陀螺運動的簡單解釋和演示

(1)

陀螺運動的簡單解釋和演示

千變萬化的陀螺運動是說明角動量和力 m 鞘f系的絕佳範{苦IJ 0 本文在觀化的條件下，較貼物理直覺的解釋，得出陀蟬意動和進動方程式，解出一般教科書中常見的解; 一一體鸚實用之挖蟬，演示其 i讓擎的倩影 o '事鐵

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矗… 屬一所示乃是寶驗教室發常島的陀螺，萬向接頭的那分能使轉盤對稽輯繞著水平軸程主義草草庫 (z 軸)故舊雙方舟。整個陀螺(包括轉盤、配重、軸摔等)視為由許多賀點組成的系統，運用牛頓選動律不難導出

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……

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在系統上所有外力對 O 點 (0 點為軍實驗室痊標中靜止的點)造成之力矩 (以下連稱力矩)

,

L的是整個系較艷 0 點三主義的角動蓋章(試下海稱角動尊重)。力短和角動最均以實驗室際標描諱。還常陀螺之萬向接頭以輝佳的軸承構成。整個系統可繃著 z 軸自指轉動'iÈl此外力如 O 點造成之力矩，幾無 (z 方向幢小

周鑑恆

之力矩乃由 Z 車自軸承極小的!擎擦力浩成)。換，聽個系競對 O 點是義的角動量在 z 方向。若塹體系統之質心不在 0 點

正上方， e= 1t(即 90

0 _{) 悴， (見矗立)}

2

點 O 點造成之力矩 τ 心 m軒的平行 xy 平甜 'm 是系競總質量， r、mf是系競質心至 0 點的距離。 z L, =1)ωs 罰單

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陀螺之角動量可以寫成 EtotzL+ 九

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ω蜀轉動造成1....， 1，是繞艷購車富的轉動i質量聖結螺。角之角獎度和。角之角議要分別造成 LR

L.

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軸之轉動慣壘。若叭>><Þ ，豆角 >>9 ， ωs

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之變化主要直

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改變串成~之角動最變化可以忽略)

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y 窗… 為了說明上述簡化情形之下結蟬、的運動，首先，體設轉盤不轉動，站崗主軒昂，即 ωz 0' 則 L 口 0' 若贊J 心不在 0 點正上方，即有 44 位 J

(2)

科學教育月刊第 238 期中發民函九十至宇宙月平佇 y 軸之 h 對 τ ，若跎螺初始持靜止，翱逕自繞 y 軸樹下，自零開始產生在 y 輸方向角動

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蠹丸，使得"-I;L....o' o =~=1' 。這符合日

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，也很容易以物理公式解釋 O 但若串琴聲使連轉動，即￡OS呦，真fis詢)

,

陀擺著車接齡下，固然和其轉盤不轉時…樣，

會造成在水平方向平?于毛的AL ，但立之方向

卻因此指向較下方，總角重主盤五慨之 z 方!在]分

量變小，章。不守!吏，此違背 z 方向輩無力蝦分，故 Z 方 i我:之角護主量須守嗤之條件。的此，若鱉其他補麓，當 ω 求。時，直接倒 F 的溫動不容許單獨發生。[，只能進黨主改變方舟，

MF行可以滿足 d't哩。然而一

笠選動， l!t士學動產生三三皂，丸，在 Z ð.t 自零增加為 LP ，故 Ls 必須章動向下加以抵銷， t吏 L

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方向之分量守喔，選鼓動於是與

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草動一起發生 G 倡議動會還告成撥動角動畫畫_L

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方向的變化，也又會恆心選動受至

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影響。若主義動變，攘， LP 變小， Ls 叉￡、項主黨動上續加J.;)、平衡，使 L倒在 Z 方向之分量守恆。，躍動會伴陣{吏 Ls 251:整整前仰角度。的重震動，使 z 方向之角動是守'1竄:

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前輩齡還成之角動量變化率和使 Ls 改變， φ 角之護動照這成之角動量變化率相如之和，應等於外力力矩:即

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1 ，醋，中 13曲，自關凹的鼠，可得以下兩運動方程式，。、‘'，/

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再將_{(4) 式微分…次，得}

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由 (3)式求得中，代入(5)式，

(3)

(4)

(5)

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(6)

其中 8 言 OOn Æ&敢動之角謹膺，的)式可重寫成

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不聞之初始條件下，酬。和收。之關係將有所不同 c rtt 外，仔細觀察(1)

式和1(2)式若在任何時呼口。制 rr 則

陀螺運動的錢學解釋和演示 i丸1 。恥怕叭也吋叫c∞ο叫明陀血蟬累t盤註有滔河I 能只進動陌無主叢誼動 o 備齊一張廢棄之光碟片、海口 (轉動時較著重定，的一、

_{)、刀片(出離}

(廣討如筆刀中拆下)、 Size AA 舊車池、電站獎盒‘長約 14 丘分，厚 5 公麓，覽1. 2 公分之木 (蝶、躇衣針、一小塊破聽、橡支支擦、以及 PE 塑膠捧(塑膠梓料行均咨售) 0 將 PE 撞車床草成適當的小團盤，並於中心鑽…小

孔。再將其嶽入光碟中心富孔，馬達轉軸插入

盤盤小孔中，即可轟動厲盤轉動，告史、刀片、舊是池和電站獎盒;其 AB 膠固定在木條上，刀片刀鋒向外，並以幫小塊豆角形之木塊加強豆豆直立於木旗上，整個組合之 1 公分的距離。電站接通玩具為達後，部完成一具動力結瞋(註

2)

ü 圖六為rtt 陀皇軍之寶物攝影，另奸、再用 PE 梅車數置好還IJi關插醫師示的軸承，軸承中心鑽一小孔， '1合容鍵技針穿過，軸承上方竿聿黏上一小壞破瓏，破璃上置一薄橡皮撩(建橡皮標割下…薄片) 0 鰱衣針尖端自上盤直盟主在支柱上，得將陀蟑以刀鋒蠶於覆叢橡皮之軸承上，如闡七研示。這異動力陀螺即從容不;自1位見屬/\)和軍動(層九)

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(4)

科學教育月刊第 238期中華民國九十年四月

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圖八

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圖九誌謝: 感謝源流基金贊助。註釋: (1)此方程式組之物理意義顯而易見，較一般教科書上繁複的數學計算簡單，切合實驗教學所需。 (2)此動力陀螺針對改良台灣大學普通物理實驗室自製的陀螺而設計。圖說 : (一)一般實驗教學所用之陀螺。圖中箭頭表示萬向接頭轉動的情形。

仁)

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時，陀螺之轉盤自轉章動和進動造

成之角動量分別為L，、 Ln 和LP 。巳)轉盤不轉時，陀螺受重力造成之力矩即直接

倒下

。

個)進動和章動均會造成L之變化，其變化率分

別為

1

3 ω

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和

1

3 ω

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8 。

而章動本身之角動量為

L

n

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I)é

'其變化率為

I

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;進動本身之角

動量為Lp =1]中，其變化率為1)妙(進動本身之角動量之方向，亦因章動而改變，惟其變

化在此

Oz;

之情形下可忽略)

。

由動力陀螺的立體圖，其中刀片乃用兩小塊三角形的木塊固定，垂直立於木條上。的動力陀螺之寶物攝影和所需之組件。 (七)實驗動力陀螺的情形，插圖為軸承之側視圖。 (j\)長時間曝光拍攝陀螺進動，插圖顯示陀螺對稱軸運動之軌跡。 (;h，)長時間曝光攝得的進動和章動，插圖顯示陀螺對稱軸運動之軌跡，亦即恤)式和(}6)式描述的情形。。 O F 、 d