6-2-1導函數的應用-函數圖形的描繪

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(1)選修數學(I)2-1 導函數的應用-函數圖形的描繪【定義】 1. 函數的遞增、遞減：設 f (x) 是一實函數， I, J 是定義域中的區間。 (1) 若 a1 , a2  I 且 a1  a2 時， f (a1 )  f (a2 ) 恆成立，則稱函數 f (x) 在區間 I 中是遞增的，此時也稱 f (x) 在區間 I 上是一遞增函數。 (2) 若 b1, b2  J 且 b1  b2 時， f (b1 )  f (b2 ) 恆成立，則稱函數 f (x) 在區間 J 中是遞減的，此時也稱 f (x) 在區間 J 上是一遞減函數。 2. 函數的嚴格遞增、嚴格遞減：設 f (x) 是一實函數， I, J 是定義域中的區間。 (1) 若 a1 , a2  I 且 a1  a2 時， f (a1 )  f (a2 ) 恆成立，則稱函數 f (x) 在區間 I 中是嚴格遞增的，此時也稱 f (x) 在區間 I 上是一嚴格遞增函數。 (2) 若 b1, b2  J 且 b1  b2 時， f (b1 )  f (b2 ) 恆成立，則稱函數 f (x) 在區間 J 中是嚴格遞減的，此時也稱 f (x) 在區間 J 上是一嚴格遞減函數。. 1.

(2) 【定理】 1. 洛爾定理(Rolle's Theorem)：設 f ( x) 為閉區間 [a, b] 上的連續函數，且在開區間 (a, b) 內可微分，若 f (a)  f (b)  0 ，則在 (a, b) 內可找到一點 c 使 f (c)  0 。證明：我們分下面兩種情形來說明： (1) 當 f ( x) 在 [a, b] 是常數函數時，即每一個 x [a, b], f ( x)  f (a)  f (b)  0 ，則 f ( x)  0, x  (a, b) ；此時 c 可選取開區間 (a, b) 內的任意點。 (2) 當 f ( x) 在 [a, b] 不是常數函數時，此時存在 x1  (a, b) 使 f ( x)1  f (a)  f (b)  0 ，亦即 f ( x1 )  0 或 f ( x1 )  0 ；不妨設 f ( x1 )  0 。由於函數 f ( x) 在閉區間 [a, b] 上是連續，知 f ( x) 有最大值 f (c), c [a, b] ，因 f (c)  f ( x1 )  0 ，故 a  c  b ；換言之，函數 f ( x) 在 [a, b] 上產生最大值的點 c 落在開區間 (a, b) ，再由 f ( x) 在 (a, b) 內可微分，利用費馬定理得 f (c)  0 。註：洛爾定理是法國數學家洛爾(Michel Rolle)在 1691年首先提出來的，它的幾何意義乃在於 f ( x) 的函數圖形在 (a, b) 間有一條水平切線，如圖(a)所示。. 2.

(3) 2.. 均值定理(Mean value Theorem)：設 f : [a, b]  R 是連續函數，且在 (a, b) 內可微分，則存在一點 c  (a, b) ，使得 f (c) . f (b)  f (a) 。 ba. 證明：注意. f (b)  f (a) 表示函數 f 的圖形通過兩端點 A(a, f (a)), B(b, f (b)) ba. 所連接的割線之斜率，直線 AB 的方程式為 y . f (b)  f (a) ( x  a)  f (a) 。 ba. 考慮 f ( x) 與線性函數 y 的差，設其差為 g ( x) ， f (b)  f (a) )( x  a)  f (a) ， ba 此時 g ( x) 是定義在閉區間 [a, b] 上的連續函數，且在開區間 (a, b) 內可微分，檢查 g (a)  0  g (b) ，換言之 g ( x) 滿足洛爾定理的條件，故對 g ( x) 而言，可找到一點 c  (a, b) 使 g (c)  0 。. 即 g ( x)  f ( x)  y  f ( x)  (. f (b)  f (a) ， ba f (b)  f (a) 於是 f (c)  0， ba f (b)  f (a) 即得 f (c)  。 ba. 但 g (c)  f (c) . 註： (1) 均值定理是法國的數學家拉格蘭吉(Lagrange)首先提出來的。它的幾何意義乃在於 f ( x) 的函數圖形在 (a, b) 間有一條切線跟其兩端點連接的直線互相平行，如圖(b)所示。 (2) 若 f ( x) 表示運動質點的位置函數，則均值定理的物理意義就是質點由時刻 x  a 到時刻 x  b 的時段內之平均速度，恰好等於該質點在某一時刻 x  c 時的瞬時速度。. 3.

(4) 【推論】 1. 設 f 在 [a, b] 上連續且 f ( x) 在 (a, b) 內恆等於 0 ，則 f ( x) 在 [a, b] 上為常數函數。 2. 設 f , g 都在 [a, b] 上連續且 f ( x)  g ( x) 在 (a, b) 恆成立，則存在常數 c 使得 f ( x)  g ( x)  c ， a  x  b 。證明： f ( x)  f (a ) ， xa 由 f ( x)  0 ， x  (a, b) ，故得 f (c)  0 ，即 f ( x)  f (a)  0 。換言之， f ( x)  f (a) (a  x  b) 恆成立，即 f ( x) 在 [a, b] 上是常數函數。 (2) 考慮 f ( x)  g ( x) ，此時 ( f ( x)  g ( x))  f ( x)  g ( x)  0 在 x  (a, b) 恆成立，故由(1)知 f ( x)  g ( x) 為常數函數，即 f ( x)  g ( x)  c，亦即 f ( x)  g ( x)  c 。. (1) 設 x  (a, b] ，則存在 c  (a, x) 使 f (c) . 【定理】 1. 函數遞增、遞減判別定理：設 f : I  R 是連續函數，其中 I 表示區間 [a, b], [a, b), (a, b] 或 (a, b) ，且設 f (x) 在開區間 (a, b) 內可微分(此處 a 可為   ， b 可為  )。 (1) 若 f ( x)  0 對每一點 x  (a, b) 均成立，則函數 f (x) 在 I 中是(嚴格)遞增的。 (2) 若 f ( x)  0 對每一點 x  (a, b) 均成立，則函數 f (x) 在 I 中是(嚴格)遞減的。. 證明：任取 x1, x2  I 且 x1  x2 ，則 f (x) 在 [ x1 , x2 ] 上連續，且在 ( x1 , x2 ) 內可微分： f ( x2 )  f ( x1 ) 故由均值定理可知：存在一點 c  ( x1 , x2 ) ，使得 f ' (c)  。 x2  x1 (1) 當 f ' ( x) 在 (a, b) 內恆大於 0 時， f ' (c)  0 ；由此得 f ( x2 )  f ( x1 )  f ' (c)(x2  x1 )  0 ，即 f ( x1 )  f ( x2 ) ，這表示 f (x) 在 I 中是嚴格遞增的。 (2) 當 f ' ( x) 在 (a, b) 內恆小於 0 時， f ' (c)  0 ；由此得 f ( x2 )  f ( x1 )  f ' (c)( x2  x1 )  0 ，即 f ( x1 )  f ( x2 ) ，這表示 f (x) 在 I 中是嚴格遞減的。. 4.

(5) 2.. 函數圖形凹口方向判別定理：設實函數 f (x) 在開區間 I 內可微分。 (1) 若 f ' ( x) 在 I 中是遞增的，則稱 f (x) 的圖形在 I 內凹口向上。 (2) 若 f ' ( x) 在 I 中是遞減的，則稱 f (x) 的圖形在 I 內凹口向下。證明：要證明 f 是 I 上的击函數，則對任意 I 中兩個數 a, b 且 a  b ， f (b)  f (a) 必須對任意 x  (a, b), f ( x)  ( x  a)  f (a) 恆成立， ba 為了證明這個性質， f (b)  f (a) 定義函數 g ( x)  f ( x)  [ ( x  a)  f (a)] , x  I ， ba f (b)  f (a) 則可知 g (a)  g (b)  0 ，且 g ( x)  f ( x)  ， ba 因為 f  在 I 上為(嚴格)遞增函數，所以 g( x) 也是(嚴格)遞增函數。接下來，我們證明任意 x  (a, b) , g ( x) 恆小於 0 。若有一個 c  (a, b) 使 g (c)  0 ，因為 g 在 [a, b] 上連續，所以 g 在 [a, b] 有最大值，令 d [a, b] 且 g (d ) 為最大值，那麼 g (d )  g (c)  0 ，則 d  a , d  b ，因此 d  (a, b) ， g 在 d 有極值且 g(d ) 存在，所以 g(d )  0 。又由均值定理可知，存在一個 e  (a, d ) 使 g (d )  g (a)  g (e)(d  a) ， g (d )  g (a) 由此可得 g (e)   0。 d a 這個原因導致下面的結果： (1) 存在一個 e  d ，使 g ' (e)  g ' (d ) ，但是 g ' ( x) 為嚴格遞增函數，這是矛盾的。所以，沒有任何 c  (a, b) 使 g (c)  0 。 (2) 若有一個 k  (a, b) 使 g (k )  0 ，則因為 g( x) 在 [a, k ] 上為嚴格遞增函數，所以， g 在 [a, k ] 上不是常數函數，由(1)的結果已證 g ( x)  0 ，所以必有一個數 h  (a, k ) 使 g (h)  0 ， g ( k )  g ( h) 再由均值定理可知，存在一個數 w  (h, k ) 使 g ( w)  0。 k h 又因為 g (k )  0 且 g ( x) 恆不大於 0 ，所以在 x  k 處， g (k ) 為極大值，因此， g (k )  0 ，所以我們得到：在 (a, k ) 中，有一個數 w 使 g(w)  g(k ) 。上面的結果與 g( x) 為嚴格遞增函數是矛盾的，所以，沒有任何 k  (a, b) 使 g (k )  0 ，由(1) , (2)的結果可知，在區間 [a, b] 上， g ( x) 恆小於 0 ，因此，本命題成立。. 5.

(6) 函數圖形凹口方向判別定理：設實函數 f (x) 在開區間 I 內每一點 x 的第二階導數 f (x) 都存在。 (1) 若 f ' ' ( x)  0 對每一點 x  I 均成立，則 f (x) 的圖形在 I 內凹口向上。 (2) 若 f ' ' ( x)  0 對每一點 x  I 均成立，則 f (x) 的圖形在 I 內凹口向下。證明： f ( x) 都是正數，而 f ( x) 是 f ( x) 的導數，所以 f ( x) 是嚴格遞增函數，由上定理可知， f 是區間 I 上的击函數。【定義】 1. 反曲點：若實函數 f (x) 在 x  a 點連續，且在 a 點兩側存在開區間 (t , a) 及 (a, s) ，使函數 f (x) 的圖形在這兩個開區間內的凹口方向相反，則稱點 (a, f (a)) 為函數 f (x) 圖形上的一個反曲點(或稱為拐點)。註：並非滿足 f ' ' (a)  0 之點就是反曲點。例如： f ( x )  x 4 在 x  0 的情形。【應用】 1. 三次多項式函數的反曲點：設 f ( x)  ax3  bx2  cx  d 為實係數多項式函數，其中 a  0 。 b b 詴證：點 ( , f ( )) 是 f (x) 圖形上唯一的反曲點。 3a 3a 證明：函數 f ( x)  ax3  bx2  cx  d 的第一階及第二階導函數導函數分別為 b f ( x)  3ax2  2bx  c ， f ( x)  6ax  2b  6a( x  ) 。 3a 不失一般性，我們只考慮 a  0 的情況。 b 當 x   時， f ( x)  0 ， 3a b 而 x   時， f ( x)  0 ； 3a b b 表示函數 f (x) 的圖形只有在點 ( , f ( )) 的左右兩側之凹口方向相反， 3a 3a 故此點即為唯一的反曲點。 2. 設 f ( x)  ax3  bx2  cx  d 是實係數三次函數。詴證：若 a  0 且 b2  3ac  0 ，則 f ( x) 是 R 上的一遞增函數。證明： f ( x)  3ax 2  2bx  c ，當 a  0 且判別式 (2b)2  4  3ac  0 時， f ( x)  0 恆成立。因此，若 a  0 且 b2  3ac  0 ，則此函數 f ( x) 是遞增函數。 3.. 6.

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