高一下第一次期中考數學題庫(50)

(1)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/38

單元 1

1. 已知相機光圈值2, 2 2, 4, 構成一個等比數列 an ，求 (1) 首項a1及公比r 的值。 (2) 第 6 項a6的值。 (3) 光圈值 32 出現在該數列的第幾項？解答 (1)a12，r 2 (2)a68 2 (3)第 9 項解析 (1) 首項a12，公比 2 2 2 2 r  。 (2) 第 6 項a6a r1 5 2

 

2 58 2。 (3) 設a_n 32，利用等比數列一般項的公式，得 1

 

1 1 2 2 32 n n n a a r      ，整理成₂ 21 ₁₆ ₂4 n   ，得 1 4 2 n _ ，解得n9。故32 是數列的第 9 項。 2. 在坐標平面上由原點開始，依照先向上、向右、向下、再向右的規律，每次移動1個單位，依序得到P1，P2，P3，，如圖所示。 (1) 從P1到P30共經過n次向上，求n的值。 (2) 求P30的坐標。解答 (1)8 (2)(14,1) 解析 (1) 觀察圖發現：向上後的終點為P2，P6，P10，，其下標2，6，10，構成一個首項為2，公差為4的等差數列 an 。又因為30   2 4



8 1



，所以30是 an 的第8項。故P₃₀是第8個向上的終點，即n8。 (2) 因為P30是第8個向上的終點，所以從P1到P30經過7 2 14  次向右，故P₃₀



14,1



。

(2)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/38 3. 設數列 an 是每項均為正數的等比數列，且 7 1 1 a a  _，_a₅_₃_，求_a₈_的值。解答 81 解析設等比數列 an 的首項a1為a，公比為r。由題意得， 6 4 1 3 ar a ar  _    _  ，即 3 4 1 3 ar ar        （負不合）。將兩式相除得到r3，並代回解得 1 27 a 。故 7 7 8 1 3 81 27 a ar    。 4. 已知四數形成一個等比數列，前三數的乘積為1，後三數的和為3 4，求此四數。解答 2，1， 1 2  ，1 4 解析設此四數為a r，a，ar， 2 ar 。因為a a ar 1 r   ，所以 3 ₁ a  ，解得a1。又因為 2 2 3 1 4 aarar   r r  ，所以解得 1 2 r  。故此四數依序為2，1， 1 2  ，1 4。 5. 已知 an 為等比數列滿足a1a216，a2 a3 48，求a3a4的值。解答 144 解析 2 3 1 2 48 3 16 a a r a a      ，





3 4 2 3 48 3 144 a a  a a  r   。

(3)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/38 6. 寫出下列數列的前五項： (1) 2n1 。 (2) 3 1 n n 。解答 (1)a11,a2 3,a35,a47,a59 (2) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 , , , , 4 7 10 13 16 a  a  a  a  a  解析 (1) 因為數列 2n1 的一般項a_n 2n1，所以將n 分別以 1, 2, 3, 4, 5 代入，得 1 1, 2 3, 3 5, 4 7, 5 9 a  a  a  a  a  。 (2) 因為數列 3 1 n n 的一般項 n 3 1 n a n   ，所以將n 分別以 1, 2, 3, 4, 5 代入，得 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 , , , , 4 7 10 13 16 a  a  a  a  a  。 7. 已知等比數列 an 中，a2 108， 6 64 3 a  ，求 (1) 首項a1與公比r的值。 (2) a4的值。解答 (1)當 2 3 r 時，a₁162；當 2 3 r  時，a₁ 162 (2)48 解析 (1) 因為a2a r1 108， 5 6 1 64 3 a a r  ，所以 4 4 6 2 16 2 81 3 a r a     _{  }   ，解得 2 3 r  。當 2 3 r 時，108 ₁ 2 3 a   ，解得a1162；當 2 3 r  時， 1 2 108 3 a     _ _  ，解得a1 162。 (2) 不論 2 3 r 或 2 3 r  ， 2 2 4 2 2 108 48 3 a a r   _{ }    。

(4)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P4/38 8. 附圖是某年三月的月曆，其中黑線所圍的4天的日期總和為78，問該年的四月1日是星期幾？解答星期五解析設此4天的日期分別為a，a7，a14，a21，可得4a42 78 ，解得a9，即三月9，16，23，30日均為星期三。故推得四月1日是星期五。 9. 設數列 an 滿足a216且a52。 (1) 已知數列 an 為等差數列，求公差d 的值。 (2) 已知數列 an 為等比數列，求公比r的值。解答 (1) 14 3  (2)1 2 解析 (1) 因為數列 an 為等差數列，所以a5 a2 3d，即2 16 3d  ，解得 14 3 d   。 (2) 因為數列 an 為等比數列，所以 3 5 2 a a r ，即 3 2 16r ，解得 1 2 r 。 10. 已知等差數列 an 滿足a2 54，a515，求a7及一般項an。 解答 a7 = − 11，an = − 13n + 80 解析設等差數列 an 的首項為a1，公差為d ，則a2 a1 d，a5 a1 4d。由題意可得：a1 d 54，a14d15，將兩式相減可得3d 39，解得d 13，代回a1 d 54，解得a167。因此，a7 a1 6d67 6  



13



 11，一般項an  a1



n 1



d67   



n 1

 

13



 13n80。

(5)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/38 11. 已知等比數列 an 中a34，a6108，求a5及一般項an。 解答 a5 = 36，an = 4 × 3n − 3 解析設等比數列 an 的首項為a1，公比為r，則 2 3 1 a a r ，a₆a r₁ 5。由題意可得： 2 1 4 a r  ，a r₁ 5108，將兩式相除可得 5 1 2 1 108 4 a r a r  ，即 3 27 r  ，解得r3，代回 2 1 4 a r  ，可得 ₁ 4 9 a  。因此， 4 4 5 1 4 3 36 9 a a r    ，一般項 ₁ 1 4 3 1 4 3 3 9 n n n n a a r        。 12. 已知 3, −6, 12,…, −384 構成一個等比數列 an ，求 (1) 首項a1及公比r 的值。 (2) 第 5 項a5的值。 (3) −384 是第幾項？解答 (1)a13,r 2 (2)a548 (3)第 8 項解析 (1) 首項a13，公比 6 2 3 r   。 (2) 第 5 項 4

 

4 5 1 3 2 48 a a r     。 (3) 設a_n 384，利用等比數列一般項的公式，得 1

 

1 1 3 2 384 n n n a a r        ，整理成

 

1 2 n 128    ，得n 1 7，解得n8。故384是數列的第8 項。

(6)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/38 13. 用長度為1的線段有規律的排成若干圖形，如圖所示。依此規律可畫第4圖、第5圖、…，並設an為第n圖中所使用長度為1的線段總數。（a17，a211，a315） (1) 寫出數列 an 的遞迴關係式。 (2) 求a20的值。解答 (1) 1 1 7 4 2 n n a a a _ n       （  ） (2)83 解析 (1) 由圖可知，後一圖比前一圖多出一段：，即多出4條長度為1的線段。因此，數列 a_n 是公差為4的等差數列。又a₁7，得其遞迴關係式為 1 1 7 4 2 n n a a a _ n       （  ）。 (2) 利用等差數列一般項的公式an  a1



n1



d，得a20   7 19 4 83。 14. 取一個線段，將其三等分後，刪除中間的線段再加上兩條等長的小線段，形成第2圖。再將第2圖中的4條線段，各自等分成三段，刪除中間的線段再加上兩條等長的更小線段，形成第3圖。依此規律可畫第4圖、第5圖、…，重複這樣的步驟，並設an是第n圖中線段的總數。（a11， 2 4 a  ，a₃16） (1) 寫出數列 an 的遞迴關係式。 (2) 求a6的值。解答 (1) 1 1 1 4 2 n n a a a_ n       （） (2)1024 解析 (1) 由圖可知：每經過一個步驟，每條線段都會變成4條更小的線段。因此， an 是一個公比為4的等比數列。又a11，得其遞迴關係式為 1 1 1 4 2 n n a a a _ n       （）。 (2) 利用等比數列的一般項公式 1 1 n n a a r  ，得 6 1 6 1 4 1024 a     。

(7)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/38 15. 取一正方形T1，以其各邊中點為頂點連成的四邊形T2也是正方形。重複這樣的步驟，得到一序列的正方形T1，T2，T3，，如圖所示。已知T1的面積為1024，並設an為正方形Tn的面積。 (1) 寫出數列 an 的遞迴關係式。 (2) 求a10的值。解答 (1) 1 1 1024 1 2 2 n n a a a _ n     _ _  （） (2)2 解析 (1) 由圖可知：因為△ADC為等腰直角三角形，所以 2 1 2 2 CD AC  AC 1 2 AB   ，即T2的邊長為T1邊長的 1 2，推得T2的面積為T1面積的 1 2，即 2 1 1 2 a a  ，同理可得 3 4 2 3 1 2 a a a a   。因此， an 是一個公比為 1 2的等比數列。又a₁1024，得其遞迴關係式為 1 1 1024 1 2 2 n n a a a _ n        （）。 (2) 利用等比數列的一般項公式 1 1 n n a a r  ，得 10 1 10 1 1 1024 1024 2 2 512 a     _{ }      。

(8)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/38 16. 在西洋棋盤上放置小麥，規則如下： (i)第一格放入2粒小麥，第二格放入4粒小麥。 (ii)每一格所放入的小麥剛好比前一格的3倍少2粒。設a_n為第n_{格所放入小麥的數目。} (1) 求 an 的遞迴關係式。 (2) 問：在第4格內放入了幾粒小麥？解答 (1) 1 1 2 3 2 2 n n a a a _ n n        （是正整數且） (2)28 解析 (1) 1 1 2 3 2 2 n n a a a _ n n        （是正整數且）。 (2) 由關係式 1 1 2 3 2 2 n n a a a _ n n        （是正整數且），得出a23a1 2 4⇒a33a2 2 10⇒a43a3 2 28。 17. 取一個白色正三角形，將其等分成 4 個相同的小正三角形，然後將中間的三角形塗成黑色；接著再 將剩下的3 個白色小正三角形，分別等分成 4 個相同的更小正三角形，並將中間更小的正三角形塗成黑色。重複這樣的步驟，如圖所示。依此規律可畫第5 圖、第 6 圖、…，並設an為第n 圖中白色三角形的總數。 (1) 寫出數列 an 的遞迴關係式。 (2) 求a6的值。解答 (1) 1 1 1 3 2 n n a a a_ n       ，（） (2)a6243 解析 (1) 由圖可知：每經過一個步驟，每個白色三角形都可以分割出 3 個更小的白色三角形。因此 a_n 是一個公比為3 的等比數列。又a11，得其遞迴關係式為 1 1 1 3 2 n n a a a_ n       ，（）。 (2) 利用等比數列一般項的公式 1 1 n n a a r  ，得a₆ 1 36 1 243。第1圖第2圖第3圖第4圖

(9)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/38 18. 將所有的正整數依序排列如圖所示：第一列有 1 個數字，第二列有 2 個數字，第三列有 3 個數 字，…；下一列都比上一列增加1 個數字，以此類推。設an代表第n 列最右邊的數字（a11, 2 3 a  ,a₃6,…）。 (1) 寫出數列 an 的遞迴關係式。 (2) 求a6的值。解答 (1) 1 1 1 2 n n a a a _ n n        （） (2)a621 解析 (1) 依題意可得，a11,a2  1 2 3,a3   1 2 3 6,a4    1 2 3 4 10。從上式可知：a₂比a₁多出2，a₃比a₂多出3，…，以此類推，an比an1多出n，又a11，所以 an 的遞迴關係式為 1 1 1 2 n n a a a _ n n        ，（）。 (2) 因為a4 10，所以a5a4 5 15,a6 a5 6 21。 19. 伸出左手，從大拇指開始，按照下圖的方式依序數數字： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…。設an是第n 次對應到大拇指時所數到的數字。 (1) 數數看：寫出a a a a1, 2, 3, 4的值。 (2) 數到 999 時，所指的是哪根手指頭？ (A)大拇指 (B)食指 (C)中指 (D)無名指 (E)小指解答 (1)a11,a29,a317,a4 25 (2)C 解析 (1) 依題意順序數數字，可得a11,a29,a317,a425。 (2) 由(1)可得： an 是一個首項為1，公差為 8 的等差數列，其一般項為





1 1 8 8 7 n a   n   n 。因此若想知道數到接近999 時，哪一個數字會對應到大拇指，則考慮a_n 999，即解不等式8n 7 999，得n125.75。故可知正整數n 的最大值為 125，此時a125993，即當我們數到993 時，會對應到大拇指。若繼續往下數，則數到999 時所指到的是中指

(10)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/38 20. 已知等比數列 an 滿足a1a320,a2a4 10，求a5的值。解答 a51 解析設等比數列 an 的首項為a，公比為 r。由題意得 2 1 3 3 2 4 20 10 a a a ar a a ar ar              ，，即









2 2 1 20 1 10 a r ar r          ，。將兩式相除得到 1 2 r  ，並代回解得a16。故 4 4 5 1 16 1 2 a ar   _ _    。 21. 用正方形有規律的拼成若干圖形，如圖所示。 依此規律可畫第4圖、第5圖、…，並設an為第n圖中正方形的總數。已知每個小正方形都由長度為1的線段組成。設bn為第n圖中所使用長度為1的線段總數。 (1) 寫出數列 bn 的遞迴關係式。 (2) 求b6的值。解答 (1) 1

_

_

1 4 2 2 2 n n b b b_ n n         （） (2)54 解析 (1) 由圖可知：b14。又第2圖比第1圖增加3條橫線，3條直線，得b2       b1 3 3 b1 2



2 1



。又第3圖比第2圖增加4條橫線，4條直線，得b3      b2 4 4 b2 2



3 1



。以此類推可得bn bn1  2



n 1



，即bnbn1



2n2



。又b14，得其遞迴關係式為





1 1 4 2 2 2 n n b b b_ n n         （）。 (2) 利用遞迴關係式可得： 2 10 b  ，b₃18，b₄ 28，b₅40，b₆54。

(11)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/38 22. 用黑、白兩種顏色的正方形地磚有規律的拼成若干圖形，如圖所示。 依此規律可畫第4圖、第5圖、…，並設an為第n圖中白色地磚的總數。 (1) 求a1，a2，a3，a4的值。 (2) 寫出數列an的一般項公式。 (3) 問：第50圖需要多少白色地磚？解答 (1)a18，a213，a318，a4 23 (2)an5n3 (3)253 解析 (1) 由圖可知：a18，a213，a318，a423。 (2) 由(1)的觀察可知數列 an 是首項為8，公差為5的等差數列，利用等差數列一般項公式an a1



n1



d，得an  8



n  1



5 5n3。 (3) a50   5 50 3 253。 23. 設數列 an 的遞迴關係式為 1 1 2 1 2 2 n n a a n a_         （）。 (1) 寫出a2，a3。 (2) 猜測一般項an。 (3) 使用數學歸納法驗證你的猜測。解答 (1) 2 3 2 a  ， 3 4 3 a  (2) n 1 n a n   (3)見解析解析 (1) 由遞迴關係式可得 2 1 3 2 2 2 a    ， 3 1 4 2 3 3 2 a    。 (2) 因為 1 1 1 2 1 a    ， 2 3 2 1 2 2 a    ， 3 4 3 1 3 3 a    ，所以猜測 n 1 n a n   。 (3) (i)當n1時， 1 1 1 2 1 a    ，猜測是正確的。 (ii)設nk時猜測正確，即 k 1 k a k   ，則當n k 1時， 1 1 1 2 2 2 1 1 k k k a k a k k      _   _ 2



1



1 1 1 k k k k        ，可知猜測是正確的。故由數學歸納法可知：我們的猜測是正確的，即對於所有的正整數n， n 1 n a n   。

(12)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P12/38 24. 已知20，a，b為等差數列，a，b，36為等比數列，且a，b皆為正數，求a，b的值。 解答 a = 25，b = 30 解析由於20，a，b為等差數列，設公差為d ，令a20d，b20 2 d。由於a，b，36為等比數列，所以_b2₃₆_a_⇒



₂₀₂_d



2_{36 20}



_d



⇒



d10



2 9



d20



⇒ 2 20 100 9 180 d  d  d ⇒d211d800 ⇒



d16



d5



0⇒d 16或5，當d 16時，

  

a b,  20d, 20 2 d

 

 4, 12



不合，當d5時，

  

a b,  20d, 20 2 d

 

 25,30



，故a25，b30。 25. 設數列 an 的遞迴關係式為 1 1 1 2 2 1 n n a n a a n n            ，（）。 (1) 寫出a2,a3的值。 (2) 猜測一般項an的公式。 (3) 使用數學歸納法驗證你的猜測。解答 (1) 2 1 3 a  , ₃ 1 4 a  (2) 1 1 n a n   (3)見解析解析 (1) 由遞迴關係式可得 2 2 1 1 2 1 2 3 a     , 3 3 1 1 3 1 3 4 a     。 (2) 觀察數列的規律： 1 1 1 2 1 1 a    , 2 1 1 3 2 1 a    , 3 1 1 4 3 1 a    ，可猜測：對於所有的正整數 , 1 1 n n a n   。 (3) (I)當n1時， ₁ 1 1 2 1 1 a    ，猜測是正確的。 (II)設nk時猜測正確，即 1 1 k a k   ，則當n k 1時，由遞迴關係式，得 1

_

_

_

_

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 k k k k a a k k k k k                 ，即當n k 1時，猜測也是正確的。故由數學歸納法知：對於所有的正整數 , 1 1 n n a n   。



















2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 k k k k a a k k k k k k k                

_

_

_



_

_





_



_



_

2 ₁ ₃ ₁ ₂ 4 3 3 1 2 1 2 2 1 1 k k k k k k k k k k k k                   ，可知猜測是正確的。故由數學歸納法可知：我們的猜測是正確的，即對於所有的正整數n， 2 1 n n a n    恆成立。

(13)

單元 2

註：本題庫中

L 符號均代表………

如下例中 𝟏

𝟑

_{+ 𝟐}

𝟑

_{+ 𝟑}

𝟑

_{+ 𝐋 + 𝟐𝟎}

𝟑

_{= 𝟏}

𝟑

_{+ 𝟐}

𝟑

_{+ 𝟑}

𝟑

_{+ ⋯ + 𝟐𝟎}

𝟑 1. 求下列連續正整數的立方和。 (1) 3 3 3 3 1    2 3 20 。 (2) 3 3 3 3 11 12 13  20 。解答 (1)44100 (2)41075 解析令S_n     13 23 33 n3。 (1)





2 3 3 3 3 20 20 20 1 1 2 3 20 44100 2 S          _ _    。 (2)





2 3 3 3 3 20 10 10 10 1 11 12 13 20 44100 41075 2 S S            _ _    。 2. 已知一等比數列的首項為3，公比為2，求前8項的和。解答 765 解析









8 8 1 8 1 3 1 2 765 1 1 2 a r S r         。 3. 求下列各級數的和： (1) 2 2 2 2   4 20 。 (2) 3 3 3 11 12  20 。解答 (1)1540 (2)41075 解析 (1) 22 42 202 4



12 22 102



4 10 11 21 1540 6              。 (2) 113123 203



1323 203

 

 1323 103











2 2 20 20 1 10 10 1 2 2         _ _ _ _     44100 3025 41075  。

(14)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P14/38 4. (1) 求首項為 6，前 8 項和為 132 的等差數列之公差。 (2) 求等差級數9 5 1    



15



的和。解答 (1)d3 (2)21 解析 (1) 利用等差級數的和公式



2 1



1



2 n n a n d S    ，得 ₈ 8



2 6



8 1



132 2 d S        ，解得d3。 (2) 設此等差數列的項數為 n， 因為首項a19，公差d   5 9 4，末項an  15，所以  15 9



n  1

  

4 ，解得n7。利用等差級數的和公式



1



2 n n n a a S   ，得 ₇ 7



9



15



21 2 S       。 5. 已知 an 為等差數列，且首項為15，公差為5，和為735，求此等差數列的項數。解答 21 解析利用等差數列的和公式



2 1



1



2 n n a n d S    ⇒735



30 5



1



2 n   n  ，整理得₅_n2₃₅_n₁₄₇₀₀_⇒_n2₇_n₂₉₄₀_，解得_n₂₁_或₁₄_（不合）_。故可得此數列共有21項。 6. 已知 an 是一個等比數列，且a2 24，a312，求a1  a2 a8的值。解答 255 8 解析設等比數列 an 的公比為r，可得 3 2 12 1 24 2 a r a      ， 2 1 24 48 1 2 a a r      。故a₁  a₂ a₈





8 8 1 1 48 1 1 2 ₂₅₅ 1 1 8 1 2 a r r  _ _    _   _  _   _     _{ }      。

(15)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P15/38 7. 設等比數列 an 的前n項和為Sn，且S25，S4 20，求S6的值。解答 65 解析設等比數列 an 的首項為a，公比為r，由題意可得 2 S  a ar，













2 3 2 2 2 4 2 2 2 1 S  a arar ar  aar r aar S r S S r _，因此，



2



20  5 1 r ，解得_r2 ₃_。













2 3 4 5 2 4 6 S  a arar ar ar ar  a ar r a ar r a ar









2 4 2 4 2 2 2 2 1 5 1 3 9 65 S r S r S S r r            _。 8. 已知一等差數列前3項和為9，前9項和為81，求其前6項的和。解答 36 解析設此等差數列為 an ，且首項為a，公差為d ，依題意得 1 2 3 3 3 9 a   a a a d ，





1 2 9 9 2 8 9 36 81 a   a a  a d d  d  a d ，解得a1，d2。前6項和為a1  a2 a66a



d2d 5d



6a15d36。 9. (1) 求首項為5，前9項和為90的等差數列之公差d 。 (2) 求等差級數76 72  12的和。解答 (1)5 4 (2)748 解析 (1) 利用等差級數的和公式，得 ₉ 9



2 5



9 1



90 2 d S        ，解得 5 4 d  。 (2) 設此等差數列的項數為n。因為首項a₁76，公差d72 76  4，末項a_n 12，所以1276



n  1

  

4 ，解得n17。利用等差級數的和公式，得



1 17







17 17 17 76 12 748 2 2 a a S        。

(16)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P16/38 10. 已知 an 為等比數列，且前n項和Sn與第n項an滿足4Sn  4 an，求此數列的公比。解答 1 3  解析當n1時，4S1 4 a1，又因為S1a1，所以 1 4 3 a  ，當n2時，4S₂ 4 a₂，又因為 1 4 3 a  ，



1 2



2 4 a a  4 a ，所以 2 4 9 a   。故 4 4 1 9 3 3 r  _ _    。 11. 已知一等比數列的首項為7，第n項為448，前n項之和為889，求項數n的值。解答 7 解析設此數列的公比為r，由題意得 1 1 448 n n a a r   ，





1 1 1 ₁ ₁ ₁ ₁ 1 1 1 n _n _n n a r _{a r} _a _{a r} _r _a S r r r   _ _{ }       448 7 889 1 r r     ， 448r 7 889r889⇒r2， 1 448 7 2  n ⇒2n164⇒n7。 12. 寶石收藏家擁有若干重量不等的寶石，其中最重的為 70 公克，最輕的為 10 公克，所有寶石的重 量恰可形成一個等差數列，且總重量超過500 公克。問：收藏家最少擁有幾顆寶石？解答 13 顆 解析設寶石共有 n 顆。 因為所有寶石的重量恰可形成一個等差數列，所以利用等差級數的和公式，得總重量為



10 70



500 2 n n S     。解得 25 2 n 。故收藏家最少擁有13 顆寶石。

(17)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P17/38 13. 已知數列 an 前n項的和 2 n S n n，求 (1) a1的值。 (2) a5的值。 (3) 一般項an的公式。解答 (1)2 (2)10 (3)a_n2n（n1）解析 (1) a1S1  12 1 2。 (2) 由題意得



2 1 2 3 4 5 5 2 1 2 3 4 4 5 5 4 5 5 30 4 4 20 10 a a a a a S a a a a S a S S                    (3) 依照(2)的方法可得，an SnSn1n2 n



n1

 

2 n1



2n（n2）。因為a12也滿足an2n，所以一般項an2n（n1）。 14. 已知 an 是一個等差數列，且a1   a2 a3 3，a4   a5 a6 21，求此等差數列第7項到第9項的和。解答 39 解析設數列 an 的首項為a，公差為d 。依題意可得：



 





 



1 2 3 4 5 6 2 3 3 4 5 21 a a a a a d a d a a a a d a d a d                        ，將兩式相減，可得3d3d3d 18，即9d 18。因此可得第7項到第9項的和為 7 8 9 a  a a 



a6d

 

 a7d

 

 a8d







a3d

 

 a4d

 

 a5d



9d  

  

21  18



 39。補充說明：由上面的觀察可得：第1項到第3項的和、第4項到第6項的和與第7項到第 9項的和是一個公差為18的等差數列。 15. 已知一等差數列第1項到第5項的和為5，第6項到第10項的和為30，求此等差數列第11項到第15項的和。解答 55 解析設等差數列的首項為a，公差為d ，由題意可知：第1項到第10項的和為35，因此









5 10 5 2 4 5 2 10 2 9 35 2 a d S a d S            _ _{ }  ，解得a1，d 1。因為第1項到第15項的和為15



2 14



15



2 14

 

1



90 2 2 a d          ，又第1項到第10項的和為35，所以第11項到第15項的和為55。

(18)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P18/38 16. 已知數列 an 前n 項和 2 6 n S   n n，求 (1) a1的值。 (2) a4的值。 (3) 一般項an的公式。解答 (1)a15 (2)a4 1 (3)an   2n 7 （n1）解析 (1) a1S1   1 6 5。 (2) 由題意得a4S4S3  



16 24

 

  9 18



 1。 (3) 依照(2)的方法可得，



2







2





1 6 1 6 1 2 7 n n n a S S    n n   n  n   n （n ≥ 2）， 因為a1    5 2 1 7，所以一般項an  2n 7 （n ≥ 1）。 17. 在邊長為 2 的正方形中有 5 個相似的黑色三角形，如圖所示。 問：這5 個黑色三角形面積的總和。解答 341 128 解析由圖可知，5 個相似的黑色三角形皆為等腰直角三角形，其腰長為2, 1,1, 2 的等比數列（公比為 1 2）﹔ 即黑色三角形的面積為2,1 1, , 2 8 的等比數列（公比為 1 4）。利用等比級數的和公式，得5 個黑色三角形面積的總和為 5 5 1 2 1 4 ₃₄₁ 1 128 1 4 S  _{ }   _  _{ } _      。 18. 已知數列 an 前n項的和 2 3 n S  n n，求 (1) a1的值。 (2) a4的值。 (3) 一般項an的公式。解答 (1)2 (2)20 (3)an6n4（n1）解析 (1) a1S1   3 12 1 2。 (2) 由題意得



2 1 2 3 4 4 2 1 2 3 3 4 4 3 3 4 4 44 3 3 3 24 20 a a a a S a a a S a S S                    (3) 依照(2)的方法可得，an SnSn13n2 n



3



n1

 

2 n1



6n4（n2）。又因為a₁2也滿足a_n6n4，所以一般項a_n6n4（n1）。

(19)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P19/38 19. 已知一皮球自離地面81公尺高處垂直落下，且每次垂直反彈的高度為落下的高度之2 3，求皮球自落下至反彈4次後，反彈到最高點所經過的路徑總長。解答 325 公尺解析皮球所經過的路徑總長為 2 3 2 2 2 81 2 81 81 81 3 3 3  _{ } _{ }   _        _       4 2 81 3     _{ } 81 2 54 36 24



 



16325。 20. 已知 f x

 

2x3x，求 f

 

1 f

 

2   f

 

10 的值。解答 2211 解析

 

  

1 2 3 10 1 2 3 1 2 2 3 2 3 2 3 3 10 2 3 10 f f f f              原式



1 2 10







2 2 2 3 1 2 3 10          





10 2 2 1 3 55 2046 165 2211 2 1          。 21. 求連續正奇數的平方和： 2 2 2 1   3 29 。解答 4495 解析令 2 2 2 1 2 n S    n ， 2 2 2 29 1 2 29 S     29



29 1

 

2 29 1



8555 6        ，





2 2 2 2 2 2 2 4  28 4 1 2  14 4 ₁₄ 4 14



14 1

 

2 14 1



4060 6 S          _ _   ，故₁2  ₃2 ₂₉2 _{8555 4060} ₄₄₉₅_。

(20)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P20/38 22. 將數字有規律的排列如圖，求圖中所有數字的和。 解答 285 解析觀察圖形可得所有數字的和 1 1 2 2 9 9        9 10 19 285 6     。 23. 求1 2       2 3 3 4 15 16的值。解答 1360 解析原式        1



1 1



2



2 1



15



15 1







1222 152



  



1 2 15



15



15 1

 

2 15 1



15



15 1



6 2          1360。 24. 求連續正偶數的立方和： 3 3 3 2   4 20 。解答 24200 解析 3 3 3 2   4 20  8



1323 103







2 10 1 10 8 24200 2      _ _    。 25. 附圖表示正方形垛的疊法。 某水果販將柳丁堆成正方形垛。已知最底層的邊有16個柳丁，求此正方形垛的柳丁數目。解答 1496 個解析由圖可知：柳丁數目為 2 2 2 16 15  1 16



16 1

 

2 16 1



1496 6        （個）。

(21)

單元 3

1. 已知宇集U 



1, 2, 3, 4, 5



,A



1, 2, 3



,B



2, 3, 4



，求 (1) A ∩ B。 (2) A ∪ B。 (3) A − B。 (4) A′。 解答 (1)

 

2, 3 (2)



1, 2, 3, 4



(3)

 

1 (4)

 

4, 5 解析利用文氏圖，將 A, B 與 U 標示如圖： 根據定義，得 (1) A B

 

2, 3 。 (2) A B



1, 2, 3, 4



。 (3) A B 

 

1 。 (4) A 

 

4, 5 。 2. 從5種報紙、4種週刊及3種期刊中各訂一種，共有多少種訂閱方案？解答 60 種解析利用乘法原理，得訂閱方案共有5 4 3 60   （種）。 3. 美國職棒大聯盟總冠軍賽採七戰四勝制，若比完第四場時，洋基隊與道奇隊各獲兩勝，戰成平 手，則 (1) 利用樹狀圖描述往後比賽所有可能的情形。 (2) 往後比賽共有多少種可能的情形？又其中洋基隊獲得冠軍的情形有幾種？解答 (1)見解析 (2)6 種，3 種解析 (1) 利用樹狀圖描述如下：（其中Y表洋基隊勝，D表道奇隊勝） (2) 由(1)的樹狀圖得知，共有6種可能情形。其中洋基隊獲得冠軍的情形有3種。 U A B 1 4 5 3 2

(22)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P22/38 4. 連續投擲一粒骰子兩次，出現點數和為3的倍數之情形共有幾種？解答 12 種解析分四類：點數和3：有

 

1,2 ，

 

2,1 共2種。點數和6：有

 

1,5 ，

 

2,4 ，

 

3,3 ，

 

4,2 ，

 

3,6 ，

 

4,5 ，

 

5,4 ，

 

6,6 共1種。利用加法原理，得共有2 5 4 1 12    種情形。 5. 小菱有不同的T 恤4件、襯衫3件、褲子2件、裙子2件及外套1件。外出時，從T恤、襯衫中選一件穿，從褲子、裙子中選一件穿，至於外套可穿也可不穿，共有多少種搭配的方式？解答 56 種解析利用乘法原理，得搭配方法共有



4 3    

 

2 2



2 56（種）。 6. 設集合A



x x| 2ax 4 0



，



2



| 0 B x x ax b 且A B

 

1 ，求實數a，b的值。解答 a 3，b2 解析因為A B

 

1 ，所以1A且1 B ，因此 2 2 1 1 4 0 1 1 0 a a b             ⇒ 3 0 1 0 a a b          ，解得a 3，b2。 7. 寫出下列各命題的否定命題： (1) 2 是偶數且 2 是質數。 (2) 3或 是正數。解答 (1)2 不是偶數或 2 不是質數 (2)3且不是正數解析 (1) 依邏輯的笛摩根定律，否定敘述為：2 不是偶數或 2 不是質數。 (2) 依邏輯的笛摩根定律，否定敘述為：3且 不是正數。

(23)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P23/38 8. 餐廳的主菜有牛排、豬排、雞排與羊排 4 種；湯有玉米湯、海鮮湯與蔬菜湯 3 種；飲料有咖啡與 紅茶2 種。每位客人須從主菜、湯及飲料各任選一種。問：共有多少種點餐方式？解答 24 種解析分三個步驟點餐：第 1 步驟選主菜，有 4 種選法；第 2 步驟選湯，有 3 種選法；第3 步驟選飲料，有 2 種選法。利用乘法原理，點餐方式共有 4 × 3 × 2 = 24（種）。 9. 從甲地到乙地有12條道路，其中有5條雙向道，4條由甲地到乙地的單行道，3條由乙地到甲地的單行道。求從甲地到乙地再回到甲地，且去程與回程走不同的路，共有多少種路線安排。解答 67 種解析分類如下： (i)甲到乙走雙向道：有5 



4 3



35（種）。 (ii)甲到乙走單行道：有4 



5 3



32（種）。故由加法原理得知，共有35 32 67  種路線。 10. 同時丟三枚大小不同的硬幣，求奇數個正面的情形共有幾種？ 解答 4 種解析分成以下兩類： (i)恰一正面：有



正反反, ,



，



反正反, ,



，



反反正, ,



共3種。 (ii)恰三正面：有



正正正, ,



共1種。故共有3+1=4種情形。

(24)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P24/38 11. 如圖是由三個邊長為1單位的正方形組成的道路分布圖： (1) 利用樹狀圖描述從A點出發，經過4單位長，到達F點的所有情形。 (2) 從A點出發，經過4單位長，到達F點的走法共有幾種。解答 (1)(i)A   D H E F (ii)A   D H G F (iii)A   B C G F (iv)A   B H E F (v)A   B H G F (2)5 種解析 (1) 利用樹狀圖描述如下： (i)A   D H E F (ii)A   D H G F (iii)A   B C G F (iv)A   B H E F (v)A   B H G F (2) 由(1)的樹狀圖得知，共有5種走法。 12. 自甲地到乙地有電車路線2條，公車路線2條，自乙地到丙地有電車路線1條，公車路線3條。今自甲地經乙地再到丙地，若甲地到乙地與乙地到丙地兩次選擇中，電車與公車各選一次，則共有多少種路線安排？解答 8 種解析依題意圖示：其中虛線表電車路線，實線表公車路線。因為電車與公車路線各選一次，所以路線安排可分成以下二類： (i)先電車再公車：有2 3 6  （種）。 (ii)先公車再電車：有2 1 2  （種）。故由加法原理得知，共有6 2 8  種路線。

(25)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P25/38 13. 關於540的正因數，回答下列各題： (1) 共有多少個？ (2) 是完全平方數者有多少個？ (3) 是18的倍數者有多少個？ (4) 是2的倍數但不是3的倍數者有多少個？ (5) 所有正因數的總和。解答 (1)24 個 (2)4 個 (3)8 個 (4)4 個 (5)1680 解析將540質因數分解得到 2 3 1 5402  3 5 。 (1) 因為540的正因數可寫成2a 3b 5c_的形式，其中a可為0，1，2；b可為0，1，2，3；c可為0，1。故正因數共有3 4 2 24   （個）。 (2) 若正因數中是完全平方數，則a可為0，2；b可為0，2；c必為0。故共有2 2 1 4   （個）。 (3) 若是18的倍數，則a可為1，2；b可為2，3；c可為0，1。故共有2 2 2 8   （個）。 (4) 若是2的倍數但不是3的倍數，則a可為1，2；b必為0；c可為0，1。故共有2 1 2  4（個）。 (5) 所有正因數的總和為



202122



30 31 3233



5051



   _{7 40 6 1680}_。 14. 用1元，5元，10元硬幣付貨款50元，每一種硬幣不一定都要有，共有多少種付款方式？解答 36 種解析設1元有x個，5元有y_個，₁₀_元有z個，其中x，y_，z_{為非負整數。} 依題意，得x5y10z50_。依z的值由大而小，討論如下： (i)當z5時，x5y0，此時 0 0 x y ，有1組解。 (ii)當z4時，x5y10，此時 10 5 0 0 1 2 x y ，有3組解。 (iii)當z3時，x5y20，此時 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 x y ，有5組解。 (iv)當z2時，x5y30，此時 30 25 20 0 0 1 2 6 x y ，有7組解。 (v)當z1時，x5y40，此時 40 35 30 0 0 1 2 8 x y ，有9組解。 (vi)當z0時，x5y50，此時 50 45 40 0 0 1 2 10 x y ，有11組解。故共有1 3 5 7 9 11 36      種付款方式。

(26)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P26/38 15. 用黃、紅、藍、綠、紫等五種顏色塗下列各圖中的空白區域，每區域只塗一色，顏色可重複使 用，但相鄰的區域不同顏色，各有多少種塗法？ (1) (2) 解答 (1)960 種 (2)260 種解析 (1) 如圖，依ABCDE的順序著色。因為ABCDE分別有5，4，3，4，4種塗法，所以共有5 4 3 4 4 960     種塗法。 (2) 如圖，依ABCD的順序著色。分類如下： (i)若BC同色，則ABCD分別有5，4，1，4種塗法。因此有5 4 1 4 80    種塗法。 (ii)若BC異色，則ABCD分別有5，4，3，3種塗法。因此有5 4 3 3 180    種塗法。根據加法原理，共有80 180 260  種塗法。

(27)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P27/38 16. 全班 40 人作測驗，測驗題分 A, B, C 三題，結果答對 A 題者有 15 人，答對 B 題者有 19 人，答對 C 題者有 20 人，其中 A, B 兩題都答對者有 10 人；B, C 兩題都答對者有 12 人；C, A 兩題都答對 者有8 人；三題都答對者有 3 人。請問： (1) 全班同學中，至少答對一題者有多少人？ (2) 全班同學中，三題都答錯者有多少人？解答 (1)27 人 (2)13 人 解析設 U 表示全班同學組成的集合；A, B, C 分別表示答對 A, B, C 題的人組成的集合。由題 意知

 

40 n U  ,n A

 

15,n B

 

19,

 

20 n C  ,n A



B



10,n B



C



12,





8 n CA  ,n A



 B C



3。 (1) 利用取捨原理，得





n A B C

      

 



n A n B n C n A B n B C n C A n A B C             15 19 20 10 12 8 3 27         ，即至少答對一題者有27 人。 (2) 因為n U

  

n A B C



40 27 13  ，所以三題都答錯者有13 人。 17. 附圖是科學館的參觀路線圖，若想不重複的走完每一個路徑，共有幾種不同的參觀路線？ 解答 48 種解析從入口進入後，第1次遇到叉路共有6個選擇（出口不可選）；繞一個迴路後，第2次遇到叉路時，有4個選擇（出口和先前走過的2個路線不可選）；再繞一個迴路後，第3次遇到叉路時，有2個選擇（出口和先前走過的4個路線不可選）；繞最後一個迴路後，第 4次遇到叉路時，只剩出口1個選擇。根據乘法原理，共有6 4 2 1   48（種）參觀路線。 A B C U

(28)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P28/38 18. 全班 40 人中，35 人有手機，15 人有平板電腦，12 人同時有手機與平板電腦。關於全班 40 人， 回答下列問題： (1) 手機與平板電腦至少有一種者有多少人？ (2) 沒有手機，也沒有平板電腦者有多少人？解答 (1)38 人 (2)2 人 解析設 U 表示全班同學組成的集合； A, B 分別表示有手機與有平板電腦者組成的集合。 由題意知 n U

 

40,n A

 

35,n B

 

15,n A



B



12。 (1) 利用取捨原理，得n A



B

     

n A n B n AB



35 15 12  38，即手機與平板電腦至少有一種者有38 人。 (2) 因為n U

  

n AB



40 38 2，所以沒有手機，也沒有平板電腦者有2 人。 19. 已知集合A



4, ,a a23



與B



1,a2,3a1



滿足A B

 

2 ，求實數a的值。解答 2 解析因為A B

 

2 ，所以2A，又因為 2 3 3 a   ，所以a2。 20. 班上共有40位同學，喜歡籃球的有23人，喜歡棒球的有18人，喜歡桌球的有14人；喜歡籃球與棒球的有12人，喜歡棒球與桌球的有5人，喜歡籃球與桌球的有6人；三種球類都喜歡的有2人。請問此班在三種球類中， (1) 至少喜歡一種球類的有多少人？ (2) 三種球類都不喜歡的有多少人？ (3) 喜歡籃球與棒球但不喜歡桌球的有多少人？解答 (1)34 人 (2)6 人 (3)10 人解析 (1) 設A，B，C分別表示喜歡籃球，棒球，桌球的人組成的集合。利用取捨原理，得所求為





n A B C

      

 



n A n B n C n A B n B C        n C



A

 

n A B C



23 18 14 12 5 6 2 34         （人）。 (2)所求為40 34 6  （人）。 (3)所求為n A



B

 

n A B C



12 2 10  （人）。 A _B 12 U

(29)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P29/38 21. 在1到100的正整數中， (1) 是2，3或7的倍數者共有多少個？ (2) 是2的倍數或3的倍數，但不是7的倍數者共有多少個？解答 (1)72 個 (2)58 個解析設A，B，C分別表示1到100的正整數中分別為2，3，7倍數的數組成的集合。 (1) 利用取捨原理，得所求為





n A B C

      

 



n A n B n C n A B n B C        n C



A

 

n A B C



50 33 14 16 4 7 2 72         （個）。 (2) 利用文氏圖，得所求為



 



n AB n AC n BC n A B C 



50 33 16 



   7 4 2 58（個）。〈另解〉



  

72 14 58 n A B C n C    （個）。 22. 學校舉辦桌球及羽球比賽，某班有 20 人參賽，其中參加桌球比賽者有 12 人， 兩種球賽都參加者有5 人。問：這班有多少人參加羽球比賽？解答 13 人 解析設 A, B 分別表示參加桌球與羽球比賽學生組成的集合。 由題意知n A

 

12,n A



B



20,n A



B



5。利用n A



B

     

n A n B n AB



，得20 12 n B

 

 5 n B

 

13。故共有13 人參加羽球比賽。 23. 附圖中，每一個小三角形均為正三角形，問：圖中大大小小的三角形共有多少個？ 解答 13 個解析設最小正三角形的邊長為1單位。邊長為1單位：有1 3 5  9個。邊長為2單位：有3個。邊長為3單位：有1個。由加法原理，得共有9  3 1 13（個）三角形。

(30)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P30/38 24. 關於180的正因數，回答下列各題： (1) 共有多少個？ (2) 是完全平方數者有多少個？ (3) 是12的倍數者有多少個？ (4) 是2的倍數但不是3的倍數者有多少個？ (5) 所有正因數的總和。解答 (1)18 個 (2)4 個 (3)4 個 (4)4 個 (5)546 解析將180質因數分解得到 2 2 1802  3 5。 (1) 因為180的正因數可寫成2a 3b 5c_{的形式，其中}_a_可為₀_，₁_，₂_； b可為0，1，2；c可為0，1。故正因數共有3 3 2 18   （個）。 (2) 若是完全平方數，則a可為0，2；b可為0，2；c可為0。故共有2 2 1 4   （個）。 (3) 若是12的倍數，則a必為2；b可為1，2；c可為0，1。故共有1 2 2  4（個）。 (4) 若是2的倍數但不是3的倍數，則a可為1，2；b必為0；c可為0，1。故共有2 1 2  4（個）。 (5) 所有正因數的總和為



20 21 22



30 31 32



5051



   7 13 6 546。 25. 醒獅團的 6 個獅頭手中有 4 個老手 2 個新手，4 個獅尾手中有 3 個老手 1 個新手。今想選派獅頭 手與獅尾手各一人表演一段舞獅秀，若選出的兩人中，至少要有一人是老手，則共有多少種選派方案？解答 22 種解析因為至少要有一人是老手，所以選派方案可分成三類： (I)獅頭是老手，獅尾是新手：有 4 × 1 = 4 種。 (II)獅頭是新手，獅尾是老手：有 2 × 3 = 6 種。 (III)獅頭是老手，獅尾是老手：有 4 × 3 = 12 種。利用加法原理，得選派方案共有4 + 6 + 12 = 22 種。

(31)

單元 4

1. 將a，a，a，b，b，c這6個字母排一列，求下列的排列數： (1) 任意排。 (2) 二個b相鄰。解答 (1)60 種 (2)20 種解析 (1) 利用有相同物的排列，得所求為 6! 60 3!2! （種）。 (2) 將二個b視為一體，與a，a，a，c排成一列，得所求為5! 20 3! （種）。 2. 學校想從 6 個參觀地點中，選出 3 個依序參訪，其安排的方案共有多少種？ 解答 120 種解析從 6 個參觀地點中，任選 3 個排成一列的方法數，共有





6 3 6! 6! 6 5 4 120 6 3 ! 3! P        （種）。 3. 縣長選舉共有 5 人登記參選，參選號次由抽籤決定。共有多少種可能的抽籤結果？ 解答 120 種解析抽籤的結果可視作將 5 人排成一列，其中排在最左邊代表第1 號，其後依次為第2, 3, 4, 5 號。因為5 人排成一列有5! 120 種排法，所以抽籤結果也有120 種。 4. 學校獨唱比賽共有 6 位同學報名參加，出場順序由抽籤決定。共有多少種可能的抽籤結果？ 解答 720 種解析抽籤的結果可視作將 6 位參賽者排成一列，其中排在最左邊代表第 1 位出場，其後依次為第2, 3, 4, 5, 6 位出場。因為 6 位參賽者排成一列共有 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 種排法，所以抽籤結果也有720 種。

(32)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P32/38 5. 自動販賣機有 6 種飲料可供選擇，三個人運動完後各購買一罐飲料。 (1) 共有多少種選購方法？ (2) 若三人約定所選的飲料不可以相同，則共有多少種選購方法？解答 (1)216 種 (2)120 種解析 (1) 因為每人各有 6 種選購方法，所以選購方法共有6 6 6  216種。 (2) 因為三人所選的飲料不可以相同，所以選購方法共有6 5 4 120   種。 6. 老師想從10個同學中，指派3人分別擔任主席、司儀及記錄，共有多少種指派方案？解答 720 種解析指派方案共有 103 10! 10 9 8 720 7! P      （種）。 7. 要將兩節國文、英文、數學、物理、化學及音樂各一節，排入星期一的7節課中。若數學課不排在第四節與第五節，則課表共有幾種排法？解答 1800 種解析將7節課任意排一列共有7! 2520 2! （種）。須扣除以下兩類： (i)數學課排在第四節，有1 6! 360 2!   （種）。 (ii)數學課排在第五節，有1 6! 360 2!   （種）。故共有2520 360 360 1800   （種）排法。 8. 兔子挖了三個可以藏身的洞。如果兔子每晚都待在這三個洞的其中之一，躲避敵人，那麼未來的 五個晚上，兔子有多少種藏身安排？解答 243 種解析由題意知，兔子每天晚上有三個藏身的地方。利用乘法原理，五天共有 5 3 3 3 3 3 3     243種藏身安排。（示意圖） 3 第4天 3 第5天 3 第3天 3 第2天 3 第1天

(33)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P33/38 9. 推銷員想從7個城市中，選出4個城市依序推銷產品，安排方案共有多少種？解答 840 種解析安排方案共有 74

_

_

7! 7! 7 6 5 4 840 7 4 ! 3! P         （種）。 10. 小吃店只賣牛肉麵、什錦麵、陽春麵、粄條及米粉五種餐點，若某顧客決定未來三天中午都到小 吃店點一份餐點，問該顧客共有幾種午餐的餐點安排？解答 125 種解析因為每一天都有5種選擇，所以三天午餐的餐點安排共有 3 5 5 5 5   125（種）。 11. 甲、乙兩人負責在 7 天年假期間到公司值班，其中甲值班 4 天，乙值班 3 天。請問年假值班的安 排共有多少種？解答 35 種解析將 4 個甲及 3 個乙在一到七底下任意排一列，例如：一二三四五六七甲甲乙乙甲乙甲這個排列表示甲值班第一、二、五、七天，乙值班第三、四、六天。因此，每一種排列方法等同於一種值班的安排。利用有相同物的排列公式，值班的安排共有



4 3 !



7! 35 4!3! 4!3!    （種）。 12. 從一個10人的俱樂部，選出一位主任，一位幹事和一位會計，且均由不同人出任，如果10人中的甲和乙不能同時被選上，那麼共有多少種不同的選法？解答 672 種解析從10人中選三人排成一列，依序為主任、幹事和會計，選法有10 9 8  720（種）。但甲乙同時被選上的情形有8 3! 48（種）（先選出1人再與甲乙排一列）。故共有720 48 672（種）選法。

(34)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P34/38 13. 將5本不同的書全部分給甲、乙、丙三人，求下列分法： (1) 任意分。 (2) 甲至少得一本書。 (3) 每人至少得一本書。解答 (1)243 種 (2)211 種 (3)150 種解析 (1) 因為每一本書都有3種分法，所以分法共有 5 3 3 3 3 3 3     243（種）。 (2) 所求



任意分

 

 甲沒拿到書的分法



  ₃5 ₂5 ₂₁₁_（種）_。 (3) 令集合A，B，C分別代表甲、乙、丙三人沒拿到書，則所求



任意分



n A



 B C



=



任意分







n A

      

n B n C n AB



n B



C

 

n CA

 

n A B C



5



5 5 5 5 5 5



3 2 2 2 1 1 1 0         243



96 3 0 



150（種）。 14. 由0，1，2，3，4共五個數字組成的三位數中，下列各情形共有多少個偶數？ (1) 數字不可重複。 (2) 數字可以重複。解答 (1)30 個 (2)60 個解析 (1) 因為偶數的個位數必為偶數，所以分成三類： (i)□ □ 0：有4 3 12  個。 (ii)□ □ 2：有3 3 9  個。 (iii)□ □ 4：有3 3 9  個。由加法原理，得偶數共有12 9 9 30   （個）。 (2) 因為偶數的個位數必為偶數，所以分成三類： (i)□ □ 0：有4 5 20  個。 (ii)□ □ 2：有4 5 20  個。 (iii)□ □ 4：有4 5 20  個。由加法原理，得共有20 20 20 60   （個）。

(35)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P35/38 15. 有一樓梯共10階，今有一人上樓，每步走一階或二階，求 (1) 恰跨6步的方法有幾種？ (2) 共有多少種上樓的方法？解答 (1)15 種 (2)89 種解析 (1) 設走一階x次，走二階y_{次。依題意，得} 2 10 6 x y x y        ，解得x2，y4，即一階走2步，二階走4步，共有 6! 15 2!4! 種走法。 (2) 因為可能跨5，6，7，8，9，10步，所以x，y的解有底下6組解： 0 2 4 6 8 10 5 4 3 2 1 0 x y 因此，上樓的方法共有 5! 6! 7! 8! 9! 10! 0!5!2!4!4!3!6!2!8!1!10!0!       1 15 35 28 9 1 89（種）。 16. 將甲、乙、丙、丁、戊、己共6個人排一列。 (1) 若甲須排在乙的左方（不一定要相鄰），則共有多少種排法？ (2) 若甲須排在乙的左方，且乙須排在丙的右方（甲乙丙不一定要相鄰），則共有多少種排法？解答 (1)360 種 (2)240 種解析 (1) 先排□□丙丁戊己，再將甲乙填入□□中，故共有6! 1 360 2!  （種）。 (2) 先排□□□丁戊己，再將甲乙丙填入□□□中，故共有6! 2! 240 3!  （種）。 17. 安排甲乙丙丁戊己等6人，陸續上台演說。 (1) 若甲乙丙三人不排第一位也不排最後一位，則有多少種安排方案？ (2) 若甲要比乙先表演，且丙要比丁先表演，則有多少種安排方案？解答 (1)144種 (2)180種解析 (1) 所求



任意排

 

 甲乙丙之一排第一位甲乙丙之一排最後一位



       6!



3 5! 3 5! 3 2 4!



144（種）。 (2) 分二步驟： (i)先將甲乙改成□□，丙丁改成○○，與戊己任意排有 6! 180 2!2! （種）。如：「○□○□戊己」就是其中一種。 (ii)再將□□依序填入甲乙，○○依序填入丙丁，只1種填法。利用乘法原理，共有180 1 180  （種）安排方案。

(36)

1082 高一數學第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P36/38 18. 男生 4 人及女生 3 人排成一列拍照。 (1) 若女生 3 人完全相鄰，則共有多少種排法？ (2) 若女生 3 人完全分開，則共有多少種排法？解答 (1)720 種 (2)1440 種解析 (1) 分二個步驟： (I)將女生 3 人看成「1」人，視為 5 人作排列，排法有 5! = 120 種。 (II)看成「1」人的 3 個女生，彼此間有 3! = 6 種排法。利用乘法原理，女生3 人完全相鄰的排法共有 5! × 3! = 120 × 6 = 720（種）。 (2) 分二個步驟： (I)先將 4 位男生排成一列，排法有 4! = 24 種。 (II)男生排好後，將 3 位女生分開排入兩旁及中間的 5 個空隙：排法有5 × 4 × 3 = 60 種。利用乘法原理，女生3 人完全分開的排法共有 24 × 60 = 1440（種）。 19. 在圖中的棋盤街道中，從 A 到 B 走捷徑，求下列情形各有多少種方法？ (1) 任意走捷徑。 (2) 經 C 點。 (3) 經 C 點或經 D 點。 (4) 不經 C 點且不經 D 點。 解答 (1)210 種 (2)80 種 (3)122 種 (4)88 種 解析 (1) 設 U 為所有捷徑走法組成的集合。 因為每一條捷徑都可用6 個右與 4 個上的直線排列來表示，所以任意走捷徑的方法有

  

6 4 !



10 9 8 7 210 6!4! 4 3 2 1 n U           （種）。 (2) 設 C 為所有經 C 點的捷徑組成的集合。分二個步驟計算n C

 

：第1 步驟是從 A 走捷徑到 C；第 2 步驟是從 C 走捷徑到 B。 利用乘法原理，經C 點的捷徑走法有

 

4! 6! 4 20 80 3!1! 3!3! n C      （種）。 (3) 設 D 為所有經 D 點的捷徑組成的集合。 利用取捨原理，經C 點或經 D 點的捷徑走法有



     



n CD n C n D n CD 80 6! 4! 4! 2! 4! 4!2! 2!2! 3!1! 1!1! 2!2!       80 90 48 122   （種）。 (4) 因為n U

  

n CD



210 122 88，所以不經C 點且不經 D 點的捷徑走法有 88 種。 男男男女女女男男 1 2 男 3 男 4 男 5 A B C D