第05期試題與參考解答

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中學生通訊解題第五期

問題編號 89501

n

為比1大的正整數，試證明2n 1_{不是完全平方數，也不是完全立方數。} 參考解答：（1）設2n 1_{為完全平方數，則存在一個整數}

a

_，使₂n _₁__a2 因為_a2_{為奇數，所以}

a

_為奇數設a k2 1，其中k為整數 _a2 _4_k2 _4_k_1 所以2n _1_4_k2 _4_k_1 2n _4_k2_4_k_2 2n1 _2_k2 _2_k_1 偶數 = 奇數，不成立所以假設2n 1_{為完全平方數不成立} 故得證2n 1_{不是完全平方數} （2）設2n 1_{為完全立方數，則存在一個正整數}

a

_，使₂n _₁__a3 因為_a3_{為奇數，所以}

a

_為奇數，_a2 _{ a}_₁_為奇數因為2 _ 3_1_( _1)( 2 _ _1) a a a a n _， 1 2 _{ a}_ a 為_{2 的因數}n 得到_{2 有奇數因數，不成立}n 所以假設2n 1_{為完全立方數不成立} 故得證2n 1_{也不是完全立方數} 問題編號 89502 有一個數列共有 n 項，此數列中任何 7 個連續項之和都是負數，任何 11 個 連續項之和都是正數。試求滿足上述條件的 n 值中最大為多少？ 參考解答：解一：設此數列為a1 ,a2 ,a3 ,,an _∵ak ak1ak2ak6 0 ，k 1,2,3 ……(1) ak ak1ak2ak10 0 ，k 1,2,3 ……(2) 由(1),(2) ak7 ak8ak9 ak10 0 即由第 8 項起，任意連續 4 項和皆為正數……(a)  a₈a₉a₁₀ a₁₁ 0_……(3)  a11a12a13a14 0……(4) 由(3)+(4)  a₈a₉a₁₀2a₁₁a₁₂ a₁₃a₁₄ 0 又因a8a9a10a11a12a13 a14 0 _∴a11 0 ，如此類推a12 0，a13 0  a11a12a13 0 又當n17時，a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄ a₁₅ a₁₆ a₁₇ 0

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a₁₄a₁₅a₁₆a₁₇ 0 由推論(a)矛盾 _∴故n17，即最多為 16 解二： 5,5,-13,5,5,5,-13,5,5,-13,5,5,-13,5,5,5,-13,5,5 為滿足問題條件之數列其長度為 16 項令Sn表示具有上述性質的

n

項實數列僅需證S17不合，於是本題答案就是 16 項如果S17滿足要求，令a1 ~ a17表示S17的各項 0 0 0 17 16 15 14 13 12 11 8 7 6 5 4 3 2 7 6 5 4 3 2 1                      a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a    上表中所有橫排的和為負，所有的直排的和為正，矛盾故所有具有 17 項或以上的都不合，n16即為所求問題編號 89503 設有四個數1,a,b,c (1abc)，現在將這四個數兩兩相加構成六個不同的數，若將此六個數由小到大順序排列會形成一個等差數列，且和為 201。試求a,b,c_之值。參考解答：由條件知其兩兩之和為六個數，有如下之關係式：





































c

a

c

b

a

b

c

b

c

a

b

a

c

b

a

1

根據1c和ab的大小關係可分為兩種情況：（1）1a1b1cabacbc 由等差數列性值得知： (bc)(ac)(ac)(ab)(ab)(1c)k_(公差) 即bacbabc1k bak，cbk (ak)ka2k a(ak)(a2k)1k 於是a k2 1，b  k3 1，c  k4 1 又六個數之和為 201 _∴3(abc1)201 abc66 (2k1)(3k1)(4k1)66 k 7 故a15，b22，c29 （2）1a1bab1cacbc

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類似地，可得a 10，b19，c 37 解題重點： 1.本題的解題重點根據 1+c 與 a+b 的大小分成 1+a<1+b<a+b<1+c<a+c<b+c 與 1+a<1+b<1+c a+b<a+c<b+c 兩個情形。 2.根據以上兩種形，再利用等差數列的定義即可解出 a,b,c 的值。 問題編號 89504 有三個正數它們的乘積為 1，且此三數的和大於它們的倒數和。試證明：這三個正數中恰有一數大於 1。參考解答：設此三正數為a,b, c 因為abc 1且 c b a c b a   111 (a1)(b1)(c1)abc(abbcca)(abc)1 0 ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (                    c b a c b a abc ca bc ab c b a ca bc ab c b a 這表示a1,b1,c1三數中有一個正數或三個都為正數如果三個都是正數，則a,b, c_{都比 1 大與}_abc_₁不合所以三個都是正數不成立故得證a1,b1,c1三數中恰有一個正數即a,b, c_{三數中恰有一數大於 1} 問題編號 89505 對於自然數

n

，如果能找到另外兩個相異的自然數a ,b_使得_n__a__b__ab_，則稱

n

為一個"δ 數"，試問由 1 到 50 的自然數中"δ 數"有多少個？參考解答：因為nabab 所以n1abab1(a1)(b1) 只要n1不是質數，就能找到a ,b兩個自然數滿足上式因為1 n50 , 2 n151 由 2 到 51，質數個數有 15 個又n1為完全平方數，4 , 9 , 25 , 49 時找不到相異的a ,b兩個自然數滿足n1(a1)(b1)

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