190
上一單元，我們透過配方法知道，二次函數的圖形一
定可以由 y=ax2的圖形平移得到，其圖形是一條以鉛直
線為對稱軸的拋物線。三次函數的圖形也有類似的作法及
特性，這是本單元的主要內容。在圖
1中，舞者兩手彎曲
的形狀近似一個三次函數的圖形。
三次函數的
圖形特徵
11
▲
圖1
甲
三次函數的圖形
設
a,b,c,d為實數，形如 y =
f x^ h=
ax3+
bx2+
cx+
d（ a! ）的函數稱為三0
次函數。在探討三次函數的圖形之前，我們先來介紹「點對稱圖形」：
當 PQ 的中點為O時，稱
P點對於
O點的對稱點為
Q點，如
圖2(a)所示；又任何一點對於自身的對稱點為其本身。
至於一個圖形 C ，若可以找到一個
O點，使得 C 上任一點
P
對於
O 點的對稱點
Q 也會落在 C 上，則稱圖形 C 為點對稱圖
形，O點為圖形 C 的對稱中心。例如，圖2(b)的N圖形就是以
O點為對稱中心的點對稱圖形。
(一)三次函數
y =ax3的圖形
首先，利用描點的方法描繪 y=
x3的圖形：
(a)
▲
圖2
(b)
11
三次函數的圖形特徵
191
描繪 y =
x3的圖形。
解
首先，列出一些滿足 y=
x3的點_
x y, i如下：
x -2
2
3
- -1
2
1
- 0
2
1
1
2
3
2
y -8
8
27
- -1
8
1
- 0
8
1
1
8
27
8
接著，在坐標平面上，分別將上列各數對描點，如下圖(a)。
(a) (b)
從以上描點的過程可以發現：
1 當x值越大時，所對應的
y值也隨著增大，即圖形會由左往右上升。
2 當點`
a a, 3j是圖形上一點時，它對於原點
O的對稱點`-
a,-
a3j也會
是圖形上的一點，即圖形是以原點
O為對稱中心的點對稱圖形。
最後，我們可以再描出更多的點，如 x
4
3
!
= ,
4
5
! ,
4
7
! 所對應的點，並觀
察出圖形應是連續不斷的（事實上這是可以被證明的）。將所描的點用
平滑曲線連接起來而得出圖(b)，即為 y =
x3的圖形（藍色曲線）。
例題
1
接著，請利用描點的方法完成底下的隨堂練習。
192
（ 連 連 看 ） 將 下 列 函 數 連 到 所 對 應 的 函 數
圖形之代號上：
y=-
x3
• • C
1（紅色曲線）
y=2
x3
• • C
2（藍色曲線）
y=-2
x3
• • C
3（綠色曲線）
隨堂練習
綜合例題1
及其隨堂練習，將 y=
ax3的圖形分類如下：
a20
a10
要注意的是：
1 當 a2 時，圖形由左往右上升；0
當 a1 時，圖形由左往右下降。0
2 圖形通過原點且都對稱於原點。
這裡的函數 y=
f x^ h=
ax3圖形都對稱於原點，也就是說，當點_
a, f^ h
a i 是
圖形上一點時，它對於原點
O的對稱點_-
a,-
f^ h
a i 也會是圖形上的一點。因
此，得 f^-
ah=-
f^
ah。
11
三次函數的圖形特徵
193
一般而言，若函數 f x^ h
的圖形對稱於原點，則 f^-
xh=-
f x^ h；反之，若函
數 f x^ h
具有 f^-
xh=-
f x^ h的特性，則其函數圖形對稱於原點。
(二)三次函數
y =ax3+px（
p!0）的圖形
三次函數 f x^ h=
ax3+
px具有
f^-
xh=
a^-
xh3+
p^-
xh=-
ax3-
px=-
f x^ h
的特性，所以其圖形會對稱於原點，這結論有助於描繪它的圖形。
先看
a,p同號（即 ap2 ）的例題。0
描繪 y =
x3+2
x的圖形。
解
將
y因式分解，得
x +2
y=
x_ 2 i 。
因 為 x2+2
恆 正 ， 所 以 當 x2 時 ， y 值 恆 正 ； 當0
x1 時 ， y 值 恆 負 。 使 用 描 點 法 畫 出 x0 $0時 的 圖
形，再利用圖形對稱原點的特徵，畫出 x #0時的圖
形，描繪如右。
x 0
4
1
2
1
4
3
1
4
5
2
3
4
7
2
y 0
64
33
8
9
64
123
3
64
285
8
51
64
567
12
例題
2
194
隨堂練習
（連連看）將下列函數連到所對應的函數圖形之
代號上：
y=2
x3
+ • x • C
1（紅色曲線）
y x x
2
1 3
=-
- • • C （黑色曲線）
2
接著看
a,p異號（ ap1 ）的例題。0
描繪 y =
x3-
x的圖形。
解
將
y因式分解，
x -1
y=
x_ 2 i=
x x^ -1h^
x+1h ，
得知圖形與
x軸交於 1- ,0與1三處。使用描點法
畫 出 x$0時 的 圖 形 ， 再 利 用 圖 形 對 稱 原 點 的 特
徵，畫出 x# 時的圖形，描繪如右。0
x 0
4
1
2
1
4
3
1
4
5
2
3
4
7
2
y 0
64
15
-8
3
-64
21
- 0
64
45
8
15
64
231
6
例題
3
11
三次函數的圖形特徵
195
隨堂練習
（連連看）將下列函數連到所對應的函數圖
形之代號上：
y=
x3-4
x • • C
1（紅色曲線）
y x x
2
1
2
3
=- +
• • C （黑色曲線）
2
綜合例題2、例題3
及其隨堂練習，將 y=
ax3+
px的圖形分類如下：
a,p同號
a,p異號
a20
a10
a20
a10
要注意的是：
1 當 a2 時，圖形的最右方都是上升的；0
當 a1 時，圖形的最右方都是下降的。0
2 圖形通過原點且都對稱於原點。
(三)三次函數
y =ax3+bx2+cx+d的圖形
在上一單元中，利用配二次方，及平移的概念就可描繪出所有二次函數的圖
形。同樣地，只要學會配三次方，再透過平移的概念，就可以描繪出所有三次函
數的圖形。先介紹配三次方。
196
將下列函數化成 y =
a x^ -
hh3+
p x^ -
hh+
k的形式：
1
y=
x3+3
x2+5
x+7。 2
y=
x3-6
x2。 3
y=2
x3-2
x2+ +
x 1。
解
1 利用立方公式 a b^ + h3=
a3+3
a b2 +3
ab2+
b3，將
y配三次方如下：
x +3
x
y=_ 3 2i+5
x+7
x3+3#
x2#1+3# #
x 12+13 3
x 1 5
x 7
=_ i- - + +
x 13 2
x 6
=^ + h + +
x 13 2
x 1 4
=^ + h + ^ + h+ 。
2 利用立方公式 a b^ - h3=
a3-3
a b2 +3
ab2-
b3，將
y配三次方如下：
y=
x3-6
x2
x3-3#
x2#2+3# #
x 22-23 12
x 8
=_ i- +
x 2 3 12
x 2 16
=^ - h - ^ - h- 。
3 利用立方公式 a b^ - h3=
a3-3
a b2 +3
ab2-
b3，將
y配三次方如下：
x -
x
y=2_ 3 2i+ +
x 1
x -3#
x # +3# #
x -
x x
2
3
1
3
1
3
1
3
2
27
2
1
3 2
2 3
=
f
e o e o
p
- + + +
x x
2
3
1
3
1
27
29
3
= e - o + +
x x
2
3
1
3
1
3
1
27
32
3
= e - o + e - o+ 。
例題
4
11
三次函數的圖形特徵
197
隨堂練習
將下列函數化成 y =
a x^ -
hh3+
p x^ -
hh+
k的形式：
1
y=
x3-3
x2+4
x- 。 23
y=
x3+9
x2。 3
y=-2
x3-2
x2- + 。
x 1
接著，借助配三次方及平移的概念，描繪三次函數的圖形。
描繪 y =
x3-9
x2+29
x-32的圖形，並求其對稱中心。
解
利用配三次方，將函數化成 y=
a x^ -
hh3+
p x^ -
hh+
k的形式：
x -9
x
y=_ 3 2i+29
x-32
x 3 3 27
x 27 29
x 32
=^ - h - + +
-x 3 3 2
x 5
=^ - h +
-x 3 3 2
x 3 1
=^ - h + ^ - h+ ，
由平移的概念知道，這個函數的圖形可
由 y=
x3+2
x的圖形往右平移3單位，再
向上平移 1 單位得到，如右圖所示，且
其對稱中心為點_3 1, i。
例題
5
描繪 y =-
x3+3
x2-2
x-2的圖形，並求其對稱中心。
隨堂練習
198
一 般 而 言 ， y=
ax3+
bx2+
cx+
d （ a!0 ） 都 可 以 經 由 配 三 次 方 化 成
y=
a x^ -
hh3+
p x^ -
hh+
k的形式，方法如下：
y=
ax3+
bx2+
cx+
d
a x
a
b
x cx d
3 2
= e + o+ +
a x
a
b
a
b
x
a
b
cx d
3 3
27
3
2
2
3
= e + o - - + +
c
-a x
a
b
a
b
x
a
b
a
b
a
b
a
bc
d
3 3 3
27 9 3
3 2
2
3
2
3
= e + o +f pe + o+ -
f
+ - +
p
a x h 3
p x h k
= ^ - h + ^ - h+ ，
其中 h
a
b
3
=- ,
p c
a
b
3
2
= - ,
k
a
b
a
b
a
bc
d f
a
b
27 2 9 3 3
3
2
3
=- + - + = e- o。
因此， y=
ax3+
bx2+
cx+ =
d a x^ -
hh3+
p x^ -
hh+
k的圖形可由 y=
ax3+
px的圖
形平移得到，且點_
h k, i為圖形的對稱中心。
三 次 函 數 y=
f x^ h=
ax3+
bx2+
cx+
d 可 配 三 次 方 成 y=
a x^ -
hh3+
p x^ -
hh+
k的形式，其圖形是一條點對稱的曲線，而且圖形具有下列特
徵：
1 點_
h k, i
是圖形的對稱中心，其中 h
a
b
3
=- ,
k f
a
b
3
= e- o。
2 圖形既沒有最高點也沒有最低點。
三次函數的圖形
練習一題應用問題。
11
三次函數的圖形特徵
199
主辦單位在平面坐標上，設計一個三次函數的圖形作
為路跑的路線。已知起跑點為原點
O，終點為C_9,
si，
路線上的兩點
A 1 25_ , i,
B 7 7_ , i為補給站，且兩補給站
對稱於圖形的對稱中心，求
1圖形的對稱中心。 2此三次函數。 3實數
s的值。
解
1 因為A,B對稱於圖形的對稱中心，所以圖形的對稱中心為 AB 的中點_4 16, i。
2 因為圖形的對稱中心_
h k, i=_4 16, i，所以可設此三次函數為
y=
a x^ -4h3+
p x^ -4h+16
又因為通過_0 0, i,_7 7, i兩點，所以
a p
a p
64 4 16 0
27 3 16 7
- - + =
+ + =
* ，
， 即
，
，
a p
a p
16 4
9 3
+ =
+
=-*
解得 a= , p1 =-12，即此三次函數為
y=^
x-4h3-12^
x-4h+16。
3 將點C_9,
si代入此三次函數，得
s=125-12#5+16=81。
例題
6
數學夏令營設計一個尋寶活動，內容是：在活
動區域設定一個平面坐標，並將十件珠寶埋藏
在一個三次函數圖形上的十個點；對學員只提
示第一件珠寶埋在圖形的對稱中心 ,_1 2i處，
第二件埋在點_2 3, i處，第三件埋在點_3 10, i
處，而不告訴其餘七件珠寶的埋藏處。請你幫
忙找出此三次函數，還原藏寶路線圖。
隨堂練習
200
最後，將二次函數與三次函數圖形的特徵，比較如下表：
二次函數
y=
f x^ h=
ax2+
bx+
c
三次函數
y=
f x^ h=
ax3+
bx2+
cx+
d
頂點 ,
a
b
f
a
b
2 2
-
-f e op
對稱中心 ,
a
b
f
a
b
3 3
-
-f e op
對稱軸
x
a
b
2
=-a20
a20 或
a10
a10 或
在上表的函數圖形中，二次函數圖形上的紅點為頂點、紅色虛線為對稱軸；
三次函數圖形上的紅點為圖形的對稱中心。
設三次函數 f x^ h=3
x3-5
x2+
cx+
d，其中
c,d為實數，選出正確的選項。
1 可以找到一個實數 x0滿足 f` j
x0 =1000
2 y=
f x^ h的圖形與
x軸至少交一點
3 y=
f x^ h
圖形的對稱軸為直線 x
6
5
=
4 y=
f x^ h圖形的對稱中心為
, f
9
5
9
5
f e op
5 f f f
9
5
2
1
9
2
9
8
= +
e o f e o e op。
隨堂練習
11
三次函數的圖形特徵
201
值得一提的是：我們對於三次函數圖形的介紹將不僅於此，在12年級選修
數學的課程中，會再作更進一步的探討。屆時，本單元所稱的「對稱中心」會用
另外一個名詞「反曲點」來稱呼它。
乙
廣域特徵與局部特徵
用Google地圖查詢彎彎曲曲的北宜公路，公路曲折，如圖3(a)所示。將地
圖拉遠看，公路曲折不明顯了，就像是平滑的曲線，如圖3(b)的紅圈所示。選定
公路上一處，將地圖拉近看，公路卻像是一直線，如圖3(c)所示。拉近拉遠看地
圖上的公路會影響公路的特徵，那拉近拉遠看函數圖形的特徵會是什麼情形呢？
(a) (b) (c)
▲
圖3
在一個頗大的範圍（如全部的實數
x）內觀察函數 y=
f x^ h圖形的特徵，稱
為廣域特徵（大域特徵）；在一個頗小的範圍（如 .1 999#
x #2 001. ）內觀察函
數 y=
f x^ h圖形的特徵，稱為局部特徵。舉例說明如下：
(一)廣域特徵
圖4
是三次函數 y=
x3-5
x2+8
x-4分別在三個
x範圍上的圖形，其中
x,y的
單位長並不相等，這是為了要凸顯圖形在各個
x範圍內的特徵，所作的適當調
整。
202
▲
圖4
(a) (c)
x
20# #20
-(b)
x
5# #5
-x
0# #3
在圖4(a)
中，x的範圍並不大，明顯看得出來圖形有些「轉折」；在圖4(b)
中，x的範圍加大，「轉折」不明顯了，圖形看起來像 y=
x3的圖形向右稍微平
移一些；在圖4(c)
中，x的範圍更大了，有點像「離很遠看」函數圖形，這時
「向右稍微平移一些」也不明顯了，看起來就像 y=
x3的圖形。
一般而言，當 x! 時，將三次函數 y0 =
ax3+
bx2+
cx+
d改寫為
y ax
a
b
x a
c
x a
d
x
1 1 1
3
2 3
= f
1+ # + # + # p 。
得 知 ： 當 x 很 大 時 ， 括 號 裡 的 值 很 接 近 1 ， 即 y.
ax3 。 這 就 是 拉 遠 看
y=
ax3+
bx2+
cx+
d的圖形會很接近 y=
ax3的圖形的原因，因此我們有
三次函數 y=
f x^ h=
ax3+
bx2+
cx+
d圖形的廣域特徵近似於曲線 y=
ax3。
廣域特徵
11
三次函數的圖形特徵
203
(二)局部特徵
在單元9的例題5
中，將多項式 f x^ h=
x3-
x2- +
x 1
表成 x^ -2h 的多項式之
形式，得
f x^ h=^
x-2h3+5^
x-2h2+7^
x-2h+3。
並利用它估計
f 1 99^ . h的近似值至百分位，得
. . . .
f 1 99^ h= -^ 0 01h3+5^-0 01h2+7^-0 01h+3
644444444444 44444444444數值太小，忽略不計7 8
. .
7 0 01 3 2 93
. ^- h+ = 。
由於 .1 99-2 =0 01. 是很小的數，次方越大其值越小，以估計至百分位來看，二
次方以上即可忽略不計。可見探討函數 f x^ h
在 x=2附近的局部性質時，可先將
f x^ h
表成 x 2^ -
h 多項式的形式，其中高次項 x^ -2h3+5^
x-2h 影響小，而低次2
項7^
x-2h+3才是關鍵。
將 圖 形 拉 近 看 ， 在 點_2 3, i
附 近 的 區 域 內 ， 觀 察 y=
f x^ h的 圖 形 與 直 線
y=7^
x-2h+3，如圖5所示。它們都通過中心_2 3, i，且圓圈內的曲線近似於直
線，所以 y=
f x^ h
圖形在 x =2
附近的局部特徵近似於直線 y= 7^
x-2h+3。
▲
圖5
若三次多項式 f x^ h
表成 x^ -
hh 的多項式之形式為
f x^ h=
a x^ -
hh3+
b x^ -
hh2+
c x^ -
hh+
d，
則函數 y=
f x^ h
的圖形在 x=
h附近的局部特徵近似於直線 y =
c x^ -
hh+
d。
局部特徵
204
204
同理，二次函數圖形的廣域特徵由二次項決定；局部特徵則近似一條直線。例
如：二次函數 y=
f x^ h=
x2-2
x+3
圖形的廣域特徵近似於拋物線 y=
x2，如圖6所
示。
▲
圖6
(a) -2#
x#4 (b) -10#
x#10
又將 y=
x2-2
x+ 表成 y3 =^
x-2h2+2^
x-2h+3
，可得其圖形在 x= 2附近的局
部特徵近似於直線 y=2^
x-2h+3，如圖7所示。
▲
圖7
設三次函數 y=
f x^ h=
a x^ +1h3+
b x^ +1h+
c。已知廣域看 y=
f x^ h的圖形
會很接近 y=-2
x3
的圖形，而局部看 y=
f x^ h
在 x=-1附近的圖形卻近
似於直線 y=5
x+3，求實數
a,b,c的值。
隨堂練習
205
205
11
一、觀念題
關 於 三 次 函 數 y=
f x^ h=2^
x-4h3+3^
x-4h+5 。 以 下 各 小 題 對 的 打
「○」，錯的打「×」。
1 f^-
xh=-
f x^ h。
2 點_4 5, i是圖形的對稱中心。
3 函數 f x^ h有最大值5。
4 局部看 y=
f x^ h
在 x= 4
附近的圖形會近似於直線 y=3^
x-4h+5。
二、基礎題
如右圖，已知C
1: y=
a x1 3, C
2: y=
a x2 3,C
3: y=
a x3 3
，
比較 a1,
a2,
a3的大小關係。
將下列函數化成 y =
a x^ -
hh3+
p x^ -
hh+
k的形式：
1 y=-
x3-6
x2+2
x- 。3
2 y=
x3+
x2- + 。
x 1
將 f x^ h=^
x+1h3-2^
x+1h+5的圖形往右平移3 單位，再向下平移4單位
後，得 g x^ h
的圖形，求 g x^ h的
x項係數。
