焦點 準線 對稱軸 圖形



()    : (  軸)



()    : (  軸)

 頂點為原點 ,焦點在  軸上的拋物線:

設拋物線的焦點坐標為,則準線為 :(其中  ≠ ),如圖

 所示 。仿照前面的討論方式,我們可得拋物線的方程式為,當

時,拋物線圖形開口向上;當 時,拋物線圖形開口向下 。

圖 2-13

2

二次曲線

試求焦點為,準線為 : 的拋物線方程式 。 解  焦點 在準線 : 的下方,

  所以拋物線開口向下,

  頂點為,,如右圖所示 。   由拋物線的標準式



得知,

  所求拋物線方程式為。

例題

隨 堂 練 習

試求焦點為,準線為 : 的拋物線方程式 。

有關拋物線 的焦點、準線、圖形整理列表如下:

標準式 焦點 準線 對稱軸 圖形



()    : (  軸)



()    : (  軸)

拋物線由於它在坐標平面上的位置不同,所對應的方程式也就不同,我們 將方程式 與  統稱為拋物線的標準式。

在前面的兩個表格中,各拋物線的頂點都是原點,焦點與頂點的距

     拋物線 的焦點坐標為 。

例題 試求拋物線 的頂點、焦點、準線、對稱軸及正焦弦長 。 解   可以寫成 ,

  由拋物線的標準式得知,

  ,圖形開口向左,

  頂點坐標為原點,

  焦點 坐標為 ,

  準線:,即 :,

  對稱軸為(即  軸),

  正焦弦長  。

隨 堂 練 習

 試求拋物線 的頂點、焦點、準線、對稱軸及正焦弦長 。

  頂點為,對稱軸平行  軸的拋物線:

先在坐標平面上描繪出頂點為原 點, 焦 點 為  的 拋 物 線 C:,再將 C 上的每一個點

 沿著向量   平移到點

,得到頂點為 ,

焦點為 的拋物線 C,如圖

 所示 。

當 點 在 拋 物 線 C 上 時,

則點 在拋物線 C : 上,故得拋物線 C 的方程式為

圖 2-14

2

二次曲線

由上面的討論我們得知,頂點為,對稱軸平行  軸的拋物線方程式為

。

現在,我們將拋物線 的圖形及相關性質列表如下:

標準式 焦點 準線 對稱軸 圖形





()  : 





()  : 

例題 試求頂點為 ,準線為 : 的拋物線方程式 。 解  頂點  到準線 : 的距離為 ,

  又頂點 在準線  的右方,

  所以拋物線開口向右,

  故得,焦點  為 ,

  如右圖所示 。

  因為拋物線開口向右,

  所以方程式形如



,

  故所求方程式為。

隨 堂 練 習

試求焦點為,準線為 : 的拋物線方程式 。

 頂點為 ,對稱軸平行  軸的拋物線:

由類似上面的討論我們可得知,頂點為,對稱軸平行  軸的拋物線 方程式為

。

圖 2-15

同樣的,我們將拋物線 的圖形及相關性質列表如下:

標準式 焦點 準線 對稱軸 圖形





()  : 





()  : 

前面的兩個表格中,各拋物線的頂點都是,焦距為  ,正焦弦長 為  。

     拋物線 的頂點為 ,焦點為 。

2

二次曲線

例題 試求焦點為,準線為 : 的拋物線方程式 。 解  焦點 在準線 : 的下方,

  所以拋物線開口向下,如右圖所示 。   對稱軸過焦點 與準線   : 垂直相交於點 ,

  又頂點 為   的中點,

  坐標為,

  因拋物線開口向下,且  ,

  故得,

  拋物線方程式形如



,

  故所求方程式為。

隨 堂 練 習

試求頂點為 ,焦點為  的拋物線方程式 。

試求拋物線 的頂點、焦點與正焦弦長 。 解  將 移項配方得

  ,

  故得,

  亦即,

  所以頂點為,

  且,圖形開口向上,

  焦點為,

例題

隨 堂 練 習

試求拋物線 的頂點、焦點與正焦弦長 。

例題 試求拋物線 的焦點、準線與對稱軸 。 解  將 移項配方得

  ,

  故得,

  亦即,

  故得頂點為,

  且,圖形開口向左,

  焦點為,

  準線為,即 ,

  對稱軸為,即 。

隨 堂 練 習

試求拋物線 的焦點、準線與對稱軸 。

例題 已知有一拋物線形狀的拱橋,拱頂( 點)

離水面 公尺時,水面寬度(   長)為  公 尺,如右圖所示,若水再下降 公尺,則水面 寬度( 長)為幾公尺 ?

解   選 定 拋 物 線 頂 點  為 原 點, 對 稱 軸 為

 軸,建立直角坐標系,由此可設拋物線

2

二次曲線

  因為 在拋物線上,

  故得,即 ,

  所以拋物線方程式為。

   代入 ,

  得!  ,

  則、 兩點坐標分別為   、  ,

  所以水再下降 公尺後,水面寬度為         (公尺)。

隨 堂 練 習

 如右圖,一條隧道頂部是拋物線型的拱形,拱 高 公尺,寬度為  公尺,試求距離中心線  公尺處的拱高 是多少公尺 ?

2-3.3 拋物線的一般式

將對稱軸平行 軸的拋物線方程式





展開整理為

 

 ,

故得 

  

  

 。

令 

, 

, 

 ,

類 此, 對 稱 軸 平 行 軸 的 拋 物 線 方 程 式





亦 可 表 示 成



(其中

 ≠ )的形式 。

坽  對稱軸平行  軸的拋物線方程式,可表為



夌  對稱軸平行  軸的拋物線方程式,可表為



(其中、、 為實數且  ≠ ) 

拋物線的一般式

例題 試求通過、、 三點,且對稱軸平行  軸的 拋物線方程式 。

解  因拋物線對稱軸平行 軸,

  故設方程式為



,

  將、、 三點坐標代入,

  得

 ……泝

 ……沴 ,

 ……沊   沊 分別代入泝 、沴 得

  ……沝 ,……沀 ,   由沀  沝  得 ,即 ,

   代入沝 得 ,

  故所求拋物線方程式為。

隨 堂 練 習

 試求通過、、 三點,且對稱軸平行  軸的拋物線

2

二次曲線

 試求滿足下列各條件的拋物線方程式:

坽  焦點為 ,準線為 :。

夌 焦點為 ,準線為 :。

   試求下列各拋物線的焦點、準線及正焦弦長:

坽     夌 

  試求頂點為 ,準線為 : 的拋物線方程式 。

 試求焦點為 ,準線為 : 的拋物線方程式 。

 試求拋物線  的頂點、準線及正焦弦長 。

 試求拋物線  的頂點、焦點及對稱軸 。

  如下圖所示,拋物線造型的鋼拱全長 為  公尺,中央鋼柱的高為

 公尺,試求距離鋼拱中央  公尺處的鋼柱   高度 。

  試求對稱軸平行 軸,且過點 、、 的拋物線 

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