114
鐘錶上秒針針尖繞著中心旋轉一圈,所形成的圖
形是一個圓。圓在日常生活中是個常見的幾何圖形,
早在戰國時代,墨子已為圓下了定義:「圓,一中同
長也」。
在這單元裡我們將探討圓在坐標平面上的方程
式。
圓方程式
7
▲
圖1
甲
標準式
平面上,和一個定點等距離的所有點所成的圖形
就是圓。這個定點叫做圓心,圓心和圓上一點的距離
叫做半徑。
在坐標平面上,以點
M h k_ , i
為圓心,r為半徑,
畫一個圓
C。設P x y_ , i
是圓C上的一點,因為 PM= ,
r
所以由兩點距離公式可得
x-
h 2+
y-
k 2 =
r
^ h _ i ,
即
x-
h 2+
y-
k 2=
r2
^ h _ i ,
▲
圖2
7
圓方程式
115
因此,點
P x y_ , i滿足方程式
x-
h 2+
y-
k 2=
r2
^ h _ i 。
反 之 , 滿 足 這 個 方 程 式 的 點_
x y, i也 都 在 圓
C
上,我們稱方程式 x h^ - h2+_
y-
ki2=
r2為圓的標準
式。
以
M h k_ , i
為圓心,r為半徑的圓方程式為
x-
h 2+
y-
k 2=
r2
^ h _ i 。
圓的標準式
只要知道圓的圓心和半徑,就可以利用標準式得出圓的方程式。
求下列各圓的方程式:
1 以點_2,-3i為圓心,半徑為4的圓。
2 以點M 2_ ,-3i為圓心,又通過點
A 5 1_ , i的圓。
解
1 因為圓心_2,-3i,半徑4,所以由標準式得
x-2 2+
y- -3 2=42
^ h _ ^ hi ,
即圓方程式為
x-2 2+
y+3 2=16
^ h _ i 。
2 圓的半徑
r=
AM = ^5-2h2+_1- -^ 3hi2 =5,
由標準式得圓方程式為
x-2 2+
y+3 2=25
^ h _ i 。
例題
1
▲
圖3
116
隨堂練習
1 求以點_-1 0, i為圓心,半徑為 5 的圓方程式。
2 已知圓 :C x2+
y2=
k通過
A` 3
,-1j,求
k的值。
如果知道直徑兩端點的坐標,如何求圓的方程式呢?以下面例題來說明。
已知
A_-2 3, i,
B 6_ ,-3i
,求以 AB 為直徑的圓方程式。
解
因為 AB 是直徑,所以 AB 的中點即為圓心M,其坐標為
, ,
2
2 6
2
3 3
2 0
- + +
-=
f ^ hp _ i,
又半徑
r為直徑 AB 長的一半,得
r AB
2
1
2
1
2 6 2 3 3 2 5
= = ^- - h +_ - -^ hi = ,
利用圓的標準式,得圓方程式為
x-2 2+
y2=25
^ h 。
例題
2
已知 AB 為圓 x^ -4h2+_
y-1i2=
k的直徑,其中點
A 2 3_ , i,求
k的值及
B
點的坐標。
隨堂練習
7
圓方程式
117
乙
一般式
將圓的標準式 x h^ - h2+_
y-
ki2=
r2展開,可得
x2+
y2-2
hx-2
ky+
h2+
k2-
r2=0,
這種形如
x2+
y2+
dx+
ey+ =
f 0
的二元二次方程式,稱為圓的一般式。
圓的方程式都可表示成底下二元二次方程式的形式:
x2+
y2+
dx+
ey+ =
f 0。
圓的一般式
接下來,我們可以利用配方法,將圓的一般式化成標準式。
已知圓 :
C x2+
y2-2
x+6
y+6=0,求圓
C的圓心坐標及半徑。
解
分別對 x2+
y2-2
x+6
y+ =6 0中的
x,y配方,得
x2-2
x+1 +
y2+6
y+9 =- + +6 1 9
_ i ` j ,
即
x-12+
y+3 2=22
^ h _ i 。
依標準式知圓
C的圓心為_1,-3i,半徑為2。
例題
3
已知圓 :
C x2+
y2-4
x+2
y+ =
k 0的半徑為3,求
k的值。
隨堂練習
118
是不是所有形如 x2+
y2+
dx+
ey+ =
f 0的方程式,它們的圖形都是圓呢?答
案是不一定,我們先看看下面這個例題。
將下列方程式化成 x h^ - h2+_
y-
ki2=,的形式,並說明它所表示的圖形。
1 x2+
y2+2
x-4
y+5=0。
2 x2+
y2+2
x-4
y+10= 0。
解
1 將 x2+
y2+2
x-4
y+5=0分別對
x,y配方,得
x2+2
x+1 +
y2-4
y+4 =0
_ i ` j ,
即
x+12+
y-2 2=0
^ h _ i 。
可得_
x y, i= -_ 1 2, i,即方程式的圖形是一個點_-1 2, i。
2 將 x2+
y2+2
x-4
y+10=0分別對
x,y配方,得
x2+2
x+1 +
y2-4
y+4 =-10+ +1 4
_ i ` j ,
即
x+12+
y-2 2=-5
^ h _ i 。
因為對任意實數
x,y而言, x^ +1h2+_
y-2i2$0恆成立,所以上述方
程式沒有實數解,即它的圖形不存在。
例題
4
試判斷下列方程式所代表的圖形:
1 x2+
y2-4
x+6
y-12= 。 20
x2+
y2-4
x+6
y+13= 。0
3 x2+
y2-4
x+6
y+17= 。0
隨堂練習
7
圓方程式
119
現在我們就來探討所有形如 x2+
y2+
dx+
ey+ =
f 0的方程式,它們的圖形到
底有哪些可能。
將上式分別對
x,y配方,得
d +
e -4
f
x d y e
2 2 4
1
2 2
2 2
+ + + =
e o e o ` j 。
令 D=
d2+
e2-4
f ,可得下列三種情形:
1 當 D2 時,方程式代表一圓,圓心為0
d ,
e
2 2
-
-e o,半徑為
D
2 。
2 當 D= 時,方程式代表一點0
d ,
e
2 2
-
-e o。
3 當 D1 時,方程式沒有圖形。0
做一個練習。
隨堂練習
已知 x2+
y2-4
x+2
y+ = 的圖形為一圓,求
k 0
k的範圍。
解
將方程式 x2+
y2-4
x+2
y+ =
k 0配方,得
x2-4
x+4 +
y2+2
y+1 =- + +
k 4 1
_ i ` j ,
即
x-2 2+
y+12=- +
k 5
^ h _ i 。
因為圖形為一圓,所以 k 5- + 20
,解得 k1 。5
例題
5
已知 x2+
y2+2
x-2
ky+2
k= 的圖形為半徑是0 3的圓,求
k的值及圓心坐標。
120
平面上,除了「和一個定點等距離的所有點所成的圖形是圓」之外,還可以
用其他條件來描述圓嗎?我們來看下面的例題。
隨堂練習
已知
A 0 0_ , i,
B 6 0_ , i及
P x y_ , i
三點滿足 PA=2
PB,求所有
P點所成圖形
的方程式。
解
利用兩點的距離公式得
x-0 2+
y-0 2 =2
x-6 2+
y-0 2
^ h _ i ^ h _ i ,
兩邊平方,得
x2+
y2=4^
x-6h2+4
y2,
整理得 x3 2+3
y2-48
x+144=0
,即 x2+
y2-16
x+48=0。
將 x2+
y2-16
x+48= 0分別對
x,y配方,得
x-8 2+
y2=16
^ h ,
故所有
P點所成的圖形為一圓,其方程式為 x^ -8h2+
y2=16。
例題
6
承例題6,已知
A,B及
P三點滿足 PA PB
2
1
= ,求所有點
P所成圖形的方
程式。
7
圓方程式
121
在例題6及其隨堂練習中,和兩定點
A與
B的距離比恆為正數
k的
P點(即
PA=
kPB ),當 k! 時,它們所成的圖形都會是一個圓。我們稱這種圓為1 阿波
羅尼奧斯圓(Apollonius circles)。圖4
就是 k= ,2 3及
2
1
的情形。
▲
圖4
PA=
kPB
丙
點與圓的關係
在圓上的點與圓心的距離恰等於半徑。那麼,如何知道一個點是在圓的內部
還是外部呢?透過幾何觀點,觀察一個以
M為圓心,r為半徑的圓和一點
P,它
們的關係可歸納為下列三種情形:
▲
圖5
1 當 MP= 時,Pr 點在圓上。
2 當 MP2 時,Pr 點在圓外。
3 當 MP1 時,Pr 點在圓內。
122
我們來看下面的例題。
隨堂練習
設圓
C的方程式為 x2+
y2=
k。已知
P 1_ ,-2i在圓
C內部,
Q_-3 3, i在圓
C外部,求
k的範圍。
已知圓
C的方程式為 x^ -2h2+_
y+3i2=25,分別判斷
P 6 0_ , i,
Q_-2,-1i,
,
R 0 2_ i三點是在圓
C的內部、外部還是圓
C上。
解
分別計算
P,Q, R三點與圓心
M 2_ ,-3i的距離,得
PM= ^6-2h2+^0+3h2 =5;
QM= ^- -2 2h2+ - +^ 1 3h2= 2015;
RM = ^0-2h2+^2+3h2= 29 25。
因此,P在圓上,Q在圓內,R在圓外。
例題
7
7
圓方程式
123
給定平面上的圓及一點,該點與圓上的各點距離長短不一,此距離最大值或
最小值為何?我們來看下面的例題。
隨堂練習
已知圓 :
C x2+
y2+4
x-2
y+4=0及點
P 2 4_ , i,求
P點與圓
C上各點距離
的最大值與最小值。
解
將圓
C整理成標準式
x+2 2+
y-1 2=1
^ h _ i ,
得圓
C的圓心
M_-2 1, i,半徑為
1。因為 PM= ^- -2 2h2+^1-4h2 =521,
所以
P為圓外一點。令直線
PM與圓
C分
別交於
A,B二點,如圖所示,則圓上各點
中與
P距離最遠者為
A,最近者為B,且
PA=
PM + =
r 5+ = ,1 6
PB=
PM - =
r 5- = 。1 4
所以
P點到圓
C距離的最大值6,最小值4。
例題
8
已知圓 :
C x2+
y2-6
x-8
y-11= 0。求原點到圓
C距離的最大值與最小值。
124
圓的應用,經常顯現於日常生活中,我們來看以下的例子。
美術館入口是圓弧造形的隧道。已知地面寬
度 AB 為16
公尺,入口最高處 CD 也是16公
尺。在離 CD 右側6公尺處,懸掛綁有搖鈴
麻繩 EF ,如圖所示。求麻繩 EF 的長度。
解
以
D點為_0 0, i,直線
AB為
x軸,直線
CD為
y軸,建立坐標系。依題意得
,
A 8 0_ i,
C 0 16_ , i及
F 6 0_ , i
,如圖所示。由題意知圓心在 CD 上,令圓心為
, k
0
_ i,半徑為
r,因此圓方程式為 x2+_
y-
ki2=
r2。因為
A 8 0_ , i及
C 0 16_ , i
在圓上,所以
k r
k r
8 0
0 16
2 2 2
2 2 2
+ - =
+ - =
^
^
h
h
Z
[
\
]]]]
]]]] ,,整理得
k r
k k r
64
256 32
2 2
2 2
+ =
- + =
* ,
,
……
……
將、兩式相減,得 k = ,再將 k6 = 代入6
式,得 r2=100
,
即圓的方程式為
x2+_
y-6i2=100。
將 x=6代入圓方程式,得
y
62+_ -6i2= 100,
解得 y=14或 2
- (不合)。故麻繩 EF 的長
度為14公尺。
例題
9
7
圓方程式
125
隨堂練習
有一圓拱造型的舞台,其中圓拱的寬度 AB=40公尺,如圖所示。已知
圓弧上一點
P點到 AB 的距離 PQ= 公尺,且 AQ 的長也恰為5 5公尺,求
此圓弧
AB所在之圓的半徑。
「焚化廠蓋在哪裡」經常是政府的難題,與居民溝通並訂出選場原則是較常
處理的方式。來看一道「考慮垃圾量」的選場原則。
如圖,A與
B兩處是垃圾集中場,B在
A
的正東方16公里處。政府決定在直線
AB
的北面蓋一座焚化廠
P,擬定以下兩個選
場原則:
(a) 「選場P與集中場
A,B的距離」與「去
年
A,B的垃圾總重量」成反比。
(b) 選場P到直線
AB的距離盡可能遠。
已知去年集中場
A,B的垃圾總重量分別為3萬公噸與5萬公噸。
1 根據選場原則,求PA PB 。:
2 所有可能的P點會構成什麼圖形?
3 焚化廠P應蓋在哪個位置才符合兩個選場原則?
例題
10
126
126
解
1 依題意,得
: : :
PA PB
3
1
5
1
5 3
= = 。
2 設定坐標平面,並標示A,B的坐標,
如圖所示。設
P點的坐標為_
x y, i,其
中 y2 。因為 PA0 3 =5
PB,所以
x y x y
3 2+ 2 =5 ^ -16h2+ 2,
兩邊平方,得
x +
y x -32
x+256+
y
9` 2 2j=25` 2 2j ,
整理得 x2+
y2-50
x+400 = ,分別對0
x,y配方得
x-25 2+
y2=225
^ h 。
又因為 y 2 ,所以所有0
P點構成的圖形為圓心_25 0, i,半徑15的上
半圓(不包含兩端點)。故所有
P點構成的圖形為圓心在直線
AB上,
半徑15公里的上半圓(不包含兩端點)。
3 由2得知,P點到直線
AB的距離最大為半徑15,此時,符合兩個選場
原則的
P點之坐標為_25 15, i。故焚化廠
P應蓋在
A往正東方25公里,
再往正北方15公里的位置才符合兩個選場原則。
127
127
7
一、觀念題
以下各小題對的打「○」,錯的打「×」。
1 圓 x^ -2h2+_
y+3i2= 2的圓心在第二象限。
2 方程式 x2+
y2+5= 的圖形為一圓。0
3 方程式 x2+
y2-2
x+4
y+ = 的圖形有可能是一個點。
k 0
4 原點在 x^ -1h2+_
y-2i2=2的內部。
5 方程式 x2+
y2= 的圖形之面積為 22
r 。
二、基礎題
求下列各圓的圓心和半徑:
1 x^ -1h2+
y2 =2。
2 x2+
y2-4
y+ = 。3 0
3 x9 2+9
y2-6
x-35= 。0
求符合下列條件的圓方程式:
1 以A 2_ ,-3i,
B_-4 1, i為直徑兩端點的圓。
2 與圓 x2+
y2+2
x-4
y- = 同圓心,且通過點1 0 _3 5, i的圓。
3 通過兩點 ,_1 4i,_0 3, i且圓心在
x軸上的圓。
已知圓 :
C x2+
y2+
ax+
by-6= 的圓心為 ,0 _1 -3i,求
a,b的值及圓
C的半徑。