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談幾何扣條在國中相似三角形單元的應用

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Academic year: 2021

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全文

(1)

n 角星的繪圖與光芒角之探討

梁惠珍

1

* 柳賢

2 1屏 東 縣 立 同 安 國 民 小 學 2國 立 高 雄 師 範 大 學

壹、前言

布 置 聖 誕 樹 的 時 候 , 總 會 看 到 許 多 星 星 的 裝 飾 品(如 圖 1),如 果 將星 星 裝 飾 品轉 換 成 數 學 模 型 , 可 以 是 「 」, 也 可 以 是 「 」。 其 中 ,「 」 是 由 10 條 一樣 長 的 線 段 所 形 成 的 封 閉 區 域 , 是 一 個 凹 十 邊 形 ;「 」 是 由 5 條一 樣 長 的線 段 和 5 個 等 角 的 光 芒 角 所 形 成 的 圖 形 , 稱 為 正 五 角 星 或 是 五 芒 星(任景 業, 2005)。國 中 的 數學 課 程 經 常 利 用 正 五 角 星(如 圖 2)和 正 六 角 星(如 圖 3)的 圖 形,來進 行 有關 三 角 形 內角 和 定 理 、 外 角 和 定 理 的 練 習( 楊 惠 后 , 2009)。筆者 發 現,透 過 AMA(Activate your Mind Attention)外掛 程 式 的 增益 集 功 能(陳 明 璋, 2013),可以 輕 易 地 在 Powerpoint 簡 報 軟 體 上 , 畫 出 正 n 角 星 ,而 且 正 n 角 星 的 繪 圖 還 存 在 著 有 趣 的 規 律 性 。 *為本 文 通 訊 作 者 此 外 , 利 用 圓 周 角 的 概 念 可 以 快 速 地 找 出 正 n 角 星 光芒 角(如 圖 2、3)的 角 度, 而 且 正n 角 星 光芒 角 的 角 度也 存 在 有 趣的 數 學 公 式 。

貳、正

n 角星的繪圖

這 裡 所 談 論 的 正 n 角 星 是 指在 n(5) 個 等 分 點 的 圓 內 , 連 接 兩 個 不 毗 鄰 頂 點 的 線 段 , 使 其 具 有 n 條 一 樣 長的 線 段 和 n 個 等 角 的 光 芒 角 所 形 成 的 星 狀 圖 形 。 以 圖 4 為 例 , 就 是 在7 個 等 分 點 的圓 內 , 連 接兩 圖 2 正 五 角星 光 芒 角 圖 3 正 六 角星 光 芒 角 圖1 星 星 裝飾 品

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個 不 毗 鄰 頂 點 的 線 段 , 使 其 具 有 7 條 一樣 長 的 線 段 和7 個 等 角的 光 芒角 所 形 成 的正 七 角 星 ; 而 圖5 因 為 是 連 接兩 個 毗 鄰 頂點 的 線 段 , 所 以 並 不 是 正 七 角 星 , 而 是 正 七 邊 形 。 關 於 如 何 利 用 AMA 在 Powerpoint 上 繪 製 正n 角 星 的步 驟 如 下 : 1. 在 Powerpoint 上 畫 一個 圓,執 行 AMA 功 能 :「Show→Devisions(等 分 點)」, 圓 上 會 出 現 n 個 等 分點 。 將圓 上 的 等 分 點 依 照 順 時 針 方 向 , 分 別 標 示 1、 2、3…..n。 2. 以 標示 點 n 為 起點 , 並 令 圓上 兩 點 之 間 的 等 分 弧 數 目 為 a,依 照 不 同 的 a, 依 序 選 取 圓 上 各 點 。 然 後 執 行 AMA 功 能:「Structure→Connect(連 線)→單 一 連 線→ 以 折 線 連 接 ( 或 以 線 段 連 接)→封 閉區 間 」,即 可 畫 出 正 n 角 星。 3. 如 果步 驟 2 不 能一 筆 畫 出 正 n 角 星 , 則 再 依 序 以 標 示 點 1 為 起 點、 標 示 點 2 為 起 點…., 重複 步 驟 2 的 方 法, 就 能 畫 出 正 n 角 星。 4. 以 n5、a2 為例,按照(5→2→4→1→3) 的 順 序 將 點 連 接 起 來 , 然 後 執 行 步 驟 2,就 能 繪 出 正 五角 星(如 圖 6) 5. 以 n9、a3 為例,按照(9→3→6)、 (1→4→7)、(2→5→8)的 順 序將 點 連 接 起 來 , 依 序 執 行 步 驟 2 和 3, 就能 繪 出 正 九 角 星(如 圖 7)。 圖6 正 五 角 星 的 畫 法 圖 4 正 七 角 星 圖 5 正 七 邊 形

(3)

參、正

n 角星的繪圖結果與規律探

整 理 正 n 角 星 的繪 圖 結 果 如 表 1。 由 於 正 n 角 星 的繪 圖 是 先 將一 個 圓 n 等 分 , 並 產 生n 個 等 分 點 之後 再 連 接 n 條 一 樣 長 的 線 段 所 形 成 的 星 狀 圖 形 。 因 此 , 正 n 角 星 是 具 有 n 條 對 稱 軸的 線 對 稱 圖形 (任 景業 , 2005; 楊 惠 后, 2009)。所 以 ,必 存 在 一 條 對 稱 軸 使 得(a,na) 兩 點 互 相 對 應,所 以 a 個 等分 弧 間 隔 和(na)個等分弧 間 隔 所 畫 出 的 正 n 角星 是 一樣 的(孫 文 先, 2003)。因此,正 n 角星 的 成星 情 況 只 需在 a n 2 的 條 件 下 探 討 即 可 。 此 外 , 從 表 1 的 繪 圖 結 果 可 發 現 , 將 圓 上 n 個 等 分 點, 按 a 個等 分 弧 間隔 依 序 連接 n 條 一 樣 長的 線 段 所 形 成 的 圖 形 中 , 有 的 無 法 成 星 , 有 的 可 以 成 星。其 中,當 a 1、a  n1、an 及 a  n2 時,無法畫出正 n 角星,反之 則 能 畫 出 正 n 角 星 。而 且 , 正 n 角 星 的成 星 情 況 與 n 和 a 的 最 大 公 因數 d 有 關 ,共 有 三 種 類 型,分 別 是「 一 筆 畫 」成 星、「 正 m 邊 形 」成 星 和「 一 筆 畫 正 m 角 星 」成星。 以 下 針 對 n5,1a n 2 的 條 件 下,說 明 正 n 角 星 的成 星 類型 。 圖 7 正 九 角星 的 畫 法

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表 1 正 n 角 星 的 繪 圖結 果 繪圖 結果 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=12 n=15 n=18 a=1 正五邊形 正六邊形 正七邊形 正八邊形 正九邊形 正十邊形 正十二邊形 正十五 邊形 正十八邊形 a=2 一筆畫成星 2 個ᇞ成星 一筆畫成星 2 個成星 一筆畫成星 2 個 成星 2 個 成星 一筆畫成星 2 個 成星 a=3 一筆畫成星 無法成形 一筆畫成星 一筆畫成星 3 個ᇞ成星 一筆畫成星 3 個成星 3 個 成星 3 個 成星 a=4 正五邊形 2 個 成星 一筆畫成星 無法成形 一筆畫成星 2 個 成星 4 個ᇞ成星 一筆畫成星 2 個 成星 a=5

正六邊形 一筆畫成星 一筆畫成星 一筆畫成星 無法成形 一筆畫成星 5 個 成星 一筆畫成星 a=6

正七邊形 2 個成星 3 個ᇞ成星 2 個 成星 無法成形 3 個 成星 6 個ᇞ成星 a=7

正八邊形 一筆畫成星 一筆畫成星 一筆畫成星 一筆畫成星 一筆畫成星 a=8

正九邊形 2 個 成星 4 個ᇞ成星 一筆畫成星 2 個 成星 a=9

正十邊形 3 個成星 3 個 成星 無法成形 註:兩點相隔a 個等分弧和(na)個等分弧所畫出的正 n 角星是一樣的,故以粗線隔開。

(5)

一、「一筆畫」成星

當 n 和 a 互 質 時, 能 一 筆 畫出 正 n 角 星註1 , 如(n,a)為(5,2)時 ,5 和 2 互 質 ,最 大 公 因 數 為 1,能 一 筆 畫 出 正五 角 星 ; (n,a)為(7,2)時 ,7 和 2 互 質, 最 大 公 因數 為1,能 一 筆 畫 出正 七 角 星 ;(n,a)為(7,3) 時,7 和 3 互 質,最 大 公 因數 為 1,能一 筆 畫 出 正 七 角 星 ;(n,a)為 (9,2)時 , 9 和 2 互 質 , 最 大 公 因 數 為 1, 能一 筆 畫 出 正九 角 星 ;(n,a)為(9,4)時, 9 和 4 互 質 , 最 大 公 因 數 為1,能 一 筆 畫 出 正九 角 星 。

二、「正

m 邊形」成星

當 n 和 a 不 互 質且 最 大 公 因數 等 於 a 時註2 ,是 以a 個 正 m 邊 形(mna)畫 出 正 n 角 星,如(n,a)為(9,3)時,最 大 公 因 數 為 3, 能 以 3 個正 三 角形 (393)畫 出 正 九 角 星 ;(n,a)為(10,2)時, 最 大 公因 數 為 2, 能 以 2 個 正 五 邊形 (5102)畫 出 正 十 角 星 ;(n,a)為(18,3)時, 最 大 公因 數 為 3, 能 以 3 個 正 六 邊形 (6183)畫 出 正 十 八 角 星 。

三、「一筆畫正

m 角星」成星

當n 和 a 不 互 質且 最 大 公 因數da時註 3, 能 以 d 個 一筆 畫 正 m 角 星(mnd) 畫 出 正n 角 星,如(n,a)為(10,4)時,最 大 公因 數 為 2(4), 且(10,4)的 等 價集 為(5,2),所 以 是 以 2 個 一 筆畫 正 五 角 星 (5102)來 畫 出 正 十 角 星 ;(n,a)為(15,6)時,最 大 公 因 數 為 3(6), 且(15,6)的 等價 集 為(5,2), 所 以 是 以 3 個 一筆 畫 正 五 角星 (5153) 來 畫 出 正 十 五 角 星 ;(n,a)為(18,4)時,最 大 公 因 數 為 2(4), 且(18,4) 的 等 價 集 為 (9,2) , 所 以 是 以 2 個 一 筆 畫 正 九 角 星 (9182)來 畫 出 正 十 八 角 星 ;(n,a)為 (18,8)時,最 大 公因 數 為2(8),且(18,8) 的 等 價 集 為(9,4),所 以 是 以 2 個 一筆 畫 正九 角 星 (9182)來 畫 出 正 十 八 角 星 。 從 上 述 的 分 析 與 說 明 中 , 可 以 發 現 正 n 角星 的 成 星 結果 可 能 不 只一 種 , 如 正七 角 星 有 和 兩 種 成 星 方 法;正 九 角 星 有 、 和 三 種 成 星 方 法 ; 正 十 角 星 有 、 和 三 種 成 星 方 法。然 而,正 n 角 星 的 畫 法 到 底 有 幾 種 呢 ? 我 們 可 以 從 正 n 角 星 的 線 對 稱 性 質 和 a 的 條件 來 進 一 步了 解 。 因 為 當 n 是 奇 數時,在 a 1、a  n1 和 an 等 3 種情況下無法成星,再加上正 n 角星 的 線 對 稱性 質 , 所 以畫 出 正 n 角星 的 方 法 只 有 (n3) 2 種 , 以 正 七 角 星 來 說 , 在 a 1、a 6 和 a7 等 3 種情況下無法成 星 , 再 加 上 正 七 角 星 的 線 對 稱 性 質 , 所 以 正 七 角 星 會 有 2 種 畫 法 ( (73) 2 )。 而 當 n 是 偶 數 時 , 在 a1、a n1、an 及 an2 等 4 種 情 況 下 無法 成 星 , 再加 上 正 n 角 星 的 線 對 稱 性 質 , 所 以 畫 出 正 n 角 星 的 方法 有 (n4) 2 種 , 以 正 十 角 星 來 說 , 在 a 1、 a 5、a 9 和 a10 等 4 種情況下無法成 星 , 再 加 上 正 十 角 星 的 線 對 稱 性 質 , 所 以 正 十 角 星 會 有3 種 畫 法( (104) 2 )。

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肆、正

n 角星的光芒角規律探討

正 n 角 星 的 光 芒角 角 度 就 是一 個 圓 周 角(如 圖 8), 當 圓被 分 成 n 等 分 時: 圓 心 角=1 等 分 弧 度 = (360n ); 圓 周 角= 2 圓 心 角 = (1 180n ) 當 光 芒 角 對 應 到 1 個 等 分 弧時 , 光 芒 角角 度= (180n );當 光 芒 角 對 應 到 a 個 等 分 弧 , 光 芒 角 角 度=(180an )。由於,正 n 角星 中 , 當 兩 頂 點 間 的 等 分 弧 間 隔 數 為 a 時 , 正n 角 星 的 光 芒角 是 對 應 到(n-2a)個等分 弧(如 圖 9),可 得知 正 n 角 星的 光 芒 角 角度 為180(n-2a)n , 其 中 1a n 2 。 有 關 正 n 角 星 光 芒 角 角 度 可 參 考 表 2。 表 2 正 n 角 星 光 芒 角角 度 光 芒 角 角 度 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12 a=2 18015 度 18026 度 18037 度 18048 度 18059 度 180610 度 180711 度 180812 度 a=3 18015 度 18006 度 18017 度 18028 度 18039 度 180410 度 180511 度 180612 度 a=4

18026 度 18017 度 18008 度 18019 度 180210 度 180311 度 180412 度 a=5

18037 度 18028 度 18019 度 1800106 度 180111 度 180212 度 a=6

18048 度 18039 度 180210 度 180111 度 180012 度 a=7

18059 度 180410 度 180311 度 180212 度 a=8

180610 度 180511 度 180412 度 註 : 兩 點 相 隔a 個 等 分 弧 和 (na)個 等 分 弧 所 畫 出 的 正 n 角 星 是 一 樣 的 , 故 以 粗 線 隔 開 。 圖 9 正 七 角星 光 芒 角 角度 分 析 圖 圖8 光 芒 角 角 度 與 圓 周角 、 圓 心 角 的 關 係 圖

(7)

伍、結語

長 久 以 來 , 人 類 對 正 n 角 星的 興 趣 一 直 未 減 。 像 世 界 各 國 的 國 旗 中 , 就 有 54 個 國 家 的 國 旗 上 帶 有 正 五 角 星 的 圖 案(任 景 業, 2005); 以色 列 更 是 以象 徵 大 衛 王盾 牌 上 的 正 六 角 星 圖 案(稱 作 大 衛 之 星 ), 作 為 國 旗 標 誌 ; 我 國 的 「 青 天 白 日 滿 地 紅 」 國 旗 中 , 象 徵 白 日 光 芒 的 十 二 道 曙 光 , 也 是 一 個 正 十 二 角 星 ; 著 名 數 學 家 高 斯 的 紀 念 碑 上 , 也 刻 著 一 顆 正 十 七 角 星 。 正 n 角 星 的 繪 圖與 光 芒 角 的探 討 , 是 一 系 列 的 數 學 建 模 歷 程 , 在 此 建 模 歷 程 中 , 先 是 將 真 實 世 界 中 的 星 星 裝 飾 品 , 轉 換 成 數 學 模 型 「 」, 然 後 再 透 過 方 法 尋 找 數 學 規 律 , 發 現n 和 a 的最 大 公 因數 可 以 決 定 幾 筆 畫 成 星 , 以 及 成 星 的 類 型 有 「 一 筆 畫 」成 星、「 正m 邊 形 」成 星 和「一 筆 畫 正 m 角 星 」成 星 等 三 類。 另 外 ,正 n 角 星 的 成 星 方 法,在n 是 奇 數時,有 (n3) 2 種 成 星 方 法;在 n 是 偶 數 時,有 (n4) 2 種 成 星 方 法 。 而 且 , 正n 角 星的 光 芒 角 角度 還 存 在 數 學 公 式180(n-2a)n 的 規 律 。 可 見 , 正n 角 星 的繪 圖 與 光 芒角 的 探 討 ,是 一 個 很 有 趣 的 數 學 探 索 活 動 , 建 議 有 興 趣 的 教 師 不 妨 試 試 , 讓 學 生 在 動 手 繪 星 的 過 程 中 , 也 能 整 合 因 數 、 倍 數 、 多 邊 形 、 圓 周 角 和 圓 心 角 等 概 念 。

備註:

註1: 此 時(n , a) =1,[n , a]= na。 所 以 要 連 接 n 條 一 樣 長的 線 段 才 能回 到 原 點 n, 因此 能 一筆 畫 回 到 原點 。 註 2: 此 時(n , a) = a, [n , a]= n, 存 在 m 使 得 n=ma。 所以 要 連 接 m 條 一樣 長 的 線 段(正 m 邊 形 )才 能回 到 原 點 n。因 此 , 要 有 a 個 正 m 邊 形才 能 畫 出 正n 角 星 。 註 3:此 時(n , a) = d,存 在 m、s 互 質,使 得 n=md、a = sd。因為 {n , a}為 {m , s}等 價類 , 且{m , s}是 一 筆畫 正 m 角 星,所 以 要 有 d 個 正 m 角 星 才 能 畫 出 正n 角 星 。

參考文獻

任 景 業(2005)。 耐人 尋 味 的 圖案-五 角 星 。 數 學 教 育 ,21,97-106。 孫 文 先(2003)。幾 何 學-用 調查 研 究 的 方法 探 索 。 九 章 出 版 社 。

陳 明 璋 (2013) 。 Activate your Mind Attention。 取 自 阿 嬤 的 家 http:// ama.nctu.edu.tw/index.php。

楊 惠 后(2009)。 正 n 角 星 的內 角 和 探 討。 數 學 傳 播 ,33(1),44-48。

數據

表 1  正 n 角 星 的 繪 圖結 果   繪圖 結果  n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=12 n=15 n=18  a=1  正五邊形  正六邊形 正七邊形  正八邊形 正九邊形 正十邊形 正十二邊形  正十五  邊形  正十八邊形  a=2  一筆畫成星  2 個ᇞ成星  一筆畫成星 2 個成星 一筆畫成星 2 個 成星 2 個 成星 一筆畫成星  2 個 成星  a=3  一筆畫成星  無法成形 一筆畫成星 一筆畫成星 3 個ᇞ成星 一筆畫成星 3 個成星  3 個 成星

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