5-1-1機率與統計-隨機變數

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(1)(99 課綱) 選修數學甲上冊第一章機率與統計 1-1 隨機變數近代以來﹐統計學的發展十分快速﹐且深入各個學科領域﹐舉凡物理､生物､醫藥､社會､經濟､教育､…﹐涵蓋了自然科學及社會科學﹒以醫藥為例﹐由於許多病症的致病原因仍不清楚﹐需要從統計上研究藥物與治療的關係；再以教育為例﹐中學生參加課外補習的利弊得失﹐確是一個值得以統計方法探究的議題﹒統計研究的對象﹐通常是龐大的族群﹐而且著重大致的通性﹐較不強調少數特例﹐ 故常使用抽樣調查﹐所謂一葉知秋､見微知著﹒然而抽樣調查有可能有以偏概全的危險﹐必須依循機率理論﹐才能使樣本具有代表性﹒因此﹐機率論是統計學的基礎﹒ 【目標】建立隨機變數的基本概念﹐能分辨離散型與連續型的差異﹐並藉由機率質量函數理解離散型隨機變數的機率分布﹐進一步認識隨機變數的數學期望值､變異數及標準差﹐熟習其相關的性質﹒ 【討論】種瓜得瓜､種豆得豆﹐有些事情其因果是必然的﹐但有些結果卻不必然﹐而是或然､隨機的﹐例如兩人猜拳比輸贏､投擲硬幣看正反﹒所謂隨機﹐就是事前不能預知會是什麼結果﹒ 隨機變數的概念：這類具有隨機性的變數稱為隨機變數﹐常以大寫的英文字母 X﹐ Y﹐Z 表示﹒隨機變數有離散型､連續型兩種主要類型﹒離散型隨機變數的可能值是離散的﹐其所有可能值可形成有限數列或無窮數列；而連續型隨機變數的可能值則為連續的實數﹒本書將以討論有限可能值的離散型隨機變數為主﹒ 【定義】 1 機率質量函數：設離散型隨機變數 X 的可能值為 x1 , x2 , L, xn ﹐通常以函數 f X ( xk ) 表 X = xk 的機率 pk ﹐即 f X ( xk ) = P( X = xk ) = pk ﹐ k = 1, 2, L, n ﹒或寫成表格 x1 x2 xn … X fX p1 p2 pn … 其中每一個 pk > 0 ﹐且 p1 + p2 + L + pn = 1 ﹒ f X 稱為隨機變數 X 的機率質量函數（簡稱機率函數）﹐也就是隨機變數 X 的機率分布﹐當不致混淆時﹐ f X ( xk ) 可寫成 f ( xk ) ﹒機率質量函數的圖形是一些離散的點﹐其中橫軸為變數 X﹐ 縱軸為機率 P﹐兩軸的單位長不必取成相同﹒. 1.

(2) 機率密度函數：連續型隨機變數 X 的機率分布用機率密度函數 f ( x) 來描述﹐機率密度曲線 y = f ( x) 下方與 x 軸所圍成的面積恆為 1；事件「 a ≤ X ≤ b 」的機率 P (a ≤ X ≤ b) 就是曲線 y = f ( x) 下方﹐x 軸上方在 x = a 與 x = b 之間圍成的區域面積﹒ 3 等機率分布：. 2. 當 X = x1 , x2 , L, xn ﹐且 f ( x1 ) = f ( x2 ) = L = f ( xn ) =. 1 時﹐X 即遵循等機率分布﹒ n. 白努利分布：假設隨機變數 X 的可能值只有 0 與 1﹐且機率函數為 f (1) = p ﹐ f (0) = 1 − p ﹐ 其中 0 < p < 1 ﹐此種機率分布稱為參數是 p 的白努利分布﹒ 5 相對次數分布圖：假設一筆數據 a1 , a2 , L, am 共 m 個數﹐其中有相同的數﹐經整理相異數有 x1 , x2 , L, xn ﹐且 x1 出現 i1 次﹐x2 出現 i2 次﹐…﹐xn 出現 in 次﹐i1 + i2 + L + in = m ﹐ 4. i i i1 ﹐ p2 = 2 ﹐…﹐ pn = n ﹐則 p1 , p2 , L, pn 依序表 x1 , x2 , L, xn 出現的 m m m 相對次數﹐且 p1 + p2 + L + pn = 1 ﹒在坐標平面上﹐點 ( x1 , p1 ) ﹐ ( x2 , p2 ) ﹐…﹐ ( xn , pn ) 所成的圖形稱為該筆數據的相對次數分布圖﹐它類似機率質量函數. 令 p1 =. 6. 圖﹒ 加權平均數：我們知道 n 個數 x1 , x2 , L, xn 的算術平均數為. x1 + x2 + L + xn 1 1 1 = x1 + x2 + L + xn ﹒一般而言﹐設 x1 , x2 , L, xn 是 n 個實數﹐ n n n n 若 p1 , p2 , L, pn 都是正數﹐且 p1 + p2 + L + pn = 1 ﹐則 x1 p1 + x2 p2 + L + xn pn 稱為 x1 , x2 , L, xn 的一個（算術）加權平均數﹐而 p1 , p2 , L, pn 為權數﹒. 7. 數學期望值：設離散型隨機變數 X 的可能值為 x1 , x2 , L, xn ﹐機率函數 f ( xk ) = pk > 0 ﹐ k = 1, 2, L , n ﹐此時﹐ p1 + p2 + L + pn = 1 ﹒若以機率 p1 , p2 , L , pn 為權數﹐取 x1 , x2 , L, xn 的加權平均數 x1 p1 + x2 p2 + L + xn pn ﹐則此數稱為隨機變數 X 的數學期望值﹐簡稱期望值﹐記為 E ( X ) ﹒又可稱為平均數﹐以 μ X 表示﹐即 n. E ( X ) = μ X = x1 p1 + x2 p2 + L + xn pn = ∑ xk pk ﹐當不致混淆時﹐ μ X 簡記為 μ ﹒ k =1. 2.

(3) 【性質】 1 數學期望值的性質：設離散型隨機變數 X 的可能值為 x1 , x2 , L, xn ﹐機率函數 f ( xk ) = pk ﹐ k = 1, 2, L , n ﹐則 X 2 也是隨機變數﹐可能值為 x1 , x2 , L , xn ﹐其對應的機率 2. 2. 2. n. 為 p1 , p2 , L, pn ﹐故期望值 E ( X 2 ) = x12 p1 + x2 2 p2 + L + xn 2 pn = ∑ xk 2 pk ﹒一般而 k =1. 言﹐若 Y 是 X 的多項式﹐則 Y 也是隨機變數﹐特別地﹐ Y = aX 2 + bX + c 時﹐Y 的可能值為 yk = axk 2 + bxk + c ﹐ k = 1, 2, L, n ﹐而 Y 的期望值 n. n. E (Y ) = ∑ (axk + bxk + c) pk = ∑ ( axk pk + bxk pk + cpk ) 2. k =1. n. 2. k =1. n. n. k =1. k =1. = a ∑ xk pk + b∑ xk pk + c∑ pk = aE ( X 2 ) + bE ( X ) + c ﹒ 2. k =1. 由此可知 E ( aX + bX + c) = aE ( X 2 ) + bE ( X ) + c ﹒ 2 數學期望值的性質：設 X 是隨機變數﹐a﹐b﹐c 是常數﹐則 E ( aX 2 + bX + c) = aE ( X 2 ) + bE ( X ) + c ﹒ 特別地﹐ E (bX + c) = bE ( X ) + c ﹒ 【定義】 1 隨機變數的變異數､標準差：設隨機變數 X 的平均數為 μ﹐則 ( X − μ ) 2 的期望值 E (( X − μ ) 2 ) 稱為 X 的變異 2. n. 數﹐記為 Var ( X ) ﹐即 Var ( X ) = E (( X − μ ) ) = ∑ ( xk − μ ) 2 pk ﹐而 2. k =1. E (( X − μ ) ) = E ( X − 2μX + μ ) = E ( X ) − 2μE ( X ) + μ 2 = E ( X 2 ) − 2μ 2 + μ 2 = E ( X 2 ) − μ 2 ﹒設隨機變數 X 的平均數為 μ﹐則 X 的變異數 2. 2. 2. 2. Var ( X ) = E (( X − μ ) 2 ) = E ( X 2 ) − μ 2 = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 ﹒ 【範例】 1 求下列隨機變數 X 的變異數﹒ (1)X 遵循等機率分布且可能值為 x1 , x2 , L, xn ﹒ (2)X 遵循參數為 p 的白努利分布﹒ 解答： 1 n. X 的平均數 μ = ( x1 + x2 + L + xn ) =. 1 n ∑ xk ﹐ n k =1. n 1 1 n Var ( X ) = ∑ ( xk − μ ) 2． = ∑ ( xk − μ ) 2 ﹐另一方面﹐由於 Var ( X ) = E ( X 2 ) − μ 2 ﹐ n n k =1 k =1 1 n 1 n 故 X 的變異數亦可表為 Var ( X ) = ∑ xk 2 −( ∑ xk )2 ﹒ n k =1 n k =1 2 2 2 μ = E ( X ) = p ﹐又 E ( X ) = 0 ．(1 − p ) + 1 ．p = p ﹐. 於是﹐ Var ( X ) = E ( X 2 ) − μ 2 = p − p 2 = p(1 − p) ﹒. 3.

(4) 【性質】 1 設 X 是隨機變數﹐且隨機變數 Y = aX + b ﹐其中 a﹐b 是常數﹐則 Var (Y ) = E (Y 2 ) − [ E (Y )]2 = E (a 2 X 2 + 2abX + b 2 ) − [aE ( X ) + b]2 = a 2 E ( X 2 ) + 2abE ( X ) + b 2 − a 2 [ E ( X )]2 − 2abE ( X ) − b 2 = a 2 {E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 }. = a 2Var ( X ) ﹒. 2 變異數的性質：設 X 為隨機變數﹐a﹐b 為常數﹐則 Var (aX + b) = a 2Var ( X ) ﹒ 3 隨機變數 X 的變異數 Var ( X ) = E ( X − μ ) 2 ﹐它是 ( X − μ ) 2 以機率作加權的平均值﹐由於 ( X − μ )2 ≥ 0 ﹐故 E ( X − μ )2 ≥ 0 ﹐即 Var ( X ) ≥ 0 ﹒ Var ( X ) 的大小可以衡量 X 之值的離散程度﹐ Var ( X ) 愈大﹐X 的值愈偏離 μ﹐其機率分布的離散度大； Var ( X ) 愈小﹐X 的值愈緊靠 μ﹐其機率分布的離散度小﹒ Var ( X ) 代表 X 與 μ 偏差平方的平均值﹐它可以表現 X 的離散性﹐但若要更精確地描述 X 與 μ 的偏差﹐而非偏差平方﹐則可再取 Var ( X ) 的正平方根﹐稱為隨機變數 X 的標準差﹐以 σ X 表示﹐即 σ X = Var ( X ) = E ( X − μ )2 ﹒ 當不致混淆時﹐σ X 簡記為 σ ﹒在本書第二冊中曾定義一筆數據 X 的標準差為其變異數的正平方根﹒由於等機率分布變數 X 的變異數恰為其可能值 x1 , x2 , L, xn 所成數據的變異數﹐故等機率變數 X 的標準差亦為其可能值 x1 , x2 , L , xn 所成數據的標準差﹒ 4 標準差的性質：設 X 為隨機變數﹐a﹐b 為常數﹐則 σ aX +b = | a | σ X ﹒. 4.

(5) 【問題】 1. 期望值計算出來的結果必與樣本空間中的某一個基本事件值相同？ 2. 設彩券每張賣 100 元，獎金及機率如下表，獎金 50000 10000 2000 500 0 名額 1 9 90 900 9000 1 9 90 900 9000 機率 4 4 4 10 10 10 10 4 10 4 且計算出買一張彩券的期望值為 1 9 90 900 9000 E ( X ) = 50000 × 4 + 10000 × 4 + 2000 × 4 + 500 × 4 + 0 × 4 = 77 元， 10 10 10 10 10 下列問題何者正確？ (1) 每買一張彩券得 E ( X ) 元？(解：錯誤) (2) 花 E ( X ) 元，必會中獎至少一張？(解：錯誤) (3) 買很多張後，每張得 E ( X ) 元？(解：錯誤) (4) 買很多張後，平均每張得 E ( X ) 元？(解：錯誤) (5) 要中任一獎項，至少要花 E ( X ) 元？(解：錯誤) (6) 開獎前，每張彩券期望價值為 E ( X ) 元？(解：正確) (7) 開獎後，每張彩券價值為 E ( X ) 元？(解：錯誤) (8) 每張彩券至少要賣 E ( X ) 元，才不會虧損？(解：正確) 【注意】求 n 次隨機試驗的期望值，通常在計算機率時會比較複雜，若利用期望值的性質 E (nX ) = nE ( X ) 及 E ( X + c) = E ( X ) + c 求時，將會大大降低計算過程，也就是將執行一次隨機試驗的期望值乘以 n 即可。. 5.

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