空间解析几何与向量代数

...

第八章·空间解析几何与向量代数

..

.

高等数学课程

.

2020 年 2 月 12 日

.

„

暨南大学数学系

_„

吕荐瑞

.

.

.

.

向量及其线性运算

.

第一节

.

.

数量积与向量积

.

第二节

.

.

平面及其方程

.

第三节

.

.

空间直线及其方程

.

第四节

.

.

曲面及其方程

.

第五节

.

.

空间曲线及其方程

.

第六节

.

.

.

.

.

向量及其线性运算

.

第一节

.

.

向量的概念

.

A

.

.

向量的线性运算

.

B

.

.

空间直角坐标系

.

C

.

.

利用坐标作向量的线性运算

.

D

.

.

向量的模、方向角、投影

.

E

.

.

.

向量

：既有大小，又有方向的量称为向量．

向量的表示：

−→

AB，或

⃗，或 

向量的相等：若

_{⃗ 和 ⃗}

b 的大小和方

向都相同，称两者相等，记为

_{⃗ = ⃗}

b

.

.

A .

B

向量的模

：向量的大小称为向量的模，记为

_|

−→

AB

|，或

| ⃗|，或 ||

单位向量：模为 1 的向量，常记为

_⃗e

零向量：模为 0 的向量，记为 ⃗

0

.

.

.

向量

：既有大小，又有方向的量称为向量．

向量的表示：

−→

AB，或

⃗，或 

向量的相等：若

_{⃗ 和 ⃗}

b 的大小和方

向都相同，称两者相等，记为

_{⃗ = ⃗}

b

.

.

A .

B

向量的模

：向量的大小称为向量的模，记为

_|

−→

AB

|，或

| ⃗|，或 ||

单位向量：模为 1 的向量，常记为

_⃗e

零向量：模为 0 的向量，记为 ⃗

0

.

.

.

向量

：既有大小，又有方向的量称为向量．

向量的表示：

−→

AB，或

⃗，或 

向量的相等：若

_{⃗ 和 ⃗}

b 的大小和方

向都相同，称两者相等，记为

_{⃗ = ⃗}

b

.

.

A .

B

向量的模

：向量的大小称为向量的模，记为

_|

−→

AB

|，或

| ⃗|，或 ||

单位向量：模为 1 的向量，常记为

_⃗e

零向量：模为 0 的向量，记为 ⃗

0

.

.

.

向量

：既有大小，又有方向的量称为向量．

向量的表示：

−→

AB，或

⃗，或 

向量的相等：若

_{⃗ 和 ⃗}

b 的大小和方

向都相同，称两者相等，记为

_{⃗ = ⃗}

b

.

.

A .

B

向量的模

：向量的大小称为向量的模，记为

_|

−→

AB

|，或

| ⃗|，或 ||

单位向量：模为 1 的向量，常记为

_⃗e

零向量：模为 0 的向量，记为 ⃗

0

.

.

.

向量

：既有大小，又有方向的量称为向量．

向量的表示：

−→

AB，或

⃗，或 

向量的相等：若

_{⃗ 和 ⃗}

b 的大小和方

向都相同，称两者相等，记为

_{⃗ = ⃗}

b

.

.

A .

B

向量的模

：向量的大小称为向量的模，记为

_|

−→

AB

|，或

| ⃗|，或 ||

单位向量：模为 1 的向量，常记为

_⃗e

零向量：模为 0 的向量，记为 ⃗

0

.

.

.

向量

：既有大小，又有方向的量称为向量．

向量的表示：

−→

AB，或

⃗，或 

向量的相等：若

_{⃗ 和 ⃗}

b 的大小和方

向都相同，称两者相等，记为

_{⃗ = ⃗}

b

.

.

A .

B

向量的模

：向量的大小称为向量的模，记为

_|

−→

AB

|，或

| ⃗|，或 ||

单位向量：模为 1 的向量，常记为

_⃗e

零向量：模为 0 的向量，记为 ⃗

0

.

.

.

平行

若向量

_{⃗ 与 ⃗}

b 的方向相同或相反，则称

⃗ 与 ⃗

b

平

·

行

·

，记为

⃗ ∥ ⃗

b．

规定零向量与任何向量都平行．

共线

若 两 个 向 量 可 平 移 到 一 条 直 线 上， 则 称 它 们

共

·

线

·

．

两向量平行等同于两向量共线．

共面

若三个或更多个向量可平移到一个平面上，则称

它们共

·

面

·

．

.

.

.

平行

若向量

_{⃗ 与 ⃗}

b 的方向相同或相反，则称

⃗ 与 ⃗

b

平

·

行

·

，记为

⃗ ∥ ⃗

b．

规定零向量与任何向量都平行．

共线

若 两 个 向 量 可 平 移 到 一 条 直 线 上， 则 称 它 们

共

·

线

·

．

两向量平行等同于两向量共线．

共面

若三个或更多个向量可平移到一个平面上，则称

它们共

·

面

·

．

.

.

.

平行

若向量

_{⃗ 与 ⃗}

b 的方向相同或相反，则称

⃗ 与 ⃗

b

平

·

行

·

，记为

⃗ ∥ ⃗

b．

规定零向量与任何向量都平行．

共线

若 两 个 向 量 可 平 移 到 一 条 直 线 上， 则 称 它 们

共

·

线

·

．

两向量平行等同于两向量共线．

共面

若三个或更多个向量可平移到一个平面上，则称

它们共

·

面

·

．

.

.

.

平行

若向量

_{⃗ 与 ⃗}

b 的方向相同或相反，则称

⃗ 与 ⃗

b

平

·

行

·

，记为

⃗ ∥ ⃗

b．

规定零向量与任何向量都平行．

共线

若 两 个 向 量 可 平 移 到 一 条 直 线 上， 则 称 它 们

共

·

线

·

．

两向量平行等同于两向量共线．

共面

若三个或更多个向量可平移到一个平面上，则称

它们共

·

面

·

．

.

.

.

平行

若向量

_{⃗ 与 ⃗}

b 的方向相同或相反，则称

⃗ 与 ⃗

b

平

·

行

·

，记为

⃗ ∥ ⃗

b．

规定零向量与任何向量都平行．

共线

若 两 个 向 量 可 平 移 到 一 条 直 线 上， 则 称 它 们

共

·

线

·

．

两向量平行等同于两向量共线．

共面

若三个或更多个向量可平移到一个平面上，则称

它们共

·

面

·

．

.

.

.

.

.

向量及其线性运算

.

第一节

.

.

向量的概念

.

A

.

.

向量的线性运算

.

B

.

.

空间直角坐标系

.

C

.

.

利用坐标作向量的线性运算

.

D

.

.

向量的模、方向角、投影

.

E

.

.

.

向量的加法

三角形法则：

.

.

A

.

⃗

.

B

.

⃗

b

.

C

.

⃗ + ⃗

b

平行四边形法则：

.

.

A

.

⃗

.

B

.

C

.

⃗

b

.

D

.

⃗ + ⃗

b

性质 1

向量的加法满足下列运算定律：

⃗ + ⃗

b

= ⃗

b

+ ⃗

( ⃗ + ⃗

b

) + ⃗c = ⃗ + ( ⃗

b

+ ⃗c) = ⃗ + ⃗

b

+ ⃗c

.

.

.

向量的加法

三角形法则：

.

.

A

.

⃗

.

B

.

⃗

b

.

C

.

⃗ + ⃗

b

平行四边形法则：

.

.

A

.

⃗

.

B

.

C

.

⃗

b

.

D

.

⃗ + ⃗

b

性质 1

向量的加法满足下列运算定律：

⃗ + ⃗

b

= ⃗

b

+ ⃗

( ⃗ + ⃗

b

) + ⃗c = ⃗ + ( ⃗

b

+ ⃗c) = ⃗ + ⃗

b

+ ⃗c

.

.

.

向量的加法

三角形法则：

.

.

A

.

⃗

.

B

.

⃗

b

.

C

.

⃗ + ⃗

b

平行四边形法则：

.

.

A

.

⃗

.

B

.

C

.

⃗

b

.

D

.

⃗ + ⃗

b

性质 1

向量的加法满足下列运算定律：

⃗ + ⃗

b

= ⃗

b

+ ⃗

( ⃗ + ⃗

b

) + ⃗c = ⃗ + ( ⃗

b

+ ⃗c) = ⃗ + ⃗

b

+ ⃗c

.

.

.

向量的加法

三角形法则：

.

.

A

.

⃗

.

B

.

⃗

b

.

C

.

⃗ + ⃗

b

平行四边形法则：

.

.

A

.

⃗

.

B

.

C

.

⃗

b

.

D

.

⃗ + ⃗

b

性质 1

向量的加法满足下列运算定律：

⃗ + ⃗

b

= ⃗

b

+ ⃗

( ⃗ + ⃗

b

) + ⃗c = ⃗ + ( ⃗

b

+ ⃗c) = ⃗ + ⃗

b

+ ⃗c

.

.

.

向量的加法

三角形法则：

.

.

A

.

⃗

.

B

.

⃗

b

.

C

.

⃗ + ⃗

b

平行四边形法则：

.

.

A

.

⃗

.

B

.

C

.

⃗

b

.

D

.

⃗ + ⃗

b

性质 1

向量的加法满足下列运算定律：

⃗ + ⃗

b

= ⃗

b

+ ⃗

( ⃗ + ⃗

b

) + ⃗c = ⃗ + ( ⃗

b

+ ⃗c)

= ⃗ + ⃗

b

+ ⃗c

.

.

.

向量的加法

三角形法则：

.

.

A

.

⃗

.

B

.

⃗

b

.

C

.

⃗ + ⃗

b

平行四边形法则：

.

.

A

.

⃗

.

B

.

C

.

⃗

b

.

D

.

⃗ + ⃗

b

性质 1

向量的加法满足下列运算定律：

⃗ + ⃗

b

= ⃗

b

+ ⃗

( ⃗ + ⃗

b

) + ⃗c = ⃗ + ( ⃗

b

+ ⃗c) = ⃗ + ⃗

b

+ ⃗c

.

.

.

向量的减法

与

⃗ 大小相同而方向相反的向量，称为 ⃗ 的

负向量

，

记为

_{− ⃗．}

三角形法则：

−→

AC

−

−→

AB

=

−→

BC

.

.

A

.

⃗

.

B

.

⃗

b

.

⃗

b

− ⃗

.

C

⃗ − ⃗ = ⃗0

| ⃗ + ⃗

b

|

¶

| ⃗| + | ⃗

b

|

| ⃗ − ⃗

b

|

¶

| ⃗| + | ⃗

b

|

.

.

.

向量的减法

与

⃗ 大小相同而方向相反的向量，称为 ⃗ 的

负向量

，

记为

_{− ⃗．}

三角形法则：

−→

AC

−

−→

AB

=

−→

BC

.

.

A

.

⃗

.

B

.

⃗

b

.

⃗

b

− ⃗

.

C

⃗ − ⃗ = ⃗0

| ⃗ + ⃗

b

|

¶

| ⃗| + | ⃗

b

|

| ⃗ − ⃗

b

|

¶

| ⃗| + | ⃗

b

|

.

.

.

向量的减法

与

⃗ 大小相同而方向相反的向量，称为 ⃗ 的

负向量

，

记为

_{− ⃗．}

三角形法则：

−→

AC

−

−→

AB

=

−→

BC

.

.

A

.

⃗

.

B

.

⃗

b

.

⃗

b

− ⃗

.

C

⃗ − ⃗ = ⃗0

| ⃗ + ⃗

b

|

¶

| ⃗| + | ⃗

b

|

| ⃗ − ⃗

b

|

¶

| ⃗| + | ⃗

b

|

.

.

.

向量的减法

与

⃗ 大小相同而方向相反的向量，称为 ⃗ 的

负向量

，

记为

_{− ⃗．}

三角形法则：

−→

AC

−

−→

AB

=

−→

BC

.

.

A

.

⃗

.

B

.

⃗

b

.

⃗

b

− ⃗

.

C

⃗ − ⃗ = ⃗0

| ⃗ + ⃗

b

|

¶

| ⃗| + | ⃗

b

|

| ⃗ − ⃗

b

|

¶

| ⃗| + | ⃗

b

|

.

.

.

向量的减法

与

⃗ 大小相同而方向相反的向量，称为 ⃗ 的

负向量

，

记为

_{− ⃗．}

三角形法则：

−→

AC

−

−→

AB

=

−→

BC

.

.

A

.

⃗

.

B

.

⃗

b

.

⃗

b

− ⃗

.

C

⃗ − ⃗ = ⃗0

| ⃗ + ⃗

b

|

¶

| ⃗| + | ⃗

b

|

| ⃗ − ⃗

b

|

¶

| ⃗| + | ⃗

b

|

.

.

.

向量的减法

与

⃗ 大小相同而方向相反的向量，称为 ⃗ 的

负向量

，

记为

_{− ⃗．}

三角形法则：

−→

AC

−

−→

AB

=

−→

BC

.

.

A

.

⃗

.

B

.

⃗

b

.

⃗

b

− ⃗

.

C

⃗ − ⃗ = ⃗0

| ⃗ + ⃗

b

|

¶

| ⃗| + | ⃗

b

|

| ⃗ − ⃗

b

|

¶

| ⃗| + | ⃗

b

|

.

.

.

向量的数乘

数 λ 与向量

_{⃗ 的乘积是一个新向量，记为 λ ⃗．}

规定

|λ ⃗| = |λ| · | ⃗|，而且

若 λ > 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 同向}

若 λ < 0，则 λ

⃗ 与 ⃗ 反向

若 λ

_{= 0，则 λ ⃗ = ⃗0}

性质 2

向量的数乘满足下列性质：

1

⃗ = ⃗

,

(−1) ⃗ = − ⃗

λ

(μ ⃗) = (λμ) ⃗ = μ(λ ⃗)

(λ + μ) ⃗ = λ ⃗ + μ ⃗

,

λ

( ⃗ + ⃗

b

) = λ ⃗ + λ ⃗

b

.

.

.

向量的数乘

数 λ 与向量

_{⃗ 的乘积是一个新向量，记为 λ ⃗．规定}

|λ ⃗| = |λ| · | ⃗|，而且

若 λ > 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 同向}

若 λ < 0，则 λ

⃗ 与 ⃗ 反向

若 λ

_{= 0，则 λ ⃗ = ⃗0}

性质 2

向量的数乘满足下列性质：

1

⃗ = ⃗

,

(−1) ⃗ = − ⃗

λ

(μ ⃗) = (λμ) ⃗ = μ(λ ⃗)

(λ + μ) ⃗ = λ ⃗ + μ ⃗

,

λ

( ⃗ + ⃗

b

) = λ ⃗ + λ ⃗

b

.

.

.

向量的数乘

数 λ 与向量

_{⃗ 的乘积是一个新向量，记为 λ ⃗．规定}

|λ ⃗| = |λ| · | ⃗|，而且

若 λ > 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 同向}

若 λ < 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 反向}

若 λ

_{= 0，则 λ ⃗ = ⃗0}

性质 2

向量的数乘满足下列性质：

1

⃗ = ⃗

,

(−1) ⃗ = − ⃗

λ

(μ ⃗) = (λμ) ⃗ = μ(λ ⃗)

(λ + μ) ⃗ = λ ⃗ + μ ⃗

,

λ

( ⃗ + ⃗

b

) = λ ⃗ + λ ⃗

b

.

.

.

向量的数乘

数 λ 与向量

_{⃗ 的乘积是一个新向量，记为 λ ⃗．规定}

|λ ⃗| = |λ| · | ⃗|，而且

若 λ > 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 同向}

若 λ < 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 反向}

若 λ

_{= 0，则 λ ⃗ = ⃗0}

性质 2

向量的数乘满足下列性质：

1

⃗ = ⃗

,

(−1) ⃗ = − ⃗

λ

(μ ⃗) = (λμ) ⃗ = μ(λ ⃗)

(λ + μ) ⃗ = λ ⃗ + μ ⃗

,

λ

( ⃗ + ⃗

b

) = λ ⃗ + λ ⃗

b

.

.

.

向量的数乘

数 λ 与向量

_{⃗ 的乘积是一个新向量，记为 λ ⃗．规定}

|λ ⃗| = |λ| · | ⃗|，而且

若 λ > 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 同向}

若 λ < 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 反向}

若 λ

_{= 0，则 λ ⃗ = ⃗0}

性质 2

向量的数乘满足下列性质：

1

⃗ = ⃗

,

(−1) ⃗ = − ⃗

λ

(μ ⃗) = (λμ) ⃗ = μ(λ ⃗)

(λ + μ) ⃗ = λ ⃗ + μ ⃗

,

λ

( ⃗ + ⃗

b

) = λ ⃗ + λ ⃗

b

.

.

.

向量的数乘

数 λ 与向量

_{⃗ 的乘积是一个新向量，记为 λ ⃗．规定}

|λ ⃗| = |λ| · | ⃗|，而且

若 λ > 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 同向}

若 λ < 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 反向}

若 λ

_{= 0，则 λ ⃗ = ⃗0}

性质 2

向量的数乘满足下列性质：

1

⃗ = ⃗

,

(−1) ⃗ = − ⃗

λ

(μ ⃗) = (λμ) ⃗ = μ(λ ⃗)

(λ + μ) ⃗ = λ ⃗ + μ ⃗

,

λ

( ⃗ + ⃗

b

) = λ ⃗ + λ ⃗

b

.

.

.

向量的数乘

数 λ 与向量

_{⃗ 的乘积是一个新向量，记为 λ ⃗．规定}

|λ ⃗| = |λ| · | ⃗|，而且

若 λ > 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 同向}

若 λ < 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 反向}

若 λ

_{= 0，则 λ ⃗ = ⃗0}

性质 2

向量的数乘满足下列性质：

1

⃗ = ⃗

,

(−1) ⃗ = − ⃗

λ

(μ ⃗) = (λμ) ⃗ = μ(λ ⃗)

(λ + μ) ⃗ = λ ⃗ + μ ⃗

,

λ

( ⃗ + ⃗

b

) = λ ⃗ + λ ⃗

b

.

.

.

向量的数乘

数 λ 与向量

_{⃗ 的乘积是一个新向量，记为 λ ⃗．规定}

|λ ⃗| = |λ| · | ⃗|，而且

若 λ > 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 同向}

若 λ < 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 反向}

若 λ

_{= 0，则 λ ⃗ = ⃗0}

性质 2

向量的数乘满足下列性质：

1

⃗ = ⃗

,

(−1) ⃗ = − ⃗

λ

(μ ⃗) = (λμ) ⃗ = μ(λ ⃗)

(λ + μ) ⃗ = λ ⃗ + μ ⃗

,

λ

( ⃗ + ⃗

b

) = λ ⃗ + λ ⃗

b

.

.

.

向量的数乘

数 λ 与向量

_{⃗ 的乘积是一个新向量，记为 λ ⃗．规定}

|λ ⃗| = |λ| · | ⃗|，而且

若 λ > 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 同向}

若 λ < 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 反向}

若 λ

_{= 0，则 λ ⃗ = ⃗0}

性质 2

向量的数乘满足下列性质：

1

⃗ = ⃗

,

(−1) ⃗ = − ⃗

λ

(μ ⃗) = (λμ) ⃗ = μ(λ ⃗)

(λ + μ) ⃗ = λ ⃗ + μ ⃗

,

λ

( ⃗ + ⃗

b

) = λ ⃗ + λ ⃗

b

.

.

.

向量的数乘

数 λ 与向量

_{⃗ 的乘积是一个新向量，记为 λ ⃗．规定}

|λ ⃗| = |λ| · | ⃗|，而且

若 λ > 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 同向}

若 λ < 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 反向}

若 λ

_{= 0，则 λ ⃗ = ⃗0}

性质 2

向量的数乘满足下列性质：

1

⃗ = ⃗

,

(−1) ⃗ = − ⃗

λ

(μ ⃗) = (λμ) ⃗ = μ(λ ⃗)

(λ + μ) ⃗ = λ ⃗ + μ ⃗

,

λ

( ⃗ + ⃗

b

) = λ ⃗ + λ ⃗

b

.

.

.

向量的数乘

数 λ 与向量

_{⃗ 的乘积是一个新向量，记为 λ ⃗．规定}

|λ ⃗| = |λ| · | ⃗|，而且

若 λ > 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 同向}

若 λ < 0，则 λ

_{⃗ 与 ⃗ 反向}

若 λ

_{= 0，则 λ ⃗ = ⃗0}

性质 2

向量的数乘满足下列性质：

1

⃗ = ⃗

,

(−1) ⃗ = − ⃗

λ

(μ ⃗) = (λμ) ⃗ = μ(λ ⃗)

(λ + μ) ⃗ = λ ⃗ + μ ⃗

,

λ

( ⃗ + ⃗

b

) = λ ⃗ + λ ⃗

b

.

.

.

例 1

设

⃗ 为非零向量，则

_{| ⃗|}

⃗

为单位向量．

例 2

设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，

−→

AB

=

⃗，

−→

AD

= ⃗

b，试用

⃗ 和 ⃗

b 表示向量

−→

MA、

−→

MB、

−→

MC、

−→

MD．

.

.

.

例 1

设

⃗ 为非零向量，则

_{| ⃗|}

⃗

为单位向量．

例 2

设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，

−→

AB

=

⃗，

−→

AD

= ⃗

b，试用

⃗ 和 ⃗

b 表示向量

−→

MA、

−→

MB、

−→

MC、

−→

MD．

.

.

.

定理 1

设

_{⃗ 为非零向量，则有}

⃗

b

∥ ⃗ ⇐⇒ ⃗

b

= λ ⃗

其中实数 λ 是唯一的．

.

.

.

.

.

向量及其线性运算

.

第一节

.

.

向量的概念

.

A

.

.

向量的线性运算

.

B

.

.

空间直角坐标系

.

C

.

.

利用坐标作向量的线性运算

.

D

.

.

向量的模、方向角、投影

.

E

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

.

.



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

.

.



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

y 面

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

y 面

.

yz 面

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

y 面

.

yz 面

.

z 面

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

y 面

.

yz 面

.

z 面

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

空间直角坐标系

三个坐标轴

三个坐标面

八个卦限

..



.

_y

.

z

.

y 面

.

yz 面

.

z 面

.

I

.

II

.

III

.

IV

.

V

.

VI

.

VII

.

VIII

.

.

.

在空间直角坐标系中，我们有

点 M

_{←→ 坐标 (}

,

y

,

z

) ←→ 向量 ⃗r =

−→

OM

..



.

y

.

z

.

O

.

⃗r

.

M

.

.

.

..



.

_y

.

z

.

y 面

.

yz 面

.

z 面

_{坐标面上的点：}

y 面

↔ z = 0

yz 面

↔  = 0

z 面

↔ y = 0

坐标轴上的点：

 轴

↔ y = z = 0

y 轴

↔ z =  = 0

z 轴

↔  = y = 0

..



.

_y

.

z

.

(

,

0

,

0

)

.

(0

,

y

,

0

)

.

(0

,

0

,

z

)

.

.

.

..



.

_y

.

z

.

y 面

.

yz 面

.

z 面

_{坐标面上的点：}

y 面

↔ z = 0

yz 面

↔  = 0

z 面

↔ y = 0

坐标轴上的点：

 轴

↔ y = z = 0

y 轴

↔ z =  = 0

z 轴

↔  = y = 0

..



.

_y

.

z

.

(

,

0

,

0

)

.

(0

,

y

,

0

)

.

(0

,

0

,

z

)

.

.

.

.

.

向量及其线性运算

.

第一节

.

.

向量的概念

.

A

.

.

向量的线性运算

.

B

.

.

空间直角坐标系

.

C

.

.

利用坐标作向量的线性运算

.

D

.

.

向量的模、方向角、投影

.

E

.

.

.

向量的坐标分解

..

O .



.

_y

.

z

.

N

.

⃗r

.

M

.

P

.

Q

.

R

 轴上单位向量 ⃗

y 轴上单位向量 ⃗j

z 轴上单位向量 ⃗

k

⃗r =

−→

OM

=

−→

ON

+

−→

NM

=

−→

ON

+

−→

OR

=

−→

OP

+

−→

OQ

+

−→

OR

= ⃗+ y⃗j+ z ⃗k = (

,

y

,

z

)

.

.

.

向量的坐标分解

..

O .



.

_y

.

z

.

N

.

⃗r

.

M

.

P

.

Q

.

R

 轴上单位向量 ⃗

y 轴上单位向量 ⃗j

z 轴上单位向量 ⃗

k

⃗r =

−→

OM

=

−→

ON

+

−→

NM

=

−→

ON

+

−→

OR

=

−→

OP

+

−→

OQ

+

−→

OR

= ⃗+ y⃗j+ z ⃗k = (

,

y

,

z

)

.

.

.

向量的坐标分解

..

O .



.

_y

.

z

.

N

.

⃗r

.

M

.

P

.

Q

.

R

 轴上单位向量 ⃗

y 轴上单位向量 ⃗j

z 轴上单位向量 ⃗

k

⃗r =

−→

OM

=

−→

ON

+

−→

NM

=

−→

ON

+

−→

OR

=

−→

OP

+

−→

OQ

+

−→

OR

= ⃗+ y⃗j+ z ⃗k = (

,

y

,

z

)

.

.

.

向量的坐标运算

设

⃗ = (



,



y

,



z

)， ⃗

b

= (b



,

b

y

,

b

z

)，λ 为实数．

由

向量的坐标分解可得

⃗ ± ⃗

b

= (



± b



,



y

± b

y

,



z

± b

z

)

λ

⃗ = (λ



,

λ

y

,

λ

z

)

当

_{⃗ ̸= ⃗0 时， ⃗}

b

∥ ⃗ ⇔ ⃗

b

= λ ⃗ ⇔

b





_

=

b

y



_y

=

b

z



_z

平行向量对应坐标成比例

.

.

.

向量的坐标运算

设

⃗ = (



,



y

,



z

)， ⃗

b

= (b



,

b

y

,

b

z

)，λ 为实数．由

向量的坐标分解可得

⃗ ± ⃗

b

= (



± b



,



y

± b

y

,



z

± b

z

)

λ

⃗ = (λ



,

λ

y

,

λ

z

)

当

_{⃗ ̸= ⃗0 时， ⃗}

b

∥ ⃗ ⇔ ⃗

b

= λ ⃗ ⇔

b





_

=

b

y



_y

=

b

z



_z

平行向量对应坐标成比例

.

.

.

向量的坐标运算

设

⃗ = (



,



y

,



z

)， ⃗

b

= (b



,

b

y

,

b

z

)，λ 为实数．由

向量的坐标分解可得

⃗ ± ⃗

b

= (



± b



,



y

± b

y

,



z

± b

z

)

λ

⃗ = (λ



,

λ

y

,

λ

z

)

当

_{⃗ ̸= ⃗0 时， ⃗}

b

∥ ⃗ ⇔ ⃗

b

= λ ⃗ ⇔

b





_

=

b

y



_y

=

b

z



_z

平行向量对应坐标成比例

.

.

.

向量的坐标运算

设

⃗ = (



,



y

,



z

)， ⃗

b

= (b



,

b

y

,

b

z

)，λ 为实数．由

向量的坐标分解可得

⃗ ± ⃗

b

= (



± b



,



y

± b

y

,



z

± b

z

)

λ

⃗ = (λ



,

λ

y

,

λ

z

)

当

_{⃗ ̸= ⃗0 时， ⃗}

b

∥ ⃗ ⇔ ⃗

b

= λ ⃗ ⇔

b





_

=

b

y



_y

=

b

z



_z

平行向量对应坐标成比例

.

.

.

向量的坐标运算

设

⃗ = (



,



y

,



z

)， ⃗

b

= (b



,

b

y

,

b

z

)，λ 为实数．由

向量的坐标分解可得

⃗ ± ⃗

b

= (



± b



,



y

± b

y

,



z

± b

z

)

λ

⃗ = (λ



,

λ

y

,

λ

z

)

当

_{⃗ ̸= ⃗0 时， ⃗}

b

∥ ⃗ ⇔ ⃗

b

= λ ⃗ ⇔

b





_

=

b

y



_y

=

b

z



_z

平行向量对应坐标成比例

.

.

.

向量的坐标运算

例 3

求解以向量为未知元的线性方程组

¨

5

⃗ − 3⃗y = ⃗

(1)

3

⃗ − 2⃗y = ⃗

b

(2)

其中

_{⃗ = (2}

,

1

,

2

)， ⃗

b

= (−1

,

1

,

−2)．

.

.

.

向量的坐标运算

例 4

已知两点 A

_(

1

,

y

1

,

z

1

)，B(

2

,

y

2

,

z

2

) 以及实数

λ

̸= −1，在直线 AB 上求点 M，使得

−→

AM

= λ

−→

MB.

注记

点 M 的坐标等于向量

−→

OM 的坐标．

.

.

.

向量的坐标运算

例 4

已知两点 A

_(

1

,

y

1

,

z

1

)，B(

2

,

y

2

,

z

2

) 以及实数

λ

̸= −1，在直线 AB 上求点 M，使得

−→

AM

= λ

−→

MB.

注记

点 M 的坐标等于向量

−→

OM 的坐标．

.