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以三角形的基本結構搭配教具、軟體操作導入三角形的全等概念教學

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Academic year: 2021

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(1)

以三角形的基本結構搭配教具、軟體操作

導入三角形的全等概念教學

李祐宗

澎 湖 縣 立 湖 西 國 民 中 學

壹、前言

以 往 在 教 導 此 單 元 時 , 大 多 數 教 師 會 直 接 引 用 課 本 的 方 法 尺 規 作 圖 來 直 接 說 明 兩 三 角 形 的 全 等 , 但 隨 著 教 具 與 資 訊 的 進 步 , 如 今 可 以 教 具 的 操 作 及 電 腦 軟 體 來 作 輔 助 教 學 , 以 期 讓 學 生 在 學 習 此 單 元 之 前 , 可 以 先 透 過 教 具 的 操 作 瞭 解 三 角 形 的 基 本 構 造 及 活 動 結 構 , 再 漸 漸 的 引 導 至 三 角 形 的 全 等 性 質 學 習 。 此 外 教 學 過 程 中 若 輔 以 資 訊 軟 體 操 作 可 以 將 教 材 作 更 標 準 、 精 緻 化 的 呈 現 , 讓 學 生 看 到 的 畫 面 都 是 最 標 準 的 , 避 免 學 生 以 往 對 教 師 板 書 不 清 楚 的 圖 形 或 文 字 所 產 生 的 困 擾 。 一 、 教 學 資 源 伸 縮 扣 條、AMA 軟 體、小 畫 家 軟 體 、 電 子 教 科 書 二 、 教 學 年 級 國 中 八 年 級 下 學 期 三 、 教 學 節 數 2 節 ( 90 分 鐘 )

貳、教學活動流程

為 了 讓 版 面 篇 幅 可 以 讓 讀 者 看 的 更 清 楚 , 以 下 的 圖 形 均 用 電 腦 重 新 繪 製 來 代 替 實 際 操 作 的 扣 條 。

一、暖身運動

這 次 主 題 是 兩 個 三 角 形 的 全 等 , 也 就 是 雙 胞 胎 三 角 形 。 因 此 課 堂 之 初 可 以 跟 同 學 一 同 討 論 雙 胞 胎 的 種 種 特 徵 , 以 及 如 何 證 明 他 們 ( 或 她 們 ) 是 一 對 雙 胞 胎 , 這 部 份 可 請 學 生 發 表 意 見 , 此 時 有 同 學 回 答 : 驗 血 型 、 看 出 生 證 明 、 驗 DNA 或 是 看戶 口 名 簿 等 等 。 接 著 , 問 學 生 「 若 有 兩 個 三 角 形 長 得 一 模 一 樣 , 那 麼 它 們 有 什 麼 共 通 的 特 點 」。此 部 份 主 要 是 讓 學 生 建 立 一 個 三 角 形 有 三 個 邊 和 三 個 角 的 特 徵 , 並 且 知 道 若 兩 個 三 角 形 全 等 , 代 表 它 們 的 三 個 邊 加 上 三 個 角 都 會 相 等 。

二、牽一髮而動全身

首 先 每 位 同 學 發 放 伸 縮 扣 條 3 條 , 任 意 排 出 一 個 三 角 形 並 觀 察 此 時 的 各 個 邊 長 與 角 度 , 然 後 試 著 改 變 其 中 一 條 邊 長 ( 伸 長 或 縮 短 ),並 請 學 生 再 次 觀 察 經 過 這 樣 的 變 化 後 何 者 也 會 跟 著 改 變 。 換 個 方 式 , 若 改 變 某 一 個 角 度 , 則 會 有 哪 些 地 方 也 會 跟 著 改 變 , 請 學 生 回 答 。 此 步 驟 目 的 是 讓 學 生 瞭 解 三 角 形 所 有 的 邊 與 角 都 有 連 帶 關 係 , 這 樣 的 操 作 可 以 幫 助 學 生 在 接 下 來 的 學 習 更 順 利 。 如 下 圖 所 示 :

(2)

三、一條「邊」法

每 位 同 學 先 拿 出 一 條 扣 條 並 固 定 長 多 不 同 的 三 角 形 , 例 如 ΔABC、 ΔABD、 ΔABE,這 些 三角 形 都 有 固定 的 底 邊 。接 下 來 再 加 上 一 根 扣 條 , 看 看 能 否 固 定 一 個 三 角 形 ? 改 變

A

C

的 長 度 , ∠C 及

CB

發 生 改 變 。 亦 可 說 改 變 ∠C 的 大 小 , 則

A

C

CB

發 生 改 變 。 改 變

A

C

的 長 度 , ∠A、 ∠ B、 ∠ C 及

CB

發 生 改 變 。 亦 可 說 改 變 ∠C 的 大 小 , 則 ∠A、 ∠ B、

A

C

CB

發 生 改 變 。

(3)

我 們 發 現 , 即 使 固 定 其 中 兩 個 邊 長 ( 圖 中 紅 、 藍 色 部 份 ), 亦 無 法 固 定 三 角 形 , 原 因 是 兩 扣 條 中 間 的 夾 角 可 以 變 動 , 所 以 產 生 的 三 角 形 不 固 定 ( ΔABC 、 Δ ABD、ΔABE)。此 部 份 的 操 作 主 要 是 讓 學 生 瞭 解 在 條 件 不 足 的 情 況 下 , 三 角 形 是 無 法 固 定 的 。

四、SSS 固定性質

請 學 生 拿 出 三 個 扣 條 並 固 定 長 度 , 彼 此 接 在 一 起 形 成 一 個 三 角 形 ΔABC, 然後 用 手 動 動 看 , 看 看 是 否 三 角 形 為 固 定 式 還 是 可 活 動 式 ?( 答:會 固 定,無 法 變 動。) 此 部 份 教 師 可 以 加 進 四 個 扣 條 組 成 的 四 邊 形 , 並 且 移 動 扣 條 使 四 邊 形 產 生 變 化 , 說 明 固 定 四 個 邊 長 所 形 成 的 四 邊 形 是 無 法 固 定 四 邊 形 的 , 以 比 較 三 角 形 和 四 邊 形 的 差 別 。

五、SAS 固定性質

若 固 定 兩 個 邊 長 加 上 中 間 的 夾 角 , 看 看 是 否 三 角 形 會 被 固 定 ? 答 案 是 的 ( Δ ABC),由 此 可 見 sas 可 以 固 定 一 個 三 角 形。

六、ASA 固定性質

若 固 定 一 個 邊 加 上 旁 邊 兩 個 角 , 看 看 是 否 三 角 形 會 被 固 定 ? ( 會 固 定 , 即 Δ ABC)

七、兩角加一邊,

AAS 固定性質(此

部 份 使 用 扣 條 操 作 較 為 複 雜 ,

建議使用電腦或圖表說明)

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如 圖 , 固 定 一 個 邊 加 上 一 個 角 還 是 無 法 固 定 這 個 三 角 形 ( Δ ABC、 Δ ABD、 Δ ABE)。但 是 再 加 上 另 外 一 個 角 呢 ? 我 們 看 看 : 結 果 AAS 可 以 固 定 一 個 三 角 形 。( Δ ABE)

八、SSA 的不確定性及 SSARHS

實 驗 發 現,SSA 會 產 生 兩 個 三 角 形( Δ ABC、 Δ ABD), 也 就 是 說 , 當 SSA 的 A 為 銳 角 時 , 且 ∠ A 位 於 較 長 邊 (

AB

) 的 一 側 時 , SSA 無 法 固 定 三 角 形 ; 若 角 度 固 定 在 較 短 的 一 邊 ( 紅 色 邊 ) 時 , 此 三 角 形 會 被 固 定 , 如 下 圖 Δ ABD。 此 時 教 師 可 以 問 學 生 , 還 有 沒 有 其 他 的 條 件 可 以 讓 SSA 的 三 角 形 可 以 被 固 定 。 在 我 任 教 的 班 級 有 學 生 回 答 : 鈍 角 的 時 候 ! 好 , 我 們 來 實 驗 看 看 : 如 上 圖 , 結 果 可 以 固 定 三 角 形 ! 接 著 順 勢 再 問 學 生 , 若 ∠ A= 90 度 呢 ? 可 否 固 定 三 角 形 ? 結 果 也 可 以 固 定 三 角 形 , 但 是 固 定 的 原 理 為 何 ? 如 何 具 體 的 說 明 ? 答 : 因 為 直 角 三 角 形 的 兩 邊 固 定 之 後 , 可 以 藉 由 畢 氏 定 理 來 固 定 第 三 邊 , 可 以 說 由 SSASSS 的 概 念 來 固 定 三 角 形 。 爾 後 如 有 兩 個 三 角 形 的 固 定 條 件 是 一 條 斜 邊 等 長 、 一 股 等 長 及 兩 者 都 有 直 角 的 話 , 我 們 說 它 們 是 以 RHS 性 質 來 說 明 全 等,而 不 用 SSA 以 避 免 產 生 不 必 要 的 紛 爭 。

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九、AAA 的不固定性質

老 師 問 : 現 在 假 使 給 你 們 三 個 角 度 : 50、 60、 70。 可 否 固 定 一 個 三 角 形 ? 答 : 無 法 。 為 何 ? 因 為 以 此 三 個 角 產 生 的 三 角 形 可 大 可 小 ( Δ ABC、 Δ DEF), 如 下 圖 : 所 以 AAA 無 法 固 定 三 角 形 。

十、導入概念活動總結

由 以 上 活 動 可 以 看 出 哪 些 重 點 ? 1、固 定 一 個 三 角 形 至 少 要 有 三 個 條 件 ( 指 的 是 三 角 形 中 的 三 個 邊 及 三 個 角 至 少 要 固 定 其 中 三 者 ); 2、 這 些 條 件 當 中 至 少 要 有 一 個 邊 長 ( Side) 被 固 定 。 有 了 以 上 的 活 動 作 暖 身 之 後 , 接 下 來 就 以 課 本 的 尺 規 作 圖 來 進 一 步 說 明 兩 三 角 形 的 全 等 性 質 。 此 部 份 的 教 學 過 程 省 略 , 參 照 各 版 本 教 科 書 , 不 過 教 學 過 程 可 利 用 AMA( powerpoint 外 掛 程 式 ) 的 操 作 來 輔 助 說 明 兩 個 三 角 形 的 全 等 性 質( 註 一 )。例 如 以 SAS 全 等 性 質 為 例 : 以 相 同 條 件 作 出 的 兩 個 三 角 形 可 以 重 疊 在 一 起( 圖 中 紫 色 部 份 ),利 用 電 腦 的 科 技 可 以 讓 教 學 過 程 既 清 楚 又 順 利 !

十一、課本例題講解的小幫手

以 往 教 師 在 講 解 幾 何 題 目 時 , 大 多 會 藉 由 板 書 來 畫 出 所 需 要 的 圖 形 , 此 時 可 以 運 用 科 技 的 進 步 來 幫 助 教 師 教 學 更 順 利 , 此 時 的 幫 手 便 是 教 材 電 子 書 及 小 畫 家 程 式 就 可 以 了 , 舉 例 說 明 如 下 : 以 例 題 一 為 例 , 將 左 邊 的 三 角 形 DEF 透 過 小 畫 家 軟 體 將 之 剪 裁 複 製 後 水 平 翻 轉 即 可 得 到 與 三 角 形 ABC 相 對 應 的 位 置,有 助 於 學 生 觀 察 兩 個 三 角 形 的 對 應 關 係 , 這 點 很 重 要 ! ( 註 二 )

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參、教學省思與建議

一、活動設計的省思

筆 者 經 過 這 幾 年 此 單 元 的 教 學 後 , 覺 得 課 本 直 接 以 尺 規 作 圖 說 明 三 角 形 的 全 等 之 前 可 以 先 加 強 此 部 份 的 概 念 , 將 有 助 於 學 生 日 後 的 學 習 及 概 念 上 的 加 深 。

二、教師教學的省思

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例 題 所 給 予 的 兩 個 三 角 形 在 擺 放 的 角 度 上 不會相同,一定要利用自身的空間概念將一 個三角形固定不變,另一個三角形轉換成可 對應到另一三角形的角度,可是有不少的學 生在這方面缺乏概念,導致全等性質判斷錯 誤(大部分是對應點發生錯誤)。所以日後 教 師 在 教 學 上 可 以 單 獨 加 強 三 角 形 旋 轉 與 翻轉的概念,將有助於學生學習。

三、教學實施的建議

(一) 建 議教 師 準 備 充足 的 教 具 (伸 縮 扣 條 或 一 般 扣 條 ), 若 教 具 不 足 可 以 分 組 進 行 。 (二) 多 以電 腦 軟 體 操作 輔 助 說 明, 畢 竟 電 腦 畫 出 來 的 圖 形 絕 對 比 板 書 要 來 的 好 且 節 省 時 間 。

肆、附註

註 一 : AMA 為 microsoft office powerpoint 之 外 掛 程 式 , 為 增 強 該 軟 體 之 繪 圖 功 能 , 其 中 有 一 項 便 是 可 利 用 提 供 的 直 線 和 角 度 來 作 三 角 形 的 全 等 作 圖 , 茲 示 範 如 下 : (一) 首 先先 安 裝 AMA 程 式

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(三) 全 選物 件 後 選 擇功 能 列 的 「Geometer」 的 Triangular 的 SAS, 如下 圖 :

(四) 之 後螢 幕 會 出 現要 求 輸 入 夾角 的 度 數,假 設 輸 入 的 是 60 度 的 角( 如 下 左 圖), 按 下 確 定 後 螢 幕 就 會 在 其 中 一 條 邊 上 出 現 所 繪 製 的 三 角 形 , 現 在 可 以 將 這 個 三 角 形 移 到 旁 邊 , 接 著 再 依 據 相 同 條 件 作 一 個 , 結 果 將 會 發 現 這 兩 個 三 角 形 會 重 疊 , 也 就 是 這 兩 個 三 角 形 全 等 。

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註 二 : 如 何 將 電 子 書 的 圖 形 利 用 電 腦 來 作 轉 換 呢 ? 舉 例 說 明 如 下 : (一) 首 先將 所 需 要 調整 的 圖 形 按下 鍵 盤 的 Prt Scr 鍵 來 複製 螢 幕,然後 到 小 畫 家軟 體 貼 上 , 如 下 圖 : (二) 假 設我 們 選 擇 △DEF 來 作 翻轉,則 選 取左 邊 功 能 列的 剪 裁 工 具將 之 框 起 來之 後,按 下 滑 鼠 右 鍵 選 擇 複 製,並 貼 到 題 目 中 △ABC 的下 面 空 白位 置( 此 步 驟 是 為 了 保 留 原 有 的 △DEF, 所 以選 擇 另外 複 製 而 不影 響 原 圖 形), 如 下 圖 : (三) 假 設我 們 選 擇 △DEF 來 作 翻轉,則 選 取左 邊 功 能 列的 剪 裁 工 具將 之 框 起 來之 後,按 下 滑 鼠 右 鍵 選 擇 複 製,並 貼 到 題 目 中 △ABC 的下 面 空 白位 置( 此 步 驟 是 為 了 保 留 原 有 的 △DEF, 所 以選 擇 另外 複 製 而 不影 響 原 圖 形), 如 下 圖 :

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(四) 假 設我 們 選 擇 △DEF 來 作 翻轉,則 選 取左 邊 功 能 列的 剪 裁 工 具將 之 框 起 來之 後,按 下 滑 鼠 右 鍵 選 擇 複 製,並 貼 到 題 目 中 △ABC 的下 面 空 白位 置( 此 步 驟 是 為 了 保 留 原 有 的 △DEF, 所 以選 擇 另外 複 製 而 不影 響 原 圖 形), 如 下 圖 :

參考文獻

陳 冒 海 主 編 (2010):國 民 中 學 第 四 冊 。 台南 市 : 南一 。P.113~P.129. 國 家 教 育 研 究 院 籌 備 處 主 編(2010):國 民 中 學 第 四 冊。台 南 市:部 編。P.82~P.113.

參考文獻

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