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單元07-圓方程式

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Academic year: 2021

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全文

(1)

114

鐘錶上秒針針尖繞著中心旋轉一圈,所形成的圖 形是一個圓。圓在日常生活中是個常見的幾何圖形, 早在戰國時代,墨子已為圓下了定義:「圓,一中同 長也」。 在這單元裡我們將探討圓在坐標平面上的方程 式。

圓方程式

7

圖1

標準式

平面上,和一個定點等距離的所有點所成的圖形 就是圓。這個定點叫做圓心,圓心和圓上一點的距離 叫做半徑。 在坐標平面上,以點M h k_ , i為圓心,r為半徑, 畫一個圓C。設P x y_ , i是圓C上的一點,因為 PM= ,r 所以由兩點距離公式可得 x-h 2+ y-k 2 =r ^ h _ i , 即 x-h 2+ y-k 2=r2 ^ h _ i , ▲ 圖2

(2)

7

圓方程式

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因此,點P x y_ , i滿足方程式 x-h 2+ y-k 2=r2 ^ h _ i 。 反 之 , 滿 足 這 個 方 程 式 的 點_x y, i也 都 在 圓 C 上,我們稱方程式 x h^ - h2+_y-ki2=r2為圓的標準 式。 以M h k_ , i為圓心,r為半徑的圓方程式為 x-h 2+ y-k 2=r2 ^ h _ i 。 圓的標準式 只要知道圓的圓心和半徑,就可以利用標準式得出圓的方程式。 求下列各圓的方程式: 1 以點_2,-3i為圓心,半徑為4的圓。 2 以點M 2_ ,-3i為圓心,又通過點A 5 1_ , i的圓。 解 1 因為圓心_2,-3i,半徑4,所以由標準式得 x-2 2+ y- -3 2=42 ^ h _ ^ hi , 即圓方程式為 x-2 2+ y+3 2=16 ^ h _ i 。 2 圓的半徑 r= AM = ^5-2h2+_1- -^ 3hi2 =5, 由標準式得圓方程式為 x-2 2+ y+3 2=25 ^ h _ i 。

例題

1

圖3

(3)

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隨堂練習

1 求以點_-1 0, i為圓心,半徑為 5 的圓方程式。 2 已知圓 :C x2+y2=k通過A` 3,-1j,求k的值。 如果知道直徑兩端點的坐標,如何求圓的方程式呢?以下面例題來說明。 已知A_-2 3, i, B 6_ ,-3i,求以 AB 為直徑的圓方程式。因為 AB 是直徑,所以 AB 的中點即為圓心M,其坐標為 , , 2 2 6 2 3 3 2 0 - + + -= f ^ hp _ i, 又半徑r為直徑 AB 長的一半,得 r AB 2 1 2 1 2 6 2 3 3 2 5 = = ^- - h +_ - -^ hi = , 利用圓的標準式,得圓方程式為 x-2 2+y2=25 ^ h 。

例題

2

已知 AB 為圓 x^ -4h2+_y-1i2=k的直徑,其中點A 2 3_ , i,求k的值及B 點的坐標。

隨堂練習

(4)

7

圓方程式

117

一般式

將圓的標準式 x h^ - h2+_y-ki2=r2展開,可得 x2+y2-2hx-2ky+h2+k2-r2=0, 這種形如 x2+y2+dx+ey+ =f 0 的二元二次方程式,稱為圓的一般式。 圓的方程式都可表示成底下二元二次方程式的形式: x2+y2+dx+ey+ =f 0。 圓的一般式 接下來,我們可以利用配方法,將圓的一般式化成標準式。 已知圓 :C x2+y2-2x+6y+6=0,求圓C的圓心坐標及半徑。 解 分別對 x2+y2-2x+6y+ =6 0中的x,y配方,得 x2-2x+1 + y2+6y+9 =- + +6 1 9 _ i ` j , 即 x-12+ y+3 2=22 ^ h _ i 。 依標準式知圓C的圓心為_1,-3i,半徑為2。

例題

3

已知圓 :C x2+y2-4x+2y+ =k 0的半徑為3,求k的值。

隨堂練習

(5)

118

是不是所有形如 x2+y2+dx+ey+ =f 0的方程式,它們的圖形都是圓呢?答 案是不一定,我們先看看下面這個例題。 將下列方程式化成 x h^ - h2+_y-ki2=,的形式,並說明它所表示的圖形。 1 x2+y2+2x-4y+5=0。 2 x2+y2+2x-4y+10= 0。 解 1 將 x2+y2+2x-4y+5=0分別對x,y配方,得 x2+2x+1 + y2-4y+4 =0 _ i ` j , 即 x+12+ y-2 2=0 ^ h _ i 。 可得_x y, i= -_ 1 2, i,即方程式的圖形是一個點_-1 2, i。 2 將 x2+y2+2x-4y+10=0分別對x,y配方,得 x2+2x+1 + y2-4y+4 =-10+ +1 4 _ i ` j , 即 x+12+ y-2 2=-5 ^ h _ i 。 因為對任意實數x,y而言, x^ +1h2+_y-2i2$0恆成立,所以上述方 程式沒有實數解,即它的圖形不存在。

例題

4

試判斷下列方程式所代表的圖形: 1 x2+y2-4x+6y-12= 。    20 x2+y2-4x+6y+13= 。0 3 x2+y2-4x+6y+17= 。0

隨堂練習

(6)

7

圓方程式

119

現在我們就來探討所有形如 x2+y2+dx+ey+ =f 0的方程式,它們的圖形到 底有哪些可能。 將上式分別對x,y配方,得 d +e -4f x d y e 2 2 4 1 2 2 2 2 + + + = e o e o ` j 。 令 D= d2+e2-4f ,可得下列三種情形: 1 當 D2 時,方程式代表一圓,圓心為0 d , e 2 2 - -e o,半徑為 D 2 。 2 當 D= 時,方程式代表一點0 d , e 2 2 - -e o。 3 當 D1 時,方程式沒有圖形。0 做一個練習。

隨堂練習

已知 x2+y2-4x+2y+ = 的圖形為一圓,求k 0 k的範圍。 解 將方程式 x2+y2-4x+2y+ =k 0配方,得 x2-4x+4 + y2+2y+1 =- + +k 4 1 _ i ` j , 即 x-2 2+ y+12=- +k 5 ^ h _ i 。 因為圖形為一圓,所以 k 5- + 20,解得 k1 。5

例題

5

已知 x2+y2+2x-2ky+2k= 的圖形為半徑是0 3的圓,求k的值及圓心坐標。

(7)

120

平面上,除了「和一個定點等距離的所有點所成的圖形是圓」之外,還可以 用其他條件來描述圓嗎?我們來看下面的例題。

隨堂練習

已知A 0 0_ , i, B 6 0_ , i及P x y_ , i三點滿足 PA=2PB,求所有P點所成圖形 的方程式。 解 利用兩點的距離公式得 x-0 2+ y-0 2 =2 x-6 2+ y-0 2 ^ h _ i ^ h _ i , 兩邊平方,得 x2+y2=4^x-6h2+4y2, 整理得 x3 2+3y2-48x+144=0,即 x2+y2-16x+48=0。 將 x2+y2-16x+48= 0分別對x,y配方,得 x-8 2+y2=16 ^ h , 故所有P點所成的圖形為一圓,其方程式為 x^ -8h2+y2=16。

例題

6

承例題6,已知A,BP三點滿足 PA PB 2 1 = ,求所有點P所成圖形的方 程式。

(8)

7

圓方程式

121

在例題6及其隨堂練習中,和兩定點AB的距離比恆為正數kP點(即 PA=kPB ),當 k! 時,它們所成的圖形都會是一個圓。我們稱這種圓為1 阿波 羅尼奧斯圓(Apollonius circles)。圖4就是 k= ,2 3及 2 1 的情形。 ▲ 圖4 PA=kPB

點與圓的關係

在圓上的點與圓心的距離恰等於半徑。那麼,如何知道一個點是在圓的內部 還是外部呢?透過幾何觀點,觀察一個以M為圓心,r為半徑的圓和一點P,它 們的關係可歸納為下列三種情形: ▲ 圖5 1 當 MP= 時,Pr 點在圓上。 2 當 MP2 時,Pr 點在圓外。 3 當 MP1 時,Pr 點在圓內。

(9)

122

我們來看下面的例題。

隨堂練習

設圓C的方程式為 x2+y2= k。已知P 1_ ,-2i在圓C內部,Q_-3 3, i在圓 C外部,求k的範圍。 已知圓C的方程式為 x^ -2h2+_y+3i2=25,分別判斷P 6 0_ , i, Q_-2,-1i, , R 0 2_ i三點是在圓C的內部、外部還是圓C上。 解 分別計算P,Q, R三點與圓心M 2_ ,-3i的距離,得 PM= ^6-2h2+^0+3h2 =5; QM= ^- -2 2h2+ - +^ 1 3h2= 2015; RM = ^0-2h2+^2+3h2= 29 25。 因此,P在圓上,Q在圓內,R在圓外。

例題

7

(10)

7

圓方程式

123

給定平面上的圓及一點,該點與圓上的各點距離長短不一,此距離最大值或 最小值為何?我們來看下面的例題。

隨堂練習

已知圓 :C x2+y2+4x-2y+4=0及點P 2 4_ , i,求P點與圓C上各點距離 的最大值與最小值。 解 將圓C整理成標準式 x+2 2+ y-1 2=1 ^ h _ i , 得圓C的圓心M_-2 1, i,半徑為1。因為 PM= ^- -2 2h2+^1-4h2 =521, 所以 P為圓外一點。令直線PM與圓C分 別交於A,B二點,如圖所示,則圓上各點 中與P距離最遠者為A,最近者為B,且 PA=PM + =r 5+ = ,1 6 PB=PM - =r 5- = 。1 4 所以P點到圓C距離的最大值6,最小值4。

例題

8

已知圓 :C x2+y2-6x-8y-11= 0。求原點到圓C距離的最大值與最小值。

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124

圓的應用,經常顯現於日常生活中,我們來看以下的例子。 美術館入口是圓弧造形的隧道。已知地面寬 度 AB 為16公尺,入口最高處 CD 也是16公 尺。在離 CD 右側6公尺處,懸掛綁有搖鈴 麻繩 EF ,如圖所示。求麻繩 EF 的長度。 解 以D點為_0 0, i,直線ABx軸,直線CDy軸,建立坐標系。依題意得 , A 8 0_ i, C 0 16_ , i及F 6 0_ , i,如圖所示。由題意知圓心在 CD 上,令圓心為 , k 0 _ i,半徑為r,因此圓方程式為 x2+_y-ki2=r2。因為A 8 0_ , i及C 0 16_ , i 在圓上,所以 k r k r 8 0 0 16 2 2 2 2 2 2 + - = + - = ^ ^ h h Z [ \ ]]]] ]]]] ,,整理得 k r k k r 64 256 32 2 2 2 2 + = - + = * , , …… …… 將、兩式相減,得 k = ,再將 k6 = 代入6 式,得 r2=100 即圓的方程式為 x2+_y-6i2=100。 將 x=6代入圓方程式,得 y 62+_ -6i2= 100, 解得 y=14或 2- (不合)。故麻繩 EF 的長 度為14公尺。

例題

9

(12)

7

圓方程式

125

隨堂練習

有一圓拱造型的舞台,其中圓拱的寬度 AB=40公尺,如圖所示。已知 圓弧上一點P點到 AB 的距離 PQ= 公尺,且 AQ 的長也恰為5 5公尺,求 此圓弧AB所在之圓的半徑。 「焚化廠蓋在哪裡」經常是政府的難題,與居民溝通並訂出選場原則是較常 處理的方式。來看一道「考慮垃圾量」的選場原則。 如圖,AB兩處是垃圾集中場,BA 的正東方16公里處。政府決定在直線AB 的北面蓋一座焚化廠P,擬定以下兩個選 場原則: (a) 「選場P與集中場A,B的距離」與「去 年A,B的垃圾總重量」成反比。 (b) 選場P到直線AB的距離盡可能遠。 已知去年集中場A,B的垃圾總重量分別為3萬公噸與5萬公噸。 1 根據選場原則,求PA PB 。: 2 所有可能的P點會構成什麼圖形? 3 焚化廠P應蓋在哪個位置才符合兩個選場原則?

例題

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(13)

126

126

1 依題意,得 : : : PA PB 3 1 5 1 5 3 = = 。 2 設定坐標平面,並標示A,B的坐標, 如圖所示。設P點的坐標為_x y, i,其 中 y2 。因為 PA0 3 =5PB,所以 x y x y 3 2+ 2 =5 ^ -16h2+ 2, 兩邊平方,得 x +y x -32x+256+y 9` 2 2j=25` 2 2j , 整理得 x2+y2-50x+400 = ,分別對0 x,y配方得 x-25 2+y2=225 ^ h 。 又因為 y 2 ,所以所有0 P點構成的圖形為圓心_25 0, i,半徑15的上 半圓(不包含兩端點)。故所有P點構成的圖形為圓心在直線AB上, 半徑15公里的上半圓(不包含兩端點)。 3 由2得知,P點到直線AB的距離最大為半徑15,此時,符合兩個選場 原則的P點之坐標為_25 15, i。故焚化廠P應蓋在A往正東方25公里, 再往正北方15公里的位置才符合兩個選場原則。

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7

一、觀念題

以下各小題對的打「○」,錯的打「×」。 1 圓 x^ -2h2+_y+3i2= 2的圓心在第二象限。 2 方程式 x2+y2+5= 的圖形為一圓。0 3 方程式 x2+y2-2x+4y+ = 的圖形有可能是一個點。k 0 4 原點在 x^ -1h2+_y-2i2=2的內部。 5 方程式 x2+y2= 的圖形之面積為 22 r 。

二、基礎題

求下列各圓的圓心和半徑: 1 x^ -1h2+y2 =2。 2 x2+y2-4y+ = 。3 0 3 x9 2+9y2-6x-35= 。0 求符合下列條件的圓方程式: 1 以A 2_ ,-3i, B_-4 1, i為直徑兩端點的圓。 2 與圓 x2+y2+2x-4y- = 同圓心,且通過點1 0 _3 5, i的圓。 3 通過兩點 ,_1 4i,_0 3, i且圓心在x軸上的圓。 已知圓 :C x2+y2+ax+by-6= 的圓心為 ,0 _1 -3i,求a,b的值及圓C的半徑。

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設圓 :C x2+_y-2i2= 9。 1 點A 3_ ,-2i在圓C的內部、外部、還是圓上? 2 已知P為圓C上一點,求 AP 的最小值。 已知 x2+y2+2x+2y+^7-kh= 0的圖形為一圓,求k的範圍。

三、進階題

已知A 5 10_ , i, B 6 9_ , i及C_-2 3, i, 1 分別求 AB , BC 的中垂線方程式。 2 求 ABC3 的外接圓方程式。 已知一圓通過 A 1 2_ , i, B 5_ ,-4i兩點,且其圓心在直線 x3 +2y+ =6 0上, 求此圓方程式。 林園造型中的圓形拱門,門面寬度 PQ= 公尺,拱3 高 AB 2 9 = 公尺,在距門面中心線 AB 的左右 2 3 公尺 各有一根門柱,如圖所示。求門柱 PR 的高度。

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參考文獻

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