4B03 平面上的比例

▲圖 2 ▲ 圖 1 在圖 1 中，一個畫家站在鐵軌上，想將鐵軌畫在畫 布上，畫布上會呈現出怎樣的畫面呢？為了讓畫作具有 真實感，離畫家較遠的物體應該要畫的比較小，但是到 底要畫多小呢？像這樣的比例問題是本單元要探討的其 中一個重點。 本單元從國中學過的相似形開始，再介紹比例在各 方面的應用 。

甲 平面上的比例

（一）相似形 國中學過，兩個相似多邊形有以下的性質： (1) 對應角相等； (2) 對應邊長成比例； (3) 面積比等於對應邊長平方的比。 例如圖 2 中的教堂窗戶（設每個小正三角形皆 全等），因為大正三角形 ABC 與小正三角形

ABC

  

相似，所以 (1)

     

A

A B



,

B C



,

C



； (2)

AB

BC

AC

7

AB

 



BC

 



AC

 



； (3) △ABC 面積為△

ABC

  

面積的

7

2



49

倍。 接下來，我們要利用上面的三個性質，來探討平面上的比例。 圖 3 (a)為荷蘭版畫家艾薛爾創作的作品《方極限》，圖中的魚由內而外按比 例縮小；其數學幾何模型如圖 3 (b)所示。

(a) (b) ▲圖 3 在圖 3 (b)中，中心的四個等腰直角三角形按固定的比例往外逐步縮小；以 此為模型，將每個三角形用魚取代（如圖 4 所示，將符號「」所指的網格剪下， 經過適當旋轉後貼到對應顏色的區域上），就可以形成艾薛爾的這幅藝術創作。 ▲圖 4 接著，用例題來探討圖 3 (b)中相似形的比例關係。 【例题 1】 已知右圖中的每個三角形都是等腰直角三角形， 求紅色與綠色三角形的邊長比與面積比。 Ans： 【詳解】 由圖可知，紅色三角形邊長是綠色三角形邊長的 2 倍， 因此，紅色三角形面積是綠色三角形面積的 4 倍。 故其紅色與綠色三角形的邊長比為 2：1， 面積比為 4：1。

【隨堂練習 1】 已知右圖中的圓內切於大正方形，且外接於小正方形， 求大正方形與小正方形的面積比。 Ans： 【詳解】 由圖可知，大正方形邊長是小正方形邊長的

₂

倍， 因此，大正方形面積是小正方形面積的 2 倍。 故大正方形與小正方形的面積比為 2：1。 將隨堂練習的圖形繼續重複往內畫下去，就可以得到 一連串愈來愈小的圖形，如圖 5 所示。像這樣將幾何圖形 按固定的比例逐步縮小，是藝術上常見的創作手法。 接著來看一道生活中常見的比例應用問題。 【例题 2】 魔術師變魔術將撲克牌變成原來的一半大，這其 實是使用了一種特製的撲克牌，如右圖所示： ① 原來的撲克牌總是能分割成兩張一樣的小 一號撲克牌。 ② 小一號的牌與原來的牌形狀相似。 試問這種魔術用的特製撲克牌之長寬比是多少呢？ Ans： 【詳解】 設原來的撲克牌寬為 1，長為 x， 如圖所示。由

x

▲ 圖 6 ②因為小一號的牌與原來的牌形狀相似， 所以對應邊長成比例。 得

1

1

2

x

x



， 化簡得

x 

2

2

，解得

x

2

。 故這種魔術用的特製撲克牌之長寬比是

2

：1。 生活中常用的 A 系列的紙張也是依照這個比例來製作的： 例如 A1 與 A2 紙張的面積比為 2：1，其邊長比為

2

：1， 以此類推，依此比例設計，只要由長邊中點對裁紙張，即可 得到各式的影印紙，毫不浪費。 【隨堂練習 2】 求 A 系列紙張中 A1 與 A5 面積比。 Ans： 【詳解】 因為 A1 紙張的面積是 A2 紙張的 2 倍， 是 A3 紙張的 4 倍…，以此類推， A1 紙張的面積是 A5 紙張的 16 倍。 故 A1 與 A5 面積比為 16：1。

▲ 圖 8 （二）單點透視法 我們利用相似形的概念，來解決引言提到的問題：一個畫家站在筆直的鐵軌 上，想將鐵軌畫在畫布上，我們可以先想像手拿的這張畫紙是透明的，然後畫家 將實際看到的景物呈現在這張紙上，如圖 7 (b)所示。 (a) (b) ▲圖 7 那麼，鐵軌的每一個枕木要畫在離地多高的位 置呢？為了簡化這個問題，我們先將畫家的眼 睛設為一個點 O，且畫布設為一個與地面垂直 的平面，可得畫布側面的示意圖如圖 8 所示。 圖 8 中畫家眼睛 O 看著鐵軌上 N 點的視線

ON

與畫布的交點 B，即為鐵軌上 N 點在畫布 上的位置。因為△NBC～△NOP，所以

BC NC

OP NP



。 像這樣利用眼睛看著物體，視線與畫布的交點來決定物體在畫布上位置的方 法，稱為單點透視法。 單點透視法公式一（地面上一點在畫布上離地的高度） 畫家使用單點透視法將地面上一點 N 被畫在畫布上 B 點的位置，畫布側面的示意圖如右。若設畫家的眼睛 為一點 O，則 B 點離地的高度

BC

滿足

BC NC

_

_{地面上 點與畫布距離}

N

練習使用這個結果。 【例题 3】 畫家使用單點透視法將鐵軌畫在畫布上，畫布側面的示意圖如下圖 (a)。 畫家眼睛的高度為 150 公分，畫家與畫布距離為 40 公分，鐵軌上一點 N 與 畫布的距離為 60 公分。 (a) (b) (1) 已知N 點被畫在畫布上 B 點的位置，求 B 點離地的高度

BC

。 (2) 如上圖 (b)所示，已知鐵軌上兩枕木的距離

MN

50

公分， 且M 點被畫在畫布上 A 點的位置，求

AB

的長度。 Ans： 【詳解】 (1) 利用單點透視法公式一，得

60

150 60 40

BC 



， 解得

BC

90

。 故B 點離地的高度為 90 公分。 (2) 利用單點透視法公式一，得



50 60



150

50 60 40

AC

_



 

， 解得

AC

110

。 故

AB

110 90 20

 

（公分）。 【隨堂練習 3】 承例題，已知 Q 點被畫在畫布上 D 點的位置， 求

AD

的長度。

▲ 圖 11 Ans： 【詳解】 利用單點透視法公式一，得



50 50 60



150

50 50 60 40

DC

_

 

  

， 解得

_DC

₁₂₀

。 故

_{AD DC AC}

    

_{120 110 10}

（公分）。 利用以上的方法，逐一地將鐵軌的每一點對應到畫布上，就可以在畫布上畫 出整條鐵軌，如圖 9 所示。 ▲圖 9 ▲圖 10 當我們望向愈遠的鐵軌時，視線與畫布的交點就愈高，如圖 10 所示；當我 們看向無窮遠處的鐵軌時，視線會是與地面平行的水平 線，如圖 10 中的虛線。 在繪畫作品上，由於人類視覺上的限制，兩條平行 的鐵軌看起來會交於很遠很遠的某一點，這個點我們稱 為消失點，如圖 11 所示。事實上，圖 11 中的消失點即 為圖 10 中虛線與畫布的交點。

▲ 圖 12 ▲ 圖 13 【隨堂練習】 下圖為台東知名的伯朗大道，試著在照片上標示出消失點。 Ans： 【詳解】 知道了地面上的一點呈現在畫布上的位置，那麼，當我們想用單點透視法在 畫布上呈現出物體時，物體的大小該畫多大呢？例如要在畫布上畫一個模特兒， 模特兒在畫布上的身長應該是多少呢？ 首先，我們將畫家的眼睛設為一個點 O，且畫布 設為一個與地面垂直的平面，如圖 12 所示；接著， 將畫家眼睛 O 和模特兒頭頂 M 與腳底 N 分別連線得

OM

與

_ON

；最後，

OM

與

_ON

和畫布的交點 A 點與 B 點，即為模特兒的頭與腳要在畫布上呈現的位置。 那麼，要怎麼求

AB

的長度呢？我們將圖 12 轉成 畫布側面的示意圖，如圖 13 所示。 因為△OAB～△OMN，所以

AB OB

MN ON



， 再利用平行線截比例線段，可得

OB PC

ON PN



。 綜合以上兩式，可得

AB PC

MN PN



。 將此結果整理如下。 單點透視法公式二（物體在畫布上的長度） 畫家使用單點透視法將物體畫在畫布上，畫 布側面的示意圖如右。若設畫家的眼睛為一 點 O，

MN

為物體高度，則物體畫在畫布上 的長度

AB

滿足

AB PC

MN PN



畫家與畫布的距離

畫家與物體的距離

。 練習使用這個結果。 【例题 4】 畫家使用單點透視法將模特兒畫在畫布上，畫布側面的示意圖如右。已知畫 家與畫布的距離為 40 公分，畫布與模特兒的距離為 120 公分，且模特兒身 高為 160 公分，求畫布上模特兒畫像的身長

AB

之值。 Ans： 【詳解】 利用單點透視法公式二，得

AB PC

MN PN



， 即

40

160 40 120

AB 



， 解得

AB

40

。 故畫布上模特兒畫像的身長為 40 公分。

▲ 圖 14 ▲ 圖 15 【隨堂練習 4】 承例題，今模特兒再退後 40 公分，求畫布上模特兒畫像的身長。 Ans： 【詳解】 利用單點透視法公式二，得

AB PC

MN PN



， 即

40

160 40 120 40

AB 





，解得

AB

32

。 故畫布上模特兒畫像的身長為 32 公分。 布魯內萊斯基（F. Brunelleschi, 1377～1446）是 15 世紀有名的建築師，他也是第一個使用透視法的畫家， 而透視法的發明標誌著文藝復興的開始，進而影響了整 個文藝復興與之後的繪畫。 單點透視法所畫出來的作品視角就是畫家的視角， 觀眾在觀賞畫作時，等同於站在畫家的位置看著畫家看 到的景物，因此，運用單點透視法的作品會讓觀眾對畫 作有立體感與臨場感。 圖 14《白楊樹大道》是知名荷蘭畫家梵谷的作品之一，該畫作運用了單點透 視法，可以看到畫作中大道兩旁的樹由近至遠愈來愈小，最後延伸於消失點。 現在的電玩遊戲也常有單點透視法的應用，以遊戲玩家的視角進行而有身歷 其境的感受。例如圖 15 為賽車遊戲，畫面中延伸的賽道在遠方交於一點，左右的 景物也由近而遠逐漸縮小。

▲圖 16 ▲ 圖 17

乙 黃金比例

克卜勒曾經說「幾何學擁有兩件至寶：畢氏定理與黃金比例。」黃金比例是 一個特殊的數學比例，定義如下： 設線段

AB

被 P 點分割成兩段，其中

PA PB



， 如圖 16 所示。當

PA AB

PB PA



（即



較長線段 整條線段

較短線段 較長線段

） 成立時，這樣的分割就稱為黃金分割，此時的比值就稱為黃金比例，常以符號



表 示。 為了方便求黃金比例



的值，我們令

PA





且

PB

1

， 如圖 17 所示。依黃金分割的定義，得

1

1

 







， 整理得 2

_{1 0}

 

  

， 解得

1

5

2







（

1

5

0

2

 

不合）。 因此

1

5

1.618

2

PA AB

PB PA







 



。 將以上的討論整理如下。 黃金比例 黃金比例



滿足方程式 2

_{1 0}

 

  

或



2

 

1



， 且其精確值與近似值為

1

5

_1.618

2









。

▲ 圖 18 當一個矩形的長與寬滿足



長

寬

黃金比例



時，稱這樣的矩形為黃金矩形。 接下來用一道例題說明黃金矩形的特性。 【例题 5】 右圖中，ABCD 為一黃金矩形，且 AEFD 為一正方形。 已知

AD

1

，求

BC

BE

的值。 Ans： 【詳解】 如右圖所示，

BC AD AE

  

1

， 又因為 ABCD 為一黃金矩形，即

AB





，所以

1

5

5 1

1

1

2

2

BE

  





 



。 故

1

1

2

1

5

1

5 1

5 1

2

2

BC

BE









_













。 例題 5 也可以利用



2

 

1



得

 

2

1

1

1

1

BC

BE





_{ }



 

 



_



_



_{ }

 

。 在例題 5 中，因為

BC

BE





，所以 BCFE 也是一個黃金矩形。一般而言， 當一個黃金矩形截掉以寬為邊長的正方 形時，剩下的矩形仍為黃金矩形。重複 以上的動作，我們可以得到一連串愈來

愈小的黃金矩形，如圖 18 所示。 【隨堂練習 5】 將黃金矩形 ABCD 截掉以寬為邊長的正方形①，剩下 的矩形再截掉以寬為邊長的正方形②，重複這樣的步 驟，如右圖所示。已知

AD

1

， 求

正方形②的邊長

_{正方形③的邊長}

之值。 Ans： 【詳解】 因為正方形②與③的邊長分別為 右圖紅色矩形的長與寬， 且紅色矩形為黃金矩形， 所以

1

5

2





 

正方形 的邊長

正方形 的邊長

②

③

。 另解： 因為

_AD

₁

，所以

AB





， 可得正方形②的邊長為





₁

， 且正方形③的邊長為

1

   

 



1 2



， 用



2

 

1



， 可得





2 2 2

1

1

1

2

2

1



 

  

  









_



_



_{ }



_

②

③

正方形 的邊長

正方形 的邊長

 

2

₁

₁





_{ }

 

 



_



_{ }

 

， 故

1

5

2





 

②

③

正方形 的邊長

正方形 的邊長

。

若以平滑的弧線依序連結圖 18 中各正方形的其中兩個頂點，可得一條類似 自然界中海螺切面的曲線，如圖 19 所示，這就是第三冊介紹過的對數螺線。 ▲圖 19 最後，來看一道與黃金比例有關的應用問題。 【例题 6】 法國建築設計大師柯比意（L. Corbusier）在著作中描述一手 臂高舉的男性，其手臂高舉的點、頭頂、肚臍與腳底將整個高 度分成

a b c

, ,

三段（

a b c

 

），如右圖所示，其中

a b c

, ,

三數 成等比數列且肚臍恰為整個高度的中點。 (1) 求等比數列 a，b，c 的公比r。 (2) 已知此人手臂高舉離地 226 公分，求此人的身高。 （四捨五入到整數位） Ans： 【詳解】 (1) 由題意可得 2

,

b ar c ar





且

c a b

 

， 即

a ar ar

 

2， 化簡得

r

2

  

r

1 0

，解得

1

5

2

r





（

1

5

0

2

 

不合）。 即

1

5

1.618

2

r

 







。

(2) 由題意可得

226

a b c

  

， 又因為

a b c

 

，所以

2

c

226

。 解得

c

113

。 故由

c b





，可得此人的身高為

 

₁

2

_{113 1.618 183}

b c b b

     



b



b



  

c





（公分）。 【隨堂練習 6】 右圖為某人手掌的 X 光照片，其中

a b c d

, , ,

分別為 食指四段骨頭的長度（單位：公分）。已知

a b c d

, , ,

四數成等比數列且

c a b

 

。 (1) 求公比的值。 (2) 驗證

d b c

 

。 Ans： 【詳解】 (1) 設公比為r，由題意可得 2

,

b ar c ar





且

c a b

 

， 即

_{a ar ar}

 

2， 解得

1

5

2

r









。 (2) 因為

d ar



3



a



3， 利用



2

 

1



， 可得

 

3 2 2 2

1

d a

a

a

a

a

ar ar

b c



 

 

 







  

   

．

。 另解： 設公比為 r，可得

b ar c br d cr



,



,



。 因為

c a b

 

，所以

cr ar br

 

。 故

d b c

 

。

▲圖 21 黃金比例自古以來即被廣泛的應用在藝術上，例如希臘著名的帕德嫩神廟， 其寬與高的比值約為黃金比例，且柱子的頂點約為神廟高的黃金分割點，如圖 20 (a)所示。 (a) (b) ▲圖 20 繪畫方面，最經典的例子即為義大利畫家達文西著名的畫作蒙娜麗莎的微笑， 在畫作中，可看到蒙娜麗莎上半身與頭長的比值約為黃金比例，如圖 20 (b)所 示。 正五邊形裡也隱含了黃金比例



。連接邊長為 1 的正五邊形 ABCDE 之對角 線

BD

、

CE

與

BE

，並設對角線長為 x，得各角度與各線段長度如圖 21 所示。因 為△PBE 與△PCD 都是

36 36 108

  

的等腰三角形，所以 △PBE～△PCD，可得

BP CP

BE CD



， 即

1

1

1

x

x





， 整理得 2

_{1 0}

x

  

x

， 解得

1

5

2

x





（

1

5

0

2

 

不合）。 故邊長為 1 的正五邊形其對角線長 x 恰為黃金比例

1

5

2







。

▲ 圖 22 進一步來說，做△PBE 底邊上的高，如圖 22 所示，可推得

1

5

2

cos36

1

4





 

。

▲圖 23 義大利數學家費波納西（L. Fibonacci, 1175～1250）曾研究在理想條件下兔 子成長數量的問題，其條件如下： (1) 第 1 個月有 1 對一雌一雄的幼兔。 (2) 幼兔經過 1 個月會發育為成兔，再經 1 個月後開始生育。 (3) 成兔開始生育後，每個月會生育 1 對一雌一雄的幼兔。 如此持續下去，而且假設兔子不會死亡，那麼第 n 個月會有幾對兔子呢？令

F

_n表 示第 n 個月的兔子對數，利用圖 23 來輔助說明，其中白色代表幼兔，橘色代表 成兔。 (1) 第 1 個月只有 1 對幼兔，即

F 

1

1

。 (2) 第 2 個月這 1 對幼兔生長為成兔，即

F 

2

1

。 (3) 第 3 個月這 1 對成兔生育了 1 對幼兔。 故共有 1 對幼兔與 1 對成兔，即

F   

₃

1 1 2

。 (4) 第 4 個月有 1 對幼兔生長為成兔，且有 1 對成兔生育 1 對幼兔。 故共有 1 對幼兔與 2 對成兔，即

F   

4

1 2 3

。 (5) 第 5 個月有 1 對幼兔生長為成兔，且有 2 對成兔生育 2 對幼兔。 故共有 2 對幼兔與 3 對成兔，即

F   

5

2 3 5

。 以此類推，可得數列

F

_n 為 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …。 這個數列稱為費氏數列。觀察費氏數列發現：從第 3 項開始，每一項都是前兩項

的和，如圖 24 所示。 ▲圖 24 這個兔子繁殖的問題中，兔子會持續的增加，那麼這個增加的比例是多少呢？ 利用計算機求出此數列相鄰兩項的比值，列表如下。 n n1 n

F

F

 n n1 n

F

F

 1

1

1

1



8

34

_1.6190

21



2

2

2

1



9

55

1.6176

34



3

3

1.5

2



10

89

_1.6182

55



4

5

1.6667

3



11

144

1.6180

89



5

8

1.6

5



12

233

1.6181

144



6

13

1.625

8



13

377

_1.6180

233



7

21

1.6154

13



14

610

1.6180

377



由上表觀察到： n1 n

F

F

 _{的值似乎會趨近於一個定值。事實上，} n1 n

F

F

 _{的值會趨近} 於

1

5

2







，正因如此，我們有時候會利用 n1 n

F

F

 _{的值（例如}

8

5

或

13

8

）作為黃金 比例的近似值。 費氏數列不僅在數學中出現，生活中也常看到，像許多國家的國旗短邊與長

盧森堡、德國、尼加拉瓜的國旗比例是 3：5；瑞典、波蘭、帛琉的國旗比例是 5： 8。 大自然中，許多花的花瓣數為費氏數列中的某一項，例如：火鶴 1 瓣，麒麟 花 2 瓣，延齡草 3 瓣，梅花、杏花、桃花都 5 瓣，波斯菊 8 瓣…。 (a)麒麟花 (b)延齡草 (c)波斯菊 ▲圖 25

觀念澄清

0. 下列敘述對的打「」 (1) 兩相似三角形的面積比等於邊長比。 (2) 使用單點透視法繪圖時，若地面上的點離畫布愈來愈遠， 則畫在畫布上的位置會離地面無限制地愈來愈高。 (3) 若

1

5

2







，則

1

 

 

2。 Ans： 【詳解】 (1) ╳。 (2) ╳。 (3) ○。

一、基礎題

1. 取一個大正三角形，將其等分成四個相同的正三角形，並將中間的正三角形 編號為①；接著，再將上方的正三角形等分成四個相同的正三角形，並將中 間的正三角形編號為②；重複這樣的步驟，如右圖所示。求編號①與編號④ 的正三角形之邊長比與面積比。 Ans： 【詳解】 由圖可知， 編號①三角形邊長是編號②三角形邊長的 2 倍， 以此類推， 編號①三角形邊長是編號④三角形邊長的 8 倍。 故編號①與編號④的正三角形之邊長比為 8：1，

2. 將一大矩形等分成三個小矩形，如右圖所示。已知等分 後的小矩形與原來的大矩形相似，求大矩形的長邊與短 邊的長度比。 Ans： 【詳解】 設大矩形的長邊為 x，短邊為 1，如圖所示。 由①小矩形的寬為

3

x

，長為 1； ②小矩形與大矩形相似，即對應邊長成比例。 得

1

1

3

x

x



，化簡得

_{x }

2

₃

_，解得

_{x }

₃

_。 故大矩形的長邊與短邊的長度比為

3 : 1

。 3. 某人為了測量路燈高度，將畫筆垂直水平面，透過畫筆目測路燈， 並調整畫筆距離，使得畫筆恰好擋住整個路燈，如下圖所示。 已知此人距離路燈為 20 公尺，距離筆為 50 公分，筆的長度為 12 公分，求路燈的高度（公尺）。 Ans： 【詳解】 設路燈的高度為 x 公尺， 得

0.12 0.5

20

x



，解得

x

4.8

。 故路燈的高度為 4.8 公尺。

4. 在右圖中，ABCD 為一正方形，以線段

AB

中點 M 為圓 心、

MD

長為半徑，畫弧交

AB

的延長線於 E 點。已知 正方形 ABCD 的邊長為 2，求線段

AE

的長。 Ans： 【詳解】 因為正方形 ABCD 的邊長為 2， 所以

MD

1 2

2

 

2

5

。 故

AE AM ME





 

1

5

。

二、進階題

5. 畫家使用單點透視法將模特兒畫在畫布上，如右圖所示。已知畫家距離畫布 與模特兒分別為 50 公分與 250 公分，且模特兒身高為 180 公分，畫家眼睛 高度為 150 公分，求 (1) 畫布上模特兒畫像的身長

AB

。 (2) 畫布上 A 點距離地面的高度。 Ans： 【詳解】 (1) 利用單點透視法公式二，

50

AB 

(2) 設B 點距離地面的高度為 x 公分， 利用單點透視法公式一， 得

250 50

150

250

x

_



，解得

x

120

。 畫布上A 點距離地面的高度為

120 36 156

 

（公分）。 6. 扇子的設計有時會與黃金比例有關。已知右圖中的圓 分割成

A

₁與

A

₂兩個扇形，且其面積比為 1 2

1.618

A

A



扇形 的面積

扇形 的面積

， 試問扇子

A

₂張開的角度



為幾度？ （四捨五入至整數位） Ans： 【詳解】 設圓半徑為 r，扇子

A

₂張開的角度為





， 依題意得 2 2 2 1

1

360

360

_1.618

360

r

A

A

_r













_





的面積

的面積

， 解得

360

138

2.618







， 故扇子

A

₂張開的角度為 138。

7. 右圖中，將矩形 ABCD 截掉兩個以寬為邊長的正方形， 若剩下的矩形 CDEF 與 ABCD 相似，則稱矩形 ABCD 為白銀矩形。已知此白銀矩形 ABCD 的寬

AB

1

，求

AD

的長度。 Ans： 【詳解】 設

_{AD x}



，依題意得

AD CD

AB CF



， 可推得

1

1

2

x

x

 

，整理得

x

2

  

2 1 0

x

， 解得

2

4 4

1

2

2

x



 

 

（

₁

 

_{2 0}

不合）。