2020年中考数学压轴题专题14 《几何变换问题》

专题

14 几何变换问题

【考点_{1】平移变换问题} 【例1】（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点 A（1，﹣2）向上平移 3 个单位长度，再向左平 移_{2 个单位长度，得到点 A′，则点 A′的坐标是（} ） A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【变式_{1-1】（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系}

xOy

中，将四边形

ABCD

向下平移，再向右 平移得到四边形

A B C D

1 1 1 1_，已知

A

( 3,5),



B

( 4,3),



A

1

(3,3)

_，则点

B

1_{坐标为（ ）} A．

(1,2)

B．

(2,1)

C．

(1,4)

D．

(4,1)

【变式 _{1-2】（2019·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知}



ABC

的三个顶点坐标分别是

2, 1 , 1,

(

) (

2 , 3, 3

)

(

)

A



B



C



（_1）将



ABC

向上平移_{4 个单位长度得到}



A B C

1 1 1_，请画出



A B C

1 1 1_； （_{2）请画出与}



ABC

关于

y

轴对称的



A B C

2 2 2_；

（_{3）请写出}

A A

1

、

2_的坐标． 【考点_{2】轴对称变换问题（含折叠变换）} 【例_{2】（2019·四川中考真题）如图，在菱形}

ABCD

中，

4

sin

5

B 

，点

E F

,

分别在边

AD BC

,

上，将四 边形

AEFB

沿

EF

翻折，使

AB

的对应线段

MN

经过顶点

C

，当

MN BC



时，

AE

AD

的值是_{_____．} 【变式_{2-1】（2019·江苏中考真题）如图，将平行四边形纸片}

ABCD

沿一条直线折叠，使点

A

与点

C

重合， 点

D

落在点

G

处，折痕为

EF

．求证： （1）



ECB

 

FCG

； （_2）



EBC

 

FGC

． 【变式_{2-2】（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点}

A、B 不重合），直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B’. （_{1）如图 1，当 PB=4 时，若点 B’恰好在 AC 边上，则 AB’的长度为_____；} （2）如图 2，当 PB=5 时，若直线 l//AC，则 BB’的长度为 ； （_{3）如图 3，点 P 在 AB 边上运动过程中，若直线 l 始终垂直于 AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，} 说明理由；若不变化，求出面积； （_{4）当 PB=6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB’面积的最大值.} 【考点3】旋转变换问题 【例_{3】（2019·山东中考真题）(1)问题发现}

如图_{1,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D 在一条直线上.} 填空_{:线段 AD,BE 之间的关系为 .}

(2)拓展探究

如图2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断 AD,BE 的关系,并说明理由. (3)解决问题

如图_{3,线段 PA=3,点 B 是线段 PA 外一点,PB=5,连接 AB,将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AC,随着点 B} 的位置的变化_{,直接写出 PC 的范围.} 【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 A(-4，4)，B(-1， 1)，C(-1，4)． (1)画出与△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1． (2)将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2． (3)求线段 AB 在旋转过程中扫过的图形面积．(结果保留π) 【变式3-2】（2019·江苏中考真题）如图①，在



ABC

中，

AB AC





3

，



BAC



100

，D 是 BC 的中 点．

小明对图①进行了如下探究：在线段_{AD 上任取一点 P，连接 PB．将线段 PB 绕点 P 按逆时针方向旋转}

80

， 点_{B 的对应点是点 E，连接 BE，得到}



BPE

．小明发现，随着点_{P 在线段 AD 上位置的变化，点 E 的位置} 也在变化，点_{E 可能在直线 AD 的左侧，也可能在直线 AD 上，还可能在直线 AD 的右侧．请你帮助小明} 继续探究，并解答下列问题： （_{1）当点 E 在直线 AD 上时，如图②所示．} ①



BEP



；②连接_{CE，直线 CE 与直线 AB 的位置关系是} ． （_{2）请在图③中画出}



BPE

，使点_{E 在直线 AD 的右侧，连接 CE．试判断直线 CE 与直线 AB 的位置关} 系，并说明理由． （3）当点 P 在线段 AD 上运动时，求 AE 的最小值． 【考点_{4】位似变换问题} 【例_{4】（2019·广西中考真题）如图，}



ABC

与



A B C

' ' '

是以坐标原点

O

为位似中心的位似图形，若点

   

2,2 , 3,4

A

B

_，

C

 

6,1

_，

B

' 6,8

 

_则

_

_{A B C}

_{' ' '}

_{的面积为__．} 【 变 式 _{4-1 】（ 2019· 山 东 中 考 真 题 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，}



ABO

三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为



2,4 ,

 

4,0 ,

  

0,0

A



B



O

．以原点

O

为位似中心，把这个三角形缩小为原来的

1

2

，得到



CDO

，则点

A

的对应点

C

的坐标是__________． 【变式_{4-2】（2018·四川中考真题）如图，}



ABC

在方格纸中_. （1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使

A

(2,3)

，

C

(6,2)

，并求出 B 点坐标； （_{2）以原点}

O

为位似中心，相似比为_{2，在第一象限内将}



ABC

放大，画出放大后的图形



A B C

' ' '

； 一、单选题 1．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A m



, 2



与点b n

( )

3, 关于_{y 轴对称，则（} ） A．

m 

3

，

n 

2

_B．

m  

3

，

n 

2

_C．

m 

2

，

n 

3

_D．

m  

2

，

n 

3

2．（2019·辽宁中考真题）如图，点 P（8，6）在△ABC 的边 AC 上，以原点 O 为位似中心，在第一象限内 将△ABC 缩小到原来的

1

2

，得到△A′B′C′，点 P 在 A′C′上的对应点 P′的的坐标为（ ） A．（4，3） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，4）

3．（2019·湖南中考真题）如图，将



OAB

绕点

O

逆时针旋转_70°到



OCD

的位置，若



AOB



40

，则

AOD

A．45° B．40° C．35° D．30°

4．（2019·广东中考真题）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )

A． B． C． D．

5．（2019·浙江中考真题）如图，在直角坐标系中，已知菱形 OABC 的顶点 A(1,2)，B(3,3)．作菱形 OABC 关于_{y 轴的对称图形 OA′B′C′，再作图形 OA′B′C′关于点 O 的中心对称图形 OA″B″C″，则点 C 的对应点 C″} 的坐标是（ ） A．(2,-1)B．(1,-2) C． (-2,1) D． (-2,-1) 6．（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系中，将点





2,3



向右平移

4

个单位长度后得到的点的坐标为 （ ） A．

 

2,3

B．





6,3



C．





2,7



D．



 

2, 1



7．（2019·湖南中考真题）点 ( 1, 2) 关于原点的对称点坐标是（ ） A． ( 1, 2)- - B．

(1, 2)



C． (1, 2) D．

(2, 1)



8．（2019·湖南中考真题）如图，以点 O 为位似中心，把



ABC

放大为原图形的2 倍得到



A'B'C'

，以下说 法中错误的是（ ）

A．



ABC

∽



A'B'C'

B．点 C、点 O、点 C′三点在同一直线上 C．

AO : AA' 1: 2



D．

AB A'B'



9．（_{2018·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B．将} △_{AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的}

1

2

，得到△_{COD，则 CD 的长度是（} ） A．2 B．1 C．4 D．2

5

10．（2019·山东中考真题）如图，点 A 的坐标是(-2,0)，点 B 的坐标是(0,6)，C 为 OB 的中点，将△ABC 绕 点_{B 逆时针旋转 90°后得到}



A B C

  

．若反比例函数

k

y

x



的图象恰好经过

A B



的中点_{D，则 k 的值是（} ） A．9 B．12 C．15 D．18 11．（2019·浙江中考真题）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条 直线平分该平行四边形的面积_{. 如图是由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形，P 是其中 4 个小正方形的公} 共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点 P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分， 则剪痕的长度是（ ） A．

2 2

B．

5

C．

3 5

2

_D．

10

12．（2019·湖北中考真题）如图，矩形

ABCD

中，

AC

与

BD

相交于点

E

，

AD AB 

:

3 :1

，将

△

ABD

沿

BD

折叠，点

A

的对应点为

F

，连接

AF

交

BC

于点

G

，且BG  ，在2

AD

边上有一点 H ，使得

BH EH



的值最小，此时

BH

CF



（ ）

A．

3

2

_B．

2 3

3

_C．

6

2

_D．

3

2

13．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转

45

 后得到正方形

OA B C

1 1 1_{，依此方式，绕点O 连续旋转 2019 次得到正方形}

OA B C

2019 2019 2019_，那么点

A

2019_的 坐标是_{( )} A．

2

_,

2

2

2



















_B．

(1,0)

_C．

2

_,

2

2

2





















_D．

(0, 1)



14．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC 绕点 A 逆时针旋转α(0<α<120°) 得到



AB C

 

，

B C

' '与BC，AC 分别交于点 D，E.设

CD DE x





，



AEC



的面积为

y

，则

y

与

x

的函数 图象大致为_{( )}

A． B． C． D．

15．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿 x 轴向右滚动到△AB1C1 的位置，再 到△A1B1C2 的位置……依次进行下去，若已知点 A(4，0)，B(0，3)，则点 C100 的坐标为( )

A．

12

1200,

5













_B．



600,0



_C．

12

600,

5













_D．



1200,0



二、填空题 16．（2019·湖南中考真题）在如图所示的方格纸(1 格长为 1 个单位长度)中，△ABC 的顶点都在格点上，将 △_{ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是____________．．} 17．（2019·山东中考真题）如图，在正方形网格中，格点



ABC

绕某点顺时针旋转角





0

 



180





得到 格点



A B C

1 1 1_，点

A

_与点

A

1_{，点 B 与点}

B

1_，点

C

_与点

C

1_{是对应点，则}





_{_____度．} 18．（2019·海南中考真题）如图，将Rt ABC 的斜边_{AB 绕点 A 顺时针旋转}





0



90





_{ }

 得到_AE，直 角边_{AC 绕点 A 逆时针旋转}





0



90





_{ }

 得到_{AF，连结 EF．若}

AB

=3

，

AC

=2

，且

 

  

B

，则

=

EF

_{_____．} 19．（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，点

P

 

4,2

关于直线

x 

1

的对称点的坐标是_____． 20．（2019·山东中考真题）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，



ABO

与

A B O

  



是以点_{P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点 P 的坐标为_____}

21．（2019·四川中考真题）如图，在

Rt ABC



中，

∠

B 

90

，

AB 

5

，

BC 

12

，将



ABC

绕点

A

逆时 针旋转得到



ADE

，使得点

D

落在

AC

上，则

tan ECD



的值为_{_______．}

22．（2019·吉林中考真题）如图，在四边形

ABCD

中，AB10,BD AD ．若将



BCD

沿

BD

折叠_,点

C

与 边

AB

的中点

E

恰好重合，则四边形

BCDE

的周长为________．

23．（2019·湖南中考真题）如图，已知



ABC

是等腰三角形，

AB AC BAC



,





45 ,



点_{D 在 AC 边上，} 将



ABD

绕点_{A 逆时针旋转 45°得到}



ACD

'

，且点_{D′、D、B 三点在同一条直线上，则}



ABD

的度数是 _____．

24．（2019·辽宁中考真题）在平面直角坐标系中，点

A B

,

的坐标分别是

A

   

4,2

,

B

5,0

，以点

O

为位似中 心，相们比为

1

25．（2019·四川中考真题）如图，在菱形

ABCD

中，

4

sin

5

B 

，点

E F

,

分别在边

AD BC

,

上，将四边形

AEFB

沿

EF

翻折，使

AB

的对应线段

MN

经过顶点

C

，当

MN BC



时，

AE

AD

的值是_____．

26．（2019·四川中考真题）如图，



ABC

中，



ABC



90

，

BA BC





2

，将



ABC

绕点C 逆时针旋转

60 得到



DEC

，连接_BD，则

BD

2的值是_{___．} 27．（2019·黑龙江中考真题）如图将

△

ABC

绕点

C

逆时针旋转得到

△

A B C

 

，其中点

A

与

A

是对应点， 点

B′

与 B 是对应点，点

B′

落在边

AC

上，连接

A B



，若ACB45 ，

AC 

3

，

BC 

2

，则

A B



的长为 __________． 28．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，

Rt ABC



的直角顶点

C

的坐标为

(1,0)

，点

A

在

x

轴正半轴上，且

AC 

2

．将



ABC

先绕点

C

逆时针旋转

90

，再向左平移_{3 个单位，则变换后点}

A

的对应 点的坐标为_{______．}

29．（_{2019·四川中考真题）如图，}



ABC

、



BDE

都是等腰直角三角形，

BA BC



，

BD BE



，

AC 

4

，

2 2

DE 

． 将



BDE

绕 点 B 逆 时针 方 向 旋转 后 得



BD E

' '

， 当点

E

'

恰 好落 在 线 段

AD

'

上 时， 则

'

CE 

_{______．}

30．（2019·辽宁中考真题）如图，在△ABC 中，AC=BC，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°，得到△ADE．若 AB=2，∠ACB=30°，则线段 CD 的长度为______． 31．（2019·辽宁中考真题）如图，

△

ABC

是等边三角形，点_{D 为 BC 边上一点，}

1

₂

2

BD



DC



，以点_D 为顶点作正方形_DEFG，且

DE BC



，连接_{AE，AG．若将正方形 DEFG 绕点 D 旋转一周，当 AE 取最小} 值时，_{AG 的长为________．}

32．（2019·湖北中考真题）问题背景：如图，将



ABC

绕点

A

逆时针旋转_60°得到



ADE

，

DE

与

BC

交 于点 P ，可推出结论：

PA PC PE





问题解决：如图，在



MNG

中，

MN 

6

，



M



75



，

MG 

4 2

．点

O

是



MNG

内一点，则点

O

到

MNG



_{三个顶点的距离和的最小值是___________} 33．（2019·江苏中考真题）如图，过点 C(3,4)的直线

y



2

x b



交

x

轴于点_{A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线}

0

k

y

x

x



（



）

过点_{B，将点 A 沿}

y

轴正方向平移

a

个单位长度恰好落在该曲线上，则

a

的值为_{________．} 三、解答题 34．（2019·宁夏中考真题）已知：在平面直角坐标系中，



ABC

的三个顶点的坐标分别为

A

(5,4)

， (0,3)B ，

(2,1)

C

_． （1）画出



ABC

关于原点成中心对称的



A B C

1 1 1_{，并写出点}

C

1_的坐标； （_{2）画出将}

A B C

1 1 1_绕点

C

1_{按顺时针旋转}

90

_所得的



A B C

2 2 1_．

35．（2019·湖北中考真题）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （_{1）如图①，四边形 ABCD 中，AB=AD，}_B=_{D，画出四边形 ABCD 的对称轴 m；} （_{2）如图②，四边形 ABCD 中，AD∥BC，}_A=_{D，画出边 BC 的垂直平分线 n．} 36．（2019·贵州中考真题）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点 A 旋转，连接 BC，DE．探 究_{S△ABC 与 S△ADC 的比是否为定值．} （1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE 是否为定值？如果是，求出此定值， 如果不是，说明理由．（图①） （_{2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有 30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE 是否为定值？如果} 是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②） （_{3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n 为常数），S△ABC：} S△ADE 是否为定值？如果是，用含 a，b，m，n 的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如 果不是，说明理由．（图③） 37．（2019·黑龙江中考真题）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐 标系中，



OAB

的三个顶点 (0, 0)O 、

A

(4,1)

、

B

(4,4)

均在格点上． （_1）画出



OAB

关于

y

轴对称的



OA B

1 1_{，并写出点}

A

1_的坐标； （2）画出



OAB

绕原点

O

顺时针旋转

90

后得到的



OA B

2 2_{，并写出点}A 的坐标；2 （3）在（2）的条件下，求线段

OA

在旋转过程中扫过的面积（结果保留



）．

38．（2019·湖北中考真题）如图 1，



ABC

中，

CA CB ACB



,







,

D

为



ABC

内一点，将



CAD

绕点

C

按逆时针方向旋转角



得到



CBE

，点

A D

,

的对应点分别为点

B E

,

，且

A D E

, ,

三点在同一直线上． （_{1）填空：}



CDE



（用含



的代数式表示）； （2）如图 2，若





60

，请补全图形，再过点

C

作

CF AE



于点

F

，然后探究线段

CF AE BE

,

,

之间的 数量关系，并证明你的结论； （_3）若





90 ,



AC



5 2

，且点

G

满足



AGB



90 ,



BG



6

，直接写出点

C

到

AG

的距离．

39．（_{2019·山东中考真题）如图，}



ABC

和



ADE

是有公共顶点的等腰直角三角形，



BAC

 

DAE



90



_.

（_{1）如图 1，连接 BE ，}

CD

， BE 的廷长线交

AC

于点

F

，交

CD

于点 P ，求证：

BP CD



； （_{2）如图 2，把}



ADE

绕点

A

顺时针旋转，当点

D

落在

AB

上时，连接 BE ，

CD

，

CD

的延长线交 BE 于点 P ，若

BC 

6 2

，

AD 

3

，求



PDE

的面积． 40．（2019·辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图 1，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测 量A，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达 B 点的点 C， 连接_{BC，取 BC 的中点 P（点 P 可以直接到达 A 点），利用工具过点 C 作 CD∥AB 交 AP 的延长线于点 D，}

此时测得_{CD＝200 米，那么 A，B 间的距离是} 米．

思维探索：（_{2）在△ABC 和△ADE 中，AC＝BC，AE＝DE，且 AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE} 绕点_{A 顺时针方向旋转，把点 E 在 AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点 B 和点 D 位于 AC 的两} 侧），设旋转角为α，连接 BD，点 P 是线段 BD 的中点，连接 PC，PE．

①如图_{2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是} ；

②如图_{3，当α＝90°时，点 D 落在 AB 边上，请判断 PC 与 PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；} ③当_{α＝150°时，若 BC＝3，DE＝l，请直接写出 PC2 的值．}

41．（2019·辽宁中考真题）如图，四边形 ABCD 是正方形，连接 AC，将

△

ABC

绕点A 逆时针旋转α得



AEF

， 连接_{CF，O 为 CF 的中点，连接 OE，OD．}

（1）如图 1，当





45

时，请直接写出OE 与 OD 的关系（不用证明）． （2）如图 2，当

45



 



90

时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （_3）当





360

时，若

AB 

4 2

，请直接写出点_{O 经过的路径长．}

【考点1】平移变换问题 【例_{1】（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点 A（1，﹣2）向上平移 3 个单位长度，再向左平} 移_{2 个单位长度，得到点 A′，则点 A′的坐标是（} ） A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【答案】_A 【解析】 试题分析：已知将点_{A（1，﹣2）向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 A′，根据向} 左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点_{A′的横坐标为 1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即 A′的坐标为（﹣} 1，1）．故选 A． 考点：坐标与图形变化_-平移． 【变式_{1-1】（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系}

xOy

中，将四边形

ABCD

向下平移，再向右 平移得到四边形

A B C D

1 1 1 1_，已知

A

( 3,5),



B

( 4,3),



A

1

(3,3)

_，则点

B

1_{坐标为（ ）} A．

(1,2)

B．

(2,1)

C．

(1,4)

D．

(4,1)

【答案】B 【解析】 【分析】 根据_{A 和 A1 的坐标得出四边形 ABCD 先向下平移 2 个单位，再向右平移 6 个单位得到四边形}

A B C D

1 1 1 1_， 则B 的平移方法与 A 点相同，即可得到答案． 【详解】 图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化_{. A（－3，5）到 A1（3，3）得向右平移} 3－（－3）＝6 个单位，向下平移 5－3＝2 个单位.所以 B（－4，3）平移后 B1（2，1）. 故选_B. 【点睛】 此题考查图形的平移_{.，掌握平移的性质是解题关键} 【变式 _{1-2】（2019·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知}



ABC

的三个顶点坐标分别是

2, 1 , 1,

(

) (

2 , 3, 3

)

(

)

A



B



C



（1）将



ABC

向上平移4 个单位长度得到



A B C

1 1 1_，请画出



A B C

1 1 1_；

（_{2）请画出与}



ABC

关于

y

轴对称的



A B C

2 2 2_； （_{3）请写出}

A A

1

、

2_的坐标． 【答案】（_{1）如图所示：}



A B C

1 1 1_{，即为所求；见解析；（2）如图所示：}



A B C

2 2 2_{，即为所求；见解析；（3）} 1

(

2,3 ,

)

2

(

2

, 1

)

A

A  

_． 【解析】 【分析】 （_{1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；} （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （_{3）利用所画图象得出对应点坐标.} 【详解】 （_{1）如图所示：}



A B C

1 1 1_{，即为所求；} （_{2）如图所示：}



A B C

2 2 2_{，即为所求；} （_3）

A

1

(

2,3 ,

)

A  

2

(

2

, 1

)

_． 【点睛】 此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键_.

【考点_{2】轴对称变换问题（含折叠变换）} 【例_{2】（2019·四川中考真题）如图，在菱形}

ABCD

中，

4

sin

5

B 

，点

E F

,

分别在边

AD BC

,

上，将四 边形

AEFB

沿

EF

翻折，使

AB

的对应线段

MN

经过顶点

C

，当

MN BC



时，

AE

AD

的值是_{_____．} 【答案】 2 9 . 【解析】 【分析】 延长

CM

交

AD

于点

G

，进而利用翻折变换的性质得出

AE ME



，

  

A

EMC

，

BF FN



，

  

B

N

，

AB MN



，再利用菱形的性质得出

AB BC CD AD







，

  

B

D

，

   

A

B

180

，设

CF



4

x

，

5

FN



x

，利用勾股定理得出

BC



9

x AB CD AD







，再根据三角函数进行计算即可解答 【详解】 延长

CM

交

AD

于点

G

， ∵将四边形

AEFB

沿

EF

翻折， ∴

AE ME



，

  

A

EMC

，

BF FN



，

  

B

N

，

AB MN



∵四边形

ABCD

是菱形 ∴

AB BC CD AD







，

  

B

D

，

   

A

B

180

 ∵

4

sin

sin

5

CF

B

N

FN

 



，

∴设

CF



4

x

，

FN



5

x

， ∴

CN



FN

2



CF

2



3

x

， ∴

BC



9

x AB CD AD







， ∵

4

sin

sin

5

GC

B

D

CD

 



∴

36

5

x

GC 

∴





36x

₆

6

5

5

GM GC





MN CN







x



x

∵

   

A

B

180

，



EMC

 

EMG



180

 ∴

  

B

EMG

∴

4

sin

sin

5

EG

B

EMG

EM





 

∴

3

cos

5

GM

EMG

EM



 

∴

EM x

=2

， ∴

AE



2

x

， ∴

2

2

9

9

AE

x

AD



x



故答案为：

2

9

_. 【点睛】 此题考查翻折变换，菱形的性质，三角函数，解题关键在于利用折叠的性质进行解答 【变式_{2-1】（2019·江苏中考真题）如图，将平行四边形纸片}

ABCD

沿一条直线折叠，使点

A

与点

C

重合， 点

D

落在点

G

处，折痕为

EF

．求证： （1）



ECB

 

FCG

； （_2）



EBC

 

FGC

．

【答案】（_{1）见解析；（2）见解析.} 【解析】 【分析】 (1)依据平行四边形的性质，即可得到

  

A

BCD

，由折叠可得，

  

A

ECG

，即可得到



ECB

 

FCG

； (2)依据平行四边形的性质，即可得出

  

D

B

，

AD BC



，由折叠可得，

  

D

G

，

AD CG



，即 可得到

  

B

G

，

BC CG



，进而得出



EBC

 

FGC

． 【详解】 (1)



四边形

ABCD

是平行四边形，

A

BCD

  

， 由折叠可得，

  

A

ECG

，

BCD

ECG



 

_，

BCD

ECF

ECG

ECF



 

 

 

_，

ECB

FCG



 

； (2)



四边形

ABCD

是平行四边形，

D

B

  

，

AD BC



， 由折叠可得，

  

D

G

，

AD CG



，

B

G

  

_，

BC CG



_， 又





ECB

 

FCG

，

(

)

EBC

FGC ASA



 

_． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的

性质是解题的关键_. 【变式_{2-2】（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点} A、B 不重合），直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B’. （_{1）如图 1，当 PB=4 时，若点 B’恰好在 AC 边上，则 AB’的长度为_____；} （_{2）如图 2，当 PB=5 时，若直线 l//AC，则 BB’的长度为} ； （_{3）如图 3，点 P 在 AB 边上运动过程中，若直线 l 始终垂直于 AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，} 说明理由；若不变化，求出面积； （4）当 PB=6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB’面积的最大值. 【答案】（1）4；（2）5

3

；（3）面积不变，S△ACB’=

16 3

；（4）24+4

3

【解析】 【分析】 (1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题； (2)如图 2 中，设直线 l 交 BC 于点 E，连接 B B′交 PE 于 O，证明△PEB 是等边三角形，求出 OB 即可解决 问题； (3)如图 3 中，结论：面积不变，证明 B B′//AC 即可；

(4)如图 4 中，当 PB′⊥AC 时，△ACB′的面积最大，设直线 PB′交 AC 于点 E，求出 B′E 即可解决问题. 【详解】 如图_{1，∵△ABC 为等边三角形，} ∴∠_{A=60°，AB=BC=CA=8，} ∵_PB=4， ∴_{PB′=PB=PA=4，} ∵∠A=60°， ∴△_{APB′是等边三角形，} ∴_{AB′=AP=4，} 故答案为_4； (2)如图 2，设直线 l 交 BC 于点 E，连接 B B′交 PE 于 O，

∵_PE∥AC， ∴∠_{BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，} ∴△_{PEB 是等边三角形，} ∵_{PB=5，B、B′关于 PE 对称，} ∴BB′⊥PE，BB′=2OB， ∴_{OB=PB·sin60°=} 5 3 2 ， ∴BB′=5

3

， 故答案为₅

3

； (3)如图 3，结论：面积不变. 过点_{B 作 BE⊥AC 于 E，} 则有_{BE=AB·sin60°=}

3

8

4 3

2





， ∴_S△ABC=

1

_{1 8 4 3}

2

AC BE   



2

₌₁₆

3

， ∵B、B′关于直线 l 对称， ∴_{BB′⊥直线 l，} ∵直线_l⊥AC， ∴_AC//BB′， ∴S△ACB’=S△ABC=16

3

； (4)如图 4，当 B′P⊥AC 时，△ACB′的面积最大，

设直线_{PB′交 AC 于 E，} 在_{Rt△APE 中，PA=2，∠PAE=60°，} ∴PE=PA·sin60°=

3

， ∴_{B′E=B′P+PE=6+}

3

， ∴_{S△ACB 最大值=}

1

2

_×(6+

3

_)×8=24+4

3

_. 【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定与 性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键_. 【考点_{3】旋转变换问题} 【例3】（2019·山东中考真题）(1)问题发现

如图_{1,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D 在一条直线上.} 填空_{:线段 AD,BE 之间的关系为 .}

(2)拓展探究

如图_{2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断 AD,BE 的关系,并说明理由.} (3)解决问题

如图_{3,线段 PA=3,点 B 是线段 PA 外一点,PB=5,连接 AB,将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AC,随着点 B} 的位置的变化_{,直接写出 PC 的范围.} 【答案】_{(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-3}

2

_≤PC≤5+3

2

． 【解析】 【分析】 （_{1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得 AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长 BE 交 AD 于点 F，} 由垂直定义得_AD⊥BE． （2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°， AD⊥BE；

（_{3）作 AE⊥AP，使得 AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当 P、E、B 共线时，BE 最小，最小值} =PB-PE；当 P、E、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE，故 5-3

2

≤BE≤5+3

2

.

【详解】 （_{1）结论：AD=BE，AD⊥BE．} 理由：如图_{1 中，} ∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴_{AC=BC，CE=CD，} ∠_{ACB=∠ACD=90°，} 在_{Rt△ACD 和 Rt△BCE 中}

AC BC

ACD

BCE

CD CE













＝

＝

＝

∴△_{ACD≌△BCE（SAS），} ∴_{AD=BE，∠EBC=∠CAD} 延长BE 交 AD 于点 F， ∵_BC⊥AD， ∴∠_{EBC+∠CEB=90°，} ∵∠_CEB=AEF， ∴∠_{EAD+∠AEF=90°，} ∴∠AFE=90°，即 AD⊥BE． ∴_{AD=BE，AD⊥BE．} 故答案为_{AD=BE，AD⊥BE．} （_{2）结论：AD=BE，AD⊥BE．} 理由：如图_{2 中，设 AD 交 BE 于 H，AD 交 BC 于 O．} ∵△_{ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，} ∴_{AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，} ∴_{ACD=∠BCE，} 在_{Rt△ACD 和 Rt△BCE 中}

AC BC

ACD

BCE

CD CE













＝

＝

＝

， ∴△_{ACD≌△BCE（SAS），} ∴_{AD=BE，∠CAD=∠CBE，} ∵∠_{CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，} ∴∠BOH+∠OBH=90°， ∴∠_OHB=90°， ∴_AD⊥BE， ∴_{AD=BE，AD⊥BE．} （3）如图 3 中，作 AE⊥AP，使得 AE=PA，则易证△APE≌△ACP， ∴_PC=BE，

图_{3-1 中，当 P、E、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE=5-3}

2

， 图3-2 中，当 P、E、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE=5+3

2

， ∴_5-3

2

_≤BE≤5+3

2

，

【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思 想思考问题，属于中考压轴题． 【变式_{3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 A(-4，4)，B(-1，} 1)，C(-1，4)． (1)画出与△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1． (2)将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2． (3)求线段 AB 在旋转过程中扫过的图形面积．(结果保留π) 【答案】_{(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)}

9

2

_π. 【解析】 【分析】 (1)根据关于 y 轴对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1 的坐标，然后描点即可； (2)利用网格特点和旋转的性质画出 A、C 的对应点 A2、C2 即可； (3)线段 AB 在旋转过程中扫过的图形为扇形，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】 解：_{(1)如图，△AlB1C1 为所作.} (2)如图，△A2BC2 为所作；

(3)AB=

3

2



3

2 =3

2

， 所以线段AB 在旋转过程中扫过的图形面积= 2

90 π (3 2)

360

 

=

9

2

_π． 【点睛】 本题考查了作图_{-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可} 以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考 查了扇形面积公式． 【变式3-2】（2019·江苏中考真题）如图①，在



ABC

中，

AB AC





3

，



BAC



100

，D 是 BC 的中 点． 小明对图①进行了如下探究：在线段_{AD 上任取一点 P，连接 PB．将线段 PB 绕点 P 按逆时针方向旋转}

80

， 点_{B 的对应点是点 E，连接 BE，得到}



BPE

．小明发现，随着点_{P 在线段 AD 上位置的变化，点 E 的位置} 也在变化，点_{E 可能在直线 AD 的左侧，也可能在直线 AD 上，还可能在直线 AD 的右侧．请你帮助小明} 继续探究，并解答下列问题： （_{1）当点 E 在直线 AD 上时，如图②所示．} ①



BEP



；②连接_{CE，直线 CE 与直线 AB 的位置关系是} ． （_{2）请在图③中画出}



BPE

，使点_{E 在直线 AD 的右侧，连接 CE．试判断直线 CE 与直线 AB 的位置关} 系，并说明理由． （3）当点 P 在线段 AD 上运动时，求 AE 的最小值． 【答案】（_1）①50；②

EC AB

∥

；（_2）

AB EC

∥

；（_{3）AE 的最小值}

3

．

【解析】 【分析】

（_{1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题．②证明}



ABC



40

，



ECB



40

，推出



ABC

 

ECB

即可． （_{2）如图③中，以 P 为圆心，PB 为半径作⊙P．利用圆周角定理证明}

1

₄₀

2

BCE

BPE





 



即可解决问 题． （_{3）因为点 E 在射线 CE 上运动，点 P 在线段 AD 上运动，所以当点 P 运动到与点 A 重合时，AE 的值最} 小，此时_{AE 的最小值}



AB



3

． 【详解】 （_{1）①如图②中，} ∵



BPE



80

，

PB PE



， ∴



PEB

 

PBE



50

， ②结论：

AB EC

∥

． 理由：∵

AB AC



， BDDC ， ∴AD BC ， ∴



BDE



90

， ∴



EBD



90 50









40

， ∵_{AE 垂直平分线段 BC，} ∴

EB EC



， ∴



ECB

 

EBC



40

， ∵

AB AC



，



BAC



100

，

∴



ABC

 

ACB



40

， ∴



ABC

 

ECB

， ∴

AB EC

∥

． 故答案为50，

AB EC

∥

． （_{2）如图③中，以 P 为圆心，PB 为半径作⊙P．} ∵_{AD 垂直平分线段 BC，} ∴

PB PC



， ∴

1

₄₀

2

BCE

BPE





 



， ∵



ABC



40

， ∴

AB EC

∥

． （3）如图④中，作

AH CE

⊥

于H， ∵点_{E 在射线 CE 上运动，点 P 在线段 AD 上运动，}

∴当点_{P 运动到与点 A 重合时，AE 的值最小，此时 AE 的最小值}



AB



3

． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是 熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 【考点_{4】位似变换问题} 【例_{4】（2019·广西中考真题）如图，}



ABC

与



A B C

' ' '

是以坐标原点

O

为位似中心的位似图形，若点

   

2,2 , 3,4

A

B

_，

C

 

6,1

_，

B

' 6,8

 

_则

_

_{A B C}

_{' ' '}

_{的面积为__．} 【答案】_18． 【解析】 【分析】 根据

B

 

3,4

，

B

' 6,8

 

的坐标得到位似比，继而得到_{A、C 对应点的坐标，再用}



A B C

' ' '

所在的矩形的 面积减去顶点处的三角形面积即可求得答案_. 【详解】 ∵



ABC

与



A B C

' ' '

是以坐标原点

O

为位似中心的位似图形， 若点

B

 

3,4

，

B

' 6,8

 

， ∴位似比为：

3 1

₌

6 2

， ∵

A

 

2,2

，

C

 

6,1

， ∴

A

' 4,4 , ' 12,2

 

C





， ∴



A B C

' ' '

的面积为：

1

1

1

6 8

2 4

6 6

2 8 18

2

2

2

          

，

故答案为：_18． 【点睛】 本题考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 【 变 式 _{4-1 】（ 2019· 山 东 中 考 真 题 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，}



ABO

三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为



2,4 ,

 

4,0 ,

  

0,0

A



B



O

．以原点

O

为位似中心，把这个三角形缩小为原来的

1

2

，得到



CDO

，则点

A

的对应点

C

的坐标是__________． 【答案】





1,2



或



1, 2





【解析】 【分析】 根据位似图形的中心和位似比例即可得到点_{A 的对应点 C.} 【详解】 解：以原点

O

为位似中心，把这个三角形缩小为原来的

1

2

，点

A

的坐标为





2,4



， ∴点

C

的坐标为

1

1

2

,

2

2

(

 

4



)

或

1

1

2

,

2

2

(



 

4

)

，即





1,2



或



1, 2





， 故答案为：





1,2



或



1, 2





． 【点睛】 本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向_. 【变式4-2】（2018·四川中考真题）如图，



ABC

在方格纸中. （_{1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使}

A

(2,3)

，

C

(6,2)

，并求出 B 点坐标； （_{2）以原点}

O

为位似中心，相似比为_{2，在第一象限内将}



ABC

放大，画出放大后的图形



A B C

' ' '

； （_3）计算



A B C

' ' '

的面积

S

_. 【答案】（_{1）作图见解析；}

B

(2,1)

_{.（2）作图见解析；（3）16.}

【解析】 分析：（_{1）直接利用 A，C 点坐标得出原点位置进而得出答案；} （2）利用位似图形的性质即可得出△A'B'C'； （_{3）直接利用（2）中图形求出三角形面积即可．} 详解：（_{1）如图所示，即为所求的直角坐标系；B（2，1）；} （_{2）如图：△A'B'C'即为所求；} （_{3）S△A'B'C'=}

1

2

_×4×8=16． 点睛：此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键．画位似图形的 一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和关键点；③根据位似比，确定位似图形的关 键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 一、单选题 1．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A m



, 2



与点b n

( )

3, 关于_{y 轴对称，则（} ） A．

m 

3

，

n 

2

_B．

m  

3

，

n 

2

_C．

m 

2

，

n 

3

_D．

m  

2

，

n 

3

【答案】_B 【解析】 【分析】 根据点关于_{y 轴对称，其横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案.} 【详解】 A，B 关于 y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同,故选 B 【点睛】 本题考查点坐标的轴对称，解题的关键熟练掌握点坐标的轴对称. 2．（2019·辽宁中考真题）如图，点 P（8，6）在△ABC 的边 AC 上，以原点 O 为位似中心，在第一象限内 将△ABC 缩小到原来的

1

2

，得到△A′B′C′，点 P 在 A′C′上的对应点 P′的的坐标为（ ）

A．（4，3） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，4） 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为_{k，那么位似图形对应点的坐} 标的比等于_{k 或−k，进而结合已知得出答案．} 【详解】 ∵点_{P（8，6）在△ABC 的边 AC 上，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的}

1

2

，得 到△_{A′B′C′，} ∴点P 在 A′C′上的对应点 P′的的坐标为：（4，3）． 故选：_A． 【点睛】 此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．

3．（2019·湖南中考真题）如图，将



OAB

绕点

O

逆时针旋转_70°到



OCD

的位置，若



AOB



40

，则

AOD





_{（ ）} A．45° B．40° C．35° D．30° 【答案】D 【解析】 【分析】

首先根据旋转角定义可以知道



BOD



70

，而



AOB



40

，然后根据图形即可求出 AOD ． 【详解】

解：∵



OAB

绕点

O

逆时针旋转_70°到



OCD

的位置， ∴



BOD



70

，

∴



AOD



70 40









30

 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识． 4．（2019·广东中考真题）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 【答案】_C 【解析】 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得_. 【详解】 A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意， 故选_C. 【点睛】 本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形 重合，那么就说这个图形是中心对称图形_.

5．（2019·浙江中考真题）如图，在直角坐标系中，已知菱形 OABC 的顶点 A(1,2)，B(3,3)．作菱形 OABC 关于_{y 轴的对称图形 OA′B′C′，再作图形 OA′B′C′关于点 O 的中心对称图形 OA″B″C″，则点 C 的对应点 C″} 的坐标是（ ） A．(2,-1)B．(1,-2) C． (-2,1) D． (-2,-1) 【答案】_A 【解析】 【分析】 先找出对应点，再用线段顺次连接作出图形，根据图形解答即可. 【详解】 如图，





'' 2 1

C

，



. 故选A. 【点睛】 本题考查了轴对称作图及中心对称作图，熟练掌握轴对称作图及中心对称的性质是解答本题的关键，中心 对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经 过对称中心，并且被对称中心平分_. 6．（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系中，将点





2,3



向右平移

4

个单位长度后得到的点的坐标为 （ ） A．

 

2,3

B．





6,3



C．





2,7



D．



 

2, 1



【答案】A 【解析】 【分析】 根据直角坐标系的坐标平移即可求解_. 【详解】 一个点向右平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标加4，故选 A 【点睛】 此题主要考查坐标的平移，解题的关键是熟知直角坐标系的特点_. 7．（2019·湖南中考真题）点 ( 1, 2) 关于原点的对称点坐标是（ ） A． ( 1, 2)- - B．

(1, 2)



C． (1, 2) D．

(2, 1)



【答案】_B 【解析】 【分析】 坐标系中任意一点

P x y

 

,

，关于原点的对称点是



 

x y

,



，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反 数． 【详解】 根据中心对称的性质，得点





1,2



关于原点的对称点的坐标为



1, 2





． 故选_B．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．

8．（2019·湖南中考真题）如图，以点 O 为位似中心，把



ABC

放大为原图形的_{2 倍得到}



A'B'C'

，以下说 法中错误的是（ ）

A．



ABC

∽



A'B'C'

B．点 C、点 O、点 C′三点在同一直线上 C．

AO : AA' 1: 2



D．

AB A'B'



【答案】_C 【解析】 【分析】 直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案． 【详解】 ∵以点_{O 为位似中心，把}



ABC

放大为原图形的_{2 倍得到}



A'B'C'

， ∴



ABC

∽



A'B'C'

，点_{C、点 O、点 C′三点在同一直线上，}

AB A'B'



，

AO : AA' 1:3



_， ∴_{C 选项错误，符合题意．} 故选C． 【点睛】 此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键． 9．（_{2018·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B．将} △_{AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的}

1

2

，得到△_{COD，则 CD 的长度是（} ） A．2 B．1 C．4 D．2

5

【答案】A 【解析】

【分析】直接利用位似图形的性质结合_{A 点坐标可直接得出点 C 的坐标，即可得出答案．}

【详解】∵点_{A（2，4），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，将△AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的}

1

2

，得到△_COD， ∴_{C（1，2），则 CD 的长度是 2，} 故选_A． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键． 10．（2019·山东中考真题）如图，点 A 的坐标是(-2,0)，点 B 的坐标是(0,6)，C 为 OB 的中点，将△ABC 绕 点B 逆时针旋转 90°后得到



A B C

  

．若反比例函数

k

y

x



的图象恰好经过

A B



的中点D，则 k 的值是（ ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】_C 【解析】 【分析】

作

A H

'



y

轴于

H

.

证明



AOB

≌



BHA AAS

'





，推出

OA BH



，

OB A H



'

，求出点

A

'

坐标，再利 用中点坐标公式求出点_{D 坐标即可解决问题．}

【详解】

解：作

A H

 

y

轴于 H ．

∵



AOB

  

A HB

 

ABA

  

90

，

∴



ABO

  

A BH

 

90

，



ABO

 

BAO

 

90

， ∴



BAO

  

A BH

，

∵

BA BA





，

∴



AOB

≌



BHA AAS







， ∴

OA BH



，

OB A H

 

， ∵点

A

的坐标是





2,0



，点 B 的坐标是

 

0,6

， ∴

OA 

2

，

OB 

6

， ∴

BH OA





2

，

A H OB

 



6

， ∴

OH 

4

， ∴

A

 

6,4

， ∵

BD A D

 

， ∴

D

 

3,5

， ∵反比例函数

k

y

x



的图象经过点

D

， ∴

k 

15

． 故选：_C． 【点睛】 本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-_{旋转等知识，解题的关键是学会添加常用} 辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 11．（2019·浙江中考真题）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条 直线平分该平行四边形的面积. 如图是由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形，P 是其中 4 个小正方形的公 共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点 P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分， 则剪痕的长度是（ ） A．

2 2

B．

5

C．

3 5

2

_D．

10

【答案】_D 【解析】 【分析】

根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得_{EM=DN，利用勾股定理即可求得．} 【详解】 如图，

EF

为剪痕，过点

F

作

FG EM



于

G

_. ∵

EF

将该图形分成了面积相等的两部分， ∴

EF

经过正方形

ABCD

对角线的交点， ∴

AF CN BF DN



,



_. 易证



PME

≌



PDN

， ∴

EM DN



， 而

AF MG



， ∴

EG EM MG DN AF DN CN DC

















1

_. 在

Rt FGE



中，

EF



FG

2



EG

2



3 1

2

 

2

10

. 故选：_D. 【点睛】 本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 12．（2019·湖北中考真题）如图，矩形

ABCD

中，

AC

与

BD

相交于点

E

，

AD AB 

:

3 :1

，将

△

ABD

沿

BD

折叠，点

A

的对应点为

F

，连接

AF

交

BC

于点

G

，且BG  ，在2

AD

边上有一点 H ，使得

BH EH



的值最小，此时

BH

CF



（ ） A．

3

2

_B．

2 3

3

_C．

6

2

_D．

3

2

【答案】_B 【解析】 【分析】

设_{BD 与 AF 交于点 M．设 AB=a，AD=}

3

_{a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE 都是等边三角形，利用} 折叠的性质得到_{BM 垂直平分 AF，BF=AB=a，DF=DA=}

3

_{a．解直角△BGM，求出 BM，再表示 DM，由} △_{ADM∽△GBM，求出 a=2}

3

，再证明_CF=CD=2

3

．作_{B 点关于 AD 的对称点 B′，连接 B′E，设 B′E} 与AD 交于点 H，则此时 BH+EH=B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出 B（3，2

3

），B′（3，-2

3

）， E（0，

3

），利用待定系数法求出直线B′E 的解析式，得到 H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出 BH=4，进而求出

4

2 3

BH

CF



₌

2 3

₃

_． 【详解】 如图，设_{BD 与 AF 交于点 M．设 AB=a，AD=}

3

_a， ∵四边形_{ABCD 是矩形，} ∴∠DAB=90°，tan∠ABD=

3

1

AD

AB



， ∴_BD=AC=

AB

2



AD

2 _{=2a，∠ABD=60°，} ∴△_{ABE、△CDE 都是等边三角形，} ∴_{BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，} ∵将△ABD 沿 BD 折叠，点 A 的对应点为 F， ∴_{BM 垂直平分 AF，BF=AB=a，DF=DA=}

3

_a， 在△_{BGM 中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，} ∴_GM=

1

2

_BG=1，BM=

3

_GM=

3

_，

∴_DM=BD-BM=2a-

3

， ∵矩形ABCD 中，BC∥AD， ∴△_{ADM∽△GBM，} ∴

AD DM

BG BM



，即

3

2

3

2

3

a

_

a 

， ∴_a=2

3

， ∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2

3

，AD=BC=6，BD=AC=4

3

， 易证∠_{BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，} ∴△ADF 是等边三角形， ∵_{AC 平分∠DAF，} ∴_{AC 垂直平分 DF，} ∴_CF=CD=2

3

，

作B 点关于 AD 的对称点 B′，连接 B′E，设 B′E 与 AD 交于点 H，则此时 BH+EH=B′E，值最小． 如图，建立平面直角坐标系， 则_{A（3，0），B（3，2}

3

），_{B′（3，-2}

3

），_E（0，

3

）， 易求直线_{B′E 的解析式为 y=-}

3

_x+

3

， ∴_{H（1，0），} ∴_BH=

(3 1) (2 3 0)



2





2 _=4， ∴

4

2 3

BH

CF



₌

2 3

3

． 故选：_B． 【点睛】 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变 化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形