單元11-三次函數的圖形特徵

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上一單元,我們透過配方法知道,二次函數的圖形一 定可以由 y=ax2的圖形平移得到,其圖形是一條以鉛直 線為對稱軸的拋物線。三次函數的圖形也有類似的作法及 特性,這是本單元的主要內容。在圖1中,舞者兩手彎曲 的形狀近似一個三次函數的圖形。

三次函數的

圖形特徵

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圖1

三次函數的圖形

a,b,c,d為實數,形如 y =f x^ h= ax3+bx2+cx+d( a! )的函數稱為三0 次函數。在探討三次函數的圖形之前,我們先來介紹「點對稱圖形」: 當 PQ 的中點為O時,稱P點對於O點的對稱點為Q點,如 圖2(a)所示;又任何一點對於自身的對稱點為其本身。 至於一個圖形 C ,若可以找到一個O點,使得 C 上任一點P 對於O 點的對稱點Q 也會落在 C 上,則稱圖形 C 為點對稱圖 形,O點為圖形 C 的對稱中心。例如,圖2(b)的N圖形就是以 O點為對稱中心的點對稱圖形。 (一)三次函數y =ax3的圖形 首先,利用描點的方法描繪 y=x3的圖形: (a) ▲ 圖2 (b)

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三次函數的圖形特徵

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描繪 y =x3的圖形。 解 首先,列出一些滿足 y=x3的點_x y, i如下: x -2 2 3 - -1 2 1 - 0 2 1 1 2 3 2 y -8 8 27 - -1 8 1 - 0 8 1 1 8 27 8 接著,在坐標平面上,分別將上列各數對描點,如下圖(a)。 (a) (b) 從以上描點的過程可以發現: 1 當x值越大時,所對應的y值也隨著增大,即圖形會由左往右上升。 2 當點`a a, 3j是圖形上一點時,它對於原點O的對稱點`-a,-a3j也會 是圖形上的一點,即圖形是以原點O為對稱中心的點對稱圖形。 最後,我們可以再描出更多的點,如 x 4 3 ! = , 4 5 ! , 4 7 ! 所對應的點,並觀 察出圖形應是連續不斷的(事實上這是可以被證明的)。將所描的點用 平滑曲線連接起來而得出圖(b),即為 y =x3的圖形(藍色曲線)。

例題

1

接著,請利用描點的方法完成底下的隨堂練習。

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( 連 連 看 ) 將 下 列 函 數 連 到 所 對 應 的 函 數 圖形之代號上: y=-x3 C1(紅色曲線) y=2x3 C2(藍色曲線) y=-2x3 C3(綠色曲線)

隨堂練習

綜合例題1及其隨堂練習,將 y=ax3的圖形分類如下: a20 a10 要注意的是: 1 當 a2 時,圖形由左往右上升;0 當 a1 時,圖形由左往右下降。0 2 圖形通過原點且都對稱於原點。 這裡的函數 y=f x^ h=ax3圖形都對稱於原點,也就是說,當點_a, f^ ha i 是 圖形上一點時,它對於原點 O的對稱點_-a,-f^ ha i 也會是圖形上的一點。因 此,得 f^-ah=-f^ah。

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三次函數的圖形特徵

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一般而言,若函數 f x^ h的圖形對稱於原點,則 f^-xh=-f x^ h;反之,若函 數 f x^ h具有 f^-xh=-f x^ h的特性,則其函數圖形對稱於原點。 (二)三次函數y =ax3+pxp!0)的圖形 三次函數 f x^ h=ax3+px具有 f^-xh=a^-xh3+p^-xh=-ax3-px=-f x^ h 的特性,所以其圖形會對稱於原點,這結論有助於描繪它的圖形。 先看a,p同號(即 ap2 )的例題。0 描繪 y =x3+2x的圖形。 解 將y因式分解,得 x +2 y= x_ 2 i 。 因 為 x2+2恆 正 , 所 以 當 x2 時 , y 值 恆 正 ; 當0 x1 時 , y 值 恆 負 。 使 用 描 點 法 畫 出 x0 $0時 的 圖 形,再利用圖形對稱原點的特徵,畫出 x #0時的圖 形,描繪如右。 x 0 4 1 2 1 4 3 1 4 5 2 3 4 7 2 y 0 64 33 8 9 64 123 3 64 285 8 51 64 567 12

例題

2

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隨堂練習

(連連看)將下列函數連到所對應的函數圖形之 代號上: y=2x3+ • x C1(紅色曲線) y x x 2 1 3 =- - • C (黑色曲線)2 接著看a,p異號( ap1 )的例題。0 描繪 y =x3-x的圖形。 解 將y因式分解, x -1 y= x_ 2 i= x x^ -1h^x+1h , 得知圖形與x軸交於 1- ,0與1三處。使用描點法 畫 出 x$0時 的 圖 形 , 再 利 用 圖 形 對 稱 原 點 的 特 徵,畫出 x# 時的圖形,描繪如右。0 x 0 4 1 2 1 4 3 1 4 5 2 3 4 7 2 y 0 64 15 -8 3 -64 21 - 0 64 45 8 15 64 231 6

例題

3

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三次函數的圖形特徵

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隨堂練習

(連連看)將下列函數連到所對應的函數圖 形之代號上: y=x3-4x C1(紅色曲線) y x x 2 1 2 3 =- + C (黑色曲線)2 綜合例題2、例題3及其隨堂練習,將 y=ax3+px的圖形分類如下: a,p同號 a,p異號 a20 a10 a20 a10 要注意的是: 1 當 a2 時,圖形的最右方都是上升的;0 當 a1 時,圖形的最右方都是下降的。0 2 圖形通過原點且都對稱於原點。 (三)三次函數y =ax3+bx2+cx+d的圖形 在上一單元中,利用配二次方,及平移的概念就可描繪出所有二次函數的圖 形。同樣地,只要學會配三次方,再透過平移的概念,就可以描繪出所有三次函 數的圖形。先介紹配三次方。

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將下列函數化成 y =a x^ -hh3+p x^ -hh+k的形式: 1 y=x3+3x2+5x+7。 2 y=x3-6x2。 3 y=2x3-2x2+ +x 1。 解 1 利用立方公式 a b^ + h3= a3+3a b2 +3ab2+b3,將y配三次方如下: x +3x y=_ 3 2i+5x+7 x3+3#x2#1+3# #x 12+13 3x 1 5x 7 =_ i- - + + x 13 2x 6 =^ + h + + x 13 2 x 1 4 =^ + h + ^ + h+ 。 2 利用立方公式 a b^ - h3= a3-3a b2 +3ab2-b3,將y配三次方如下: y=x3-6x2 x3-3#x2#2+3# #x 22-23 12x 8 =_ i- + x 2 3 12 x 2 16 =^ - h - ^ - h- 。 3 利用立方公式 a b^ - h3= a3-3a b2 +3ab2-b3,將y配三次方如下: x -x y=2_ 3 2i+ +x 1 x -3#x # +3# #x - x x 2 3 1 3 1 3 1 3 2 27 2 1 3 2 2 3 =

f

e o e o

p

- + + + x x 2 3 1 3 1 27 29 3 = e - o + + x x 2 3 1 3 1 3 1 27 32 3 = e - o + e - o+ 。

例題

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三次函數的圖形特徵

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隨堂練習

將下列函數化成 y =a x^ -hh3+p x^ -hh+k的形式: 1 y=x3-3x2+4x- 。 23 y=x3+9x2。 3 y=-2x3-2x2- + 。x 1 接著,借助配三次方及平移的概念,描繪三次函數的圖形。 描繪 y =x3-9x2+29x-32的圖形,並求其對稱中心。 解 利用配三次方,將函數化成 y=a x^ -hh3+p x^ -hh+k的形式: x -9x y=_ 3 2i+29x-32 x 3 3 27x 27 29x 32 =^ - h - + + -x 3 3 2x 5 =^ - h + -x 3 3 2 x 3 1 =^ - h + ^ - h+ , 由平移的概念知道,這個函數的圖形可 由 y=x3+2x的圖形往右平移3單位,再 向上平移 1 單位得到,如右圖所示,且 其對稱中心為點_3 1, i。

例題

5

描繪 y =-x3+3x2-2x-2的圖形,並求其對稱中心。

隨堂練習

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一 般 而 言 , y=ax3+bx2+cx+d ( a!0 ) 都 可 以 經 由 配 三 次 方 化 成 y=a x^ -hh3+p x^ -hh+k的形式,方法如下: y=ax3+bx2+cx+d a x a b x cx d 3 2 = e + o+ + a x a b a b x a b cx d 3 3 27 3 2 2 3 = e + o - - + + c -a x a b a b x a b a b a b a bc d 3 3 3 27 9 3 3 2 2 3 2 3 = e + o +f pe + o+ -

f

+ - +

p

a x h 3 p x h k = ^ - h + ^ - h+ , 其中 h a b 3 =- , p c a b 3 2 = - , k a b a b a bc d f a b 27 2 9 3 3 3 2 3 =- + - + = e- o。 因此, y=ax3+bx2+cx+ =d a x^ -hh3+p x^ -hh+k的圖形可由 y= ax3+px的圖 形平移得到,且點_h k, i為圖形的對稱中心。 三 次 函 數 y=f x^ h=ax3+bx2+cx+d 可 配 三 次 方 成 y=a x^ -hh3+ p x^ -hh+k的形式,其圖形是一條點對稱的曲線,而且圖形具有下列特 徵: 1 點_h k, i是圖形的對稱中心,其中 h a b 3 =- ,k f a b 3 = e- o。 2 圖形既沒有最高點也沒有最低點。 三次函數的圖形 練習一題應用問題。

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三次函數的圖形特徵

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主辦單位在平面坐標上,設計一個三次函數的圖形作 為路跑的路線。已知起跑點為原點O,終點為C_9,si, 路線上的兩點A 1 25_ , i,B 7 7_ , i為補給站,且兩補給站 對稱於圖形的對稱中心,求 1圖形的對稱中心。 2此三次函數。 3實數s的值。 解 1 因為A,B對稱於圖形的對稱中心,所以圖形的對稱中心為 AB 的中點_4 16, i。 2 因為圖形的對稱中心_h k, i=_4 16, i,所以可設此三次函數為 y=a x^ -4h3+p x^ -4h+16 又因為通過_0 0, i,_7 7, i兩點,所以 a p a p 64 4 16 0 27 3 16 7 - - + = + + = * , , 即 , , a p a p 16 4 9 3 + = + =-* 解得 a= , p1 =-12,即此三次函數為 y=^x-4h3-12^x-4h+16。 3 將點C_9,si代入此三次函數,得 s=125-12#5+16=81。

例題

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數學夏令營設計一個尋寶活動,內容是:在活 動區域設定一個平面坐標,並將十件珠寶埋藏 在一個三次函數圖形上的十個點;對學員只提 示第一件珠寶埋在圖形的對稱中心 ,_1 2i處, 第二件埋在點_2 3, i處,第三件埋在點_3 10, i 處,而不告訴其餘七件珠寶的埋藏處。請你幫 忙找出此三次函數,還原藏寶路線圖。

隨堂練習

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最後,將二次函數與三次函數圖形的特徵,比較如下表: 二次函數 y=f x^ h= ax2+bx+c 三次函數 y=f x^ h=ax3+bx2+cx+d 頂點 , a b f a b 2 2 - -f e op 對稱中心 , a b f a b 3 3 - -f e op 對稱軸 x a b 2 =-a20 a20  或  a10 a10  或  在上表的函數圖形中,二次函數圖形上的紅點為頂點、紅色虛線為對稱軸; 三次函數圖形上的紅點為圖形的對稱中心。 設三次函數 f x^ h=3x3-5x2+cx+d,其中c,d為實數,選出正確的選項。 1 可以找到一個實數 x0滿足 f` jx0 =1000 2 y=f x^ h的圖形與x軸至少交一點 3 y=f x^ h圖形的對稱軸為直線 x 6 5 = 4 y=f x^ h圖形的對稱中心為 , f 9 5 9 5 f e op 5 f f f 9 5 2 1 9 2 9 8 = + e o f e o e op。

隨堂練習

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三次函數的圖形特徵

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值得一提的是:我們對於三次函數圖形的介紹將不僅於此,在12年級選修 數學的課程中,會再作更進一步的探討。屆時,本單元所稱的「對稱中心」會用 另外一個名詞「反曲點」來稱呼它。

廣域特徵與局部特徵

用Google地圖查詢彎彎曲曲的北宜公路,公路曲折,如圖3(a)所示。將地 圖拉遠看,公路曲折不明顯了,就像是平滑的曲線,如圖3(b)的紅圈所示。選定 公路上一處,將地圖拉近看,公路卻像是一直線,如圖3(c)所示。拉近拉遠看地 圖上的公路會影響公路的特徵,那拉近拉遠看函數圖形的特徵會是什麼情形呢? (a) (b) (c) ▲ 圖3 在一個頗大的範圍(如全部的實數x)內觀察函數 y=f x^ h圖形的特徵,稱 為廣域特徵(大域特徵);在一個頗小的範圍(如 .1 999#x #2 001. )內觀察函 數 y=f x^ h圖形的特徵,稱為局部特徵。舉例說明如下: (一)廣域特徵 圖4是三次函數 y=x3-5x2+8x-4分別在三個x範圍上的圖形,其中x,y的 單位長並不相等,這是為了要凸顯圖形在各個x範圍內的特徵,所作的適當調 整。

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圖4 (a) (c) x 20# #20 -(b) x 5# #5 -x 0# #3 在圖4(a)中,x的範圍並不大,明顯看得出來圖形有些「轉折」;在圖4(b) 中,x的範圍加大,「轉折」不明顯了,圖形看起來像 y=x3的圖形向右稍微平 移一些;在圖4(c)中,x的範圍更大了,有點像「離很遠看」函數圖形,這時 「向右稍微平移一些」也不明顯了,看起來就像 y=x3的圖形。 一般而言,當 x! 時,將三次函數 y0 =ax3+bx2+cx+d改寫為 y ax a b x a c x a d x 1 1 1 3 2 3 = f1+ # + # + # p 。 得 知 : 當 x 很 大 時 , 括 號 裡 的 值 很 接 近 1 , 即 y.ax3 。 這 就 是 拉 遠 看 y=ax3+bx2+cx+d的圖形會很接近 y= ax3的圖形的原因,因此我們有 三次函數 y=f x^ h=ax3+bx2+cx+d圖形的廣域特徵近似於曲線 y=ax3。 廣域特徵

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三次函數的圖形特徵

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(二)局部特徵 在單元9的例題5中,將多項式 f x^ h=x3-x2- +x 1表成 x^ -2h 的多項式之 形式,得 f x^ h=^x-2h3+5^x-2h2+7^x-2h+3。 並利用它估計 f 1 99^ . h的近似值至百分位,得 . . . . f 1 99^ h= -^ 0 01h3+5^-0 01h2+7^-0 01h+3 644444444444 44444444444數值太小,忽略不計7 8 . . 7 0 01 3 2 93 . ^- h+ = 。 由於 .1 99-2 =0 01. 是很小的數,次方越大其值越小,以估計至百分位來看,二 次方以上即可忽略不計。可見探討函數 f x^ h在 x=2附近的局部性質時,可先將 f x^ h表成 x 2^ - h 多項式的形式,其中高次項 x^ -2h3+5^x-2h 影響小,而低次2 項7^x-2h+3才是關鍵。 將 圖 形 拉 近 看 , 在 點_2 3, i附 近 的 區 域 內 , 觀 察 y=f x^ h的 圖 形 與 直 線 y=7^x-2h+3,如圖5所示。它們都通過中心_2 3, i,且圓圈內的曲線近似於直 線,所以 y=f x^ h圖形在 x =2附近的局部特徵近似於直線 y= 7^x-2h+3。 ▲ 圖5 若三次多項式 f x^ h表成 x^ -hh 的多項式之形式為 f x^ h=a x^ -hh3+b x^ -hh2+c x^ -hh+d則函數 y= f x^ h的圖形在 x=h附近的局部特徵近似於直線 y =c x^ -hh+d。 局部特徵

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同理,二次函數圖形的廣域特徵由二次項決定;局部特徵則近似一條直線。例 如:二次函數 y=f x^ h=x2-2x+3圖形的廣域特徵近似於拋物線 y=x2,如圖6所 示。 ▲ 圖6 (a) -2#x#4 (b) -10#x#10 又將 y=x2-2x+ 表成 y3 =^x-2h2+2^x-2h+3,可得其圖形在 x= 2附近的局 部特徵近似於直線 y=2^x-2h+3,如圖7所示。 ▲ 圖7 設三次函數 y=f x^ h=a x^ +1h3+b x^ +1h+c。已知廣域看 y=f x^ h的圖形 會很接近 y=-2x3的圖形,而局部看 y=f x^ h在 x=-1附近的圖形卻近 似於直線 y=5x+3,求實數a,b,c的值。

隨堂練習

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一、觀念題

關 於 三 次 函 數 y= f x^ h=2^x-4h3+3^x-4h+5 。 以 下 各 小 題 對 的 打 「○」,錯的打「×」。 1 f^-xh=-f x^ h。 2 點_4 5, i是圖形的對稱中心。 3 函數 f x^ h有最大值5。 4 局部看 y=f x^ h在 x= 4附近的圖形會近似於直線 y=3^x-4h+5。

二、基礎題

如右圖,已知C1: y=a x1 3, C2: y=a x2 3,C3: y=a x3 3 比較 a1, a2, a3的大小關係。 將下列函數化成 y =a x^ -hh3+p x^ -hh+k的形式: 1 y=-x3-6x2+2x- 。3 2 y=x3+x2- + 。x 1 將 f x^ h=^x+1h3-2^x+1h+5的圖形往右平移3 單位,再向下平移4單位 後,得 g x^ h的圖形,求 g x^ h的x項係數。

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已知 y =3^x-hh3+8^x-hh+k圖形的對稱中心為_-2 5, i,求實數h,k的值。 求三次函數 y=x3+3x2+5x+6圖形的對稱中心。

三、進階題

已知一次函數 y=ax+ 的圖形如右,下列哪一b 個 選 項 的 圖 形 最 接 近 三 次 函 數 y=ax3+bx 的 圖 形? 1 2 3 4 5 關於三次函數 f x^ h=x3-3x2+6,選出正確的選項。 1 f x^ h=^x+1h3-6^x+1h2+9^x+1h+2 2 f^-0 98. h.1 82. (正確至百分位) 3 y=f x^ h圖形的對稱中心為_1 4, i 4 局部看 y =f x^ h在 x=-1附近的圖形近似於直線 y=9x+11。

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(連連看)已知 f x^ h=x3-x,請將下列函數連 到所對應的函數圖形之代號上: y=f x^ h C1(藍色曲線) y=f x^ h+3 C (黑色曲線)2 y=f x^ -1h C3(紅色曲線) y=f x^ -1h-3 C4(綠色曲線)

數據

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參考文獻

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