3-4-1圓與球面-圓的方程式

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(1)第三冊 4-1 圓與球面-圓的方程式【定義】圓的方程式：平面上與一定點等距離的所有點所成的圖形。圓的方程式-標準式：給定圓心 O ( h, k ) ，半徑 r > 0 ，設 P ( x, y ) 在圓上 ⇔ PO = r ⇔ ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r ⇔ ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 此稱為圓的標準式。圓的方程式-一般式：將圓化成型如 x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 ，稱為圓的一般式。. 注意 ax 2 + by 2 + dx + ey + f = 0 此種形式並不一定為圓。圓具有平方項係數相等，不含 xy 項。且有以下性質： 1. 當 d 2 + e 2 − 4 f > 0 時，表一圓。 2. 當 d 2 + e 2 − 4 f = 0 時，表一個點。 3. 當 d 2 + e 2 − 4 f < 0 時，沒有圖形。圓的方程式-參數式： ⎧ x = h + r cos θ ,0 ≤ θ < 2π 圓 ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 的參數式為 ⎨ ⎩ y = k + r sin θ 圓的方程式-直徑式：以 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 為直徑之圓方程式為 ( x − x1 )( x − x2 ) + ( y − y1 )( y − y 2 ) = 0 。圓的方程式-圓系：過兩圓 C1 ,C 2 交點之圓之方程式可以表為 m(C1 ) + n(C 2 ) = 0 。當取 (C1 ) − (C 2 ) = 0 時，表示為兩圓 C1 ,C 2 的根軸(radical axis)。【方法】不共線的三點可決定一個圓。 (法一) 設為一般式，代入求。 (法二) 設為標準式，代入求。 (法三) 求兩中垂線交點。【問題】 1. 若 A, B 是平面上兩個相異的定點，則所有滿足 PA = PB 的動點 P 所成的圖形為何？試討論之？ 2. 3. 4.. 若 A, B 是平面上兩個相異的定點，則所有滿足 PA = k PB 的動點 P 所成的圖形為何？試分成 k > 1, k = 1,0 < k < 1 討論之？設給定圓 C ，若 A 為圓外一定點， B 為圓上一動點，則所有 A, B 中點所成集合的圖形為何？設給定圓 C ，若 A 為圓外一定點， B 為圓上一動點，則所有滿足 PA = k PB 的點所成集合的圖形為何？試分成 k > 1, k = 1,0 < k < 1 討論之？.

(2) 5. 6. 7. 8. 9.. 試問過圓內一點 A 的所有弦中點所成集合的圖形為何？給定一個弦，如何找出圓心位置？給定三角形的三個頂點，如何作出三角形的外接圓？給定一圓，試問此圓之任意兩條互相垂直切線的交點，所形成的圖形為何？給定圓外兩相異點 A, B ，及圓上的動點 P ，試問 ∆PAB 的最小面積為何？最大面積為何？.

(3)