固定邊界值之最大面積的圖形

由於之前求生物晶片光罩最小邊界演算法大都是啟發是演算法，所以在這 邊我們提出一個求生物晶片光罩邊界最佳解演算法。

底下我們先定義何謂凸的光罩何謂凹的光罩，再依此定義推導出底下的七 個證明，證明我們提出來的方法是可以求得光罩最小邊界的最佳解。

光罩佈局的方式，類似在二維的方格紙上，把光罩遮住部分的方格塗黑。

首先定義一塊區域光罩佈局的圖形，何謂凸多邊形，何謂凸多邊形。

[定義一] 一塊區域光罩佈局的圖形，分為凹多邊形及凸多邊形兩種。

凹多邊形：存在兩個以上的邊可以互相正面彼此看到。

凸多邊形：不存在兩個以上的邊可以互相正面彼此看到。

圖 13 凹多邊形與凸多邊形圖 左圖為凹多邊形，右圖為凸多邊形

圖 13 為一範例。其中左圖為凹多邊形，右圖為凸多邊形凸多邊形。接著推 導相關的定理。

[輔助定理一] 在一個區塊的凸多邊形下，邊界值一定是偶數。

證明：若此凸多邊形為矩陣；邊長分別為 a 及 b，則邊界值為 2（a + b），屬於 偶數。若此凸多邊形不為矩陣；則可以依據上下左右四個邊，圍出一個新的矩 形(圖 14)。原凸多邊形不在矩形上的邊，可分別一對一對映到矩陣上，補成矩 形。由圖可看出，原凸多邊形的邊界值和矩形的邊界值相等，亦屬於偶數。

圖 14 圖邊形與矩形關係圖，凸多邊形依據上下左右四個邊，圍出一個新的矩形

[輔助定理二] 在一個區塊的凸多邊形下，邊界值為 4L 或 4L + 2，L ∈ Z⁺。 證明：考慮光罩最小面積為 1 時，邊長為 4。輔助定理一已證明邊界值是偶數，

所以邊界值為：4、6、8、10…。可以再細分為兩群：{4、8、…}及{6、10、…}，

即邊界值為 4L 或 4L + 2，L ∈ Z⁺。

[定理一] 在一個區塊的凸多邊形下，固定邊界值之最大面積的圖形，一定是矩 形。

證明：假設在一個區塊的凸多邊形下，固定邊界值之最大面積的圖形不是矩形。

由圖 13 我們可以看到，此凸多邊形可圍出一個新的矩形，邊界值相等，但是面 積比原來凸多邊形還大。假設發生錯誤，所以圖形一定是矩形。

[定理二] 在一個區塊的凸多邊形下，邊界值為 4L 的最大面積為 L ，L ∈ Z ； 且圖形為邊長 L 的正方形。

證明：由定理一得知，固定邊界值之最大面積圖形是矩形。假設矩形邊長分別 為 a 及 b，則邊界值 4L = 2(a + b)，面積為 a b。利用算數平均數大於等於幾何 平均數的定理，我們可以推導：

a b ≤ [(a + b) / 2] ² = L². (1) 得知面積的整數上限值為 L²。

發現邊長為 L 的正方形，其邊界值為 4L，面積為 L²。因此在一個區塊的 凸多邊形下，邊界值為 4L 的最大面積為 L²，L ∈ Z⁺；且圖形為邊長 L 的正方 形。

[定理三] 在一個區塊的凸多邊形下，邊界值為 4L + 2 的最大面積為 L² + L，L ∈ Z⁺；且圖形為邊長分別為 L 及 L + 1 的矩形。

證明：由定理一得知，固定邊界值之最大面積圖形是矩形。假設矩形邊長分別 為 a 及 b，則邊界值 4L + 2 = 2(a + b)，面積為 a b。利用算數平均數大於等於幾 何平均數的定理，我們可以推導：

a b ≤ [(a + b) / 2] ² = (L + 1/2)² = L² + L + 1/4. (2) 得知面積的整數上限值為 L² + L。

發現邊長分別為 L 及 L + 1 的矩形，其邊界值為 2[L + (L + 1)] = 4L + 2，面 積為 L(L + 1) = L² + L。因此在一個區塊的凸多邊形下，邊界值為 4L + 2 的最大 面積為 L² + L，L ∈ Z⁺；且圖形為邊長分別為 L 及 L + 1 的矩形。