An Almost-prime Sieve in Algebraic Number Field

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(2)

μ區 (~)μ 〈曹1) ..__.P ~ (1+T1 (三;-)一 V(l的〉 9'(現) - -~ 玄

1It'

p have

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N可 NP FoÌ' k=2

,

we

2

呼，p V

C1y>

m 師大學報 P回(~)戶 (-n) CI+T(z)一T吼-V( m..)) 少(現〉 =W(z) 玄 Jtl P 第二十四期 Pm(ll)).C(說) YY?, , ~ ).Cm(ut..)).C( lt.)~ -W(z)

2:

,-- -.--'.'

-4

少(甘z.)籠Ip 少(官t) 恥 =W(z)( l+T(z))

2:

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N

fI. L咀﹒=2:←一 llÏÏt Nft:....}

1

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1 _一恥

℃ 4μ N 一一 where T( 的

foIIowing Halberstam aI世 Richert ((I ] t pp4B -50) we ha ve

,

Now 高~

V

log xx'

,

μk( 呼) xx' 一一一一一一::-

W (

z)

T(

z) {1

+

0 (

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l'P

V( 守)<且 for log

Z

口

-z

h8ve proved ~vident ly O(.v石弓， so we 18 of 吭 term The error and in .K

If z ~3 ， log- z::;;; -v'ìO豆豆7， αis an ínteger 1 Theorem then

A

,

= { ~ ; 0< ~ ~ x

,

0 < ~ζx' ，

( ~一 α ， P(z))=l}

,

神舟=丟 W(z){l 川-晶晶)} + 0 (

.fXiT)

and in

K

,

integer If z ~ 3

,

log z::;;;

J

log

xx'

， α

It=f~

; 0<

~~ x

,

0<

e~ x'

,

and

~﹒ αhas

prlme an 18 2 and Theorem one at most 五 withNft< 升， then

吠=去:- W(z) 昀)

{

1 川-

Jlog n;')} +

O( 荷7)

p

factor

(3)

(279 ) have we i5 ;;:: 0

,

hence 5um The inner odd 15 。k(平;1/1.);三 o

,

if k+m and even 15 。k(平;I/lt)ζo

,

if k+m then 芝 μk C"{) 呼/ø.rU' V( 呼)<血 15 even

,

吭k 三玄。‘ e' 苦墓， m 50 that k+m J.tk(')ζ

2:

0< e 電 " "U;(~) 。刊電" V(可〉垂 m-l ChOo5ing 代數數體中的準篩 15 #}l k of term 4. The main xx' '"μk( "Uf-) 一 Jd可 Îr N 呀 lemma by f.lk(1!J. ) 2 一一一午 2μ叭'01..) 得jp N 呼叫于 J.t k(位 N 呼玄 'tIP V( 哼〉‘且 Now calculation

,

we have μk(哥)μm(現)μ('D'l) ~ / .'1<-1/ V( 況)"， ,- P 一一一←2:

'-'-./' \""/ 2:

(_lY-l ( 'I"~./) 帆(.:. ) N 'I-叫 P NP (;'1 • • k-i - . - . 'lJ屯 2. Therefore. by a well-known lemmà by ).

J.t m(約何況)E (一1 〉k-1(V〈干) ){1+克(:)

叫P 似的 1 =1 K-1 仇少 (P) NP 芝可 1 P V( 唔)<血

+...+T叫2)}

i

<P ('C-)

that 手 run5 thro ugh the

,

where the 5tar on the 5ummation denote5 with T1 (祝)=

product5 of di5tinct prime factor5 of 1h. 四 have μk( 平)一少 (P) 電、 μm(說)μo月) μ區(71.)戶 (m) 一一一一一一一一次 =W(z) 芝 N 呼 NP "Jt!p 少(曹t)現， p 少(-vz) we For k=l

,

2

V( 呼 Ip 可)<血 where

W(z)

=

甘(1一上〉

Np

‘

N(l

(4)

第二十四期師大學報 as m+k is have prlme

(一l)k+且一1 且三ψ( 一1)血叫bi(

:

〉(吋+門

玄，

μ(t)

(

V…一〉

'él p' 基『 ι V(t) 哇且.-V(f-) m-v(j,) __IJ

I

,

(一1l- 1μ (t) .~三( k ) (一 1

Y (

V(~) +• 1 ) 多 l 守VP' I~O V(6-)! m Jtl 午， so. we 、l)If k>V( 可)or k>m

,

then 8k (吽戶1)=1 (2) If k 言之 V( 再 )~m ， then 8k( 坪

,

m)=O

的)If k~m<V( 可), then IA( 司，m)~O or:::三 o according

product of k distinct the folIowing: μ 叭111.)=

2:

jl.k(從)=0

,

which proved 但) 視l 呼 the defination of jl.k for every μk(ιt) If k~m<V( 可 ).Let P' be of 呀， then 芝 μk(現)=

I

說j 仟 ιl 句1/ . t j / _ V(.) 豈 m V(..)~ m V( 'C)鞏固-V(起〉 have 之;Pk( ft.) "-I! 現 11 If kζV(可〉 ζm ， then V(1月 )~m

Iμk( I'l.)， then we

訓'1' V(Jt) ~血 the =芝(一1 )k-tμ( ")

v立持L

z

~modη ~iO (mod 咒〉 1=

L

~ mOd'

: (1) foIlows directly from

e e VA FT-‘ 自』 r .• FFE 地芝 M門叫 lq 4AWK =v4U I jl.k(沉浮芸 7(/守叮叮此勻， m)= 為 V(11.) ~血

=

Iμ叭m) 則都 odd or even. 已 μk(01.) Sl'k(

'I-)

、一一一叫守 N Il N 可 :仇(哥)=SE叫 V(~ ，呼〉位 Lemma 4: Let 8k(草棚，)= divisors fAC字，叫= Hence Proof Proof

(5)

2: If V( 呼 )<k ， Lμk( 況)=1 ; i f V( 呼 )~k ， _~k(m) =0 現押于 (281 ) Lemm~

,

hence 說|呼

: If V( 可 )<k ， then V( 視〉 ζk-l for each

μk( 攻〉 =:gp 〈視) (一 1 )1 (V(~))

V( 玖 =μ( 況〉 IEO( 一 1 )1 (γJ) 代數數體中的準篩 Proof 說三(1) 11.，持(1) if if

{ ~ ,

0

,

L μk( 仇 )=1 叫丹 Therefore

,

havc

L

Jlk( 机)=乏了 μ(現) (一 1 〉 1(vi呢)

) 曹呵呵呵哥 1 =0 . v(吽 )~k ， we If

=?(?〉〉三(一1

)m+1 (':')

=三(一 1 〉1?( 一1 〉E(?3)( 血〉

=:2ωI;三〉(一1~.

(V\'1P

)C立竹

=三:(一1 〉1(? 〉;玄(一1)血〈 VLY1)

O.

is equal to sum lnner

=

0

,

for the such 守

the funct'ion ÇÐk(嘻)to be the number o~ ~ mod define Now

,

we have μk( 1t) 9'k{ 哼〉 free. L 一一一=一一一叫司 N/J'L N~ we square V (~，‘可 )<k ， then t草 Lemma 3 : For that

(6)

Field

Number

Algebraic

Jn

Sieve

AJmost-Prime

An

師大學報

Kong-ching

L甲 discriminant' d

,

the with field riumber a reaI quadratic Let K be norm.For N denotes the P=P(z)= 丌 p N Pi>z.

integers ~ and αin K we define 品(~) to be the P(z). Let

fl:

k denote where and number za pOSl tIve 第.二十四期 cQ.mmon greatest the

e

in the 、 integers of set the and

S

﹒ α of divisor o<e~x ， o<e 迋玄， V( 6"a(~))<K

,

rec t ang ular

that such

e

of idea 1 ~， and factors prlme number of dist inct

the where V(1.f) is ~. of conjugate the

九.

We of of elements number the estimate will we paper In this lemmata. V( 提 )-1 μk( 仇 )=μ(~) (一1 )• 1 ( following the need 1 : Let 、_BJ 、 BJ 有此 t r' ‘、 V /'‘、、、』 J 苟且 rt 、、、 BJ 說 /tk μ •• a 肉 υ -yr~= kI 一一、 JJ 從 fk baa p n e -b & •• Lemma Since k - 1 i

2:

_(一1

Y (

V( 忱) "\ _k;.11' , "\1 rl' V(

-n

)-l "\ I l' V( 現 )-1 Y \. " . . . . / ) =芝(一1

Y {(

Y \..VI../ -~ )

+ ( "

\,Vt. .1-'" ) } Proof k-IV(穹t)一1 ，，\ I ~ l' ,

'1-'

1' V(

-n

)-':'1 =芝(一 1

Y (

"\.V~./-...

)+2:

(一1)I-l( " \. "..../ -...) V( 會zJ-l =( -1 )Ic- l ( have ~1 ..1'_ '\ l' 1 '\1 r

V

(說〉 ρlr( 說〉 =IEOμ( 就) (一 1)1 〈 i) we Hence property: fol1owing the funct ion f1.k (tl.) has The