單元10-二元一次聯立方程式

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加減消去法

  在國中時已學過利用加減消去法解二元一次聯立方程式,現在以下面的例題 來複習加減消去法。 解二元一次聯立方程式 3x + 2y = 8 2x - y = 3

例題

1

先將聯立方程式編號 3x + 2y = 8 1 2x - y = 3 2 解   數學家歐拉對青少年的數學教育很有興趣,底下是 他蒐集的一道數學趣題:驢與騾身上各背著重物,牠們 互相埋怨,驢對騾說:「只要把你所背的重量給我一百 公斤,我所背的重量就是你的兩倍。」騾回答說:「不錯, 可是如果你背的重量給我一百公斤,我背的重量就是你 的三倍。」問:驢與騾各背了多少公斤的重物?   上述是一個典型二元一次聯立方程式的問題,本單 元要複習其解法並探討它的公式解。

二元一次

聯立方程式

10

▲圖1

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191

10

二元一次聯立方程式 然後由 1+ 2×2 消去 y,得 7x = 14, 解得x = 2。將 x = 2 代入 2 式,得 y = 2x - 3 = 2×2 - 3 = 1。 故聯立方程式的解為x = 2 , y = 1。 解二元一次聯立方程式 3x - 4y = 25 2x + 3y = - 6。   解二元一次聯立方程式時,除了如例題 1 恰有一組解的情形外,也可能出現 無解或無窮多組解的情形,來看底下的例子。 解下列各二元一次聯立方程式: 1 2x + y = 3 4x + 2y = 5。     2 2x + y = 3 4x + 2y = 6

例題

2

1 先將聯立方程式編號 2x + y = 3 1 4x + 2y = 5 2 然後由 1×2 - 2 消去 y,得 0x = 1(或0 = 1), 因為沒有實數 x 滿足上式,所以此聯立方程式無解。

隨堂練習

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2 先將聯立方程式編號 2x + y = 3 1 4x + 2y = 6 2 然後由 1×2 - 2 消去 y,得 0x = 0(或0 = 0), 因為任意實數 x 皆滿足上式,所以令 x = t 代入 1 式,得 y = 3 - 2x = 3 - 2t。 因此,可得聯立方程式的解為 x = t y = 3 - 2tt 為實數, 即聯立方程式有無窮多組解。 解下列各二元一次聯立方程式: 1 5x - 2y = 12 10x - 4y = 17。     2 5x - 2y = 12 10x - 4y = 24

隨堂練習

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10

二元一次聯立方程式

克拉瑪公式

  國中時學過利用配方法解一元二次方程式ax2+bx + c = 0,並推導出它的公式x = - b ± 2ab2-4ac。 同樣地,二元一次聯立方程式也存在著公式解;我們利用加減消去法推導如下: 設聯立方程式 a1x + b1y = c1 1 a2x + b2y = c2 2 由 1×b2- 2×b1消去y,得

(

a1b2-a2b1

)

x = c1b2-c2b1, 3 由 2×a1- 1×a2消去x,得

(

a1b2-a2b1

)

y = a1c2-a2c1, 4 因此,當 a1b2-a2b10 時,由 3 與 4 可得聯立方程式恰有一組解 x = c1b2-c2b1 a1b2-a2b1 , y = a1c2-a2c1 a1b2-a2b1。   上述聯立方程式的解顯然有些複雜,不太容易記憶;但是我們發現其分子與 分母都是「兩數乘積的差」,符合二階行列式的展開式 a b c d =ad - bc, 於是,聯立方程式的解可以用二階行列式表示為 x = c1 b1 c2 b2 a1 b1 a2 b2 , y = a1 c1 a2 c2 a1 b1 a2 b2 。 再引入簡便的符號 ∆ , ∆x與 ∆y,將聯立方程式的公式解整理如下。

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克拉瑪 (G. Cramer, 1704 ∼ 1752) 瑞 士 數 學 家。 於1750 年發表 n 階行 列式的一般法則。 給定二元一次聯立方程式 a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2, 並令 ∆= a1 b1 a2 b2 , ∆x= c1 b1 c2 b2 , ∆y= a1 c1 a2 c2。 若 ∆ ≠0 ,則此聯立方程式恰有一組解 ,且其 解為 x = x , y = ∆y

克拉瑪公式

這裡的 ∆ 是由聯立方程式中 x , y 的係數依序放置所成的二階行列式;而 ∆xy 是分別將∆ 中的 a1, a2x 項的係數)與 b1, b2y 項的係數)替換成 c1, c2(常 數項)而得。   練習利用克拉瑪公式解二元一次聯立方程式。 使用克拉瑪公式解二元一次聯立方程式 11x + 9y = 13 13x + 10y = 16

例題

3

因為∆ = 11 9 13 10 = -7 , ∆x= 13 9 16 10 = -14 , ∆y= 11 13 13 16 =7,所以 x = ∆x = - 14-7 =2 , y = ∆∆y = 7-7 = -1。 使用克拉瑪公式解二元一次聯立方程式 2x - 5y = 1 3x + 2y = 11。 解

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二元一次聯立方程式 克拉瑪 (G. Cramer, 1704 ∼ 1752) 瑞 士 數 學 家。 於1750 年發表 n 階行 列式的一般法則。 給定二元一次聯立方程式 a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2, 並令 ∆= a1 b1 a2 b2 , ∆x= c1 b1 c2 b2 , ∆y= a1 c1 a2 c2 。 若 ∆ ≠0 ,則此聯立方程式恰有一組解 ,且其 解為 x = x , y = ∆y

克拉瑪公式

這裡的 ∆ 是由聯立方程式中x , y 的係數依序放置所成的二階行列式;而 ∆xy 是分別將∆ 中的 a1, a2x 項的係數)與 b1, b2y 項的係數)替換成 c1, c2(常 數項)而得。   練習利用克拉瑪公式解二元一次聯立方程式。 使用克拉瑪公式解二元一次聯立方程式 11x + 9y = 13 13x + 10y = 16

例題

3

因為∆ = 11 9 13 10 = -7 , ∆x= 13 9 16 10 = -14 , ∆y= 11 13 13 16 =7,所以 x = ∆x = - 14-7 =2 , y = ∆∆y = 7-7 = -1。 使用克拉瑪公式解二元一次聯立方程式 2x - 5y = 1 3x + 2y = 11。 解

隨堂練習

  再練習利用克拉瑪公式解二元一次聯立方程式。 已知聯立方程式 (k + 2)x - 4y = 4 x +(k - 3)y = 1 恰有一組解,求k 的範圍及聯立方程式 的解(以 k 表示)。

例題

4

分別計算二階行列式∆ , ∆xy,得 ∆ = k+2 -4 1 k - 3 =(k + 2)(k - 3)-1×(-4)=(k - 2)(k + 1), ∆x= 4 -4 1 k - 3 =4(k - 3)-1×(-4)=4(k - 2), ∆y= k+2 4 1 1 =(k + 2)-4 = k - 2。 因為此聯立方程式恰有一組解,所以 ∆ ≠0,即 k≠2 且 k≠ - 1, 此時,聯立方程式的解為 x = ∆x = 4k+1 , y = ∆y = 1k+1。 因此,當此聯立方程式恰有一組解時,k 的範圍為 k≠2 且 k≠ - 1,且其 解為x = 4 k+1 , y = 1k+1。 已知聯立方程式 2x + ky = 2 (k - 3)x + 5y = 2恰有一組解,求 k 的範圍及聯立方程式 的解(以 k 表示)。

隨堂練習

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  讓我們來練習一道跟本單元引言內容有關的應用問題。 驢與騾身上各背著重物,牠們互相埋怨,驢對騾 說:「只要把你所背的重量給我一百公斤,我所 背的重量就是你的兩倍。」騾回答說:「不錯, 可是如果你背的重量給我一百公斤,我背的重量 就是你的三倍。」問:驢與騾各背了多少公斤的重物?

例題

5

設驢與騾背著的重物分別為x 與 y 公斤。由題意可以列出 y + 100 = 3( x + 100 = 2(y - 100) x - 100), 整理得 x - 2y = - 300 3x - y = 400 。 因為∆ = 1 -2 3 -1 =5 , ∆x= - 300 -2 400 -1 =1100 , ∆y= 1 -300 3 400 =1300, 所以 x = ∆x = 1100 5 =220 , y = ∆y = 13005 =260。 故驢背著 220 公斤的重物,騾背著 260 公斤的重物。 大和尚與小和尚共有 100 人。一天早上他們總共吃了 100 個饅頭,只知 大和尚1 人吃 3 個饅頭,小和尚 3 人吃 1 個饅頭。問:大和尚與小和尚 各有多少人? 解

隨堂練習

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二元一次聯立方程式

二元一次聯立方程式的幾何意義

   接 下 來, 我 們 以 幾 何 的 觀 點 來 討 論 聯 立 方 程 式 a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 的 解。 設 L1a1x + b1y = c1L2a2x + b2y = c2為 坐 標 平 面 上 的 兩 直 線, 且 n1=

(

a1, b1

)

n2=

(

a2, b2

)

分別是直線 L1L2的法向量。兩法向量n1n2所決定的平行四邊 形面積為 | ∆ | = | a1 b1 a2 b2 |。 因此 1 當∆ ≠0 時,n1n2所決定的平行四邊形面積不為0,即 n1n2不平行。此 時,直線L1L2交於一點,如圖2(1) 所示,其交點的坐標就是原聯立方程 式的解 (x , y)=

(

∆x , ∆y

)

2 當∆ = 0 時,n1n2所決定的平行四邊形面積為0,即 n1n2平行。此時, 直線L1L2平行或重合: 1 若直線 L1L2平行,則兩直線沒有交點,如圖 2(2) 所示,此時聯立方程 式無解。例如:聯立方程式 2x + y = 4 2x + y = 5無解。 2 若直線 L1L2重合,則兩直線有無窮多個交點,如圖2(3) 所示,此時聯 立方程式有無窮多組解。例如:聯立方程式 2x + y = 4 4x + 2y = 8有無窮多組解。       (1) (2) (3) ▲圖2

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現在就∆的值分類,將聯立方程式 a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2的解與幾何意義整理如下。 ∆ 的值 聯立方程式的解 幾何意義 ∆ ≠0 恰有一組解 兩直線交於一點 ∆ = 0 無解 兩直線平行 有無窮多組解 兩直線重合   利用這個結論做一個例題。 已知兩直線 L1kx + 4y = k + 2 與 L2x + ky = k 平行,求 k 的值。

例題

6

利用上述結論,令 ∆ = k 41 k =0, 展開得k2-4 = 0,即 (k+2)(k - 2)=0,解得 k = - 2 或 2。 1 當k = - 2 時,兩直線 L1:-2x + 4y = 0 與 L2x - 2y = - 2 平行。 2 當k = 2 時,兩直線 L12x + 4y = 4 與 L2x + 2y = 2 重合。 故當兩直線 L1L2平行時,k = - 2。 設聯立方程式 kx + 2y = - 4 3x +(k - 1)y = 61 已知此聯立方程式無解,求 k 的值。 2 已知此聯立方程式有無窮多組解,求 k 的值。

隨堂練習

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10

二元一次聯立方程式

二階行列式的性質

  前面我們使用二階行列式來表示兩向量所決定的平行四邊形面積及二元一次 聯立方程式的公式解。現在我們來探討二階行列式的一些性質。   在二階行列式 a b c d 中,橫的稱為列,直的稱為行, 其中a , b 是第一列、c , d 是第二列;a , c 是第一行、b , d 是 第二行,如圖3 所示。   二階行列式具有下列性質,且這些性質都可以由二階 行列式的展開式直接推得。 1 行列互換其值不變,即 a b c d = a c b d2 兩行(列)對調,其值變號,即 a b c d = -b a d c ; a b c d = -c d a b3 任一行(列)可以提出同一個數。例如 ka b kc d =k a b c d ; a b kc kd =k a b c d4 兩行(列)成比例,其值為 0,例如 a ka c kc =0 ; ka kb a b =0。 5 將一行(列)的 k 倍加到另一行(列),其值不變。例如 a b c d = a b+ka c d+kc ; a b c d = a+kc b+kd c d6 可依某一行(列)將一個行列式拆成兩個行列式的和。例如 a+e b c+f d = a b c d + e b f d ; a+e b+f c d = a b c d + e f c d 。 ▲圖3

(11)

200

  利用這些性質,可以幫助我們求行列式的值,舉例如下。 求行列式 3696 1863 1234 622 的值。

例題

7

利用行列式的性質計算如下: 3696 1863 1234 622 =3 1232 621 1234 622   (第一列提出3) =3 1232 621 1234 +(-1)×1232 622 +(-1)×621(第一列 × (-1) 加到第二列) = 3 1232 621 2 1 =3×(1232×1 - 621×2)= -30。 求行列式 4231 4232 4323 4324 的值。 解

隨堂練習

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二元一次聯立方程式   利用行列式的性質有時可以避免直接展開時的繁瑣,看下面例題。 已知 a b c d =3,求 3a + 2b 5a - 4b 3c + 2d 5c - 4d 的值。

例題

8

利用二階行列式的性質,得 3a + 2b 5a - 4b 3c + 2d 5c - 4d ×2 = 3a + 2b 11a 3c + 2d 11c (將第一行 ×2 加到第二行) =11× 3a + 2b a 3c + 2d c ×(-3) (第二行提出 11) =11× 2b a 2d c (將第二行 × (-3) 加到第一行) =11×2 b a d c (第一行提出2) =11×2×

(

- a b c d

)

(兩行對調,其值變號) =11×2×(-3)= -66。 已知 a b c d =3,求 a - 2b 3a+4b c - 2d 3c+4d 的值。

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二元一次聯立方程式的向量觀點

  前面我們以幾何觀點來討論聯立方程式的解,現在換另一個觀點,以向量的 線性組合來討論聯立方程式的解,說明如下。   給定聯立方程式 a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 , 並令 a =

(

a1, a2

)

, b =

(

b1, b2

)

, c =

(

c1, c2

)

。因為聯立方程式可改寫成 x

(

a1, a2

)

+y

(

b1, b2

)

=

(

c1, c2

)

, 即 c = xa + yb ,所以「聯立方程式是否有解」等同於「 c 能否表成 a 與 b 的 線性組合」。設 a 與 b 為兩個非零向量,討論如下: 1 當 a 與 b 不平行時:向量 c 可以唯一表成 a 與 b 的線性組合,即恰有一 組實數 x0, y0使得 c = x0a + y0 b ,此時的數對

(

x0, y0

)

即為聯立方程式的唯 一解,如圖4(a) 所示。 2 當 a 與 b 平行時: 1 若 c 與 a , b 不平行,則 c 無法表成 a 與 b 的線性組合,此時聯立方程 式無解,如圖4(b) 所示。 2 若 c 與 a , b 平行,則 c 可以表成 a 與 b 的線性組合,且此表示法有無 窮多種,此時聯立方程式有無窮多組解,如圖4(c) 所示。        (a)          (b)     (c) ▲圖4

(14)

203

10

二元一次聯立方程式   延續上述的討論,在圖5 中, c = x0 a + y0 b ,

(

x0, y0

)

為聯立方程式 a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 的唯一解。 我們知道:利用克拉瑪公式可以將x0, y0分別表示成「兩個二階行列式的比值」。 事實上,由線性組合結合平行四邊形面積也可以得到相同的結果,說明如下。   先敘述以下的事實:設向量 a =

(

a1, a2

)

以始點為中心逆時針旋轉 i 角後, b =

(

b1, b2

)

同方向。若 0° < i < 180°,則行列式值 a1 a2 b1 b2 >0(此結果的證明 不在本書的範圍,故省略)。故此時a 與 b 所決定的平行四邊形面積 | a1 a2 b1 b2 | = a1 a2 b1 b2 。   接下來,我們將以上的事實應用於圖6。 ▲圖6 在圖6 中, c = x0 a + y0 b 。因為平行四邊形的面積等於底乘以高,所以 a 與 c 所決定的平行四邊形面積 = a 與 y0 b 所決定的平行四邊形面積 = a 與 b 所決定的平行四邊形面積之 y0倍。 因此 y0= a 與c 所決定的平行四邊形面積 a 與b 所決定的平行四邊形面積。 ▲圖5

(15)

204

將上式中的平行四邊形面積以行列式表示,再由行列式的性質,得 y0= a1 a2 c1 c2 a1 a2 b1 b2 = a1 c1 a2 c2 a1 b1 a2 b2 在圖7 中,仿照上述的方法,可得 x0= c1 c2 b1 b2 a1 a2 b1 b2 = c1 b1 c2 b2 a1 b1 a2 b2   至此,我們用了代數、幾何及向量的觀點來討論二元一次聯立方程式的解, 相信大家對二元一次聯立方程式的解會有更充分的了解。 ▲圖7

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205

10

二元一次聯立方程式

10

205

觀念澄清 下列敘述對的打「」 1 聯立方程式 x + 2y + 3 = 0 4x + 5y + 6 = 0x 之解為 3 2 6 5 1 2 4 5 。 2 聯立方程式 3x - 2y = 1 6x - 4y = 2 有無窮多組解。 3 4 26 6 32 =2× 2 13 3 16 。 4 a + 5b b c + 5d d = a b c d

一、基礎題

解下列各聯立方程式: 1 x + 2y = 4 3x - 2y = - 12。  2 x + 2y = 4 2x + 4y = 6 。  3 x + 2y = 4 2x + 4y = 8。 使用克拉瑪公式,解下列各二元一次聯立方程式: 1 x - 4y = 11 4x + 3y = 6。  2 23x + 35y + 32 = 0 32x + 53y + 23 = 0

(17)

206

206

已知聯立方程式 kx + y = - 1 3kx - ky = 2k + 3恰有一組解,求 k 的範圍及聯立方程式的 解(以k 表示)。 設兩直線 2x + ky = k + 2 與 (2k - 1)x + 3y = 3k。 1 已知此兩直線平行,求 k 的值。 2 已知此兩直線重合,求 k 的值。 求下列各行列式的值: 1 21 35 34 51 。    2 108 109 110 111 。 已知 a b c d = 2,求 2a + 5b 4b 2c + 5d 4d 的值。

(18)

207

10

二元一次聯立方程式

207

二、進階題

已知 a1 b1 a2 b2 =2 , b1 c1 b2 c2 =3 , c1 a1 c2 a2 =4,求聯立方程式 a1x + 2b1y + 3c1=0 a2x + 2b2y + 3c2=0的解。 已知由向量 u =(a , b) 與 v =(c , d) 所決定的平行四邊形面積為 3,求由向3u + v 與 u - v 所決定的平行四邊形面積。 某交叉路口的「黃燈時間」以 f (v) 來表示,且f (v)(小時)定義為 f (v)= 1 3600

(

va + bv +1

)

, 其中 v 為該路段的速度限制(公里 小時),實數 a , b 則由該路面的摩擦係 數與路口寬度來決定,單位分別為公里 小時2與公里。 幾年前,當該路段的速度限制為每小時60 公里時,「黃燈時間」定為 4 秒; 最近該路口的速度限制改為每小時 40 公里,「黃燈時間」亦修正為 3.5 秒,a 與 b 的值。

數據

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參考文獻

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