Basis and Dimension

Definition 2.6.1. 假設 V 為 vector space. 若{v1, . . . , v_n} 為 V 的 spanning set 且為 linearly independent, 則稱 v1, . . . , v_n 為 V 的一組 basis.

首先要注意 spanning set 未必是 linearly independent. 例如在 R² 中 {v1= (1, 0), v2= (0, 1), v₃= (1, 1)} 是 R² 的 spanning set, 但不是 linearly independent (因 v₃= v₁+ v₂). 同 樣的 linearly independent 的元素未必形成 spanning set. 例如在 R³ 中 w₁= (1, 0, 0), w2= (0, 1, 0) 就是 linearly independent, 但 Span(w₁, w₂)̸= R³. 因此要說明 v₁, . . . , v_n 為 V 的一組 basis, 必須說明 Span(v1, . . . , v_n) = V 以及 v₁, . . . , v_n 為 linearly independent, 缺一不可. 當 然了, 若 {v1, . . . , vn} 為 V 的 spanning set 或 {v1, . . . , vn} 為 linearly independent 其中只要 任一項不滿足, 則知{v1, . . . , v_n} 不是 V 的 basis. 例如前面舉的例子 v1, v₂, v₃ 就不是R² 的 basis, 而 w1, w2 也不是 R³ 的 basis. 接下來我們看幾個常見的 vector space 的 basis.

Example 2.6.2. 假設F 是一個 field, 我們考慮以下常見 over F 的 vector spaces.

(A) 在Fⁿ 中考慮 e₁= (1, 0, . . . , 0), e₂= (0, 1, 0, . . . , o), . . . , e_n= (0, 0, . . . , o, 1) (即 e_i 為 i-th entry 為 1, 其他 entry 為 0 的向量), 由於對任意 (c1, . . . , cn)∈ Fⁿ, 我們有 (c1, . . . , cn) = c1e₁+

··· + cne_n, 知 Span(e₁, . . . , be_n) =Fⁿ. 又若 c₁e₁+··· + cne_n= 0, 表示 (c₁, . . . , c_n) = (0, . . . , 0), 亦即 c₁=··· = cn= 0, 故知 e1, . . . , ben 為 linearly independent. 因此 e₁, . . . , en 為 Fⁿ 的一 組 basis. 這一組 basis 是 Fⁿ 中最直接且最常用的 basis 所以我們又稱之為 Fⁿ 的 standard basis.

(B) 在 M_m×n(F) 中, 考慮 Ei j, 為 (i, j)-th entry 為 1, 其他 entry 為 0 的 m× n matrix.

則利用和 Fⁿ 上類似的證法, 我們可以知{Ei j: 1≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n} 是 Mm×n(F) 的 spanning set 且為 linearly independent, 故為 M_m×n(F) 的一組 basis.

(C) 在 P_n(F) 中 {1,x,x², . . . , xⁿ} 可展成 Pn(F) 且為 linearly independent, 所以是 Pn(F) 的 basis. 這組 basis 也稱為 P_n(F) 的 standard basis.

在 Definition 2.6.1 中 V 可由有限多個元素所展成, 所以此時的 V 依定義是 finitely generated vector space (Definition 2.4.3), 不 過 我 們 提 過 一 般 的 vector space 未 必 會 是 finitely generated, 所以對於一般的 vector space, 我們有以下 basis 的定義.

Definition 2.6.3. 假設 V 為 vector space 且 S⊆ V. 若 S 為 V 的 spanning set 且為 linearly independent, 則稱 S 為 V 的一組 basis.

由於我們已定義 Span( /0) ={0} 且 /0 為 linearly independent, 所以依照 Definition 2.6.3, 我們說空集合 /0 是 zero vector space{0} 的 basis. 另外在 Example 2.4.4 中我們知道 P(F) 不是 finitely generated. 然而很容易看出{1,x,x², . . .} 是 P(F) 的 spanning set 且為 linearly independent, 所以{1,x,x², . . .} 是 P(F) 的 basis.

我們碰到的第一個問題便是 basis 的存在性問題. 也就是說, 對於一般的 vector space 是 不是都會有 basis. 接下來我們要說明非零的 finitely generated vector space 都會有 basis.

其實這對於不是 finitely generated 的 vector space 也對, 不過由於這會牽涉到較抽象的邏

2.6. Basis and Dimension 43

輯概念而且我們以後談論的 vector space 都是 finitely generated, 所以我們不去談論它. 在 本講義中我們僅探討 finitely generated vector space.

Theorem 2.6.4. 假設 V̸= {0} 為 finitely generated vector space over F. 則存在 v1, . . . , vn∈ V 為 V 的一組 basis.

Proof. 這裡我們利用 finitely generated 的性質, 用數學歸納法處理.

我們對 vector space 的 spanning set 的元素個數做數學歸納法. 首先假設 V 可由一 個元素展成. 也就是說 V = Span(u). 此時由於 V ̸= {0}, 知 u ̸= 0. 故 u 本身是 linearly independent 且{u} 是 V 的 spanning set 故 u 是 V 的 basis. 利用歸納法假設當一個 vector space 可由 k 個元素展成時, basis 是存在的. 現假設 V 是一個可由 k + 1 個元素展成的 vector space, 我們假設 V = Span(u1, . . . , uk, uk+1). 現考慮 W = Span(u1, . . . , uk). 由於 W 是 一個可由 k 個元素展成的 vector space, 依歸納法假設存在 v₁, . . . , v_n∈ W 為 W 的一組 basis.

亦即 Span(v1, . . . , v_n) = W 且 v₁, . . . , v_n 為 linearly independent. 現若 W = V , 當然 v₁, . . . , v_n 就是 V 的一組 basis. 而若 W̸= V, 表示 uk+1̸∈ W (否則會造成 V = Span(u1, . . . , u_k, u_k+1)⊆ W 之矛盾). 因此由 u_k+1̸∈ W = Span(v1, . . . , v_n)以及 Lemma 2.5.4 知 v₁, . . . , v_n, u_k+1為 linearly independent. 又因為 V = Span(u1, . . . , uk, uk+1) 而 Span(u1, . . . , uk) = W = Span(v1, . . . , vn)故 得 V = Span(v₁, . . . , v_n, u_k+1). 得證 v₁, . . . , v_n, u_k+1 為 V 的一組 basis.  在 Theorem 2.6.4 的證明中, 看起來是將 V = Span(u₁, . . . , u_k, u_k+1)找到其他的 v₁, . . . , v_n 取代 u₁, . . . , u_k, 得到 V 的 basis v₁, . . . , v_n, u_k+1. 事實上我們是可以在 {u1, . . . , u_k, u_k+1} 中挑 選出 V 的 basis. 主要的原因是, 如果 S ={u1, . . . , uk, uk+1} 本身是 linearly independent, 則 依定義 S 就是一組 basis. 而若 {u1, . . . , u_k, u_k+1} 是 linearly dependent, 表示存在 ui 是其他 的 S^′= S\ {ui} 的 linear combination. 注意此時 §(S^′) = §(S) = V 因此我們可以考慮 S^′ 是 否為 linearly independent. 若是 linearly independent, 則 S^′ 就是 V 的一組 basis, 否則就如 前繼續下去直到其為 linearly independent 為止. 因此利用數學歸納法, 我們有以下的結果.

Proposition 2.6.5. 假設 V̸= {0} 為 vector space over F, 且 S ⊆ V 滿足 V = Span(S). 則 存在 S^′⊆ S 為 V 的一組 basis.

Proof. 我們對 S 的元素個數 n 做數學歸納法. 假設 n = 1, 即 V = Span(v₁),因 V ̸= {0}, 知 v₁̸= 0. 故由 v1本身是 linearly independent, 得證 S ={v1} 是 V 的 basis. 假設 n = k 時成立, 亦即對所有有 k 元素的集合 S, 若 V = Span(S), 則存在 S^′⊆ S 為 V 的 basis. 我們要證明當 n = k + 1 時亦成立. 現假設 S ={v1, . . . , v_k+1} 且 Span(S) = V, 若 S 為 linearly independent, 則依定義令 S^′= S, 即為 V 的一組 basis. 而若 S 不是 linearly independent, 則不失一般性, 我們假設 v₁∈ Span(v2, . . . , v_n). 此時令 ˜S = S\ {v1} = {v2, . . . , v₁}, 因 V = Span( ˜S) 且 ˜S 的元 素個數為 k, 故由歸納假設知存在 S^′⊆ ˜S ⊆ S 為 V 的一組 basis. 得證本定理.  Question 2.11. 試利用 Proposition 2.6.5 的結果證明 Theorem 2.6.4.

Proposition 2.6.5 說的是當 v1, . . . , vn 是 V 的 spanning set, 則我們可以在 {v1, . . . , vn} 中捨去一些元素使其為 linearly independent 且仍為 V 的 spanning set, 故可成為 V 的一組

basis. 反之, 若 {v1, . . . , v_n} 為 V 的一組 linearly independent set, 則我們可以加入一些元素 擴大 {v1, . . . , v_n}, 使其成為 V 的 spanning set 且仍保持 linearly independent, 故可成為 V 的一組 basis. 我們有以下的定理.

Proposition 2.6.6. 假設 V ̸= {0} 為 vector space over F, 且 V = Span(u1, . . . , u_m). 若 S ={v1, . . . , vn} ⊆ V 為 linearly independent, 則存在 S^′⊆ {u1, . . . , um} 使得 S ∪ S^′ 為 V 的 basis.

Proof. 我們依然對 S 的元素個數做歸納法, 不過這次是做反向的歸納法. 注意因 V = Span(u₁, . . . , u_m) 且 v₁, . . . , v_n 為 linearly independent, 故由 Lemma 2.5.5 知 n≤ m, 所以 我們可以假設 n = m− t, 其中 0 ≤ t ≤ m − 1. 我們要對 t 做 mathematical induction. 當 t = 0 時表示 m = n, 此時我們要說明 S ={bv1, . . . , v_n} 為 V 的 spanning set. 這是因為 若 Span(S)̸= V, 表示存在 w ∈ V 且 w ̸∈ Span(S), 故由 Lemma 2.5.4 知 {v1, . . . , v_n, w} 為 linearly independent, 但此時 {v1, . . . , vn.w} 有 n + 1 = m + 1 個元素, 多於 Span(u1, . . . , um) 的 m 個元素, 與 Lemma 2.5.5 相矛盾, 故知 S 為 V 的 spanning set. 再利用已知 S 為 linearly independent, 故令 S^′ = /0 得證 S = S∪ S^′ 為 V 的 basis. 現假設 t = k 時成立, 即 若 S ={v1, . . . , v_m−k} 為 linearly independent, 則存在 S^′⊆ {u1, . . . , u_m} 使得 S ∪ S^′ 為 V 的 basis. 現考慮 t = k + 1 的情形, 即 S ={v1, . . . , v_m−k−1} 為 linearly independent. 首先考慮 S 是否為 V 的 spanning set. 若 V = Span(S), 則依定義知 S 為 V 的一組 basis, 故取 S^′= /0, 則 S^′⊆ {u1, . . . , u_m}, 且 S ∪ S^′= S 為 V 的 basis. 而若 Span(S)̸= V, 表示 {u1, . . . , u_m} 中必有一 元素 u_i̸∈ Span(S), 否則若 u1, . . . , um 皆屬於 Span(S), 會造成 V = Span(u1, . . . , um)⊆ Span(S) 之矛盾. 現考慮 ˜S = S∪ {ui}, 因 ui̸∈ Span(S) 由 Lemma 2.5.4 知 ˜S 為 linearly independent, 再由 ˜S 的元素個數為 m−k, 故由歸納假設知存在 ˜S^′⊆ {u1, . . . , u_m} 使得 ˜S∪ ˜S^′ 為 V 的 basis.

故令 S^′={ui}∪ ˜S^′, 我們有 S^′⊆ {u1, . . . , um} 且 S∪S^′= S∪{ui}∪ ˜S^′= ˜S∪ ˜S^′為 V 的 basis.  我們已經知道 finitely generated vector space 的 basis 是存在的, 不過它並不唯一. 例如 在 R² 中除了 standard basis {(1,0),(0,1)} 外, 我們很容易看出 {(1,1),(0,1)} 也可以是 R² 的 basis. 不過 basis 雖然不唯一, 不過在 finitely generated vector space 中組成 basis 的元 素個數是固定的. 我們有以下的定理.

Theorem 2.6.7. 假設 V 為 vector space over F, 且 {v1, . . . , v_n} 和 {u1, . . . , u_m} 皆為 V 的 basis, 則 n = m.

Proof. 我們用反證法, 假設 n̸= m, 不失一般性我們就假設 m > n. 因 V = Span(v1, . . . , v_n), 故 u_i∈ Span(v1, . . . , v_n), ∀i = 1,...,m. 因此由 Lemma 2.5.5 知 {u1, . . . , u_m} 是 linearly de-pendent. 此與{u1, . . . , um} 是 basis 的假設相矛盾, 故得證 m = n.  Theorem 2.6.7 告訴我們組成 V 的一組 basis 的元素個數是固定的. 也就是說若找到 n 個元素形成 V 的 basis, 則 V 其他的 basis 一定也會是由 n 個元素所組成. 由於這個重要的 結果我們有以下的定義.

2.6. Basis and Dimension 45

Definition 2.6.8. 假設 V 是一個 finitely generated vector space over F. 組成 V 的一組 basis 的元素個數稱為 V over F 的 dimension (維度), 用 dim_F(V ) 來表示.

由於組成 finitely generated vector space 的一組 basis 的元素個數是有限的, 所以以後 我們稱 finitely generated vector space 為 finite dimensional vector space.

Example 2.6.9. 我們探討在 Example 2.6.2 中的 finite dimensional vector space 的維度為 多少.

(A) 考慮Fⁿ 中的 standard basis{ei| 1 ≤ i ≤ n}, 因為共有 n 個元素所以 dim_F(Fⁿ) = n.

(B) 我 們 知 道 {Ei j ∈ Mm×n | 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n} 是 Mm×n(F) 的一組 basis. 因此 dimF(Mm×n) = m× n.

(C) 我們知道 {xⁿ, . . . , x, 1} 是 Pn(F) 的 spanning set 且為 linearly independent. 故知 {xⁿ, . . . , x, 1} 為 Pn(F) 的一組 basis, 因此 dim_F(P_n(F)) = n + 1.

大家或許注意到, 我們在表示維度的 dim 符號的下標特別標上 F, 即 dim_F. 這個原因是 強調我們將 vector space 看成 over F 的 vector space 所得的 dimension. 我們曾經提過, 同 樣的集合我們有可能看成 over 不同的 field 的 vector space. 在此情況之下它們的 basis 也 就會不同, 也因此我們要標示用哪一個 field. 我們看以下的例子.

Example 2.6.10. 我們用 C 表示 complex numbers (複數) 所成的 field, 而用 R 表示 real numbers (實數) 所成的 field. 現考慮集合 C²={(z1, z₂)| z1, z₂∈ C}. 很容易檢查用一般 的加法及係數積, C² 是 vector space over C, 也會是 vector space over R. 首先我們知道 {(1,0),(0,1)} 是 C² 看成 over C 的 vector space 的 basis (Example 2.6.2 (A) n = 2, F = C 的情況), 所以我們得 dim_C(C²) = 2. 不過 {(1,0),(0,1)} 在 over R 之下就不是 basis 了.

很容易看出來任何 (1, 0), (0, 1) over R 的 linear combination 都無法表示 (i,0) 這一個 C² 的元素 (這裡 i 是滿足 i²=−1 的純虛數). 不過 {(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)} 就是 C² over R 的 spanning set. 這是因為任意 C² 的元素都可以寫成 (a + bi, c + di) 其中 a, b, c, d∈ R, 所 以可得 (a + bi, c + di) = a(1, 0) + b(i, 0) + c(0, 1) + d(0, i). 又{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)} over R 是 linearly independent. 這是因為若 a, b, c, d 是實數滿足 a(1, 0) + b(i, 0) + c(0, 1) + d(0, i) = (0, 0), 即表示 a + bi = 0 且 c + di = 0, 故得 a = b = c = d = 0. 由此知{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)}

是 C² overR 的 basis, 所以我們有 dim_R(C²) = 4.

由 Example 2.6.10, 我們知道要說明一個 vector space 的 dimension 為何, 一定要說明 其 over 的 field 是甚麼. 不過一般情形, 當我們很明確知道 over 的 field 是甚麼而沒有如 Example 2.6.10 這種模稜兩可的情形, 我們便會省略直接用 dim(V ) 來表示其 dimension.

對於 finite dimensional vector space 有關於 dimension 的性質, 我們匯集如下. 再次 強調, 由於這裡我們只考慮 over 一個固定的 field F, 所以我們僅用 dim(V) 來表示其 dimension.

Proposition 2.6.11. 假設 V 為 finite dimensional vector space over F.

(1) 若 {v1, . . . , v_n} 為 V 的 spanning set, 則 dim(V) ≤ n. 特別的, 若此時 v1, . . . , v_n 為 linearly dependent, 則 dim(V ) < n.

(2) 若{v1, . . . , v_n} 為 linearly independent, 則 dim(V) ≥ n. 特別的, 若此時 {v1, . . . , v_n} 不是 V 的 spanning set, 則 dim(V ) > n.

(3) 假設 v₁, . . . , v_n∈ V. 下列的敘述為等價.

(a) v₁, . . . , v_n 為 V 的一組 basis.

(b) dim(V ) = n 且 {v1, . . . , vn} 為 V 的 spanning set.

(c) dim(V ) = n 且 {v1, . . . , v_n} 為 linearly independent.

(4) 若 W 為 V 的 subspace, 則 dim(W )≤ dim(V). 特別的, 若 dim(W) = dim(V) 則 W = V .

Proof. 為了方便起見, 我們令 S ={v1, . . . , v_n}.

(1) 依假設 V = Span(S), 故利用 Proposition 2.6.5 知存在 S^′⊆ S 為 V 的 basis. 也就是 說 S^′ 的元素個數就是 V 的 dimension. 然而 S^′ 是 S 的 subset, 所以其元素個數小於等於 S 的元素個數 n, 故得證 dim(V )≤ n. 現若 S 為 linearly dependent, 即表示存在 vi 可寫成 S 中其他元素的線性組合, 因此考慮 ˜S = S\{vi}, 我們仍有 Span( ˜S) = V. 此時 ˜S 的元素個數為 n− 1, 所以再套用前面所證的可得 dim(V) ≤ n − 1 < n.

(2) 依假設 S 是 linearly independent, 故利用 Proposition 2.6.6 知存在某個有限集合 S^′ 使得 S∪ S^′ 為 V 的 basis. 也就是說 S∪ S^′ 的元素個數就是 V 的 dimension. 然而 S⊆ S ∪ S^′, 所以 S∪ S^′ 的元素個數大於等於 S 的元素個數 n, 故得證 dim(V )≥ n. 現若 S 不是 V 的 spanning set, 表示存在 w∈ V 且 w ̸∈ Span(S), 因此考慮 ˜S = S ∪{w}, 我們仍有 ˜S 為 linearly independent (Lemma 2.5.4). 此時 ˜S 的元素個數為 n + 1, 所以再套用前面所證的可得 dim(V )≥ n + 1 > n.

(3) 我們要證明 (a) 可推得 (b), (b) 可推得 (c) 以及 (c) 可推得 (a). 因此知 (a),(b),(c) 是等價的.

(a) ⇒ (b): 假設 S 是 V 的 basis, 當然 S 是 V 的 spanning set. 又由於 S 的元素個 數為 n, 依定義 dim(V ) = n.

(b) ⇒ (c): 由於 S 是 V 的 spanning set, 由前面 (1) 的結果, 若 S 是 linearly de-pendent, 則 dim(V ) < n. 此 與 dim(V ) = n 假 設 相 矛 盾, 故 推 得 S 是 linearly independent.

(c) ⇒ (a): 由於 S 是 linearly independent, 由前面 (2) 的結果, 若 S 不是 V 的 spanning set, 則 dim(V ) > n. 此與 dim(V ) = n 假設相矛盾, 故推得 S 是 V 的 spanning set. 因此得證 S 是 V 的 basis.

(4) 因 W 是 V 的 subspace, 故由 Proposition 2.5.6 知 W 亦為 finite dimensional vector space, 我們假設 S ={v1, . . . , v_n} 為 W 的 basis. 由於 v1, . . . , v_n∈V 且為 linearly independent, 故由 (2) 的結果知 dim(W ) = n≤ dim(V). 而若 dim(V) = n, 則由 S 是 linearly independent 利用 (3)((c) ⇒ (a)) 知 S 也是 V 的 basis, 故得證 W = V. 

2.6. Basis and Dimension 47

強調一下, Proposition 2.6.11 告訴我們知道 V 的 dimension 的好處. 若我們知道 dim(V ) 恰好是 n, 則 (3) 告訴我們當要檢查 v₁, . . . , v_n 是否為 V 的一組 basis 時, 則僅要檢查它們是 否為 spanning set 或 linearly independent 其中一項就可. 所以我們只要選擇檢查哪一個較 好處理即可. 另外若已知 W 為 V 的 subspace, 要檢查 W 是否為 V , 我們不必再像以前檢查 是否每個 V 中的元素都在 W , 而只要算出 dim(W ) 是否等於 n 即可.

Example 2.6.12. 很容易看出在 P(R) 中 xⁿ, xⁿ⁻¹, . . . , x, 1 為 linearly independent. 這是 因為如果 c_n, . . . , c₁, c₀ ∈ R 使得 cnxⁿ+··· + c1x + c₀1 為零多項式, 則依零多項式的定義, cn, . . . , c1, c0 必全為 0. 現在我們介紹 P(R) 中另一種重要的 linearly independent 的多項式 的建構方法, 稱為 Lagrange interpolation polynomials. 我們僅舉出一個例子, 一般狀況請大 家自行推廣.

給定 a, b, c 三相異實數, 我們希望找到三個二次多項式 p₁(x), p₂(x), p₃(x) 滿足

p1(a) = 1, p1(b) = p1(c) = 0, p2(b) = 1, p2(a) = p2(c) = 0 and p3(c) = 1, p3(a) = p3(b) = 0.

由於 p₁(b) = p₁(c) = 0, 我們知 p₁(x) 應為 (x− b)(x − c) 的倍式, 也就是存在實數 r 使得 p1(x) = r(x− b)(x − c). 但又要求 p1(a) = 1, 故代入 x = a 得 r = 1/(a− b)(a − c). 同理可求 出 p₂(x), p₃(x) 因此我們有

p₁(x) = (x− b)(x − c)

(a− b)(a − c), p₂(x) = (x− a)(x − c)

(b− a)(b − c) and p₃(x) = (x− a)(x − b) (c− a)(c − b).

我 們 要 說 明 p₁(x), p₂(x), p₃(x) 為 linearly independent. 首 先 觀 察, 若 f (x) = c₁p₁(x) + c2p2(x) + c3p3(x), 則代入 x = a 時可由 p1(a) = 1, p2(a) = p3(a) = 0, 得 f (a) = c1. 同理知 f (b) = c₂, f (c) = c₃. 因此現若 f (x) 為零多項式, 由 f (a) = f (b) = f (c) = 0, 可得 c₁= c₂= c3= 0. 也就是說只有當 c₁= c₂= c₃= 0 時才會使得 c₁p1(x) + c₂p2(x) + c₃p3(x) 為零多項 式, 得證 p₁(x), p2(x), p3(x) 為 linearly independent.

我們知道了 p₁(x), p2(x), p3(x)∈ P2(R) 為 linearly independent, 事實上 p1(x), p2(x), p3(x) 會是 P₂(R) 的 spanning set. 不過要證明這一點, 需用到次數小於 3 的實係數非零多項式 不會有 3 個相異實根這個事實, 說明起來有點麻煩. 不過由於我們已知 dim(P2(R)) = 3, 故由 Proposition 2.6.11 (3) 知 p₁(x), p2(x), p3(x) 為 P2(R) 的一組 basis. 也就是說任何 實係數的次數小於 3 的多項式 f (x) 都可以都可以找到唯一的一組 c1, c₂, c₃ ∈ R 使得 f (x) = c1p1(x) + c2p2(x) + c3p3(x). 事實上代入 x = a, b, c, 我們知道 c1= f (a), c2= f (b), c₃= f (c) 就是這唯一的一組.

同理對於任意 n 個相異實數 a₁, . . . , a_n, 我們有 n 個 n−1 次的多項式 p1(x), . . . , p_n(x) 滿足 pi(a_i) = 1 且當 j̸= i 時, pi(a_j) = 0. 由於 p₁(x), . . . , p_n(x)∈ Pn−1(R) 且為 linearly independent, 故由 dim(Pn−1(R)) = n 知 p1(x), . . . , pn(x) 為 Pn−1(R) 的一組 basis.

Chapter 3