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98指考數乙-非選

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Academic year: 2021

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(1)

數學乙

數學乙

數學乙

數學乙非選擇題

非選擇題

非選擇題

非選擇題考生

考生

考生

考生作答情形分析

作答情形分析

作答情形分析

作答情形分析

陳慧美 指考成績寄發後,有考生會申請複查,提出為何我的數學乙考科非選擇題答案明明正確,卻為 何未得到該小題的滿分,關於此疑問,特別於本文說明考生無法得分的可能作答情形,希望藉此釐 清部分考生的疑惑。各題參考解答請見附件。 試題 試題 試題 試題 一 、 某 製 造 玩 具 工 廠 , 每 次 接 到 訂 單 都 需 開 模 5 萬 元 , 製 造 每 一 千 個 玩 具 材 料 費 需 2 萬 元,由 此 建 立 生 產 的 基 本 成 本 函 數 f x( )=5+2x,其 中 x 以 千 個 為 單 位 。 依 過 去 經 驗 , 接 到 訂 單 數 量 與 報 價 總 值 有 如 下 關 係 : 數 量 ( 千 個 ) 報 價 總 值 ( 萬 元 ) 5 37.5 10 70 15 97.5 以 此 資 料 建 立 一 個 二 次 函 數 的 報 價 總 值 函 數 ( )g x , 以 及 獲 利 函 數 ( )h x =g x( )− f x( )。 ( 1 ) 若 接 到 訂 單 為 2 0 千 個 , 試 問 交 貨 時 , 每 千 個 玩 具 的 基 本 成 本 平 均 是 多 少 萬 元 ? ( 2 分 ) ( 2 ) 試 求 報 價 總 值 函 數 g x 。 ( 7 分 ) ( ) ( 3 ) 根 據 ( )h x , 試 問 訂 單 數 量 是 多 少 時 , 獲 利 總 值 最 高 ? ( 5 分 ) 考生作答情形分析 考生作答情形分析 考生作答情形分析 考生作答情形分析 第一大題分為三小題,其中第(1)小題欲評量考生能否了解平均的概念,正確的解法為先將 x 以 20代入基本成本函數 f(x)=5+2x中,再求其每千個玩具的基本成本平均是多少萬元。由於計算 式中的分子與分母所代表的單位不同,使得部分考生會將 20 45 寫成450 22.5 20 = 萬元,因而得零分。 但考生若以其他算式或數字呈現時,且有註明個數或金額單位,如:寫成 22.5 20 450 = 千元,或每個 5 . 22 元者,皆可得到該小題的 2 分。 在第(2)小題中,欲評量考生能否正確的列式並求出該函數。此小題的正確解題可分為二步驟, 第一步驟為列式代值,如:設報價總值函數為g(x)=ax2+bx+c,再將題目中的訂單數量與報值 函數代入g(x)後得三個聯立方程組。第二步驟求解聯立方程組,以求得正確的 a 、 b 、 c 之值。此 外,g(x)亦可假設成g(x)=a(xc)2 +dg(x)=a(x−5)(x−10)+b(x−10)+70求解。

(2)

有些考生一開始就無法假設出二次函數的型式,因而一分未得。此外,多數考生在以 c bx ax x g( )= 2+ + 求解時,雖求得正確的聯立方程組,最後卻解錯 a 、 b 、 c 之值,或僅列出一至 二 組 正 確 的 方 程 式 者 , 皆 僅 能 得 到 該 題 的 部 分 分 數 。 除 此 , 另 有 考 生 誤 將g(x)求 解 成 5 6 10 1 ) (x =− x2+ xh ,雖求得正確的 ( )h x ,但因本題所求為g(x),因此亦僅能得到該小題的部分 分數。 此外,部分考生認為「當訂單數量為 0 時,報價總值就應該是 0 元」,因此直接設函數 ) (x g = 2 ax +bx,接著只需用兩個題幹假設條件就可解出g(x),所得答案雖然正確,但因考生未檢 驗所得g(x)確實滿足解題時未用的另一題幹假設條件,這在數學解題上是錯誤的,因此這些考生 雖答案正確,卻無法得到該小題的滿分。 第(3)小題欲評量二次多項式的最大值,正確的解題步驟有二,步驟一利用第(2)小題中的 ) (x g ,減去f(x)後,可得h(x)。步驟二再利用配方法或公式解( a b x 2 − = )求得:當x=30時獲 利總值最高。 考生於第(3)小題較常發生的錯誤是h(x)算對,但利用配方法求解時卻計算錯誤,因而得到錯 誤的 x 值,故該小題僅能得到部分分數。此外,有考生未求出h(x),僅利用題目的訂單數量,報價 總值及成本函數列舉出數個數據,比較得x=30時獲利最高,此解法因未能確實說明為何x=30時 獲利最高,且從數據中亦無法看出h(x)的函數型式,因此未能得到任何分數。 試題 試題 試題 試題 二 、 設 有 A 、 B 兩 支 大 瓶 子 , 開 始 時 , A 瓶 裝 有 a 公 升 的 純 酒 精 , B 瓶 裝 有 b 公 升 的 礦 泉 水。每 一 輪 操 作 都 是 先 將 A 瓶 的 溶 液 倒 出 一 半 到 B 瓶,然 後 再 將 B 瓶 的 溶 液 倒 出 一 半 回 A 瓶 ( 不 考 慮 酒 精 與 水 混 合 後 體 積 的 縮 小 )。 設 n 輪 操 作 後,A 瓶 有 a 公 升 的 溶 液,B 瓶 有n b 公 升 的 溶 液。已 知 二 階 方 陣n 11 12 21 22 a a a a       滿 足 11 12 21 22 n n n a a a a b a a b =                   。 ( 1 ) 求 二 階 方 陣 11 12 21 22 a a a a      。 ( 5 分 ) ( 2 ) 當 2, 1 3 3 a= b= 時 , 求 100 100 ab 。 ( 4 分 ) ( 3 ) 當 2, 1 3 3 a= b= 時 , 在 第 二 輪 操 作 後 , A 瓶 的 溶 液 中 有 百 分 之 多 少 的 酒 精 ? ( 5 分 )

(3)

考生作答情形分析 考生作答情形分析 考生作答情形分析 考生作答情形分析 第二大題亦分為三小題,其中第(1)小題欲評量考生能否將溶液操作過程以矩陣表示。正確的 解題步驟有二,步驟一先算出當溶液操作一輪後,a 與1 b 的溶液中含有多少 a 與 b,步驟二再將1       1 1 b a 以 11 12 21 22 a b a a b b             表示,求出 11 12 21 22 a b a b      之值。考生若僅將a 與1 b 以1 a , 表示,而無法將b      1 1 b a 以 11 12 21 22 a b a a b b             表示者,皆僅能得到該小題的部分分數。此外,若考生直接寫出正確的 11 12 21 22 a b a b      之 值,而無任何演算過程或理由,則依據非選擇題之說明予以扣分,無法得到此小題的滿分,僅能得 到部分分數。 在第(2)小題評量考生能否由a 、1 b 的值推得1 a100b100之值。此題的解法有二,解法一是先求 出 3 2 1= a 、 3 1 = b 後,再由 100 99 99 100 100 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 3 3 4 2 4 2 4 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 3 4 2 4 2 3 4 2 3 3 a b                                   =   =    =   = =                                                      推得 100 100 2 3 1 3 a b       =            。解 法二,利用      =                 y x y x 2 1 4 1 2 1 4 3 (且x,y>0,x+ y=1),求出當             =       3 1 3 2 y x 時,矩陣 3 1 4 2 1 1 4 2             乘以 2 3 1 3             仍 為 2 3 1 3             ,故             =       3 1 3 2 100 100 b a 。但考生若直接寫出 3 2 100= a 、 3 1 100= b 之值,而無任何推論過程或理由者, 則無法得分。 第(3)小題欲評量在第二輪操作後 A 瓶溶液中有百分之多少的酒精,欲求酒精溶液百分比須先 將 A 瓶中的酒精量算出後,再算出 A 瓶溶液中酒精所佔的比例為何,即可得到該小題的滿分。有 考生在算完           =           8 3 16 5 8 5 16 11 2 1 4 1 2 1 4 3 2 後,就直接將矩陣中的 16 11 ,當成 A 瓶溶液中的酒精濃度,而未寫 出 A 瓶中的酒精量,將無法得到此題分數,因酒精百分比濃度應為: 100% A × 溶質(酒精) 溶液( 瓶溶液) ,並 非酒精量即為此溶液的酒精百分比濃度。此外,考生在解題時若酒精百分比算錯,但有將酒精量指 出,則可得到部分分數。

(4)

數學考科的題型有選擇、選填與非選擇題。選擇題與選填題,只要答案正確,即可得到全部分 數。但非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理過程,答題時應將推理或解題過程說明清楚, 且得到正確答案,方可得到滿分。如果計算錯誤,則酌予扣分。如果只有答案對,但若解題觀念錯 誤、過程不合理、或無完整推衍過程,則無法得到分數1 。另外,指考數學乙非選擇題考生作答情 形分析,主要用意在於提供老師教學或學生平常練習時的參考,並非僅僅說明評分標準,必須輔以 考生的成績與可能犯的錯誤加以說明(請參考 2008 年 11 月 15 日選才 171 期)。 ※ ※ ※ ※附件附件附件附件 數學科試題的解法不只一種 數學科試題的解法不只一種 數學科試題的解法不只一種 數學科試題的解法不只一種,,,,故以下提供多數考生可能採用的解法故以下提供多數考生可能採用的解法故以下提供多數考生可能採用的解法故以下提供多數考生可能採用的解法,,未列的解法,,未列的解法未列的解法,未列的解法,,,只要只要只要只要 推論或解題過程正確 推論或解題過程正確 推論或解題過程正確 推論或解題過程正確,,,,仍可得分仍可得分仍可得分仍可得分。。。。 參考解法 參考解法 參考解法 參考解法(((試題內容請見前文(試題內容請見前文試題內容請見前文試題內容請見前文)))) 第一題 (1) (5 2 20) 45 20 20 + × = (2) 解法一解法一解法一解法一 設 2 ( ) g x =ax +bx+c 依題意得 25 5 37 5 100 10 70 225 15 97 5 a b c . a b c a b c . + + =   + + =   + + =  解得 1 10 a = −b = ,8 c =0,故 ( ) 1 2 8 10 g x = − x + x 解法二 解法二 解法二 解法二 由於當訂單為 0 時,報價應該為 0,故對於x > ,0 g x( ) x 為線型函數,再利用所給數據可解 得 ( )g x =x(7.5−0.1(x−5)) (3) ( ) ( ) ( ) 1 2 8 (5 2 ) 1 ( 30)2 85 10 10 h x =g xf x = − x + x− + x = − x− + 故當 x =30 (或 30 千個、或 3 萬個)時獲利總值最高 第二題 (1) ( , ) A B (1 ,1 )B A (1 1 1( ),1 1( )) 2 2 2 2 2 2 2 a b  → a a+b →  a+ a+b a+b   ∵ 瓶倒一半到 瓶 瓶倒一半到 瓶 (或 1 1( ) 3 2 2 2 4 2 a a b a = + +b = a+ ; 1 1 ( ) 2 2 4 2 a a b b = +b = + ) 故     =     = 2 1 4 1 2 1 4 3 22 21 12 11 a a a a A 1 吳家怡(民 93),我的數學甲非選擇題得分了嗎。選才通訊,第 120 期。

(5)

(2) 解法一解法一解法一解法一     =         3 1 3 2 3 1 3 2 2 1 4 1 2 1 4 3 ∵     =         ⇒ 3 1 3 2 3 1 3 2 2 1 4 1 2 1 4 3 100 (或a100=2 3, 13 100 = b ) 解法二 解法二 解法二 解法二 滿足     =         y x y x 2 1 4 1 2 1 4 3 (且 ,x y >0,x+y=1)的解為     =     3 1 3 2 y x 故矩陣 3 1 4 2 1 1 4 2             乘以 2 3 1 3             仍為 2 3 1 3             ,得     =     3 1 3 2 100 100 b a (3) 解法一解法一解法一解法一     = 8 3 16 5 8 5 16 11 2 A ,操作二輪後,A 瓶溶液中的酒精量為 3 2 16 11 × (或 48 22 或 24 11 或 a 16 11 ) 因為 2 2 3 a = ,A 瓶的酒精比例為 11 2 11 16 3 2 16 3 ⋅ = (或 68.75%) 解法二 解法二 解法二 解法二 操作一輪,B 瓶有 50%酒精,A 瓶有 75%酒精。 操作兩輪後,B 瓶有 62.5%酒精 A瓶有75 62.5% 68.75% 2 + = 酒精。

參考文獻

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