砂岩受剪引致異向軟化及依時組成模式

IN GEOTECHNICAL ENGINEERING IN TAIWAN I-Lan

砂岩受剪引致異向軟化及依時組成模式

廖俊逸

1

_翁孟嘉

2

_鄭富書

3 1.台灣大學土木工程學系碩士 2.高雄大學土木與環境工程學系助理教授 3.台灣大學土木工程學系教授

摘 要

台灣西部麓山帶之軟弱砂岩層具受剪體積大量膨脹與潛變之現象，地下工程開挖往往產生大量擠壓變形進 而造成施工災害，為合理評估此材料之變形量，實有必要發展一套適用於砂岩之組成模式。本研究根據前人對 西部麓山帶砂岩三軸實驗之結果，發現砂岩於純剪應力下會產生體積應變之異向行為與變形模數軟化，且在潛 變實驗下此類變形特性仍持續存在。 歸納砂岩之力學特性與變形行為，建立異向軟化模式，模式以體積模數、剪力模數受剪軟化及異向性因子 模擬砂岩受剪應力與體積應變偶合之行為；依時變形部分以黏彈性理論之廣義凱文模式模擬砂岩之一次潛變， 以本模式針對不同三軸實驗與潛變實驗結果進行模擬，皆有不錯之模擬效果。 進一步，本研究將模式撰寫有限元素軟體 ABAQUS 分析之副程式，針對一工程案例進行隧道開挖分析， 比較本模式與其他常用模式之分析結果，結果顯示，本模式所預估之仰拱、頂拱與側壁變形量皆較其他模式更 接近實際之隧道變形行為，可知本模式考慮砂岩受剪膨脹與潛變之特性，可更合理的描述砂岩隧道開挖之情形。 關鍵詞：砂岩、組成模式、軟化、剪脹、潛變

A time dependent constitutive model for shear induced anisotropic degradation

of sandstone

ABSTRACT

Weak sandstone in western Taiwan sedimentation strata has shear dilation and creep deformational behaviors During the underground excavation, often have a large amount of compression deformation then result in disaster. In order to estimate the deformation reasonably ation,it is necessary to develop a constitutive model that apply to sandstone. This research, based on the results of tri-axial and creep test with the sandstone in western Taiwan To sum up the following deformation behavior of sandstone: (1) under shear loading will transform from its original isotropy to a shear-induced anisotropic (2) the shear dilation behavior will still exist under creep test

To sum up the deformation characteristics of sandstone to develop an anisotropic softening model. The model with three parameters bulk modulus K, shear modulus G and anisotropic factor β to simulate the shear dilation behavior. And combine with the visco-elastic model to develop a time dependent model for anisotropic softening of sandstone. Through the simulation it is found that good agreements with instant deformation of sandstone.

Apply the model to finite element method of ABAQUS program. Writing user subroutine to define the material's mechanical behavior. and used to analyze a squeezing tunnel case. Comparing with other existing models, it is found that the prediction of the proposed model is closer to reality and reveals a larger crown, invert and sidewall settlement. The model take shear-dilation and creep into account

is capable of

reasonably-well describing

tunnel excavation problem.

一、前 言

台灣西部麓山帶岩層以第三紀的沉積岩為主， 由於該岩層成岩作用時間短，岩石膠結及壓密程度不 佳，形成大地工程自然之不利因素。根據北二高之中 和隧道災變調查，該隧道通過之岩層為中顆粒膠結疏 鬆的木山層砂岩，由於岩性軟弱，岩體自持力減低， 造成隧道嚴重擠壓變形，產生高達 36 公分之頂拱沈 陷量鄭富書等[1]。 為了解此類岩盤為何會產生如此大量擠壓變

形，Jeng et al. [2, 3], Weng et al. [4] and Tsai et al. [5]，

曾針對台灣西部砂岩之力學行為進行一系列三軸及 潛變試驗，實驗以純剪應力路徑三軸實驗為主（純剪 應力路徑同樣可參考上述之文獻）。歸納其變形特徵 如下： (1) 體積應力階段 體積應力對體積應變如圖 1(a)，為一凸向應變軸 之曲線，隨著體積應力增加，其應力應變曲線斜率逐 漸提高；時間與體積應變的關係如圖圖 1(b)大部分的 體積應變都發生在潛變剛開始的階段，隨著體積應力 增大體積應變潛變量有變小的趨勢。 0 10 20 30 40 50 60 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Volumetric strain (10-6) H yd r os tati c s tr e ss (M P a) Creep stage 圖 1(a) 體積應力階段潛變實驗，體積應力對體積應 變關係圖 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 1 2 3 4 5 6 7 Time (hour) V ol u me tr ic s tr ai n (10 -6 ) Creep stage P = 5 MPa P = 10 MPa P = 20MPa P = 30 MPa P = 40 MPa P = 50 MPa 圖 1(b) 體積應力階段潛變實驗，時間對體積應變關 係圖 (2) 純剪應力作用階段 剪應力作用階段，剪應力對剪應變關係如圖 2(a) 所示，初始之應力應變曲線呈一直線上升狀態，但隨 著剪應力越接近破壞強度時剪應變大量產生；時間與 剪應變的關係如圖 2(b)，不同剪應力下的潛變曲線可 以發現，隨著剪應力增大的剪潛變量隨之增大，且接 近破壞剪應力時，剪潛變量大量增加

。

0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 2000 4000 6000 8000 Shear strain (10-6) She a r st r e ss ( M P a ) P = 20 MPa P = 60 MPa P = 40 MPa 圖 2(a) 純剪應力階段潛變實驗，剪應力對剪應變關 係圖 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 5 10 15 20 25 30 Time (hour) S h e a r c r e e p s tr a in ( 1 0 -6 ) ξ: Stress ratio ξ = 0.88 ξ = 0.38ξ = 0.25 ξ = 0.5 ξ = 0.64 ξ = 0.77 ξ = 0.83 圖 2(b) 純剪應力階段潛變實驗，時間對剪應變關係 圖 (3) 純剪應力引致之體積應變 純剪應力作用下，剪應力對體積應變之關係如圖 3(a)所示，首先體積應變呈現壓縮的情況，隨著剪應 力增加體積壓縮的行為逐漸轉為膨脹，若剪應力持續 增加接近破壞則產生大量的體積膨脹； 潛變實驗結果如圖 3(b)，可知剪應力引致體積應 變之行為仍然存在，同樣的大部分的體積應變都發生 在潛變時間剛開始的階段，觀察不同剪應力下的潛變 曲線，低剪應力時潛縮量隨著剪應力增大而遞減，轉 為體積潛脹行為以後，體積潛變量隨著剪應力增大而 增大，剪應力持續增加接近破壞則產生大量的體積潛 變膨脹。 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -2400 -2000 -1600 -1200 -800 -400 0 400 Volumetic Strain (10-6) She a r st r e ss ( M P a ) P = 60 MPa P = 20 MPa P = 40 MPa 圖 3(a) 純剪應力階段潛變實驗，剪應力對體積應變 關係圖

IN GEOTECHNICAL ENGINEERING IN TAIWAN Chi-Tou -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 0 5 10 15 20 25 30 Time (hour) V o lu m et ri c cre ep s tra in ( 1 0 -6 ) Dilation Compression ξ: Stress ratio ξ = 0.25 ξ = 0.38 ξ = 0.5 ξ = 0.64 ξ = 0.77 ξ = 0.83 ξ = 0.88 圖 3(b) 純剪應力階段潛變實驗，時間對體積應變關 係圖

二、依時異向軟化組成模式

根據三軸實驗之結果推論，其產生如此嚴重擠壓 之主因可能為受剪膨脹及潛變等原因，一般的彈性等 向性材料模式並沒有辦法模擬這種剪應力與體積應 變耦合的行為，另外依時變形部分剪應力仍會引致體 積潛變，一般之黏彈性模式亦無法針對此特性進行模 擬。 2.1 依時異向軟化模式

本研究參考Weng et al. [6] and Graham et al. [7]

假設砂岩之變形特徵存在異向之行為，此異向性是由 於剪應力所引致的，剪應力除了引致異向性外也會使 變形模數值產生軟化之現象，建議其主應力增量與主 應變增量關係之矩陣應如式 1所示，K 為材料之切線 體積模數（以下簡稱為體積模數），G 為材料之切線 剪力模數（以下簡稱為剪力模數)，β 則為異向性因子。 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 9 3 9 6 9 6 1 1 1 1 1 1 9 6 9 3 9 6 1 1 1 1 1 1 9 6 9 6 9 3 K G K G K G K G K G K G K G K G K G β β δε δσ δε δσ β β β δε δσ β β β  _{+ − −}             _{= − + −}                 _{ }  − − +     2 2 2 2

(1)

1

δσ

、

δσ

₂及

δσ

₃分別為最大、中間及最小主應力增 量。 1

δε

、

δε

₂及

δε

₃分別為最大、中間及最小主應變增 量。 式 1中若β 為 1 時則為等向性材料，當砂岩受剪 力作用後β 值則不為 1，根據式 1剪應力增量可產生 耦合之體積應變增量。 根據上述之模式，搭配變形模數 K 與 G 的變化 可模擬砂岩於純剪應力下三個主要之變形特徵，其方 法如下 (1) 體積應力階段，砂岩為等向變形此時β 值為 1， 另外變形模數隨體積應力增加而硬化。 (2) 純剪應力階段，剪應變隨剪應力增加而增加，因 此變形模數隨剪應力增加而軟化。 (3) 純剪應力階段，材料因受剪產生異向性，此時β 值不等於 1。 進一步探討β 值變化對於剪應力與體積應變耦 合之影響，根據式 1可求得體積應變

δε

_v如式 2所 示，δI₁為體積應力增量，δJ2為剪應力增量，可將體 積應變分為體積應力造成之體積應變

( )

_v p δε 如式 3及 剪應力所造成體積應變

( )

_v s δε 如式 4，根據式 4可知 當β 值大於 1 剪應力增量會產生體積壓縮，β 值小於 1 時剪應力增量會產生體積膨脹。 1 2 1 2 2

1

1

1

2

(

)

3

9

9

9

2

1

1

(

) 3

9

9

9

v

I

I

K

G

G

G

J

G

G

G

δε

δ

δ

β

β

δ

β

β

=

+

+

−

+

−

−

(2)

( )

2 1

1

1

1

2

(

)

3

9

9

9

v p

_K

_G

_G

_G

I

δε

δ

β

β

=

+

+

−

₍₃₎

( )

2 2

2

1

1

(

) 3

9

9

9

v s

_G

_G

_G

J

δε

δ

β

β

=

−

−

₍₄₎

依時變形方面，根據所提出之異向軟化模式，搭 配廣義凱文模式模擬砂岩之一次潛變變形行為，廣義 凱文為一黏彈性模式，其基本元件為一彈簧串聯一凱 文模式，如圖 4所示，常用於模擬材料的一次潛變， R1 與 R2代表彈簧的勁度張量，η為黏滯系數，其應 力-應變與時間的關係可以式 5表示。 1 2 1

( )

(1

)

R t

t

e

R

R

η

σ

σ

ε

=

+

−

−

(5)

R

₁

R

₂

R

₁

R

₂ 圖 4 廣義凱文模式示意圖 將式 5應變與時間的關係應用至式 1，將應變分 為與時間無關的即時應變與跟時間有關的潛應變，另 外又分為體積應力所造成的與軸差應力所造成的部 分，則依時異向軟化模式可表示成式 6。 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 3 1 * * 2 1 1 1 1 1 1 1 3 6 6 9 9 9 3 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 9 9 9 3 6 3 6 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 9 9 9 3 6 6 3 9 c 9 I _{G G G} K K K t S t I S K K K G G G t S I K K K G G G p p K K δ δε δ δε δ β β β β β δ δε β δ β δ β       _{− −}                    ₌   _{+ − − }        _{ }            _{ }      _{− − }           + * * * * 1 1 * * * * * * 1 2 3 * * * * 2 2 * * 1 2 2 1 9 ₃ 3 6 6 1 9 9 9 3 6 3 6 1 3 9 9 9 6 6 3 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c p q q q I K G G G S p p p q q q I S K K K G G G S p p p I q q q K K K G G G β β β β β δ δ δ δ δ β β δ β  _{ }   − −  _{ }    _{ }  _{  }  _{  + −} _{  } −  _{ }  _{  }  _{ }  _{  }    _{ }    _{ } − −         

(6)

式中： *

(1

c

)

t K

p

e

η −

= −

、 *

(1

c

)

t G

q

e

η −

= −

Kc；體積潛變模數(控制體積潛變量) Gc：剪潛變模數(控制剪潛變量) βc：潛變異向性因子 t：即時試驗代表應力增量加載從 0 到 t 的時間，潛變 實驗代表應力增量加載結束後，潛變起始到結束的 時間。 根據之前歸納之砂岩之潛變實驗結果，可知其潛 變行為與即時變形趨勢相當類似，因此 K 與 Kc之關 係以式 7表示，同樣的 G 與 Gc之關係以式 8表示， 而異向性因子的部分則假設β=βc。 c

K

=

mK

(7) c

G

=

nG

(8) 將式 7、式 8與β=βc帶入式 6整理後可簡化其結果如 式 9所示。 1 1 2 2 2 2 3 3 2 2 9 3 9 6 9 6 ( ) ( ) 9 6 9 3 9 6 ( ) 9 6 9 6 9 3 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c p q p q p q K G K G K G t p q p q p q t K G K G K G t p q p q p q K G K G K G β β δε δσ δε δσ β β β δε δσ β β β   + − −       _{ }   _{= − + −}                 _{ }  − − +     (9)

(1

t Kc

)

p

= + −

m e

−η

_q

= + −

(1

_{n e}

−tη Gc

)

_.

根據式 9體積應變隨時間的增量可整理如式 10 1 1 2 2 2 1 ( ) (1 ) 3 1 1 2 ( ) (1 ) 9 9 9 2 1 1 ( ) 3 (1 ) 9 9 9 c c c t K v c t G c c c t G c c c t I m e K I m e G G G J n e G G G η η η δε δ δ β β δ β β − − − = + − + + − + − + − − + − (10) 2.2 砂岩材料的變形模數隨應力狀態之變化 根據歸納之砂岩變形特徵可知其變形模數會隨 體積應力增加而上升，隨剪應力增加而減少，因此本 模式所需的 5 個變形模數 K、G、Kc,、Gc 及

β

可以 應力狀態之函數進行表示。 首先變形模數隨體積應力增加，建議砂岩之初始 剪力模數 G0及初始體積模數 K0可以式 11與式 12表 示，隨體積應力上升模數值呈線性遞增，參數 a 與 c 代表其遞增之斜率，參數 b 與 d 代表在體積應力為零 之初始變形模數。 0 1

1

3

G

= ×

a



_

I



_

+

b





(11) 0 1

1

3

K

= ×

c



_

I



_

+

d





(12) 剪應力之情況下，變形模數會隨剪應力增加而降 低，根據實驗數據反推剪力模數值隨剪應力遞減之情 形發現其通常皆為非線性，本研究建議以式 13模擬 其遞減之情形，；其中

J

_2,f 代表砂岩之剪力強度， 其同常隨體積應力呈線性遞增，以式 14表示，與 k 為材料參數 2 4 0 2, 1 ( ) f J G G J     = −     (13)

k

I

J

_2,f

=

α

₁

+

(14) 體積模數隨剪應力遞減之情形以類似剪力模數 的形式進行模擬，如式 15所示。 2 4 0 2, 1 ( ) f J K K J     = −     (15) 體積模數 K 與剪力模數 G 隨體積應力上升而上升， 隨剪應力上升而下降之示意圖如圖 5所示。 G0 K0 K G

Hydrostatic stress Shear stress

Increasing Increasing D ef or mat ion mod u lu s 圖 5 體積模數 K 與剪力模數 G 不同應力狀態之示意 圖 根據式 13與式 15則體積潛變模數與剪潛變模數可以 式 16與式 17表示 2 4 1 2, 1 ( )(1 ( ) ) 3 c f J G nG n c I d J = = + − ( 1 6 ) 2 4 1 2, 1 ( )(1 ( ) ) 3 c f J K mK m a I b J = = + − _{( 1 7 )} 異向性因子

β

主控模數受剪力增量體積應變增 量為膨脹或是壓縮，砂岩受純剪應力體積應變增量呈 現先壓縮後膨脹之情形，因此

β

以式 18表示，其隨

IN GEOTECHNICAL ENGINEERING IN TAIWAN Chi-Tou 剪應力遞減之示意圖如圖 6所示，

β

0 代表其初始異 向特性。 2 0 2, c f J J β β= =β − (18) 0 1 β Increasing Increasing Compression Dilation A n is ot rop ic f ac tor

Hydrostatic stress Shear stress

圖 6 異 向 性 因 子 β 隨 剪 應 力 遞 減 之 示 意 圖 2.3 砂岩材料模式參數之決定 本依時模式所需之參數共 10 個，分別為

α

, k, a, b, c, d,

β

₀m, n 及 η，其中

α

, k 代表材料之剪力強 度，可由實驗數據之剪力強度直進行線性回歸求得。 a, b, c, d 代表初始體積模數與剪力模數，a, b,可 由體積應力階段之實驗數據推求不同體積應力下的 體積模數值進行回歸求得，同樣的 c, d 可由不同體積 應力階段下之純剪應力實驗數據反推求得，另外

β

₀ 可由純剪應力之實驗數據進行敏感度分析求得，其參 數敏度分析結果如圖 7所示。 0 10 20 30 40 50 -10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 Volumetric strain (10-6) She a r st r e ss (M P a) β0=0.9 β0=1.0 β0=1.25 β0=1.5 β0=1.75 β0 = 1.75 β0 = 1.5 β0 = 1.25 β0 = 1.0 β0 = 0.9 圖 7 異向性因子β參數敏感度分析 m, n 決定潛變量，m 代表體積應變與體積潛變量 之比例，n 代表剪應變與剪潛變之比例，η 控制一次 潛變所需之時間，潛變實驗之應變與時間關係迴歸。

三、模擬純剪應力及潛變實驗結果

3.1 模式之驗證 與一組體積應力 40MPa 之純剪路徑實驗進行比 對與參數修正，其結果如圖 8(a)、圖 8(b)與圖 8(c)所 示。根據求取參數之方法本模式 10 個參數之分析結 果如表 1所示 體積應力階段如圖 8(a)，使用本模式可模擬體積 應力與體積應變的非線性行為，與低應力狀態下稍微 低估體積應變值。 另外純剪應力階段如圖 8b)與圖 8(c)本模式亦有 不錯之模擬結果，可模擬砂岩材料接近剪力破壞時產 生之大量剪應變與體積應變，另外亦可模擬剪應力引 致體積應變先壓縮後膨脹之情形。 表 1 依時異向化模式模擬三軸實驗參數值

參數

值

α

0.375

k

9.7 MPa

a

196.46

b

1451.3 MPa

c

52.9

d

8000 MPa

β

0

1.42

m

6

n

16

η

2.11*10

7

MPa-sec

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 2000 4000 6000 8000 10000 Volumetric strain(10-6) H yd r os tati c s tr e ss (M P a) Measured deformation This research 圖 8(a) 體積應力與體積應變關係模擬結果 0 10 20 30 40 50 60 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 Shear strain (10-6) She a r st r e ss (M P a)

Measured def. P = 40 MPa

This research

0 10 20 30 40 50 60 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 Volumetric strain (10-6) She a r st r e ss (M P a)

Measured def. P = 40 MPa This research 圖 8(c) 剪應力與體積應變關係模擬結果 3.2 多組純剪應力與模擬結果 完成模式的驗證，進一步探討本模式在不同體積 應力下的分析成效，選擇體積應力 20 MPa 至 80 MPa 之純剪應力路徑實驗進行模擬，使用之材料參數仍為 40 MPa 之純剪應力實驗所迴歸求得之結果。 首先剪應力對剪應變的關係圖，如圖 9(a)所示， 由圖上可以看出，模式可模擬初始剪力模數隨著體積 應力上升而上升的趨勢，應變量方面低體積應力下 20 MPa 對於剪應變低估，在較高的體積應力下 80 MPa 則高估其應變量，亦可發現模擬的結果在體積應 變 40 MPa 的情況下最為符合，雖然多圍壓的模擬存 在部分的誤差，但是在整體趨勢上已能掌握。 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 5000 10000 15000 20000 Shear strain (10-6) She a r st r e ss (M P a) Simulation P = 20 MPa P = 40 MPa P = 60 MPa P = 80 MPa 圖 9(a) 不同體積應力下實驗，剪應力與剪應變 關係模擬結果 接下來剪應力對體積應變方面如圖 9(b)所示，跟 剪應力對剪應變的模擬結果類似，低體積應力會低估 變形量，高體積應力方面則會高估，但砂岩受剪產生 大量體積膨脹的現象，模式已經可做相當程度的模 擬。 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 Volumetric strain (10-6) She a r st r e ss (M P a) Simulation P = 20 MPa P = 40 MPa P = 60 MPa P = 80 MPa 圖 9(b) 不同體積應力下實驗，剪應力與體積應 變關係模擬結果 3.3 依時行為模擬結果 依時變形部分，將模式應用於多階段潛變實驗之 模擬，其實驗如同純剪應力實驗可分為兩部分，分別 為： (1) 體積應力階段的多階段潛變實驗，時間與體積機 應變之結果如圖 1(b)所示。 (2) 純剪應力階段下的多階段潛變實驗，時間與應變 之關係如圖 2(b)與圖 3(b)所示。 體積應力階段之模擬結果如圖 10(a)所示，由圖 上可知本模式模擬不同階段之時間與體積應變之關 係，結果相當不錯。 純剪應力階段之模擬結果如圖 10(b)與圖 10(c)所 示，圖 10(b)不同階段之潛變隨剪應力增加，潛變所 造成的剪潛變量也隨之增加，模式模擬結果於低剪應 潛變階段模擬之結果較為準確，高剪應力階段潛變之 模擬有低估之現象，但本模式已能預估剪潛應變隨剪 應力增加之趨勢。 圖 10(c)為潛變階段剪應力所引致之體積潛變模 擬，於低剪應力階段體積潛變量為壓縮且隨剪應力增 加而降低，隨剪應力增加，體積潛變轉為膨脹且隨剪 應力增加體積潛變量亦快速增加，模式模擬的結果同 樣的為低剪應力狀態較準確，當剪應力接近破壞時， 所預估之體積膨脹量有高估的現象，但在趨勢上本模 式已可模擬。 本模式對於接近破壞剪應力階段之前便量估計 雖與實驗值比較後稍有差異，但潛變量隨剪應力改變 之趨勢本模式已可模擬出來，但與一般黏彈性模式相 較，其僅能對材料某單方向之潛變行為進行模擬，本 模式可反映材料三維的潛變行為，另外亦可反映材料 受體積膨脹與潛變膨脹的特性

IN GEOTECHNICAL ENGINEERING IN TAIWAN Chi-Tou 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 1 2 3 4 5 6 7 Time (hour) V ol u me tr ic s tr ai n (10 -6 )

Measured creep def. model P = 5 MPa P =10 MPa P =20 MPa P =30 MPa P =40 MPa P =50 MPa creep stage 圖 10(a) 體積應力階段潛變實驗，時間與體積應 變關係模擬結果 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 5 10 15 20 25 30 Time (hour) S h e a r c r e e p s tr a in ( 1 0 -6 )

Measured creep def. Simulation ξ = 0.88 ξ = 0.77 ξ = 0.83 ξ = 0.64 ξ = 0.38ξ = 0.25 ξ = 0.5 圖 10(b) 純剪應力階段潛變實驗，時間與剪應變 關係模擬結果 -1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 0 5 10 15 20 25 30 Time (hour) V o lu m e tr ic c r e e p s tr a in ( 1 0 -6 )

Measured creep def. Simulation Dilation Compression 圖 10(c) 純剪應力階段潛變實驗，時間與體積應 變關係模擬結果

四、模式應用於隧道開挖數值分析

4.1 數值分析模型 利用數值分析軟體 ABAQUS 撰寫依時異向軟化 組成模式之副程式，參考Weng et al. [8]採用之台灣北 部高速公路某隧道作為分析案例，在不考慮隧道前進 面效應等因素的影響以平面應變分析，隧道案例之數 值分析模型如圖 11所示，長度為 200 公尺，高度為 160 公尺，隧道覆土深度為 70 公尺，隧道斷面寬為 16 公尺，高為 12.4 公尺。 數值分析的流程分下列三個步驟 (1)隧道模模型的自重平衡，大地應力比值K0 = 1。 (2)隧道上半段面移除。 (3)隧道下半段面移除。 圖 11 隧道開挖數值分析模型 比較岩體在不同材料組成模式下對於隧道周圍 變形的影響，為凸顯本模式之特色，考慮砂岩材料受 剪異引致體積膨脹，隧道開挖即時變形比較本研究異 向軟化模式

(

β

≠ )

1

、等向軟化模式

( =1

β

)

以 及 Drucker-Prager 彈塑性模式；依時變形部分比較依 時異向軟化模式以及廣義凱文模式之分析差異，分析 所需之參數如表二(a)及表二(b)所示。 表二(a) 數值分析依時異向軟化模式參數值

模式

參數

參數值

依時

異向軟化

模式

α

0.2

k

82 kPa

a

20

b

80 MPa

c

14.38

d

57.6 MPa

β

0

1.38

m

6.97

n

14

η

2.11*10

7

MPa-sec

表二(b) 數值分析其他模式所需參數

模式

參數

參數值

彈塑性模式

彈性部份

E

200 MPa

ν

0.21 GPa

Drucker–Prager

α

0.2

k

82 kPa

廣義

凱文模式

K

114.9 MPa

G

82.6 MPa

K

c

800 MPa

G

c

620 MPa

η

2.11*10

7

MPa-sec

4.2 數值分析結果比較 隧道案例分析之結果本文分為兩個主題進行討 論之，分別如下 (1) 隧道周圍岩體如頂拱、仰拱及側壁之變位量的定 量討論。 (2) 整體變形行為之定性討論及 由此兩種主題之比較結果來彰顯各模式之特色 及優缺點。 隧道變形量方面，扣除大地應力自重平衡與開挖 解壓隧道之剛體位移後，隧道頂拱、仰拱及側壁之變 位量整理如表三所示。 表三 各種組成模式分析之隧道變形量

(cm)

頂拱

(向下)

仰拱

(向上)

右側壁

(向左)

異向軟化

模式

18.3

18.7

14.9

等向軟化

模式

13.4

14.2

8.98

Drucker-Prager

彈塑性模式

11.5

8.69

8.17

依時異向

軟化模式

20.8

20.9

15.4

廣義凱文

黏彈性模式

12.7

9.83

4.21

比較開挖後即時變位，表中顯示在同樣的變形參 數下不論是頂拱、仰拱或側壁，異向軟變位量均大於 Drucker-Prager 彈塑性模式、與等向軟化模式之結 果，約為 Drucker-Prager 彈塑性模式之 2 倍，等向軟 化模式之 1.5 倍，可知本模式在考慮砂岩受剪引致體 積膨脹之效應後，所預估之變形量比未考慮剪應力與 體積應變之等向軟化模式來的大。 依時變位的部份，依時異向軟化模式所分析之頂 拱及仰拱變形量已高達 20 公分，約為廣義凱文黏彈 性模式分析變形量之兩倍，可知本模式考慮砂岩一次 潛變的影響，隧道周圍變形量亦有增大的趨勢。 整體變形行為部分主要比較隧道周圍之體積應 變，比較即時變形部份，三種不同模式之體積應變分 佈圖如圖 12所示，圖 12(a)為等向軟化模式之分析結 果，由圖可知開挖面周圍有一均勻之體積膨脹量，只 有在仰拱兩側有一小部分之體積壓縮區，但與圖 12(c) 之異向軟化模式比較，其體積膨脹範圍較小，圖 12(b) 則為 Drucker-Prager 彈塑性模式之分析結果，其只有 在仰拱的部分有體積膨脹之現象。 圖 12 三種分析模式隧道周圍之體積應變圖 依時變形部份，兩種模式之體積應變分佈圖如圖 13所示，圖 13(a) 為廣義凱文黏彈性模式之分析結 果，其在仰拱部分有一部分為體積膨脹區域，圖 13(a) 為依時異向軟化模式之分析結果，其結果與圖 12(c) 之結果類似，但其體積膨脹區域又較大。 仔細思考上述之比較結果，體積應變分佈情形之 所會有如此大差異性，主要是在於本模式有考慮砂岩 受剪膨脹之行為，另外受剪模數值軟化亦為一重要影 響因素，觀察隧道開挖後異向軟化模式剪力模數 G 值 之變化，如圖 14所示隨隧道開挖數值分析步驟之增

IN GEOTECHNICAL ENGINEERING IN TAIWAN Chi-Tou 加頂拱，仰拱及側壁之 G 值皆快速遞減，觀察分析後 隧道周圍 G 值之分佈情形如圖 15所示，由圖中可知 越靠近隧道開挖面 G 值就越小，此現象式開挖後周圍 岩體承受剪應力作用而產生，也是為何異向軟化模式 之頂拱，仰拱及側壁變形量比其他模式來的大之原 因。 圖 13 依時異向軟化模式與廣義凱文模式，分析隧道 周圍之體積應變圖 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 5 10 15 20 25 Analysis step She a r m o dul us G ( M P a ) crown invert sidewall 圖 14 剪力模數 G 隨分析過程遞減情形 圖 15 隧道周圍剪力模數 G 分布情形

五、結論

本研究建議之依時異向性軟化組成模式不僅較 一般彈性等向性模式更能合理描述砂岩材料的變形 行為，且亦可同時考慮砂岩之一次潛變變形，另外所 需的之參數數目與一般之黏塑性模式相比亦較精 簡，且可透過三軸實驗與潛變實驗回歸求得 利用此模式和試驗資料進行比對後，結果顯示兩 者之應力應變曲線相當一致，由此可驗證此模式可以 有效地模擬砂岩材料之行為，反應砂岩特有之變形特 徵。 隧道案例分析方面，本研究模式分析成果顯示隧 道周圍為均勻體積膨脹行為，且愈靠近隧道表面之 處，其體積膨脹量愈大，此現象與現地觀察到之隧道 變形行為十分相似。在定量分析方面，岩體參數分析 結果顯示，等向軟化模式，Drucker-Prager 彈塑性模 式與廣義凱文模式分析結果與頂拱實測值 36 公分均 有甚大之差距。 本研究模式分析所得之頂拱變形量約為 20 公 分，可知考慮了砂岩的剪脹與潛變特性增加了隧道之 變形量，雖然與現場實測頂拱沉陷約 36 公分之差距 仍有一段距離，但與其他模式的分析結果比較以有較 大幅度的改善，可知依時異向軟化模式無論由定性或 定量方面，模擬結果均應可以更近似實際之隧道變形 行為。

參考文獻

[1] 鄭富書、林銘郎、黃燦輝、洪如江（1996）：長 隧道工程技術之研究—台灣北部隧道天然施工 障礙之研究，國立台灣大學土木系研究報告，交 通部，台北。

[2]Jeng FS, Weng WC, Huang TH, Lin ML.

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Underground Space Technology 2002; 17: 263– 264.

[3]Jeng FS, Weng MC, Lin ML, Huang TH. Influence of petrographic parameters on geotechnical properties of Tertiary sandstones from Taiwan. Eng Geol 2004;73:71–91.

[4]Weng MC, Jeng FS, Huang TH, Lin ML.

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[7]Graham J, Houlsby GT. Anisotropic elasticity of a natural clay. Geotechnique 1983; 33: 165-180. [8]Weng MC, Jeng FS, Hsieh YM, Huang TH. A simple

model for stress-induced anisotropic softening of weak sandstones. Int J Rock Mech Min Sci 2008; 45: