+ +
− +
=
∑
+∑
−1 1
1 1 (4-1) 其中：
D ：第t年度末的預估紅利金額
t
P ：第t年度的保費金額
tC ：第t年度末的解約金
t i ：折現率表4-1 四家保險公司分紅與不分紅保費之淨現值
公司別 Y 公司 P 公司 N 公司 C 公司
年期 20 20 20 20
折現率 2.48% 2.48% 2.48% 2.48%
分紅保費 31,200 37,436 33,300 32,310 解約金之PV 值 362,877 411,277 369,923 329,046
第20 年度末之分紅
解約金 592,300 671,300 603,800 537,080
不分紅保費 28,200 26,754 27,700 28,300 解約金之PV 值 321,339 241,019 341,311 279,690
第20 年度末之不分
紅解約金 524,500 393,400 557,100 456,520 資料來源：本研究整理
由式子4-1中得知欲評估NPV時，應先取得各公司保單資料，如每年保費、
解約金、折現率等(如表4-1)，再將上述式子代入各壽險公司的分紅與不分紅保 單資料後，將求得之結果整理如表4-2，其中NPV已含二十年度末解約金之折現 值(Present Value,PV)，但不含紅利部分。
表 4-2 未考慮紅利時之淨現值
公司名稱 Y 公司 N 公司
保單類別 分紅 不分紅 分紅 不分紅
NPV -136,510* -157,678 -163,077 -102,055*
公司名稱 P 公司 C 公司
保單類別 分紅 不分紅 分紅 不分紅
NPV -187,923 -187,205* -188,108 -173,280*
資料來源：本研究整理
由上表得知，在未考慮保單紅利時，Y公司之淨現值已呈現分紅優於不分紅 保單，P公司之分紅保單也僅略遜於不分紅保單3.84%，而另外二家公司則是不 分紅保單優於分紅保單。
二．預估平均每年2.35%分紅利率時之淨現值
未來紅利屬不確定值，因此，本研究依過去十五年壽險業平均分紅利率 5.86%為經驗報酬率，依保單條款至少分配報酬率之70%為紅利，故以每年分紅 2.35%分別計算四家壽險公司當年紅利,仍以2.48%折現率計算至二十年度末所 產生之淨現值，如表4-3。
表4-3 各家保險公司紅利NPV值
公司別 Y 公司 P 公司 N 公司 C 公司 2.35%紅利 NPV 94,834 108,225 97,755 85,163 資料來源：本研究整理
因此，將表4-3之數據加入表4-2後，即可求得各公司考慮紅利後之NPV值，
如表4-4。
表4-4 平均每年2.35%紅利時之淨現值
公司名稱 Y 公司 N 公司
保單類別 分紅 不分紅 分紅 不分紅
NPV -41,676* -157,678 -65,322* -102,055
公司名稱 P 公司 C 公司
保單類別 分紅 不分紅 分紅 不分紅
NPV -79,698* -187,205 -102,945* -173,280 資料來源：本研究整理
由上表中可以得知在未考慮紅利之前，僅有Y公司的分紅保單的NPV優於不 分紅保單，但是在模擬每年2.35%的平均分紅利率時，每家公司皆呈現購買分紅 保單優於不分紅保單的局面，如圖4-1，因此，在預定利率偏低，且分紅與不分 紅保單的保費接近時，選擇分紅保單較有利，但是仍不足說服購買，因為NPV 仍為負值。
圖4-1 四家公司分紅與不分紅NPV比較圖
Y公司
-200,000 -150,000 -100,000 -50,000 0
分紅 不分紅
險種
NPV
P公司
-200,000 -150,000 -100,000 -50,000 0
分紅 不分紅
險種
NPV
N公司
-150,000 -100,000 -50,000 0
分紅 不分紅
險種
NPV
C公司
-200,000 -150,000 -100,000 -50,000 0
分紅 不分紅
險種
NPV
4.2 二項式選擇權評價結果
本節利用二項式模型及先前所做的假設，對未來紅利的推算及選擇權的價值 進行估計，計算如下：
一．依過去壽險業分紅利率推估未來二十年可能的分紅利率：
其中月波動性σ為14.28%，首期分紅利率為2.35%，風險中立下的上漲機率P為 1.14，上漲乘數u為1.04，下跌乘數d為0.96，將各項變數代入產生二項式樹狀圖 表示每年可能的結果，各代表Y公司，P公司，N公司與C公司的未來分紅利率。
二．將上表所得之分紅利率乘上當年度責任準備金，即為當年度紅利。分別將各 公司的責任準備金分別乘上該公司分紅利率後，可得每一年考慮波動後可能紅利 (S)。
三．將與該公司分紅與不分紅保單之價差(視為紅利選擇權之價格X)，得到執行 價值為S-X，其中Y公司前五年皆為負值；P公司前九年皆為負值；N公司與C公 司前六年為負值，因此，當分紅與不分紅保單保費價差愈大，出現執行價值為正 值的年期愈晚。
四．依擴張選擇權之購買決策價值(Expanded NPV)：
[ ] ( ) [ ]
( R ) p Max Sd X
X Su Max V p
ExpandedNP
+
−
×
− +
−
= ×
1
0 , 1
0
, (4-2)
依4-2式，將各家公司分別求出每一年度之實質選擇權價值；其中P公司自 第十六年出現選擇權價值為0，也就是當分紅利率連續下跌十六年，則往後選擇 權價值皆為0；其餘三家公司選擇權價值皆為正值，但第一年之選擇權價值分別 為Y公司35,667元、P公司36,403元、N公司39,683元、C公司31,052元，四家公司 的選擇權價值皆相當接近，在: 擴張的(expanded)NPV=NPV+實質選擇權價值，
分別計算各家公司的擴張的NPV，經計算整理各公司之實質選擇權價值與NPV 關係如表4-5：
表4-5 擴張淨現值彙總表
擴張淨現值 淨現值 實質選擇權價值
Y公司 -6,009 -41,676 35,667
P公司 -43,295 -79,698 36,403
N公司 -25,639 -65,322 39,683
C公司 -71,893 -102,945 31,052
資料來源：本研究整理
四家公司首年度的選擇權價值差異不大是因為在相同的上漲機率、相同的波 動性、及相同的無風險利率之下，僅有保費上的差異，而壽險業為一高度競爭的 行業，公司之間的保費差異本來就小，因此，在下節中將對以上變數作敏感度分 析。
4.3 敏感度分析
一．假設分紅利率在1%、2%、3%、4%、5%下，且其它條件不變時(風險中立下 之上漲機率、波動率、無風險利率)，經計算後將各公司之選擇權價值變化整理 如表4-6。由表4-6可得知Y公司在分紅利率為3%、4%、5%時，皆出現實質選擇 權價值+淨現值>0；P公司與N公司在分紅利率為5%時，出現實質選擇權價值+淨 現值>0；C公司之實質選擇權價值+淨現值皆<0，因此，在5%之分紅利率時，除 了C公司，各公司已呈現投資價值，而分紅利率降至4%、3%時，僅剩Y公司仍具 投資價值，分紅利率與選擇權價值呈正向變動。將以上結果換算成Expanded NPV 時，如圖4-2。
表4-6 各家公司選擇權價值對分紅利率敏感度分析表 單位:元 Y 公司 P 公司 N 公司 C 公司
1% 13,440 5,906 11,159 10,897 2% 29,880 26,584 27,918 25,805 3% 46,320* 45,216 44,678 40,712 4% 62,760* 63,849 61,437 55,619 5% 79,200* 82,482* 78,196* 70,527
資料來源：本研究整理
圖4-2 各家公司選擇權價值對分紅利率敏感度分析圖
Expanded NPV
-100,000 -50,000 0 50,000
1 2 3 4 5
分紅利率%
單位:元
Y公司 P公司 N公司 C公司
二．假設無風險利率在1%、3%、5%、7%、9%時，且其它條件不變(風險中立下 之上漲機率、波動率、分紅利率)，經計算後將各公司之選擇權價值變化整理如 表4-7。由表4-7可得知Y公司在無風險利率為7%、9%時，出現實質選擇權價值+
淨現值>0；N公司在無風險利率為9%時，出現實質選擇權價值+淨現值>0；P公 司和C公司之實質選擇權價值+淨現值在無風險利率為1%~9%時皆<0，換言之，
在無風險利率為9%時，Y公司與N公司具投資價值，而無風險利率為7%時，僅Y 公司具投資價值，5%以下時，各公司皆不具投資價值，因為實質選擇權價值加 上淨現值的和仍為負值。當無險利率R變大時，風險中立下之上漲機率會變大，
下跌機率1-P會變小，而選擇權價值
C 雖然是以無風險利率R折現，然而上漲與
t 下跌互抵之後，整體選擇權價值仍會上漲(因上漲乘數u與下跌乘數d互為倒數 d=1/u)，由此可知，無風險利率在此與選擇權價值呈同向變動，將其變化整理如 圖4-3。表4-7 各家公司選擇權價值對無風險利率敏感度分析表 單位:元 Y 公司 P 公司 N 公司 C 公司
1% 13,830 9,812 14,110 11,251 3% 21,428 19,064 23,008 18,141 5% 32,203 32,185 35,626 27,911 7% 47,381* 50,668 53,402 41,674 9% 68,628* 76,642 78,285* 60,940 資料來源：本研究整理
圖4-3 各家公司選擇權價值對無風險利率敏感度分析圖
Expanded NPV
-100000 -80000 -60000 -40000 -20000 0 20000 40000
無風險利率%
單位：元
Y公司 N公司 P公司 C公司
1 3 5 7 9
三．假設不同波動率σ 為10%~40%時，且其它條件不變(風險中立下之上漲機率、
分紅利率、無風險利率)，經計算後發現四家公司之分紅利率與執行價值逐年變 大 但 選 擇 權 價 值 並 無 變 化 ， 其 原 因 為 由 實 質 選 擇 權 的 價 值
( )
[
1]
)1
( 1 ,+1× +1 + ,+1× − +1
= + ut t dt t
t
C P C P
C R
，與壽險業報酬率的波動性σ 無關，此外，當風險中立下之上漲機率
d u
d P R
−
−
= (1+ )
，將會是定數，因此，實質選擇權
之價值
C 也不會改變，雖然履約價值S-X會隨紅利之預期波動率變大而增加，可
t是在此同時，實質選擇權之價值